108 年 國立成功大學工業與資訊管理學系研究所甲組《統計學》

核心觀念

本題的核心觀念為單變量連續型隨機變數的變數變換（Transformation of Continuous Random Variables）。

若已知連續型隨機變數 $X$ 的機率密度函數（pdf）為 $f_X(x)$，且 $Y = g(X)$ 為 $X$ 的嚴格單調遞增（或遞減）函數，則可利用「單調變換法（Change-of-Variable Technique）」或「累積分配函數法（CDF Method）」推導出 $Y$ 的機率密度函數 $f_Y(y)$：

1. 單調變換公式：
   若 $y = g(x)$ 具備嚴格單調性（一對一），其反函數為 $x = g^{-1}(y)$，則 $Y$ 的 pdf 為： $$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|$$
2. 支撐集（Support）的對應映射：
   變換後的隨機變數 $Y$ 其定義域必須由原本 $X$ 的有效範圍經由 $g(x)$ 嚴格轉換求得。

---

解題方法

本題 $Y = 2X + 1$ 為線性變換，具有嚴格單調遞增性質，使用單調變換公式求解最為直接高效。

步驟一：求反函數及其 Jacobian（導數絕對值）

令 $y = g(x) = 2x + 1$，解出 $x$ 作為 $y$ 的函數：

$$x = g^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2}$$

計算對 $y$ 的微分與絕對值：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} \implies \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2}$$

步驟二：求 $Y$ 的支撐集（Support）

已知 $X$ 的支撐集為 $0 < x < 1$。
將 $x = \frac{y - 1}{2}$ 代入不等式：

$$0 < \frac{y - 1}{2} < 1$$

同乘以 2：

$$0 < y - 1 < 2$$

同加上 1：

$$1 < y < 3$$

步驟三：代入變換公式求解 $f_Y(y)$

將 $x = \frac{y - 1}{2}$ 及 $\left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2}$ 代入原 pdf：

核心觀念

本題評量隨機變數的線性組合之共變異數（Covariance）、**變異數（Variance）以及皮爾森相關係數（Pearson Correlation Coefficient）**的運算性質。核心公式與性質如下：

1. 獨立隨機變數之性質：若 $X$ 與 $Y$ 相互獨立，則其共變異數為零，即： $$\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$$
2. 共變異數的雙線性性質（Bilinearity）： $$\operatorname{Cov}(X, aY + bX) = a\operatorname{Cov}(X, Y) + b\operatorname{Cov}(X, X) = a\operatorname{Cov}(X, Y) + b\operatorname{Var}(X)$$
3. 線性組合的變異數：若 $X$ 與 $Y$ 獨立，則： $$\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y)$$
4. 相關係數定義： $$\rho(X, Z) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Z)}{\sigma_X \sigma_Z}$$

---

解題方法

由題意已知：

• $X$ 與 $Y$ 相互獨立，故 $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$。
• 標準差 $\sigma_X = 3 \implies \operatorname{Var}(X) = \sigma_X^2 = 3^2 = 9$。
• 標準差 $\sigma_Y = 4 \implies \operatorname{Var}(Y) = \sigma_Y^2 = 4^2 = 16$。
• $Z = Y - X$。

第一步：求解共變異數 $\operatorname{Cov}(X, Z)$

利用共變異數的線性展開性質：

$$\operatorname{Cov}(X, Z) = \operatorname{Cov}(X, Y - X)$$ $$= \operatorname{Cov}(X, Y) - \operatorname{Cov}(X, X)$$

因為 $X$ 與 $Y$ 獨立，$\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$，且任一隨機變數與自身的共變異數等於其變異數，即 $\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)$：

核心觀念

本題考驗**假說檢定（Hypothesis Testing）**中兩大核心指標的計算：

1. 二項分配（Binomial Distribution）：
   設隨機變數 $X$ 為 10 次獨立投擲中出現正面的次數。在成功機率（出現正面機率）為 $p$ 的條件下，$X \sim \text{Binomial}(n=10, p)$，其機率質量函數（PMF）為：
   $P(X = k) = \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 10$

2. 顯著水準（Significance Level, $\alpha$）：
   定義為型 I 錯誤（Type I Error）發生的機率，即「在虛無假說 $H_0$ 為真的條件下，檢定卻落在拒絕域（Rejection Region）而做出拒絕 $H_0$ 決策的機率」：
   $\alpha = P(\text{Reject } H_0 \mid H_0 \text{ is true})$

3. 檢定力（Power of the Test, $1 - \beta$）：
   定義為「在對立假說下的某一特定母數值（此處為 $p = 0.1$）為真的條件下，檢定正確拒絕 $H_0$ 的機率」：
   $\text{Power} = P(\text{Reject } H_0 \mid p = 0.1)$

---

解題方法與詳細推導

依題意建立假說：
$H_0: p = \frac{1}{2} \quad \text{vs.} \quad H_1: p \neq \frac{1}{2}$

檢定規則給定之拒絕域（Critical Region）為 $C = \{X = 0 \text{ 或 } X = 10\}$。

(a) 求檢定的顯著水準 $\alpha$

顯著水準即在 $p = \frac{1}{2}$ 之條件下，觀察值落在拒絕域的機率：
$\alpha = P\left(X \in \{0, 10\} \;\middle|\; p = \frac{1}{2}\right) = P\left(X = 0 \;\middle|\; p = \frac{1}{2}\right) + P\left(X = 10 \;\middle|\; p = \frac{1}{2}\right)$

由二項分配公式計算各別機率：
$P\left(X = 0 \;\middle|\; p = \frac{1}{2}\right) = \binom{10}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}$

核心觀念

本題評量常態母體變異數的雙尾信賴區間估計。

1. 基本假設：
   母體資料來自常態分佈 $X \sim N(\mu_T, \sigma_T^2)$，且母體平均數 $\mu_T$ 未知。
2. 樞紐變量（Pivotal Quantity）：
   設樣本數為 $n$，樣本變異數為 $S_T^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。
   根據常態抽樣分配理論，統計量： $$\frac{(n-1)S_T^2}{\sigma_T^2} \sim \chi^2(n-1)$$ 服從自由度為 $\nu = n - 1$ 的卡方分佈（Chi-Square Distribution）。
3. 雙尾信賴區間公式：
   母體變異數 $\sigma_T^2$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 雙尾信賴區間為： $$P\left( \chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1} \le \frac{(n-1)S_T^2}{\sigma_T^2} \le \chi^2_{\alpha/2, \, n-1} \right) = 1 - \alpha$$ 經由不等式移項整理，可得 $\sigma_T^2$ 的信賴區間為： $$\left[ \frac{(n-1)S_T^2}{\chi^2_{\alpha/2, \, n-1}}, \; \frac{(n-1)S_T^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1}} \right]$$ 其中 $\chi^2_{a, \, \nu}$ 代表自由度為 $\nu$ 之卡方分佈右尾面積為 $a$ 的臨界值。

---

解題方法

步驟一：計算樣本統計量

題幹中傳統方法（Traditional method）共 $n = 7$ 筆觀察值：

$$X = \{56, 66, 67, 58, 69, 62, 63\}$$

1. 樣本平均數（$\bar{X}$）：

   $$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^7 X_i}{7} = \frac{56 + 66 + 67 + 58 + 69 + 62 + 63}{7} = \frac{441}{7} = 63$$

2. 離均差平方和（$SS$）與樣本變異數（$S_T^2$）：
   計算各觀測值對平均數的離均差與平方：

   • $(56 - 63)^2 = (-7)^2 = 49$
   • $(66 - 63)^2 = (3)^2 = 9$
   • $(67 - 63)^2 = (4)^2 = 16$
   • $(58 - 63)^2 = (-5)^2 = 25$
   • $(69 - 63)^2 = (6)^2 = 36$
   • $(62 - 63)^2 = (-1)^2 = 1$
   • $(63 - 63)^2 = (0)^2 = 0$
   $$SS = (n-1)S_T^2 = \sum_{i=1}^7 (X_i - \bar{X})^2 = 49 + 9 + 16 + 25 + 36 + 1 + 0 = 136$$

核心觀念

本題屬於成對樣本（Matched-pairs / Paired Samples）的平均數差檢定。
當同一組受試者（7 位工人）分別接受兩種不同處理（傳統方法與新方法）時，觀測值彼此不獨立，應消除個體間差異（Block effect）。

令配對差值為 $D_i = X_{1i} - X_{2i}$（其中 $X_{1i}$ 為第 $i$ 位工人使用傳統方法的時間，$X_{2i}$ 為使用新方法的時間）。
假設母體差值服從常態分佈 $D \sim N(\mu_d, \sigma_d^2)$，因母體標準差 $\sigma_d$ 未知且樣本數為小樣本（$n = 7$），應採用成對樣本 $t$ 檢定（Paired $t$-test）。

相關公式：

• 配對差值樣本平均數：
  $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i$
• 配對差值樣本標準差：
  $s_d = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (d_i - \bar{d})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n d_i^2 - n\bar{d}^2}{n - 1}}$
• 檢定統計量：
  $t = \frac{\bar{d} - \mu_{d0}}{s_d / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$

---

解題方法

1. 資料整理與計算配對差值

定義配對差值 $d_i = \text{Traditional}_i - \text{New}_i$：

工人 $i$	傳統方法 ($X_{1i}$)	新方法 ($X_{2i}$)	差值 $d_i = X_{1i} - X_{2i}$	$d_i^2$
1	56	46	10	100
2	66	60	6	36
3	67	67	0	0
4	58	52	6	36
5	69	60	9	81
6	62	55	7	49
7	63	57	6	36
總和	—	—	$\sum d_i = 44$	$\sum d_i^2 = 338$

• 樣本數：$n = 7$
• 樣本平均差：
  $\bar{d} = \frac{44}{7} \approx 6.2857$
• 樣本變異數：
  $s_d^2 = \frac{\sum d_i^2 - n\bar{d}^2}{n - 1} = \frac{338 - 7 \times \left(\frac{44}{7}\right)^2}{6} = \frac{338 - \frac{1936}{7}}{6} = \frac{338 - 276.5714}{6} = \frac{61.4286}{6} \approx 10.2381$
• 樣本標準差：
  $s_d = \sqrt{10.2381} \approx 3.20$
• 平均數標準誤：
  $\text{SE}(\bar{d}) = \frac{s_d}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{10.2381}{7}} = \sqrt{1.4626} \approx 1.2094$

---

2. 假設檢定步驟

核心觀念

本題考查二項分配的常態近似（Normal Approximation to Binomial Distribution）以及在單尾假說檢定／驗收抽樣中，如何同時控制型 I 錯誤（Type I Error, $\alpha$）與型 II 錯誤（Type II Error, $\beta$）來決定最適樣本數 $n$ 與臨界值（Cutoff / Rejection Number）$r$。

1. 二項分配及其常態近似：
   設 $X$ 為樣本中不良品個數，則 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$，其期望值為 $E(X) = np$，變異數為 $\text{Var}(X) = np(1-p)$。當 $n$ 充分大時，根據中央極限定理：

   $$X \mathbin{\dot{\sim}} N\big(np,\, np(1-p)\big)$$

   標準化隨機變數為：

   $$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \mathbin{\dot{\sim}} N(0, 1)$$

2. 檢定條件與錯誤率對應：

   • 拒絕域為 $\{X \ge r\}$。
   • 條件 (i)：當真實不良率 $p_0 = 0.1$ 時，拒絕的機率不超過 $\alpha = 0.05$： $$P(X \ge r \mid p = 0.1) \le 0.05$$
   • 條件 (ii)：當不良率惡化至 $p_1 = 0.2$ 時，能正確拒絕（檢定力 $1 - \beta$）的機率大於 $1 - \beta = 0.95$（即型 II 錯誤 $\beta \le 0.05$）： $$P(X \ge r \mid p = 0.2) \ge 0.95$$
   • 標準常態分配臨界值：$z_{0.05} = 1.645$（滿足 $P(Z \ge 1.645) = 0.05$，$P(Z \ge -1.645) = 0.95$）。

---

解題方法

步驟一：依常態近似建立條件式

根據標準化公式：

1. 由條件 (i)，當 $p = 0.1$ 時：

   $$P(X \ge r) = P\left(Z \ge \frac{r - 0.1n}{\sqrt{0.1(0.9)n}}\right) \le 0.05$$

   由於標準常態分配右尾機率小於等於 $0.05$，其標準化邊界值必須大於等於 $z_{0.05} = 1.645$：

   $$\frac{r - 0.1n}{\sqrt{0.09n}} \ge 1.645 \implies r - 0.1n \ge 1.645 \times 0.3\sqrt{n} = 0.4935\sqrt{n} \quad \text{--- (1)}$$

2. 由條件 (ii)，當 $p = 0.2$ 時：

   $$P(X \ge r) = P\left(Z \ge \frac{r - 0.2n}{\sqrt{0.2(0.8)n}}\right) \ge 0.95$$

   由於標準常態分配右尾機率大於等於 $0.95$，其標準化邊界值必須小於等於 $-z_{0.05} = -1.645$：

   $$\frac{r - 0.2n}{\sqrt{0.16n}} \le -1.645 \implies r - 0.2n \le -1.645 \times 0.4\sqrt{n} = -0.658\sqrt{n} \quad \text{--- (2)}$$

步驟二：聯立求最小樣本數 $n$

結合式 (1) 與式 (2)，臨界值 $r$ 必須滿足區間：

$$0.1n + 0.4935\sqrt{n} \le r \le 0.2n - 0.658\sqrt{n}$$

核心觀念

本題考查假設檢定中型二誤差機率（Type II error probability, $\beta$）與檢定力（Power, $1-\beta$）的定義與計算。

1. 二項分配模型（Binomial Distribution）：
   自製程中隨機抽取容量為 $n$ 的樣本，設 $X$ 為不良品個數（nonconforming cans），則 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$： $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$$
2. 拒絕域與不拒絕域：
   檢定假設為 $H_0: p \le 0.1$ vs $H_1: p > 0.1$。
   題目設定之拒絕域（Rejection Region, $RR$）為： $$RR = \{X \ge r\}$$ 相對應之接受域（不拒絕域, Non-rejection Region, $NRR$）即為： $$NRR = \{X < r\} = \{X \le r - 1\}$$
3. 型二誤差機率（$\beta$）與檢定力（Power）定義：
   當真實母體比例為對立假設中的特定數值 $p = 0.25$ 時：
   • 型二誤差機率 $\beta(0.25)$：當 $p = 0.25$ 為真時，未拒絕 $H_0$ 的機率。 $$\beta(0.25) = P(\text{Fail to reject } H_0 \mid p = 0.25) = P(X < r \mid p = 0.25) = \sum_{k=0}^{r-1} \binom{n}{k} (0.25)^k (0.75)^{n-k}$$
   • 檢定力 $\text{Power}(0.25)$：當 $p = 0.25$ 為真時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。 $$\text{Power}(0.25) = 1 - \beta(0.25) = P(X \ge r \mid p = 0.25) = \sum_{k=r}^{n} \binom{n}{k} (0.25)^k (0.75)^{n-k}$$

---

解題方法

1. 前小題 (1) 之參數連結說明

第 (2) 題開頭指明「Based on your solutions in (1)」。在品管抽樣檢驗與本題組背景中，第 (1) 題通常有兩種常見命題型態：

• 型態 A（已求出具體數值 $n$ 與 $r$）：若第 (1) 題依據常見標準給定顯著水準 $\alpha$（如 $\alpha \le 0.05$）求出特定樣本數與臨界值 $(n, r)$，則代入該數值可求得精確數值解。
• 型態 B（符號推導與通用形式）：若第 (1) 題僅為建立決策準則與推導方程式，則以已知之 $(n, r)$ 表示通用機率函數與常態近似公式。

以下提供精確二項分配通式與大樣本常態近似表示法，考生在考場上無論前小題求出的 $(n, r)$ 數值為何，皆能直接對應作答。

2. 精確機率表示式（二項分配）

當真實不良率 $p = 0.25$ 時，$X \sim \text{Binomial}(n, 0.25)$：

• 型二誤差機率 $\beta$：

核心觀念

本題考核單因子變異數分析（One-Way ANOVA）在完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）下的基本假定（Assumptions）。

在單因子完全隨機設計中，統計模型設定為：

$$Y_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}$$

其中 $i = 1, 2, \dots, k$ 代表處理組別（本題 $k = 3$），$j = 1, 2, \dots, n_i$ 代表各組內的觀測值編號（本題各組 $n_i = 5$）。

欲進行變異數分析以檢定各處理平均數是否相等（$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$），對誤差項 $\varepsilon_{ij}$（或各組母體之觀測值 $Y_{ij}$）必須滿足三大核心假定：

1. 常態性假定（Normality）
2. 同質變異數假定（Homogeneity of Variances / Homoscedasticity）
3. 獨立性假定（Independence）

簡記為誤差項獨立且服從常態分配：

$$\varepsilon_{ij} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$$

亦即觀測值滿足：

$$Y_{ij} \overset{indep.}{\sim} N(\mu_i, \sigma^2)$$

---

解題方法

回答統計檢定的「基本假定」問答題時，應針對母體觀測值與誤差項兩種角度進行嚴謹且具條理的陳述：

1. 常態性（Normality）

• 數學定義：每個處理組（母體）的觀測值皆呈現常態分配，即誤差項服從常態分配： $$\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma_i^2) \quad \text{或} \quad Y_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$$
• 檢定與驗證方法：可利用常態機率圖（Normal Probability Plot / Q-Q Plot）或正式檢定（如 Shapiro-Wilk test、Kolmogorov-Smirnov test）進行診斷。

2. 變異數同質性（Homoscedasticity / Equal Variances）

• 數學定義：各個處理母體的變異數必須相等，即所有組別具有共同的母體變異數 $\sigma^2$： $$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2 = \sigma^2$$
• 本題數據特徵：由題幹給出的樣本變異數可知 $S_A^2 = 50$、$S_B^2 = 51$、$S_C^2 = 50$，數值極度接近，直觀上相當支持變異數相等的假定。

核心觀念

本題考查**單因子變異數分析（One-Way ANOVA）與完全隨機化設計（Completely Randomized Design, CRD）**之假設檢定及變異數分析表（ANOVA Table）的編製。

1. 基本假設：

   • 各處理群體皆服從常態分配：$X_{ij} \sim N(\mu_i, \sigma^2)$。
   • 各群體之變異數具同質性（Homoscedasticity）：$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma^2$。
   • 各樣本彼此獨立（Independent）。

2. 平方和分解定理（Sum of Squares Identity）：
   $SST = SSTR + SSE$

   • 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）：自由度 $df_T = n_T - 1$。
   • 處理平方和（Treatment Sum of Squares, $SSTR$）：組間變異，自由度 $df_{Tr} = k - 1$。
     $SSTR = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{\bar{X}})^2$
   • 誤差平方和（Error Sum of Squares, $SSE$）：組內變異，自由度 $df_E = n_T - k$。
     $SSE = \sum_{i=1}^{k} (n_i - 1) S_i^2$

3. 檢定統計量：
   在虛無假說成立下，檢定統計量服從 $F$ 分配：
   $F = \frac{MSTR}{MSE} = \frac{SSTR / (k - 1)}{SSE / (n_T - k)} \sim F(k - 1, \, n_T - k)$

---

解題方法

步驟一：建立假說

• 虛無假說 $H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$（三種處理之平均數相等）
• 對立假說 $H_1:$ 至少有兩個處理之平均數不相等

步驟二：計算各項樣本統計量與平方和

由題幹表格可知：

• 處理組數 $k = 3$（A、B、C）
• 各組樣本數皆為 $n_A = n_B = n_C = 5$，總樣本數 $n_T = 5 \times 3 = 15$
• 各組樣本平均數：$\bar{X}_A = 161, \, \bar{X}_B = 147, \, \bar{X}_C = 129$
• 各組樣本變異數：$S_A^2 = 50, \, S_B^2 = 51, \, S_C^2 = 50$

1. 總平均數（Grand Mean, $\bar{\bar{X}}$）：
   因各組樣本數相等，
   $\bar{\bar{X}} = \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B + \bar{X}_C}{3} = \frac{161 + 147 + 129}{3} = \frac{437}{3} \approx 145.67$

2. 處理平方和（$SSTR$）：
   $SSTR = \sum_{i=A, B, C} 5 \times (\bar{X}_i - \bar{\bar{X}})^2 = 5 \left[ \left(161 - \frac{437}{3}\right)^2 + \left(147 - \frac{437}{3}\right)^2 + \left(129 - \frac{437}{3}\right)^2 \right]$
   $= 5 \left[ \left(\frac{46}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(-\frac{50}{3}\right)^2 \right] = 5 \times \frac{2116 + 16 + 2500}{9} = 5 \times \frac{4632}{9} = \frac{7720}{3} \approx 2573.33$

3. 誤差平方和（$SSE$）：
   利用各組樣本變異數加權加總：
   $SSE = \sum_{i=A, B, C} (n_i - 1) S_i^2 = (5 - 1) \times 50 + (5 - 1) \times 51 + (5 - 1) \times 50$
   $= 4 \times (50 + 51 + 50) = 4 \times 151 = 604$