113 年 國立中央大學財務金融學系碩士班甲組《財務管理》

核心觀念

本題考查：

1. 負債權益比率 $D/E$。
2. 資本資產定價模型（CAPM）：
   $r_E=r_f+\beta_E(r_M-r_f)$
3. 加權平均資金成本（WACC）：
   $WACC=\frac{E}{D+E}r_E+\frac{D}{D+E}r_D$
4. Modigliani–Miller（MM）定理：
   • 無稅、無交易成本且市場完美時，公司資本結構不影響公司總價值。
   • 因此，有負債公司的 WACC 等於相同營業風險之全權益公司的資金成本。
5. 國家戰爭風險與經理人代理問題對資金成本的影響。

題目符合 MM 定理的標準教科書設定，因此負債可視為以無風險利率融資，故：

$r_D=r_f=3\%$

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解題方法

已知：

• 股權市值：$E=12$ 百萬美元
• 負債市值：$D=6$ 百萬美元
• 總資本：
  $V=D+E=6+12=18\text{ 百萬美元}$
• 無風險利率：$r_f=3\%$
• 市場投資組合預期報酬率：$r_M=8\%$
• 公司股權 beta：$\beta_E=1.4$

市場風險溢酬為：

$r_M-r_f=8\%-3\%=5\%$

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i. 負債權益比率

負債權益比率定義為：

$\frac{D}{E}=\frac{6}{12}=0.5$

因此：

$$$$

亦可表示為 $1:2$，即每 $1$ 美元股權搭配 $0.5$ 美元負債。

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ii. 公司的加權平均資金成本

第一步：計算股權資金成本

利用 CAPM：

$r_E=r_f+\beta_E(r_M-r_f)$

代入數值：

$r_E=3\%+1.4(8\%-3\%)$

$r_E=3\%+1.4(5\%)=3\%+7\%=10\%$

因此，公司的股權資金成本為：

$r_E=10\%$

第二步：計算資本權重

股權權重：

$\frac{E}{V}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

負債權重：

$\frac{D}{V}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

第三步：計算 WACC

因為公司無須繳納所得稅，故不需要稅盾調整：

$WACC=\frac{E}{V}r_E+\frac{D}{V}r_D$

代入 $r_E=10\%$、$r_D=3\%$：

$WACC=\frac{2}{3}(10\%)+\frac{1}{3}(3\%)$

$WACC=6.6667\%+1\%=7.6667\%$

因此：

$$$$

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iii. 相同公司的全權益資金成本

在 MM 無稅定理下，公司的 WACC 不因負債與股權比例改變而改變。因此，相同營業風險但完全沒有負債的公司，其資金成本等於 Grace Inc. 的 WACC：

$r_A=WACC$

所以：

$$$$

其中 $r_A$ 表示公司資產或營業資產的資金成本，也就是全權益公司的資金成本。

以資產 beta 驗算

本題主要在探討 CEO 的個人利益、公司資本結構、專案選擇以及代理問題之間的關係。CEO 的薪酬結構和個人風險偏好會影響其對公司專案的決策。同時，公司負債的性質也與股東權益的風險有關。

核心觀念：

• 風險厭惡程度與決策選擇的關係。
• 股東權益的選擇權性質 (Call Option)。
• 代理問題 (Agency Problem) 中的個人利益與公司利益衝突。
• 人力資本 (Human Capital) 與公司風險的關聯。

解題過程：

i. CEO 薪酬全為現金，如何選擇專案？

情境分析：

• CEO 的個人財富與薪酬緊密相關。
• 專案一：大 NPV，降低公司總風險。
• 專案二：小 NPV，增加公司總風險。
• CEO 的薪酬是現金。

核心觀念： 現金薪酬使 CEO 的個人財富與現金流直接掛鉤。CEO 的決策將基於最大化其個人現金流和報酬，同時考量其個人風險偏好。

決策：
如果 CEO 是風險中性或風險厭惡的，他會選擇專案一。
原因：

1. 最大化 NPV： 專案一有較大的 NPV，意味著它能為公司（以及 CEO 的現金薪酬）創造更多的價值。
2. 降低風險： 專案一能降低公司總風險。對於風險厭惡的 CEO 來說，降低公司總體風險意味著未來現金流的波動性降低，這對其個人財富穩定性有利。即使 CEO 的薪酬是現金，但現金流的穩定性也很重要。如果公司總風險降低，其現金流的預期穩定性會提高，這對一個風險厭惡的個體是有吸引力的。

另一種解釋（較少見，但值得考慮）： 如果 CEO 極度追求高報酬，且不在乎風險，他可能會選擇 NPV 較大的專案一。但題目中未說明 CEO 的風險偏好，一般情況下，CEO 應具備一定的風險厭惡性，或者至少會考量現金流的穩定性。題目提到「個人財富與 compensation 緊密 tied」，這表示他會關心報酬。

更嚴謹的思考： CEO 的決策取決於他對現金流風險的個人偏好。

• 若 CEO 風險厭惡： 他會選擇專案一，因為它有較大的 NPV 且降低了公司總風險，這能帶來更穩定的現金流，符合他個人對穩定性的偏好。
• 若 CEO 風險中性： 他會選擇 NPV 最大的專案，即專案一。
• 若 CEO 風險愛好： （這種情況較少，且通常不適用於 CEO 決策）他可能會選擇 NPV 較小但風險較高的專案二。

假設 CEO 是理性且風險中性的，或略帶風險厭惡（這是較為標準的假設），那麼選擇 NPV 最大的專案一。

【答案】選擇專案一，因為它有較大的 NPV，能為公司創造更多價值，同時降低公司總風險，這對風險中性的 CEO 而言是最佳選擇，或對風險厭惡的 CEO 而言，能帶來更穩定的現金流。

ii. 股東權益視為公司資產的買權 (Call Option)

情境分析：

• Designer Inc. 擁有某些債務。
• 股東權益被比喻為對公司資產的買權。

核心觀念： 債務是一種融資工具，它有固定到期日和約定的償還金額。公司的資產價值波動。當公司資產價值高於債務總額時，股東有權獲得資產的剩餘價值（扣除債務後）。當公司資產價值低於債務總額時，股東可以選擇不償還債務，放棄公司資產，並將損失限制在初始投資（股權價值）範圍內。這種權利結構類似於買權。

解釋：
買權 (Call Option) 賦予持有人在特定時間以特定價格（履約價）購買資產的權利，但非義務。

1. 資產： 在這個比喻中，公司的總資產是買權的標的資產。
2. 履約價： 公司債務的總額（包括本金和應付利息）相當於買權的履約價。
3. 權利：
   • 資產價值 > 債務總額： 股東的權益價值為 (公司資產總價值 - 債務總額)。他們可以行使權利，保留資產的剩餘價值，這就像買權的持有人以低於市價的價格購買資產。

本題旨在證明，若 CAPM 對於市場上的個別證券成立，則其對於任何投資組合 (Portfolio) 也必然成立。

核心觀念： CAPM 的核心是證券的預期報酬與其系統性風險 (Beta) 之間的線性關係。此關係具有可加性，因此適用於證券組合。

證明過程：

假設 CAPM 對於市場上的任何個別證券 $i$ 成立，其形式為：
$E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$
其中：

• $E(R_i)$ 是證券 $i$ 的預期報酬率。
• $R_f$ 是無風險利率。
• $\beta_i$ 是證券 $i$ 的 Beta 值，衡量其系統性風險。
• $E(R_m)$ 是市場投資組合的預期報酬率。
• $[E(R_m) - R_f]$ 是市場風險溢價 (Market Risk Premium)。

現在，考慮一個由 $n$ 種證券組成的投資組合 $P$。該投資組合的權重分別為 $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}$，且 $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$。

1. 投資組合的預期報酬率：
投資組合 $P$ 的預期報酬率 $E(R_P)$ 是其組成證券預期報酬率的加權平均：
$E(R_P) = \sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i)$

由於 CAPM 對於每個證券 $i$ 都成立，我們可以將 CAPM 公式代入上式：
$E(R_P) = \sum_{i=1}^{n} w_i [R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)]$

本題主要考察債券的存續期間 (Duration) 概念，包括 Macaulay Duration 的定義、存續期間與價格對利率變動敏感度的關係，以及永續債存續期間的推導。

核心觀念：

• Macaulay Duration：衡量債券現金流回收時間的加權平均值。
• Modified Duration：衡量債券價格對利率變動的敏感度。
• 債券價格與到期殖利率的關係。

v. Macaulay Duration 的定義

Macaulay Duration ($d$) 是債券現金流回收時間的加權平均值，其中權重為各期現金流現值佔債券總價格的比例。

假設一個債券有 $T$ 期，每期支付的票息為 $c$，面值為 $FV$ (通常假設為 1 或 100)，到期殖利率為 $y$。
則債券的價格 $p$ 為：
$p = \sum_{t=1}^{T} \frac{c}{(1+y)^t} + \frac{FV}{(1+y)^T}$
(請注意，若票息是每年支付一次，則 $c$ 是每期支付的金額；若票息率是年票息率，則每期票息為 $c \times FV$。為簡化，這裡假設 $c$ 已是每期支付的金額，且 $FV=100$ 或 1，若題目未指定，可假設 $FV=100$。)

Macaulay Duration ($d$) 的定義為：
$d = \frac{\sum_{t=1}^{T} t \times \frac{c}{(1+y)^t} + T \times \frac{FV}{(1+y)^T}}{p}$

其中：

• $t$ 是現金流發生的時間點 (期數)。
• $\frac{c}{(1+y)^t}$ 是第 $t$ 期票息的現值。
• $\frac{FV}{(1+y)^T}$ 是最後一期面值的現值。
• $p$ 是債券的市場價格。

簡單來說，Macaulay Duration 是將每一期現金流的發生時間乘以該期現金流的現值佔總現值（即債券價格）的比例，然後加總所有期數。

【答案】Macaulay Duration ($d$) 定義為債券各期現金流現值加權平均的發生時間，其權重為該期現金流現值佔債券總價格的比例，公式為：
$d = \frac{\sum_{t=1}^{T} t \times \frac{c}{(1+y)^t} + T \times \frac{FV}{(1+y)^T}}{p}$

vi. 證明存續期間與價格-收益敏感度呈負相關

核心觀念： 債券價格對殖利率變動的敏感度 (Price-Yield Sensitivity) 通常用 Modified Duration (修正存續期間) 來衡量。Modified Duration 與 Macaulay Duration 密切相關。

證明：

首先，我們從 Macaulay Duration 的定義出發，推導債券價格 $p$ 對殖利率 $y$ 的一階導數。
$p = \sum_{t=1}^{T} c(1+y)^{-t} + FV(1+y)^{-T}$

對 $p$ 對 $y$ 微分：
$\frac{dp}{dy} = \sum_{t=1}^{T} c(-t)(1+y)^{-t-1} + FV(-T)(1+y)^{-T-1}$
$\frac{dp}{dy} = -\sum_{t=1}^{T} \frac{tc}{(1+y)^{t+1}} - \frac{T \cdot FV}{(1+y)^{T+1}}$

為了與 Macaulay Duration 的定義式連結，我們將上式乘以 $(1+y)$：
$(1+y) \frac{dp}{dy} = -\sum_{t=1}^{T} \frac{tc}{(1+y)^{t}} - \frac{T \cdot FV}{(1+y)^{T}}$
$(1+y) \frac{dp}{dy} = - \left( \sum_{t=1}^{T} \frac{tc}{(1+y)^{t}} + \frac{T \cdot FV}{(1+y)^{T}} \right)$

觀察括號中的部分，它正是 Macaulay Duration ($d$) 的分子。
所以，$(1+y) \frac{dp}{dy} = - (\text{Numerator of } d)$

而 Macaulay Duration 的定義是 $d = \frac{\text{Numerator of } d}{p}$。
因此，Numerator of $d = d \times p$。

代入上式：
$(1+y) \frac{dp}{dy} = - d \times p$

接著，我們定義債券價格對殖利率變動的敏感度，通常是相對變動，即 Modified Duration ($D_{mod}$)。
$D_{mod} = -\frac{1}{p} \frac{dp}{dy}$

從上面的推導，我們有 $\frac{dp}{dy} = -\frac{d \times p}{1+y}$。
代入 $D_{mod}$ 的定義：
$D_{mod} = -\frac{1}{p} \left( -\frac{d \times p}{1+y} \right)$
$D_{mod} = \frac{d}{1+y}$

價格-收益敏感度 (Price-Yield Sensitivity)：
債券價格的相對變動 $\frac{\Delta p}{p}$ 約等於 $-\text{Modified Duration} \times \Delta y$。
$\frac{\Delta p}{p} \approx - D_{mod} \times \Delta y$
$\frac{\Delta p}{p} \approx -\frac{d}{1+y} \times \Delta y$

從這個公式可以看出，債券價格的變動 ($\Delta p$) 與殖利率的變動 ($\Delta y$) 之間存在一個負相關關係，這個關係的強度由 Modified Duration ($D_{mod}$ 或 $\frac{d}{1+y}$) 來衡量。

證明負相關：
當殖利率 $y$ 上升 ($\Delta y > 0$) 時，由於 $-\frac{d}{1+y}$ 是負值，所以 $\frac{\Delta p}{p}$ 為負值，表示債券價格

本題在於解釋股利折現模型 (Dividend Discount Model, DDM) 中成長率的決定方式。

核心觀念：
股利折現模型 (DDM) 根據未來股利預期來估計股票價值。其中，股利成長率是模型的核心假設之一，也是影響股價估計的關鍵因素。成長率的決定並非單一方法，而是需要綜合考量多種因素。

成長率的決定方式：

1. 永續股利成長模型 (Gordon Growth Model) 的成長率：
   在最簡單的單期或多期 DDM 的極端情況下，當假設股利以固定比例穩定成長時，其成長率 $g$ 通常被假設為：
   $g = \text{Retention Ratio} \times \text{Return on Equity}$
   $g = b \times ROE$
   其中：

   • $b$ (Retention Ratio, 留存比率) = $1 - \text{Dividend Payout Ratio}$ (股利發放率)。這是公司將盈利再投資於業務的比例。
   • $ROE$ (Return on Equity, 股東權益報酬率) 是公司利用其股東權益創造利潤的能力。

   這個公式的邏輯是：公司將一部分盈利保留下來（$b$），並將這部分保留盈利用於投資，如果這些投資能夠產生 $ROE$ 的報酬，那麼公司的股利（或資產）就能以 $b \times ROE$ 的速度成長。

2. 歷史成長率 (Historical Growth Rate)：
   分析公司過去幾年的股利發放數據，計算股利的平均年增長率。

   • 方法： 可以使用簡單平均法或幾何平均法（如計算股利複合年成長率 CAGR）。
   • 優點： 客觀，基於實際數據。
   • 缺點： 過去表現不一定代表未來。公司的經營環境、策略可能發生重大變化。

本題探討在「企業社會責任 (CSR) 對企業財務績效影響」的研究中，所使用的 OLS 迴歸模型可能面臨的內生性 (Endogeneity) 問題，以及其對迴歸係數 $\beta_1$ 的偏誤影響。

核心觀念：

• 內生性 (Endogeneity)： 在迴歸分析中，當解釋變數 (如 CSR) 與誤差項 ($u_{i,t}$) 之間存在相關性時，OLS 估計量將會產生偏誤 (biased) 且不一致 (inconsistent)。
• 企業社會責任 (CSR) 與財務績效 (ROA)： 這兩者之間可能存在複雜的雙向因果關係，以及受到其他共同因素的影響。
• OLS 估計的偏誤： 內生性會導致對 $\beta_1$ 的估計值偏離真實值。

第一部分：內生性的三大主要原因 (50 字內)

1. 遺漏變數偏誤 (Omitted Variable Bias)： 未納入迴歸模型的關鍵變數同時影響 CSR 和 ROA。
2. 反向因果關係 (Reverse Causality)： ROA 的高低可能反過來影響 CSR 的投入或表現。
3. 測量誤差偏誤 (Measurement Error Bias)： CSR 或 ROA 的測量存在誤差，且誤差項與解釋變數相關。

第二部分：三種內生性原因的來源解釋 (200 字內)

在 CSR 與財務績效的關係中，內生性問題非常普遍：

1. 遺漏變數偏誤：
   • 來源： 許多未被模型捕捉的因素，例如公司治理品質、管理層能力、創新投入、行業特性（如競爭激烈程度）、宏觀經濟環境等，都可能同時影響公司投入 CSR 的程度以及其財務績效。例如，一家治理良好的公司可能同時更注重 CSR 並有更好的 ROA。若這些因素被遺漏，則 CSR 與 ROA 的關係估計將產生偏誤。