113 年 國立中央大學財務金融學系碩士班甲組《統計學》

這題主要在考察迴歸模型的假設、解釋變數的邊際效應、模型選擇以及估計量的性質。

核心觀念：迴歸模型的假設，邊際效應的計算，模型選用標準，以及 ceteris paribus 的意義。

(a) 迴歸模型的誤差項是否需要假設常態分配，取決於我們想做什麼推論。
若僅是為了估計模型的參數 (係數 $\beta_0, \beta_1, \beta_2$)，並得到其點估計值，則誤差項不需假設常態分配。OLS (Ordinary Least Squares) 估計量在誤差項不具常態性時，只要滿足其他經典迴歸假設 (如 E(ε|X) = 0, homoskedasticity, no autocorrelation)，仍為 BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)。
然而，若我們需要進行假設檢定 (hypothesis testing) 或建構信賴區間 (confidence intervals) 的話，則通常需要假設誤差項 $\epsilon_i$ 服從常態分配，或者樣本數夠大，可以利用中央極限定理 (Central Limit Theorem) 來近似常態性。常態性假設保證了在小樣本情況下，t 檢定統計量和 F 檢定統計量服從 t 分配和 F 分配。
在此題中，題目並未明確說明是否需要進行假設檢定或信賴區間的建構，但從後續問題 (b), (c), (d) 的問法來看，似乎是將此模型視為一個可行的模型，因此，如果要做統計推論（如檢定係數是否顯著不為零），則常態性假設是必要的。若只是單純的預測，則非必要。
【答案】若要進行假設檢定或建構信賴區間，則需要假設誤差項常態分配。若僅作點估計或預測，則非必要。

(b) 邊際效應是指當某一個解釋變數有微小變動時，對應變數的預期變動量。在此模型中，y 是每人 CO2 排放量，x 是每人 GDP。由於模型中包含了 $x^2$ 這個項，表示 y 與 x 之間並非線性關係，因此邊際效應會隨著 x 的值而改變。
邊際效應可由對 $\hat{y}$ 對 x 取微分得到：
$\frac{\partial \hat{y}}{\partial x} = 0.12 + 2 \times 0.0007 x = 0.12 + 0.0014 x$
這表示每人 GDP 每增加一個單位，預期每人 CO2 排放量會增加 $0.12 + 0.0014x$ 個單位。
題目要求的是 "the marginal effect of per capita GDP on per capita CO2 emission"，這通常是指在平均數 (mean) 下的邊際效應，或是當 x 為某特定值下的邊際效應。若無特別說明，則此公式本身就是邊際效應的表達式。
若要計算一個具體數值，需要知道 x 的平均值或某特定值。題目中提到有 50 個國家，但未提供 x 的平均值。因此，最完整的回答是提供變動的邊際效應公式。
【答案】邊際效應為 $\frac{\partial \hat{y}}{\partial x} = 0.12 + 0.0014x$。

(c) 是否保留二次項 ($x^2$)，主要考量模型的解釋力、經濟理論的合理性以及統計顯著性。
從統計顯著性來看，二次項 $x^2$ 的係數估計值為 0.0007，其標準誤為 0.0002。計算 t 統計量：
$t = \frac{0.0007}{0.0002} = 3.5$
這個 t 值通常會顯著 (p-value < 0.05)。這表示 $x^2$ 對解釋 y 的變異有顯著貢獻。
從經濟理論來看，CO2 排放量與 GDP 的關係通常不是線性的。隨著經濟發展 (GDP 增加)，初期可能 CO2 排放量快速增加 (正斜率、正曲率)，但當達到一定發展水平後，可能因為環保意識提升、技術進步、產業結構轉型等因素，CO2 排放量的成長會趨緩，甚至可能下降 (曲率轉變)。二次項可以捕捉這種非線性的關係，例如 U 型或倒 U 型關係。
因此，若 $x^2$ 係數在統計上顯著，且理論上允許這種非線性關係存在，則保留二次項可以提供更好的模型擬合度與解釋力。
【答案】是的，我會保留二次項。因為 $x^2$ 的係數估計值 (0.0007) 相對於其標準誤 (0.0002) 在統計上是顯著的 (t=3.5)，表示它對解釋 y 的變異有顯著貢獻。此外，CO2 排放量與 GDP 的關係在理論上可能呈現非線性，二次項可以捕捉這種關係，提供更好的模型擬合。

(d) Ceteris paribus 意指「其他條件不變」。在迴歸模型中，當我們談論某一個解釋變數的 ceteris paribus 效應時，是指在控制住模型中其他所有解釋變數不變的情況下，該解釋變數變動一個單位所造成的應變數的平均變動量。
在這個問題中，模型僅包含 x 和 $x^2$ 兩個解釋變數（相對於 y）。因此，當我們說 "ceteris paribus effect of per capita GDP on per capita CO2 emission conditional on a certain level of per capita GDP" 時，其實是指當 $x^2$ 這個變數（作為 GDP 的一個函數）被固定時，x 對 y 的影響。
然而，問題的關鍵在於 $x^2$ 本身就是 x 的函數，並不是一個獨立於 x 的變數。如果模型中只有 x，那麼 $\beta_1$ 就是 ceteris paribus 效應。但是，當模型同時包含 x 和 $x^2$ 時，我們不能直接將 $\beta_1$ (即 0.12) 解釋為 x 的 ceteris paribus 效應。
實際上，對於這個模型 $\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2$，當我們固定 x 的某個特定值 $x_0$ 時，y 的預測值為 $\hat{y}(x_0) = \beta_0 + \beta_1 x_0 + \beta_2 x_0^2$。
如果我們考慮 GDP 增加一個單位，從 $x_0$ 到 $x_0+1$，則預測值的變化為：
$\Delta \hat{y} = \hat{y}(x_0+1) - \hat{y}(x_0) = [\beta_0 + \beta_1 (x_0+1) + \beta_2 (x_0+1)^2] - [\beta_0 + \beta_1 x_0 + \beta_2 x_0^2]$

這題旨在考察迴歸模型中，當解釋變數和應變數進行中心化 (centering) 後，迴歸係數的變化。

核心觀念：迴歸係數的定義，變數轉換對迴歸係數的影響。

我們有兩個迴歸模型：
Model A: $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$
Model B: $y^* = \gamma_0 + \gamma_1 x^* + u$, 其中 $y^* = y - \mu_y$, $x^* = x - \mu_x$

我們需要找出 $\beta_1$ 和 $\gamma_1$ 之間的關係。

首先，我們從 Model A 的迴歸係數定義來分析。在 OLS 估計下，模型 A 的迴歸係數 $\beta_1$ 可以表示為：
$\beta_1 = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\text{Var}(x)}$
其中 $\text{Cov}(x, y)$ 是 x 和 y 的共變異數，$\text{Var}(x)$ 是 x 的變異數。
由於 $E(y) = \mu_y$ 且 $E(x) = \mu_x$，我們有：
$\text{Cov}(x, y) = E[(x - E(x))(y - E(y))] = E[(x - \mu_x)(y - \mu_y)]$
$\text{Var}(x) = E[(x - E(x))^2] = E[(x - \mu_x)^2]$

現在我們來看 Model B。
Model B 的迴歸係數 $\gamma_1$ 可以表示為：
$\gamma_1 = \frac{\text{Cov}(x^*, y^*)}{\text{Var}(x^*)}$
其中 $x^* = x - \mu_x$ 且 $y^* = y - \mu_y$。

我們來計算 $\text{Cov}(x^*, y^*)$ 和 $\text{Var}(x^*)$：
$\text{Cov}(x^*, y^*) = E[(x^* - E(x^*))(y^* - E(y^*))]$
首先，計算 $E(x^*)$ 和 $E(y^*)$：
$E(x^*) = E(x - \mu_x) = E(x) - E(\mu_x) = \mu_x - \mu_x = 0$ (因為 $\mu_x$ 是常數)
$E(y^*) = E(y - \mu_y) = E(y) - E(\mu_y) = \mu_y - \mu_y = 0$ (因為 $\mu_y$ 是常數)

所以，
$\text{Cov}(x^*, y^*) = E[(x^* - 0)(y^* - 0)] = E[x^* y^*]$
$\text{Cov}(x^*, y^*) = E[(x - \mu_x)(y - \mu_y)]$
這個結果與 Model A 中的 $\text{Cov}(x, y)$ 是相同的。
$\text{Cov}(x^*, y^*) = \text{Cov}(x, y)$

接著，計算 $\text{Var}(x^*)$：
$\text{Var}(x^*) = E[(x^* - E(x^*))^2] = E[(x^* - 0)^2] = E[(x^*)^2]$
$\text{Var}(x^*) = E[(x - \mu_x)^2]$
這個結果與 Model A 中的 $\text{Var}(x)$ 是相同的。
$\text{Var}(x^*) = \text{Var}(x)$

將這些結果代入 $\gamma_1$ 的公式：
$\gamma_1 = \frac{\text{Cov}(x^*, y^*)}{\text{Var}(x^*)} = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\text{Var}(x)}$

這題是典型的獨立樣本 t 檢定問題，用於比較兩組獨立樣本的平均值是否存在顯著差異。

核心觀念：獨立樣本 t 檢定的假設，假設檢定的步驟，p 值與顯著水準的比較。

(a) 進行獨立樣本 t 檢定，需要以下假設：

1. 獨立性 (Independence)：兩組樣本（上課組與對照組）的觀察值之間是相互獨立的。也就是說，一個學生的成績不應該影響其他學生的成績。題目中提到「隨機分派」(randomly assigned)，這有助於滿足此假設。
2. 常態性 (Normality)：兩組樣本的母體分數分佈應近似常態分配。由於樣本數分別為 $n_X = 20$ 和 $n_Y = 16$，這兩個樣本數都小於 30，因此常態性假設比較重要。如果樣本數足夠大（例如大於 30），則可以依賴中央極限定理，即使母體不完全常態，樣本平均數的抽樣分佈也會近似常態。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of Variances)：兩組樣本的母體變異數相等。也就是說，上課組的成績變異程度與對照組的成績變異程度應該相同。這是一個常見的假設，若此假設不成立，則需要使用 Welch's t-test。

題目要求「根據這些估計值作為假設檢定的基礎」，因此上述假設是必須的。
【答案】1. 兩組樣本（上課組與對照組）的觀察值相互獨立。2. 兩組母體分數分佈近似常態分配。3. 兩組母體變異數相等。

(b) 我們要檢定：
虛無假說 $H_0$: 預修課程沒有效果，即兩組學生的平均分數相同。($\mu_X = \mu_Y$)
對立假說 $H_1$: 預修課程能提升平均分數，即上課組的平均分數高於對照組。($\mu_X > \mu_Y$)
這是一個單尾檢定 (one-tailed test)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

樣本資訊：
上課組 (X): $n_X = 20$, $\bar{X} = 68.8$, $S_x^2 = 400$
對照組 (Y): $n_Y = 16$, $\bar{Y} = 67.8$, $S_y^2 = 256$

由於我們假設兩組母體的變異數相等，我們需要先計算合併變異數 (pooled variance, $S_p^2$)。
$S_p^2 = \frac{(n_X - 1)S_x^2 + (n_Y - 1)S_y^2}{n_X + n_Y - 2}$
$S_p^2 = \frac{(20 - 1)(400) + (16 - 1)(256)}{20 + 16 - 2}$
$S_p^2 = \frac{19 \times 400 + 15 \times 256}{34}$

這題考驗對 Bernoulli 試驗、樣本平均數的期望值與變異數的理解，以及無偏估計量的概念。

核心觀念：Bernoulli 分配的期望值與變異數，樣本平均數的期望值與變異數，無偏估計量。

我們有一個長度為 $N=120$ 的 Bernoulli 試驗序列 $\{X_i\}_{i=1}^{120}$，其中 $P(X_i=1) = p$ 且 $P(X_i=0) = 1-p$。
每個 $X_i$ 都是獨立同分布 (i.i.d.) 的。
$E(X_i) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p$
$Var(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 = (1^2 \times p + 0^2 \times (1-p)) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)$

(a) 樣本平均數 $\bar{X}$ 定義為：
$\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i$
其中 $N=120$。
我們要求 $\bar{X}$ 的期望值 $E(\bar{X})$。
$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i\right)$
利用期望值的線性性質：
$E(\bar{X}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} E(X_i)$
由於每個 $X_i$ 的期望值都是 $p$：
$E(\bar{X}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} p = \frac{1}{N} (N \times p) = p$
因此，樣本平均數 $\bar{X}$ 的期望值等於母體參數 $p$。
【答案】$E(\bar{X}) = p$。

(b) 題目問「Is the percentage of rainy days over the 120-day period an unbiased estimator of $p$?」。

這題主要考察 R-squared (決定係數) 和 adjusted R-squared (調整後決定係數) 的特性，特別是當模型加入一個與應變數不相關的解釋變數時。

核心觀念：R-squared 的定義與性質，adjusted R-squared 的定義與性質，加入無關變數對 R-squared 和 adjusted R-squared 的影響。

Let $SSR_A$ be the sum of squared residuals for Model A, and $SST$ be the total sum of squares for $y_t$.
Let $SSR_B$ be the sum of squared residuals for Model B.
The number of observations is $T$.
The number of parameters in Model A is $k_A = 4$ (intercept $\beta_0$, $\beta_1, \beta_2, \beta_3$).
The number of parameters in Model B is $k_B = 5$ (intercept $\beta_0$, $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$).

R-squared ($R^2$)
$R^2$ is defined as $R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}$.
$R^2$ measures the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s).
When a new variable is added to a regression model, the sum of squared residuals ($SSR$) can either decrease or stay the same. It will never increase.
Since $x_{4t}$ is an irrelevant variable and is not related to $y_t$, it is unlikely to explain any variation in $y_t$. However, due to random chance or sampling variability, it's possible that $x_{4t}$ might be correlated with the residuals of Model A, leading to a decrease in $SSR_B$ compared to $SSR_A$. In the best-case scenario, if $x_{4t}$ is truly uncorrelated with $y_t$ and the errors $\epsilon_t$, its estimated coefficient $\beta_4$ would be close to zero, and $SSR_B$ would be very close to $SSR_A$. In the worst-case scenario, if $\beta_4$ is estimated to be non-zero, $SSR_B$ will be strictly less than $SSR_A$ (unless $\beta_4$ is exactly zero and $x_{4t}$ is perfectly collinear with other predictors, which is not the case here).
Since $SSR_B \le SSR_A$ (and likely $SSR_B < SSR_A$), and $SST$ is the same for both models (as $y_t$ is the same), the term $\frac{SSR}{SST}$ will decrease (or stay the same) when moving from Model A to Model B.
Therefore, $R^2$ for Model B will be greater than or equal to $R^2$ for Model A. It is highly probable that $R^2$ will increase.
So, the answer for $R^2$ is yes, it will likely be higher.

Adjusted R-squared ($Adj. R^2$)
Adjusted $R^2$ is defined as:
$Adj. R^2 = 1 - \frac{SSR/(T-k)}{SST/(T-1)}$
where $k$ is the number of parameters in the model (including the intercept).
The adjusted $R^2$ adjusts the $R^2$ for the number of predictors in the model. It penalizes the addition of unnecessary predictors.

Let $R_A^2$ and $Adj. R_A^2$ be the R-squared and adjusted R-squared for Model A.
Let $R_B^2$ and $Adj. R_B^2$ be the R-squared and adjusted R-squared for Model B.

We know $R_B^2 \ge R_A^2$. Will $Adj. R_B^2$ be higher than $Adj. R_A^2$?

Let's look at the formula for adjusted $R^2$:
$Adj. R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} \frac{T-1}{T-k} = R^2 - \left(\frac{SSR}{SST}\right) \frac{k-1}{T-k}$
$Adj. R^2 = R^2 - \frac{k-1}{T-k}(1-R^2)$

Model B has one more predictor ($x_{4t}$) than Model A. So, $k_B = k_A + 1$.
The number of parameters for Model A is $k_A = 4$.
The number of parameters for Model B is $k_B = 5$.
The number of observations is $T = 50$ (from question 1, although it's not explicitly stated for Q5, we assume it's the same context or a general property). Let's assume $T$ is the number of observations.

$Adj. R_A^2 = 1 - \frac{SSR_A/(T-4)}{SST/(T-1)}$
$Adj. R_B^2 = 1 - \frac{SSR_B/(T-5)}{SST/(T-1)}$

When we add a new variable ($x_{4t}$) to Model A to get Model B:

1. $SSR_B \le SSR_A$.
2. The number of parameters increases from $k_A$ to $k_B = k_A+1$. This increases the penalty term in the adjusted $R^2$ formula. The term $\frac{T-1}{T-k}$ increases as $k$ increases.

The adjusted $R^2$ will increase if and only if the $R^2$ increases by more than what is required to compensate for the increased number of parameters.
Specifically, $Adj. R_B^2 > Adj. R_A^2$ if and only if $R_B^2$ is sufficiently larger than $R_A^2$.
The condition for adjusted $R^2$ to increase when adding a variable is:
$R_B^2 > 1 - \left(\frac{T-k_A}{T-k_B}\right)(1-R_A^2)$
where $k_A = 4$ and $k_B = 5$.
$R_B^2 > 1 - \left(\frac{T-4}{T-5}\right)(1-R_A^2)$

Since $x_{4t}$ is an irrelevant variable, its coefficient $\beta_4$ is expected to be close to zero. If $\beta_4$ is truly zero, then $SSR_B$ will be very close to $SSR_A$. In this case, adding the v

這題主要考察隨機變數轉換、期望值與變異數的計算，特別是當指數函數的指數部分服從特定分佈時。這與金融學中的 Black-Scholes 模型有一定關聯。

核心觀念：隨機變數的期望值與變異數，指數函數的性質，均勻分佈，常態分佈。

給定 $S_T = S_0 e^{u + \epsilon}$，其中 $S_0$ 和 $u$ 是常數。
$\ln(\frac{S_T}{S_0}) = u + \epsilon$。

(a) 導出 $E(S_T)$ (當 $\epsilon \sim U(c,d)$)

我們需要計算 $E(S_T) = E(S_0 e^{u + \epsilon})$。
由於 $S_0$ 和 $u$ 是常數，我們可以將它們提出期望值運算：
$E(S_T) = S_0 e^u E(e^\epsilon)$

現在我們需要計算 $E(e^\epsilon)$，其中 $\epsilon \sim U(c,d)$。
對於一個連續型隨機變數 $\epsilon$ 具有機率密度函數 (PDF) $f(\epsilon)$，其期望值 $E(g(\epsilon))$ 為 $\int_{-\infty}^{\infty} g(\epsilon) f(\epsilon) d\epsilon$。
對於均勻分佈 $U(c,d)$，其 PDF 為：
$f(\epsilon) = \begin{cases} \frac{1}{d-c} & \text{if } c \le \epsilon \le d \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
我們要求 $E(e^\epsilon)$：
$E(e^\epsilon) = \int_{c}^{d} e^\epsilon \left(\frac{1}{d-c}\right) d\epsilon$
$E(e^\epsilon) = \frac{1}{d-c} \int_{c}^{d} e^\epsilon d\epsilon$
$E(e^\epsilon) = \frac{1}{d-c} [e^\epsilon]_{c}^{d}$
$E(e^\epsilon) = \frac{1}{d-c} (e^d - e^c)$

將此結果代回 $E(S_T)$ 的公式：
$E(S_T) = S_0 e^u \left(\frac{e^d - e^c}{d-c}\right)$

【答案】$E(S_T) = S_0 e^u \left(\frac{e^d - e^c}{d-c}\right)$。

(b) 導出 $Var(S_T)$ (當 $\epsilon \sim U(c,d)$)

我們需要計算 $Var(S_T) = Var(S_0 e^{u + \epsilon})$。
由於 $S_0$ 和 $u$ 是常數，我們可以利用變異數的性質：$Var(aX+b) = a^2 Var(X)$。
令 $X = e^\epsilon$, $a = S_0 e^u$, $b = 0$。
$Var(S_T) = Var(S_0 e^u e^\epsilon) = (S_0 e^u)^2 Var(e^\epsilon) = S_0^2 e^{2u} Var(e^\epsilon)$

現在我們需要計算 $Var(e^\epsilon)$，其中 $\epsilon \sim U(c,d)$。
$Var(e^\epsilon) = E[(e^\epsilon)^2] - [E(e^\epsilon)]^2 = E(e^{2\epsilon}) - [E(e^\epsilon)]^2$

我們已經計算了 $E(e^\epsilon) = \frac{e^d - e^c}{d-c}$。
現在計算 $E(e^{2\epsilon})$：
$E(e^{2\epsilon}) = \int_{c}^{d} e^{2\epsilon} \left(\frac{1}{d-c}\right) d\epsilon$
$E(e^{2\epsilon}) = \frac{1}{d-c} \int_{c}^{d} e^{2\epsilon} d\epsilon$
$E(e^{2\epsilon}) = \frac{1}{d-c} \left[\frac{e^{2\epsilon}}{2}\right]_{c}^{d}$
$E(e^{2\epsilon}) = \frac{1}{d-c} \left(\frac{e^{2d}}{2} - \frac{e^{2c}}{2}\right)$
$E(e^{2\epsilon}) = \frac{e^{2d} - e^{2c}}{2(d-c)}$

現在計算 $Var(e^\epsilon)$:
$Var(e^\epsilon) = \frac{e^{2d} - e^{2c}}{2(d-c)} - \left(\frac{e^d - e^c}{d-c}\right)^2$

這題是典型的貝氏定理 (Bayes' Theorem) 應用題，用於計算在已知檢測結果的情況下，某人真正患病的機率。

核心觀念：貝氏定理，條件機率，檢測的敏感度與特異度。

我們定義以下事件：
C: 一個人被 COVID-19 污染 (Contaminated)
H: 一個人是健康的 (Healthy)
P: 檢測結果為陽性 (Positive test)
N: 檢測結果為陰性 (Negative test)

根據題目給定的資訊：

1. 檢測的敏感度 (Sensitivity)：被感染者中，檢測為陽性的機率。
   $P(P|C) = 0.9$
2. 檢測的特異度 (Specificity)：健康者中，檢測為陰性的機率。
   $P(N|H) = 0.9$
   由此可推得，健康者中，檢測為陽性的機率 (False Positive Rate)：
   $P(P|H) = 1 - P(N|H) = 1 - 0.9 = 0.1$
3. 檢測的偽陰性率 (False Negative Rate)：被感染者中，檢測為陰性的機率。
   $P(N|C) = 1 - P(P|C) = 1 - 0.9 = 0.1$

我們希望計算的是，在檢測結果為陽性的情況下，此人真正被污染的機率，即 $P(C|P)$。
根據貝氏定理：
$P(C|P) = \frac{P(P|C) P(C)}{P(P)}$
其中 $P(P)$ 是檢測結果為陽性的總機率，可由全機率公式計算：
$P(P) = P(P|C) P(C) + P(P|H) P(H)$
由於一個人不是被污染就是健康，所以 $P(C) + P(H) = 1$。

(a) 區域 50% 人口被污染

此時，感染的先驗機率 (prior probability) 為：
$P(C) = 0.50$
$P(H) = 1 - P(C) = 1 - 0.50 = 0.50$

首先計算 $P(P)$：
$P(P) = P(P|C) P(C) + P(P|H) P(H)$
$P(P) = (0.9)(0.50) + (0.1)(0.50)$
$P(P) = 0.45 + 0.05 = 0.50$

現在計算 $P(C|P)$：
$P(C|P) = \frac{P(P|C) P(C)}{P(P)} = \frac{(0.9)(0.50)}{0.50} = 0.9$
所以，如果該區域 50% 的人口被污染，且檢測結果為陽性，則該人真正被污染的機率是 90%。

【答案】0.9

(b) 區域 1% 人口被污染

此時，感染的先驗機率為：
$P(C) = 0.01$
$P(H) = 1 - P(C) = 1 - 0.01 = 0.99$

這題是關於金融衍生性商品定價，特別是基於歷史機率的簡單合約定價。定價的基礎是期望值。在風險中立的世界（或假設風險中立，因為無風險利率為零），合約的價格等於其未來預期支付的折現值。在此題中，無風險利率為零，所以折現值就是期望值。

核心觀念：期望值，機率，資產價格變動的機率分佈。

我們有以下資訊：

• 當前 TWSE 指數 $S_0 = 16000$。
• 無風險利率 $r = 0$。
• 每日報酬率的平均值 $E(r) = 0$。
• 每日報酬率的標準差 $\sigma = 0.01$。
• 合約為一日合約。

每日報酬率 $r$ 可以表示為 $r = \frac{S_1 - S_0}{S_0}$，其中 $S_1$ 是明日的指數。
所以，$S_1 = S_0 (1+r)$。

我們假設每日報酬率 $r$ 服從某種分佈，其平均值為 0，標準差為 0.01。
在 (a) 和 (b) 中，我們需要計算 TWSE 指數在明日的特定值。

(a) 定價一個合約：如果明日 TWSE 指數大於 16160，則支付 1 美元。

合約的價格等於其預期支付的折現值。由於 $r=0$，折現因子為 $e^{-r \times 1} = e^0 = 1$。
所以，合約價格 = $1 \times P(S_1 > 16160)$。
我們需要計算 $P(S_1 > 16160)$。
$S_1 = S_0 (1+r) = 16000 (1+r)$。
所以，我們需要 $16000 (1+r) > 16160$。
$1+r > \frac{16160}{16000} = \frac{1616}{1600} = \frac{404}{400} = \frac{101}{100} = 1.01$。
$r > 0.01$。

題目給了每日報酬率的平均值為 0，標準差為 0.01。
然而，題目並沒有明確說明報酬率的分佈。在金融建模中，通常假設報酬率服從對數常態分佈 (log-normal distribution)，或者報酬率本身服從常態分佈。
如果我們假設每日報酬率 $r$ 服從常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu=0$ 且 $\sigma=0.01$。
那麼我們需要計算 $P(r > 0.01)$。
讓 $Z = \frac{r - \mu}{\sigma}$，則 $Z \sim N(0,1)$。
$P(r > 0.01) = P\left(\frac{r - 0}{0.01} > \frac{0.01 - 0}{0.01}\right) = P(Z > 1)$。
查標準常態分佈表，$P(Z > 1) \approx 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$。

所以，合約價格 $\approx 0.1587$ 美元。

重要說明： 題目中「平均值為 0，標準差為 0.01」這句話，如果是指「簡單報酬率」的平均值和標準差，則上述常態分佈的假設是合理的。如果是指「對數報酬率」的平均值和標準差，則計算會有所不同。在沒有明確說明的情況下，我們通常假設是指簡單報酬率。

(b) 定價一個合約：如果明日 TWSE 指數大於 15840，則支付 1 美元。

同樣地，合約價格 = $1 \times P(S_1 > 15840)$。
我們需要 $16000 (1+r) > 15840$。
$1+r > \frac{15840}{16000} = \frac{1584}{1600} = \frac{396}{400} = \frac{99}{100} = 0.99$。
$r > -0.01$。

假設 $r \sim N(0, 0.01^2)$。
$P(r > -0.01) = P\left(\frac{r - 0}{0.01} > \frac{-0.01 - 0}{0.01}\right) = P(Z > -1)$。
由於標準常態分佈是對稱的，$P(Z > -1) = P(Z < 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$。

所以，合約價格 $\approx 0.8413$ 美元。

對題目的進一步思考：
題目說「平均值為 0，標準差為 0.01」。這是一個非常簡潔的描述。
在金融學中，資產價格通常假設服從對數常態分佈。如果 $S_t$ 服從對數常態分佈，那麼 $\ln(S_t)$ 服從常態分佈。
假設每日對數報酬率 $\ln(\frac{S_1}{S_0}) \sim N(\mu, \sigma^2)$。
題目給的「平均值為 0，標準差為 0.01」很可能是指對數報酬率的平均值和標準差。
即 $\mu = 0$ 且 $\sigma = 0.01$。

核心觀念

樣本平均數與樣本中位數都是由樣本資料計算出的統計量。其「抽樣分配」是指：從母體獨立抽取大小為 $3$ 的隨機樣本時，統計量各種可能取值及其機率。

母體平均數為

$$\mu=E(X)=0\cdot\frac13+2\cdot\frac13+4\cdot\frac13=2.$$

若估計量 $\hat\mu$ 的期望值等於母體參數 $\mu$，即 $E(\hat\mu)=\mu$，則稱 $\hat\mu$ 為 $\mu$ 的不偏估計量。

(a) 樣本平均數的抽樣分配

令 $X_1,X_2,X_3$ 為三個獨立觀察值，且各自以相同機率取 $0,2,4$。為方便計數，先將每個觀察值除以 $2$，令 $Y_i=X_i/2$，則 $Y_i$ 可能為 $0,1,2$，各自的機率均為 $1/3$。

設 $S=Y_1+Y_2+Y_3$。三個觀察值的組合數由下列生成函數係數給出：

$$(1+z+z^2)^3 =1+3z+6z^2+7z^3+6z^4+3z^5+z^6.$$

總樣本組合數為 $3^3=27$，所以 $S=0,1,\ldots,6$ 的機率分別是上述係數除以 $27$。由於

$$\bar X=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}=\frac{2S}{3},$$

樣本平均數的抽樣分配如下：

$\bar X$	$0$	$\frac23$	$\frac43$	$2$	$\frac83$	$\frac{10}{3}$	$4$
機率	$\frac1{27}$	$\frac3{27}$	$\frac6{27}$	$\frac7{27}$	$\frac6{27}$	$\frac3{27}$	$\frac1{27}$

(a) 樣本中位數的抽樣分配

將三個觀察值由小到大排列後，中間的觀察值即為樣本中位數。

中位數為 $0$，須至少有兩個觀察值等於 $0$。恰有兩個 $0$ 的排列數為 $\binom32 2=6$，三個皆為 $0$ 的排列數為 $1$，因此

$$P(\text{中位數}=0)=\frac{6+1}{27}=\frac7{27}.$$

同理，中位數為 $4$ 時須至少有兩個觀察值等於 $4$，所以