109 年 國立臺灣大學經濟學系碩士班《統計學（A）》

這題考驗對常態分配的理解與應用，特別是條件機率的概念。

假設學生的 TOEIC 閱讀分數 $X$ 服從常態分配，即 $X \sim N(\mu=255, \sigma^2=106^2)$。
學校對分數至少 350 的學生頒發獎狀，我們稱這些學生為「獲獎學生」。
題目要求計算一位「獲獎學生」的分數至少為 400 的機率。這是一個條件機率問題，我們想求 $P(X \ge 400 | X \ge 350)$。

根據條件機率的定義，
$P(X \ge 400 | X \ge 350) = \frac{P(X \ge 400 \cap X \ge 350)}{P(X \ge 350)}$
由於 $X \ge 400$ 的條件包含了 $X \ge 350$，因此事件 $\{X \ge 400 \cap X \ge 350\}$ 就是 $\{X \ge 400\}$。
所以，
$P(X \ge 400 | X \ge 350) = \frac{P(X \ge 400)}{P(X \ge 350)}$

接下來，我們需要計算 $P(X \ge 400)$ 和 $P(X \ge 350)$。
我們將分數標準化，令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 255}{106}$。

這題考驗對隨機變數線性組合的期望值與變異數的計算，以及獨立性的應用。

令 $P_i$ 為第 $i$ 年列印的頁數，其中 $i = 1, 2, 3$。
已知 $E(P_i) = 10,000$ 且 $S.D.(P_i) = 2,000$，所以 $Var(P_i) = (2,000)^2 = 4,000,000$。
各年的列印頁數是獨立的。

令 $C_i$ 為第 $i$ 年的總成本。
每年總成本包含固定租賃費 NT$5,000 及每頁 NT$0.8 的變動成本。
所以，第 $i$ 年的總成本可表示為：
$C_i = 5000 + 0.8 \times P_i$

我們需要計算三年總成本的平均值與變異數。
三年總成本 $C_{total} = C_1 + C_2 + C_3$。

首先計算每年的成本的期望值：
$E(C_i) = E(5000 + 0.8 \times P_i) = 5000 + 0.8 \times E(P_i)$
$E(C_i) = 5000 + 0.8 \times 10,000 = 5000 + 8000 = 13,000$

接著計算每年的成本的變異數：
$Var(C_i) = Var(5000 + 0.8 \times P_i) = Var(0.8 \times P_i)$

這題考驗假設檢定中，p-value 的概念以及如何反推樣本平均值。

我們進行一個雙尾檢定，檢定母體平均數 $\mu$ 是否等於 100。
已知：
樣本標準差 $s = 19$
樣本大小 $n = 12$
顯著水準 $\alpha = 0.05$ (因為 p-value = 0.05，這代表我們在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，會拒絕 $H_0$。)

由於母體標準差未知，且樣本大小不大，我們應該使用 t 檢定。
檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中 $\bar{x}$ 是樣本平均值，$\mu_0 = 100$ 是虛無假設中的母體平均值。
自由度 (df) 為 $n-1 = 12 - 1 = 11$。

p-value 是在虛無假設為真的情況下，觀察到比目前樣本統計量「更極端」（即支持對立假設）的機率。
對於雙尾檢定，p-value = $P(|t_{df} \ge |t_{observed}|)$，其中 $t_{observed}$ 是根據樣本數據計算出的 t 值。
題目給定 p-value = 0.05。
對於自由度為 11 的 t 分配，雙尾檢定 p-value 為 0.05，代表 $|t_{observed}|$ 的臨界值是 $t_{\alpha/2, df}$，其中 $\alpha = 0.05$。
所以，我們需要找到 $t_{0.025, 11}$。

這題考驗建構配對樣本（paired samples）的信賴區間，特別是針對差值（growth）的平均數。

題目提供了 2010 年和 2020 年同一批樹木的測量數據摘要，並計算了兩者的差值（2020 年高度 - 2010 年高度），代表了樹木的生長量。
我們關心的是「平均生長量」的信賴區間。由於我們有同一批樹木在不同時間點的測量，這是配對樣本的狀況。
我們直接針對「差值」的樣本進行分析。

令 $d_i$ 為第 $i$ 棵樹在 2020 年與 2010 年高度的差值，$d_i = Height_{2020, i} - Height_{2010, i}$。
我們擁有的數據是關於這些差值的樣本統計量：
樣本大小 $n = 40$
差值的樣本平均數 $\bar{d} = 3.81$
差值的樣本標準差 $s_d = 2.19$

我們要建構平均生長量（即差值平均數 $\mu_d$）的 90% 信賴區間。
由於母體標準差未知，我們使用 t 分配來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{d} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}$

信賴水準為 90%，所以 $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。
由於是雙尾信賴區間，我們需要 $\alpha/2 = 0.05$ 的機率。
自由度 $df = n - 1 = 40 - 1 = 39$。

查閱 t 分配表（Table 3: t distribution probability table, df ≥ 31），當 df = 39，兩尾機率為 0.10 (即一尾機率為 0.05) 時，臨界值

核心觀念

本題依所給估計式，所估計的是以 $x_i$ 為唯一解釋變數的簡單迴歸：

$$y_i=\alpha_0+\beta_1x_i+v_i$$

真實模型為：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2z_i+u_i$$

因此，$z_i$ 是被遺漏的變數。這題考查「遺漏變數偏誤」及一致性的判定。

簡單迴歸斜率估計量的機率極限為：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1+ \beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x_i,z_i)}{\operatorname{Var}(x_i)} + \frac{\operatorname{Cov}(x_i,u_i)}{\operatorname{Var}(x_i)}$$

其中第二項就是遺漏變數所造成的偏誤，第三項是誤差項與解釋變數相關所造成的內生性偏誤。

---

解題方法與推導

由真實模型：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2z_i+u_i$$

代入題目給定的 OLS 估計式：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$

因為常數項在去平均後消失，所以：

$$y_i-\bar{y} = \beta_1(x_i-\bar{x}) +\beta_2(z_i-\bar{z}) +(u_i-\bar{u})$$

因此：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{ \sum (x_i-\bar{x}) \left[ \beta_1(x_i-\bar{x}) +\beta_2(z_i-\bar{z}) +(u_i-\bar{u}) \right] } {\sum (x_i-\bar{x})^2}$$

將分子拆開：

$$\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2 \frac{\sum (x_i-\bar{x})(z_i-\bar{z})} {\sum (x_i-\bar{x})^2} + \frac{\sum (x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u})} {\sum (x_i-\bar{x})^2}$$

當 $n\to\infty$ 時，由大數法則：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2 \frac{\operatorname{Cov}(x_i,z_i)} {\operatorname{Var}(x_i)} + \frac{\operatorname{Cov}(x_i,u_i)} {\operatorname{Var}(x_i)}$$

題目給定：

$$E(u_i\mid x_i)=0$$

由條件期望為零可得：

$$\operatorname{Cov}(x_i,u_i)=0$$

又因為：

$$\operatorname{Cov}(x_i,z_i)=0$$

且：

$$\operatorname{Var}(x_i)=\sigma_x^2>0$$

所以：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2\frac{0}{\sigma_x^2} + \frac{0}{\sigma_x^2} = \beta_1$$

---

偏誤項與其符號

遺漏變數偏誤為：

核心觀念

本題依所給估計式，所估計的是以 $x_i$ 為唯一解釋變數的簡單迴歸：

$$y_i=\alpha_0+\beta_1x_i+v_i$$

真實模型為：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2z_i+u_i$$

因此，$z_i$ 是被遺漏的變數。這題考查「遺漏變數偏誤」及一致性的判定。

簡單迴歸斜率估計量的機率極限為：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1+ \beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x_i,z_i)}{\operatorname{Var}(x_i)} + \frac{\operatorname{Cov}(x_i,u_i)}{\operatorname{Var}(x_i)}$$

其中第二項就是遺漏變數所造成的偏誤，第三項是誤差項與解釋變數相關所造成的內生性偏誤。

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解題方法與推導

由真實模型：

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2z_i+u_i$$

代入題目給定的 OLS 估計式：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$

因為常數項在去平均後消失，所以：

$$y_i-\bar{y} = \beta_1(x_i-\bar{x}) +\beta_2(z_i-\bar{z}) +(u_i-\bar{u})$$

因此：

$$\hat{\beta}_1 = \frac{ \sum (x_i-\bar{x}) \left[ \beta_1(x_i-\bar{x}) +\beta_2(z_i-\bar{z}) +(u_i-\bar{u}) \right] } {\sum (x_i-\bar{x})^2}$$

將分子拆開：

$$\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2 \frac{\sum (x_i-\bar{x})(z_i-\bar{z})} {\sum (x_i-\bar{x})^2} + \frac{\sum (x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u})} {\sum (x_i-\bar{x})^2}$$

當 $n\to\infty$ 時，由大數法則：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2 \frac{\operatorname{Cov}(x_i,z_i)} {\operatorname{Var}(x_i)} + \frac{\operatorname{Cov}(x_i,u_i)} {\operatorname{Var}(x_i)}$$

題目給定：

$$E(u_i\mid x_i)=0$$

由條件期望為零可得：

$$\operatorname{Cov}(x_i,u_i)=0$$

又因為：

$$\operatorname{Cov}(x_i,z_i)=0$$

且：

$$\operatorname{Var}(x_i)=\sigma_x^2>0$$

所以：

$$\operatorname{P\,lim}\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_2\frac{0}{\sigma_x^2} + \frac{0}{\sigma_x^2} = \beta_1$$

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偏誤項與其符號

遺漏變數偏誤為：

這是一個關於迴歸分析的綜合題，涵蓋了係數解釋、信賴區間、假設檢定、虛擬變數應用、內生性問題、工具變數法（IV）及兩階段最小平方法（2SLS）。

總體模型：
$\log(Q_t) = \beta_0 + \beta_1 \log(P_t) + \beta_2 \text{MON}_t + \beta_3 \text{TUE}_t + \beta_4 \text{WED}_t + \beta_5 \text{THUR}_t + u_t$
其中 $Q_t$ 是魚的數量，$P_t$ 是魚的價格。MON, TUE, WED, THUR 是星期幾的虛擬變數（dummy variables），Friday 是基準組（base group）。

OLS 迴歸結果：

• $\hat{\beta}_1 = -0.525$ (標準誤 $s.e. = 0.176$)
• $\hat{\beta}_2 = -0.311$ ($s.e. = 0.226$)
• $\hat{\beta}_3 = -0.683$ ($s.e. = 0.223$)
• $\hat{\beta}_4 = -0.534$ ($s.e. = 0.220$)
• $\hat{\beta}_5 = 0.0672$ ($s.e. = 0.220$)
• $\hat{\beta}_0 = 8.244$ ($s.e. = 0.163$)
• $n=97$, $R^2=0.217$

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(a) (5 points) Interpret the coefficient on log(Pt).

解釋：
係數 $\beta_1$ 是 $\log(P_t)$ 的係數，這表示當價格 $P_t$ 的對數變動一個單位時，魚的數量 $Q_t$ 的對數預期會變動 $\beta_1$ 個單位。這也稱為彈性（elasticity）。
$\hat{\beta}_1 = -0.525$ 是一個點估計值。

解釋：
$\hat{\beta}_1 = -0.525$ 表示，在控制了星期幾的影響後，魚的價格（$P_t$）的對數每增加 1%，預期魚的購買數量（$Q_t$）的對數會減少 0.525%。這意味著魚的需求是價格的負彈性，即價格越高，需求量越低，這是經濟學上符合預期的結果。

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(b) (5 points) Find the 95% confidence interval for $\beta_1$. Then, test $H_0: \beta_1 = 0$ against the two-sided alternative. What do you conclude?

1. 計算 95% 信賴區間 (Confidence Interval, CI)

信賴區間的公式為：
$CI = \hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \times s.e.(\hat{\beta}_1)$
其中 $n=97$ 是樣本數，$k=5$ 是解釋變數的數量（$\log(P_t)$ 和四個虛擬變數，Friday 是基準組）。
自由度 $df = n - k - 1 = 97 - 5 - 1 = 91$。
信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
由於自由度 $df=91$ 較大，我們可以使用常態分配的臨界值 $z_{\alpha/2} \approx 1.96$ 來近似 t 分配的臨界值 $t_{0.025, 91}$。
（或者查閱 t 分配表，df=91 時 $t_{0.025, 91} \approx 1.985$。使用 $1.96$ 也是可接受的近似）。我們在此使用 $1.96$。

$\hat{\beta}_1 = -0.525$
$s.e.(\hat{\beta}_1) = 0.176$

邊際誤差 (Margin of Error, MOE) $= 1.96 \times 0.176 \approx 0.345$

95% CI $= -0.525 \pm 0.345$
95% CI $= (-0.525 - 0.345, -0.525 + 0.345)$
95% CI $= (-0.870, -0.180)$

2. 假設檢定 (Hypothesis Testing)

虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ （魚的價格對數量沒有顯著影響）。
對立假設 $H_A: \beta_1 \neq 0$ （魚的價格對數量有顯著影響）。
檢定統計量為 t 值：
$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1, H_0}}{s.e.(\hat{\beta}_1)} = \frac{-0.525 - 0}{0.176} = \frac{-0.525}{0.176} \approx -2.983$
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
臨界值 $|t_{\alpha/2, df}| = |t_{0.025, 91}| \approx 1.985$ (使用近似值 $1.96$ 也可以)。
由於 $|t_{observed}| = |-2.983| = 2.983 > 1.985$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：
95% 信賴區間 $(-0.870, -0.180)$ 不包含 0。
假設檢定結果顯示，在 5% 的顯著水準下，我們拒絕 $\beta_1 = 0$ 的虛無假設。
因此，我們有統計上顯著的證據表明，魚的價格對其需求量有顯著影響。

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(c) (5 points) Why do we need to include the dummies for days of the week? Also, interpret the coefficients on those dummies.

1. 為什麼需要包含星期幾的虛擬變數？

我們需要包含星期幾的虛擬變數，是因為魚的需求量可能受到星期幾的影響。例如，人們可能在週末（如週四、週五）比工作日（週一至週三）購買更多的魚，或者有不同的消費習慣。如果我們不控制這些星期幾的差異，那麼星期幾對需求的影響可能會被錯誤地歸因於其他變數（如價格 $\log(P_t)$），導致迴歸係數產生遺漏變數偏誤（omitted variable bias）。

2. 解釋虛擬變數的係數

模型設定Friday為基準組（base group），表示當所有虛擬變數 (MON, TUE, WED, THUR) 皆為 0 時，模型為 Friday 的情況。
我們解釋每個虛擬變數的係數，代表該天相對於 Friday 的需求量的差異。

• $\hat{\beta}_2 = -0.311$ (MON): 在控制了價格和其他星期幾的影響後，相較於 Friday，星期一的魚的對數需求量預期會低 0.311。
• $\hat{\beta}_3 = -0.683$ (TUE): 相較於 Friday，星期二的魚的對數需求量預期會低 0.683。這個影響是所有星期幾中最大（負面）的，且統計上非常顯著 (***)。
• $\hat{\beta}_4 = -0.534$ (WED): 相較於 Friday，星期三的魚的對數需求量預期會低 0.534。
• $\hat{\beta}_5 = 0.0672$ (THUR): 相較於 Friday，星期四的魚的對數需求量預期會高 0.0672。但這個係數並不統計上顯著（p-value > 0.1）。

顯著性分析：

• MON: $t$-statistic = $-0.311 / 0.226 \approx -1.376$ (p-value > 0.1)
• TUE: $t$-statistic = $-0.683 / 0.223 \approx -3.063$ (p < 0.01)
• WED: $t$-statistic = $-0.534 / 0.220 \approx -2.427$ (p < 0.05)
• THUR: $t$-statistic = $0.0672 / 0.220 \approx 0.305$ (p > 0.1)

可以看出，週二和週三的需求量顯著低於週五，而週一和週四與週五相比，差異不顯著。

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(d) (5 points) Explain why the variable log(Pt) could be an endogenous variable, and find a suitable instrumental variable (IV).

1. 為什麼 log(Pt) 可能是內生變數 (Endogenous Variable)？

在迴歸模型中，如果一個解釋變數與誤差項 $u_t$ 相關，那麼該解釋變數就是內生變數。
在需求函數模型中，解釋變數是價格 $\log(P_t)$，而誤差項 $u_t$ 代表了除了價格、星期幾等已包含變數之外，所有影響需求量的其他因素。
價格 $\log(P_t)$ 可能與誤差項 $u_t$ 相關，原因如下：

• 供給端的變動： 魚的供給量也可能受到許多未包含在模型中的因素影響（例如，天氣、漁獲量、政府補貼等）。這些因素會同時影響供給曲線和需求曲線。當供給曲線移動時，市場均衡價格 $P_t$ 會改變，進而影響需求量 $Q_t$。如果這些影響供給的因素未被完全包含在誤差項 $u_t$ 中，那麼價格 $P_t$ 就會與 $u_t$ 相關。
• 反向因果關係： 雖然我們建立的是需求函數，但市場上的價格是供給和需求共同決定的。如果模型中的誤差項 $u_t$ 也包含了影響供給的隨機因素，那麼這些因素會同時影響價格和需求，導致價格與誤差項相關。

簡單來說，市場價格 $P_t$ 是由供給和需求共同決定的，如果誤差項 $u_t$ 包含了影響供給的隨機因素，那麼 $P_t$ 就會與 $u_t$ 相關。

2. 尋找合適的工具變數 (Instrumental Variable, IV)

一個好的工具變數 $Z$ 必須滿足兩個條件：
a. 相關性 (Relevance)： 工具變數 $Z$ 必須與內生解釋變數 $\log(P_t)$ 相關，即 $Cov(Z, \log(P_t)) \neq 0$。
b. 外生性 (Exogeneity)： 工具變數 $Z$ 必須與誤差項 $u_t$ 無關，即 $Cov(Z, u_t) = 0$。

在魚的需求函數模型中，我們可以考慮以下可能的工具變數：

• 其他魚類的價格： 如果我們研究的是特定種類魚的需求，那麼其他替代性魚類的價格可能影響該魚的價格（因為消費者可能會轉換購買），但它們對魚的數量需求 $Q_t$ 的直接影響（除了透過價格傳導外）可能較小，且不太可能直接受 $u_t$ 的影響。
• 捕撈成本相關變數： 例如，燃油價格、漁具價格、或勞動力成本等。這些因素會影響魚的供給成本，進而影響市場價格 $P_t$，但它們對魚的需求量 $Q_t$ 的直接影響（除了透過價格傳導外）可能較小，且不太可能直接受 $u_t$ 的影響。
• 政府補貼或政策變動： 影響漁業供給的政策變動，可能會影響價格，但對需求沒有直接影響。

一個具體的例子：
假設我們研究鮭魚的需求。我們可以考慮鯛魚的價格作為鮭魚價格 $\log(P_t)$ 的工具變數。

• 相關性： 鯛魚價格上漲，消費者可能轉向購買鮭魚，這會影響鮭魚的市場價格。