113 年 國立中央大學財務金融學系碩士班乙組《微積分》

本題考驗高斯積分的計算，核心觀念是利用二維積分與極座標變換來求解。

解題步驟如下：
令 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx$。
考慮 $I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) dx\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) dy\right)$。
將兩個積分合併成一個二維積分：
$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) dx dy$
$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2}\right) dx dy$

現在進行極座標變換。令 $x = r \cos\theta$ 且 $y = r \sin\theta$。
則 $x^2 + y^2 = r^2$。

本題考驗二維聯合機率密度函數求邊際機率密度函數的計算，核心觀念是將聯合密度函數對其中一個變數積分。

解題步驟如下：
聯合機率密度函數為
$f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(x^2 - 2\rho xy + y^2)\right)$
要求 $X$ 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$，我們需要對 $Y$ 進行積分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) dy$
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(x^2 - 2\rho xy + y^2)\right) dy$
令 $C = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}$。
$f_X(x) = C \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(x^2 - 2\rho xy + y^2)\right) dy$
我們需要關注指數部分。令 $Q(y) = y^2 - 2\rho xy + x^2$。
我們將對 $y$ 完成平方：
$Q(y) = (y^2 - 2\rho xy) + x^2 = \left(y - \rho x\right)^2 - (\rho x)^2 + x^2$
$Q(y) = (y - \rho x)^2 - \rho^2 x^2 + x^2 = (y - \rho x)^2 + (1-\rho^2)x^2$

將其代回積分式：
$f_X(x) = C \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left((y - \rho x)^2 + (1-\rho^2)x^2\right)\right) dy$
$f_X(x) = C \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(y - \rho x)^2}{2(1-\rho^2)}\right) \exp\left(-\frac{(1-\rho^2)x^2}{2(1-\rho^2)}\right) dy$

本題考驗計算曲線圍成的區域面積，核心觀念是找出兩函數的交點，並對兩函數的差值進行定積分。

解題步驟如下：
首先，我們需要找出兩函數 $f(x) = x^2 + x + 4$ 和 $g(x) = 3x + 7$ 的交點，即令 $f(x) = g(x)$：
$x^2 + x + 4 = 3x + 7$
$x^2 + x - 3x + 4 - 7 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解：
$(x-3)(x+1) = 0$
所以交點的 $x$ 座標為 $x = 3$ 和 $x = -1$。

接下來，我們需要確定在區間 $[-1, 3]$ 上，哪個函數的值較大。我們可以隨機選擇一個點，例如 $x=0$：
$f(0) = 0^2 + 0 + 4 = 4$
$g(0) = 3(0) + 7 = 7$
由於 $g(0) > f(0)$，所以在區間 $[-1, 3]$ 上，$g(x) \ge f(x)$。

區域的面積 $A$ 可以通過對兩函數的差值在交點之間進行定積分來計算：
$A = \int_{-1}^{3} (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_{-1}^{3} ((3x + 7) - (x^2 + x + 4)) dx$

本題考驗計算旋轉體體積，核心觀念是使用圓盤法或環狀法（Washer Method）來計算。由於是繞 $x$-軸旋轉，且兩曲線之間的區域被旋轉，我們將使用環狀法。

解題步驟如下：
首先，找出曲線 $y = x^2 + 7$ 和直線 $y = 2x + 10$ 的交點，以確定積分的上下限。
令 $x^2 + 7 = 2x + 10$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
交點的 $x$ 座標為 $x = -1$ 和 $x = 3$。

在區間 $[-1, 3]$ 上，我們需要確定哪個函數是外圍曲線（半徑較大）以及哪個是內圍曲線（半徑較小）。
我們可以在區間內任意取一點，例如 $x=0$：
$y_1 = 0^2 + 7 = 7$
$y_2 = 2(0) + 10 = 10$
由於 $y_2 > y_1$ 在 $x=0$ 時，所以直線 $y = 2x + 10$ 是外圍曲線（較大的半徑 $R(x)$），而曲線 $y = x^2 + 7$ 是內圍曲線（較小的半徑 $r(x)$）。
所以，$R(x) = 2x + 10$ 且 $r(x) = x^2 + 7$。

使用環狀法計算旋轉體的體積 $V$：
$V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] dx$
$V = \pi \int_{-1}^{3} [(2x + 10)^2 - (x^2 + 7)^2] dx$

展開平方項：
$(2x + 10)^2 = 4x^2 + 40x + 100$
$(x^2 + 7)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(7) + 7^2 = x^4 + 14x^2 + 49$

計算被積函數：
$R(x)^2 - r(x)^2 = (4x^2 + 40x + 100) - (x^4 + 14x^2 + 49)$
$= 4x^2 + 40x + 100 - x^4 - 14x^2 - 49$
$= -x^4 - 10x^2 + 40x + 51$

現在進行積分：
$V = \pi \int_{-1}^{3} (-x^4 - 10x^2 + 40x + 51) dx$
$V = \pi \left[-\frac{x^5}{5} - 10\frac{x^3}{3} + 40\frac{x^2}{2} + 51x\right]_{-1}^{3}$

本題考驗計算兩曲面所圍立體體積，核心觀念是使用疊積分，並考慮使用極座標或柱座標來簡化計算。

解題步驟如下：
我們需要計算由兩個曲面 $z = x^2+y^2$ (一個拋物面開口向上) 和 $z = 8-x^2-y^2$ (一個拋物面開口向下) 所圍成的區域體積。

首先，找出兩個曲面的交線，這將決定我們積分的區域。令兩個 $z$ 值相等：
$x^2+y^2 = 8-x^2-y^2$
$2x^2 + 2y^2 = 8$
$x^2 + y^2 = 4$
這個交線是一個圓，其在 $xy$-平面上的投影是半徑為 $2$ 的圓 $x^2 + y^2 = 4$。這個圓將是我們積分的區域 $D$。

體積 $V$ 可以表示為兩個曲面之間的高度差在區域 $D$ 上的積分：
$V = \iint_D (z_{upper} - z_{lower}) dA$
其中 $z_{upper} = 8-x^2-y^2$ (較高的曲面) 且 $z_{lower} = x^2+y^2$ (較低的曲面)。

$V = \iint_D ((8-x^2-y^2) - (x^2+y^2)) dA$
$V = \iint_D (8 - 2(x^2+y^2)) dA$

由於積分區域 $D$ 是圓 $x^2+y^2 \le 4$，使用極座標變換會非常方便。

核心觀念

本題考查二重積分的變數變換。使用公式：

$$\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \iint_S f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv,$$

其中 $S$ 是原區域 $R$ 在 $uv$-平面上的對應區域。

題目指定變換

$$x=4+\frac12u+\frac12v,\qquad y=v.$$

此變換的設計目的，是將被積函數中的 $2x-y$ 化簡。

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解題方法

由 $y=v$，得

$$2x-y = 2\left(4+\frac12u+\frac12v\right)-v = 8+u.$$

因此，被積函數化為

$$y^3(2x-y)\exp\left(\frac{(2x-y)^2}{4}\right) = v^3(8+u)\exp\left(\frac{(8+u)^2}{4}\right).$$

接著求 Jacobian：

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac12 & \dfrac12\\ 0&1 \end{vmatrix} = \frac12.$$

所以

$$dx\,dy=\frac12\,du\,dv.$$

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建立 $uv$-平面上的積分區域

原區域為

$$0\le y\le \frac32,\qquad -\frac y2\le x\le \frac{3-y}{2}.$$

因為 $y=v$，所以

$$0\le v\le \frac32.$$

將 $x=4+\frac12u+\frac12v$ 代入兩條邊界。

下界：

$$4+\frac12u+\frac12v=-\frac v2$$

整理得

$$u+2v=-8.$$

上界：

$$4+\frac12u+\frac12v=\frac{3-v}{2}$$

整理得

$$u+2v=-5.$$

因此，$uv$-平面上的區域為

$$S= \left\{ (u,v): 0\le v\le\frac32,\quad -8-2v\le u\le -5-2v \right\}.$$

故原積分變為

$$I= \frac12 \int_0^{3/2} \int_{-8-2v}^{-5-2v} v^3(8+u) \exp\left(\frac{(8+u)^2}{4}\right) \,du\,dv.$$

令

$$w=8+u,\qquad dw=du.$$

當 $u=-8-2v$ 時，$w=-2v$；當 $u=-5-2v$ 時，$w=3-2v$。因此

$$I= \frac12\int_0^{3/2}v^3 \int_{-2v}^{3-2v} w e^{w^2/4}\,dw\,dv.$$

由

$$\frac{d}{dw}\left(2e^{w^2/4}\right) = w e^{w^2/4},$$

可得

本題考驗計算多元函數在閉合區域上的絕對極值，核心觀念是比較臨界點和邊界上的極值。

解題步驟如下：
給定函數 $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 6x + 2$ 及其定義域 $D = \{(x,y) | 0 \le x \le 5, -3 \le y \le 0\}$。

第一步：尋找函數在定義域內部的臨界點。
計算偏導數並令其等於零：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 6$
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y$

令 $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$:

1. $2x + y - 6 = 0$
2. $x + 2y = 0 \implies x = -2y$

將 $x = -2y$ 代入第一個方程式：
$2(-2y) + y - 6 = 0$
$-4y + y - 6 = 0$
$-3y = 6$
$y = -2$

將 $y = -2$ 代回 $x = -2y$：
$x = -2(-2) = 4$

所以，臨界點是 $(4, -2)$。
檢查臨界點是否在定義域 $D$ 內：$0 \le 4 \le 5$ 且 $-3 \le -2 \le 0$。臨界點 $(4, -2)$ 在定義域內部。
計算函數在臨界點的值：
$f(4, -2) = (4)^2 + (4)(-2) + (-2)^2 - 6(4) + 2$
$= 16 - 8 + 4 - 24 + 2$
$= 8 + 4 - 24 + 2 = 12 - 24 + 2 = -12 + 2 = -10$

第二步：檢查定義域邊界上的極值。
定義域有四條邊界線：
邊界 1: $y = 0$, $0 \le x \le 5$。
在 $y=0$ 時，$f(x,0) = x^2 - 6x + 2$。令 $g(x) = x^2 - 6x + 2$。
$g'(x) = 2x - 6$。令 $g'(x) = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$。
臨界點 $(3, 0)$ 在邊界上。
計算函數值：
$f(3, 0) = 3^2 + 3(0) + 0^2 - 6(3) + 2 = 9 - 18 + 2 = -7$。
檢查端點：
$f(0, 0) = 0^2 + 0(0) + 0^2 - 6(0) + 2 = 2$。
$f(5, 0) = 5^2 + 5(0) + 0^2 - 6(5) + 2 = 25 - 30 + 2 = -3$。

邊界 2: $y = -3$, $0 \le x \le 5$。
在 $y=-3$ 時，$f(x,-3) = x^2 + x(-3) + (-3)^2 - 6x + 2 = x^2 - 3x + 9 - 6x + 2 = x^2 - 9x + 11$。
令 $h(x) = x^2 - 9x + 11$。
$h'(x) = 2x - 9$。