113 年 國立成功大學工業與資訊管理學系研究所乙組《統計學》

此題考驗對條件機率和獨立性檢定的理解。首先計算在 B 組中偏好 Option I 的機率，接著進行獨立性檢定。

步驟一：計算 P(Option I | Group B)
由表格可知，Group B 的總人數為 $280 + 210 = 490$ 人。
其中偏好 Option I 的人數為 280 人。
因此，從 Group B 中隨機抽取一人，其偏好 Option I 的機率為：
$P(\text{Option I} | \text{Group B}) = \frac{\text{Number of people in Group B who prefer Option I}}{\text{Total number of people in Group B}} = \frac{280}{490} = \frac{28}{49} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$

步驟二：檢定選項偏好是否獨立於組別
為了檢定選項偏好是否獨立於組別，我們可以進行 Chi-squared 獨立性檢定。
首先，計算期望次數 (Expected Counts)，假設選項偏好與組別是獨立的。
總人數 N = 555 (由題幹 3. 知道，此處為 230+250+280+210=970)

• $E(\text{Group A, Option I}) = \frac{\text{Row Total A} \times \text{Column Total I}}{\text{Grand Total}} = \frac{(230+250) \times (230+280)}{970} = \frac{480 \times 510}{970} \approx 252.37$
• $E(\text{Group A, Option II}) = \frac{480 \times (250+210)}{970} = \frac{480 \times 460}{970} \approx 227.63$

核心觀念

設：

• $A$：年報酬率超過 $2\%$
• $B$：三年報酬率超過 $15\%$

題目給定：

$$|A|=\frac{20}{2}=10$$ $$|B|=6$$ $$|A\cap B|=3$$

所求事件是年報酬率低於 $2\%$ 且三年報酬率低於 $15\%$，即 $A^c\cap B^c$，也就是同時不屬於 $A$ 與 $B$ 的股票。

使用集合的容斥原理：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

而補集關係為：

$$|A^c\cap B^c|=20-|A\cup B|$$

解題方法

先計算至少符合一項條件的股票數：

$$|A\cup B|=10+6-3=13$$

其中交集的 $3$ 檔股票被同時計入 $|A|$ 與 $|B|$，因此必須扣除一次。

所以同時未達兩項報酬率門檻的股票數為：

$$|A^c\cap B^c|=20-13=7$$

抽出一檔股票時，所求機率為：

此題考驗對離散機率分佈的期望值 (E(X)) 和變異數 (Var(X)) 的計算，以及求解機率質量函數中的常數 k。

步驟一：求解常數 k
機率質量函數 (PMF) 的總和必須為 1。
$\sum_{x=-1}^{3} f(x) = 1$
$f(-1) = k^{-1}(2+(-1)^2) = 3k^{-1}$
$f(0) = k^{-1}(2+0^2) = 2k^{-1}$
$f(1) = k^{-1}(2+1^2) = 3k^{-1}$
$f(2) = k^{-1}(2+2^2) = 6k^{-1}$
$f(3) = k^{-1}(2+3^2) = 11k^{-1}$
將這些加總：
$3k^{-1} + 2k^{-1} + 3k^{-1} + 6k^{-1} + 11k^{-1} = 1$
$(3+2+3+6+11)k^{-1} = 1$
$25k^{-1} = 1$
$k = 25$
所以，機率質量函數為：
$f(x) = \frac{1}{25}(2+x^2), \quad \text{for } x = -1, 0, 1, 2, 3$
且 $f(x)=0$ 其他情況。

計算各點的機率值：
$f(-1) = \frac{1}{25}(2+(-1)^2) = \frac{3}{25}$
$f(0) = \frac{1}{25}(2+0^2) = \frac{2}{25}$
$f(1) = \frac{1}{25}(2+1^2) = \frac{3}{25}$
$f(2) = \frac{1}{25}(2+2^2) = \frac{6}{25}$
$f(3) = \frac{1}{25}(2+3^2) = \frac{11}{25}$

步驟二：計算期望值 E(X)
$E(X) = \sum_{x=-1}^{3} x \cdot f(x)$

此題考驗對常態分佈 (Normal Distribution) 性質的理解，特別是線性組合的期望值與變異數，以及獨立隨機變數的性質。

已知：

• $X \sim N(\mu_X=12, \sigma_X^2=4)$，所以 $E(X) = 12$, $Var(X) = 4$。
• $Y \sim N(\mu_Y=20, \sigma_Y^2=5)$，所以 $E(Y) = 20$, $Var(Y) = 5$。
• X 和 Y 是獨立的。
• $W = 2X + Y$。

我們要求的是 $Var(2W + 5)$。

步驟一：求解 W 的期望值和變異數
由於 X 和 Y 是獨立的，且它們是常態分佈的，它們的線性組合 W 也是常態分佈的。

• $E(W) = E(2X + Y) = 2E(X) + E(Y) = 2(12) + 20 = 24 + 20 = 44$。

核心觀念

訪客到達間隔服從指數分布，平均每分鐘到達 8 人，因此到達率為

$$\lambda=8\ \text{人／分鐘}$$

若 $T$ 表示下一位訪客到達所需的時間，則

$$T\sim \operatorname{Exponential}(\lambda)$$

指數分布的尾端機率為

$$P(T>t)=e^{-\lambda t}$$

「接下來半分鐘沒有人造訪」等價於「下一位訪客的到達時間超過 $0.5$ 分鐘」。

解題方法

代入 $\lambda=8$、$t=0.5$：

$$P(T>0.5)=e^{-8(0.5)}$$ $$=e^{-4}$$

因此，接下來半分鐘沒有訪客的機率為

$$\boxed{e^{-4}}$$

數值約為

$$e^{-4}\approx 0.0183$$

亦即約 $1.83\%$。

也可從卜瓦松過程理解：若每分鐘平均到達 8 人，則半分鐘內的到達人數 $N(0.5)$ 服從

$$N(0.5)\sim\operatorname{Poisson}(8\times0.5) =\operatorname{Poisson}(4)$$

所以

$$P(N(0.5)=0) =\frac{e^{-4}4^0}{0!} =e^{-4}$$

選項分析

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem) 和樣本統計量性質的理解，特別是如何利用樣本均值的極值來估計母體標準差。

題目提到「抽樣 30 個樣本並計算其平均值」，這暗示了我們可能在考慮樣本均值的分佈。
「長期測試結果顯示 5% 的樣本平均值超過 2.5，且 5% 的樣本平均值小於 2」。
這意味著：

• $P(\bar{X} > 2.5) = 0.05$
• $P(\bar{X} < 2) = 0.05$

根據中央極限定理，當樣本數 $n=30$ 時，樣本均值 $\bar{X}$ 的分佈近似於常態分佈，其平均值為母體平均值 $\mu$，標準差為母體標準差 $\sigma$ 除以樣本數的平方根 $\sqrt{n}$ (即標準誤 $\sigma_{\bar{X}} = \sigma / \sqrt{n}$)。
所以，$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$。

從 $P(\bar{X} > 2.5) = 0.05$ 和 $P(\bar{X} < 2) = 0.05$，我們可以推斷出 $\bar{X}$ 的分佈是對稱的，並且其平均值 $\mu$ 位於 2 和 2.5 的中間。
$\mu = \frac{2 + 2.5}{2} = \frac{4.5}{2} = 2.25$

現在，我們利用標準常態分佈的性質來找出 $\sigma_{\bar{X}}$。
對於標準常態分佈 Z，我們知道 $P(Z > z_{0.05}) = 0.05$ 且 $P(Z < -z_{0.05}) = 0.05$。
查 Z 表可知，$z_{0.05} \approx 1.645$。

此題考驗對母體平均數信賴區間 (Confidence Interval for Population Mean) 的計算。由於母體標準差未知，且樣本數不大，我們需要使用 t 分佈。

步驟一：計算樣本統計量
樣本數據：95, 89, 76, 88, 90, 100, 90, 92, 98。
樣本數 $n = 9$。

計算樣本平均值 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{95+89+76+88+90+100+90+92+98}{9} = \frac{818}{9} \approx 90.8889$

計算樣本標準差 $s$：
首先計算樣本變異數 $s^2$。
$s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
計算離差平方和：
$(95-90.8889)^2 \approx 16.89$
$(89-90.8889)^2 \approx 3.57$
$(76-90.8889)^2 \approx 221.69$
$(88-90.8889)^2 \approx 8.35$
$(90-90.8889)^2 \approx 0.79$
$(100-90.8889)^2 \approx 82.97$
$(90-90.8889)^2 \approx 0.79$
$(92-90.8889)^2 \approx 1.23$
$(98-90.8889)^2 \approx 50.57$
離差平方和 $\sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 16.89 + 3.57 + 221.69 + 8.35 + 0.79 + 82.97 + 0.79 + 1.23 + 50.57 \approx 386.85$

核心觀念

本題考查「母體比例之信賴區間」與「樣本數估計」。

在信賴水準 $1-\alpha$ 下，母體比例 $p$ 的估計誤差上限為

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

其中：

• $E$：誤差上限，本題為 $0.03$
• $z_{\alpha/2}$：標準常態分配臨界值
• $p$：母體比例的先驗估計
• $n$：所需樣本數

本題要求估計違約比例，且「沒有其他母體資訊」，因此採用最保守的比例估計：

$$p=0.5$$

因為 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時達到最大值：

$$p(1-p)=0.5(1-0.5)=0.25$$

這會得到足以控制誤差的最大樣本數。

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解題方法

1. 判定信賴區間臨界值

信賴水準為 $98\%$，因此

$$\alpha=1-0.98=0.02$$

雙尾檢定需將兩側尾端各分配為 $0.01$，所以臨界值為

$$z_{\alpha/2}=z_{0.01}=z_{0.99}$$

由標準常態分配表，通常取

$$z_{0.99}\approx 2.33$$

2. 推導樣本數公式

由

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

兩邊平方：

$$E^2=z_{\alpha/2}^2\frac{p(1-p)}{n}$$

整理得

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^2p(1-p)}{E^2}$$

代入 $z_{\alpha/2}=2.33$、$p=0.5$、$E=0.03$：

$$n=\frac{(2.33)^2(0.5)(0.5)}{(0.03)^2}$$ $$n=\frac{5.4289\times 0.25}{0.0009}$$

此題考驗對常態分佈 (Normal Distribution) 的應用，特別是如何計算某個值超過特定門檻的機率。

已知母體分佈為常態分佈：

• 平均值 $\mu = 500$
• 標準差 $\sigma = 100$

我們要求的是「每日平均消費額超過 700」的機率，即 $P(X > 700)$。

步驟一：將問題標準化 (計算 Z 分數)
我們將 X 值轉換為標準常態分佈 Z 值，其中 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

此題考驗對樣本總和 (Sum of Samples) 的分佈性質，特別是當母體為常態分佈時，樣本總和的分佈。

已知母體分佈為常態分佈：

• 平均值 $\mu = 500$
• 標準差 $\sigma = 100$

我們抽取一個樣本，樣本大小 $n=3$。
我們關心的是「樣本總和」的機率。令 $X_1, X_2, X_3$ 為樣本中的三個觀測值。
我們要求的是 $P(X_1 + X_2 + X_3 < 1292)$。

令 $T = X_1 + X_2 + X_3$ 為樣本總和。
由於母體 $X_i$ 服從常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$，且各樣本獨立，
樣本總和 T 服從常態分佈，其平均值和變異數為：

• $E(T) = E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = n \mu$
  $E(T) = 3 \times 500 = 1500$。
• $Var(T) = Var(X_1 + X_2 + X_3) = Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)$ (由於獨立性)

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用，特別是在母體分佈未知的情況下，對樣本總和的分佈進行推論。

已知母體：

• 平均值 $\mu = 500$
• 標準差 $\sigma = 100$
• 母體分佈未知。

我們抽取樣本，樣本大小 $n=50$。
我們要求的是「樣本總和」落在 23,000 到 26,000 之間的機率，即 $P(23000 < T < 26000)$，其中 $T = X_1 + X_2 + ... + X_{50}$。

根據中央極限定理 (CLT)，即使母體分佈未知，當樣本數 $n$ 足夠大時 (通常 $n \ge 30$)，樣本總和 T 的分佈近似於常態分佈。
樣本總和 T 的平均值和標準差為：

• $E(T) = n \mu = 50 \times 500 = 25000$。
• $Var(T) = n \sigma^2 = 50 \times (100)^2 = 50 \times 10000 = 500000$。
• $\sigma_T = \sqrt{Var(T)} = \sqrt{500000} = \sqrt{50 \times 10000} = 100 \sqrt{50} = 100 \sqrt{25 \times 2} = 100 \times 5 \sqrt{2} = 500\sqrt{2} \approx 500 \times 1.4142 = 707.1$。

所以，T 近似服從常態分佈 $N(25000, 500000)$。

我們要求的是 $P(23000 < T < 26000)$。

此題考驗對統計檢定的基本假設陳述的理解，特別是獨立性檢定中的虛無假設與對立假設。

這個研究的目的是探討「家庭收入」與「入住的度假村」之間是否存在關聯。這是一個典型的適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-squared Test of Independence) 的情境。

虛無假設 ($H_0$): 兩個分類變數是獨立的。
在此情境下，虛無假設表示「家庭收入」與「選擇的度假村」是獨立的。也就是說，一個人選擇入住哪個度假村與他們的家庭收入水平沒有關係。

此題考驗對卡方獨立性檢定 (Chi-squared Test of Independence) 的實際操作與結論解釋。

步驟一：陳述虛無假設與對立假設
如問題 (a) 所述：
$H_0$: 家庭收入與選擇的度假村是獨立的。
$H_1$: 家庭收入與選擇的度假村不是獨立的。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

步驟二：計算期望次數 (Expected Counts)
在卡方獨立性檢定中，我們假設 $H_0$ 為真，然後計算在 $H_0$ 為真時，各儲存格的期望次數 $E_{ij}$。
期望次數的公式為：$E_{ij} = \frac{(\text{列合計}) \times (\text{行合計})}{\text{總計}}$。
總計 = 555。

• Less than 250K:
  $E_{11} = \frac{98 \times 247}{555} \approx 43.75$
  $E_{12} = \frac{98 \times 308}{555} \approx 54.25$
• 250K to 500K:
  $E_{21} = \frac{114 \times 247}{555} \approx 50.83$
  $E_{22} = \frac{114 \times 308}{555} \approx 63.17$
• 500K to 750K:
  $E_{31} = \frac{149 \times 247}{555} \approx 66.44$
  $E_{32} = \frac{149 \times 308}{555} \approx 82.56$
• 750K to 1000K:
  $E_{41} = \frac{91 \times 247}{555} \approx 40.57$
  $E_{42} = \frac{91 \times 308}{555} \approx 50.43$
• Above 1000K:
  $E_{51} = \frac{103 \times 247}{555} \approx 45.91$
  $E_{52} = \frac{103 \times 308}{555} \approx 57.09$

步驟三：計算卡方統計量 ($\chi^2$)
卡方統計量公式為：$\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數。

此題考驗對羅吉斯迴歸 (Logistic Regression) 結果的解讀，特別是如何根據 Minitab 輸出的係數來建立模型方程式。

羅吉斯迴歸模型的標準形式為：
$\ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ...$
其中 $p$ 是事件發生的機率 (在此為通過考試的機率)，$\beta_0$ 是截距項 (Constant)，$\beta_1, \beta_2, ...$ 是各預測變數的係數。

從 Minitab 的輸出中，我們可以看到：

• 截距項 (Constant) 的係數 (Coef) 為 -4.64843。
• 預測變數 StudyingHours 的係數 (Coef) 為 0.192944。
• 預測變數 Study Mate 的係數 (Coef) 為 1.40216。

此題考驗如何利用上一個問題 (4.a) 中建立的羅吉斯迴歸模型，計算特定條件下的事件發生機率。

從問題 (4.a) 我們得到的估計羅吉斯迴歸方程式是：
$\ln\left(\frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}\right) = -4.64843 + 0.192944 \times \text{StudyingHours} + 1.40216 \times \text{Study Mate}$
其中 $\hat{p}$ 是通過考試的機率。

根據題目給定的條件：

• 學生學習時數 StudyingHours = 20 小時。
• 該學生有讀書夥伴，所以 Study Mate = 1。

將這些值代入方程式：
$\ln\left(\frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}\right) = -4.64843 + 0.192944 \times (20) + 1.40216 \times (1)$

此題考驗對羅吉斯迴歸中 Odds Ratio (勝算比) 的解釋，特別是當一個預測變數從 0 變為 1 時，事件發生的勝算如何改變。

在羅吉斯迴歸中，預測變數的係數 $\beta$ 的指數 $e^\beta$ 就是該預測變數的 Odds Ratio。Odds Ratio 表示當該預測變數增加一個單位時，事件發生的勝算 (odds) 變化的比例。

在我們的模型中，Study Mate 是一個二元變數：

• Study Mate = 0 代表沒有讀書夥伴。
• Study Mate = 1 代表有讀書夥伴。

核心觀念

• Mann‑Whitney U 檢定：非參數檢定，用於比較兩個獨立樣本的分布是否有次序差異（不要求常態性）。
• 檢定假設
  • $H_0$：兩組觀測值的分布相同（或中位數相等）。
  • $H_1$：新製程的金屬硬化改進值較大（單尾右側檢定）。
• 統計量：
  $U = n_1n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1$
  其中 $n_1,n_2$ 為兩樣本大小，$R_1$ 為樣本 1（本題取 new）的秩和。

解題方法

1. 合併兩組資料，從小到大排列，給予 秩 (rank)，若有相同值則取平均秩（本題無重複）。
2. 計算新製程的秩和 $R_{\text{new}}$。
3. 代入 $U$ 公式得到 $U_{\text{new}}$。
4. 決定臨界值或 p 值：
   • 直接使用 Mann‑Whitney 完整分布表（$n_1=n_2=8$）查找單尾 $\alpha=0.05$ 的臨界值；
   • 或以 常態近似（$n_1,n_2\ge8$）計算 $z$，將 $U$ 轉換為標準分數。
5. 比較：若 $U_{\text{new}} \le$ 臨界值（或 $p<\alpha$），拒絕 $H_0$，認為新製程較佳；否則不拒絕。

計算步驟

1. 資料排序與秩分配

值	所屬樣本	秩
57	current	1
59	new	2
60	current	3
66	current	4
67	new	5
68	current	6
70	new	7
72	current	8
77	current	9
79	new	10
80	new	11
81	current	12
83	new	13
85	new	14
98	current	15
120	new	16

2. 新製程秩和 $R_{\text{new}}$

$R_{\text{new}} = 2+5+7+10+11+13+14+16 = 78$

3. 計算 $U_{\text{new}}$

核心觀念

• 配對樣本 t 檢定（paired‑t test）：用於比較同一單位在兩種處理下的平均差異。
• 假設
  • $H_0\!:\ \mu_d = 0$（新舊工藝差異的母體平均為 0）
  • $H_1\!:\ \mu_d > 0$（新工藝的平均改進比例大於舊工藝）
• 檢定統計量
  $t = \frac{\bar d}{s_d/\sqrt{n}}$
  其中 $\bar d$ 為差值樣本平均，$s_d$ 為差值樣本標準差，$n$ 為配對樣本數。
• 自由度 $df = n-1$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$（單尾檢定）。

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解題方法

1. 計算每對樣本的差值
   $d_i = \text{new}_i - \text{current}_i$

$$\begin{array}{c|cccccccc} i & 1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \text{current}&66&57&98&72&68&77&81&60\\ \text{new}&80&70&120&67&59&83&85&79\\ d_i &14&13&22&-5&-9&6&4&19 \end{array}$$

2. 求差值的樣本平均 $\bar d$

$$\bar d = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8} d_i = \frac{14+13+22-5-9+6+4+19}{8} = \frac{64}{8}=8.$$

3. 求差值的樣本變異數與標準差

$$s_d^2 = \frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1},\qquad s_d = \sqrt{s_d^2}.$$

計算每個 $(d_i-\bar d)^2$：