114 年 國立成功大學工業與資訊管理學系研究所甲組《統計學》

本題在考驗獨立事件的定義與相關機率性質。

首先，我們來分析每個選項：
(A) 獨立事件不代表互斥事件。互斥事件是指兩個事件不能同時發生，即 $\Pr(A \cap B) = 0$。而獨立事件是指一個事件的發生與否不影響另一個事件的發生機率。如果 A 和 B 是獨立事件且 $\Pr(A) \neq 0, \Pr(B) \neq 0$，則 $\Pr(A \cap B) = \Pr(A) \times \Pr(B) \neq 0$，這與互斥事件的定義矛盾。因此，此敘述「Events A and B are also exclusive」是錯誤的。

(B) 對於任意兩個事件 A 和 B，機率的加法法則為 $\Pr(A \cup B) = \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B)$。

本題考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）的應用，目的是計算在已知一個產品有瑕疵（flawed）的條件下，該產品是由機器 M₁ 生產的機率。

我們定義以下事件：

• $M_1$: 產品由機器 M₁ 生產。
• $M_2$: 產品由機器 M₂ 生產。
• $F$: 產品有瑕疵（flawed / nonconforming product）。

已知條件如下：

• $\Pr(M_1) = 0.70$ (機器 M₁ 生產的比例)
• $\Pr(M_2) = 0.30$ (機器 M₂ 生產的比例)
• $\Pr(F|M_1) = 0.15$ (機器 M₁ 生產的產品有瑕疵的機率)
• $\Pr(F|M_2) = 0.05$ (機器 M₂ 生產的產品有瑕疵的機率)

我們要求的是 $\Pr(M_1|F)$，即在產品有瑕疵的條件下，它是由機器 M₁ 生產的機率。

根據貝氏定理：
$\Pr(M_1|F) = \frac{\Pr(F|M_1) \times \Pr(M_1)}{\Pr(F)}$

本題考驗指數分佈（Exponential Distribution）的性質，特別是其無記憶性（memoryless property）。

指數分佈的機率密度函數（PDF）為 $f(x;\theta) = \theta e^{-\theta x}$，其中 $x \ge 0$ 且 $\theta > 0$ 是參數。
其累積分布函數（CDF）為 $F(x;\theta) = \Pr(X \le x) = 1 - e^{-\theta x}$。
其生存函數（Survival Function），也就是 $\Pr(X > x)$ 或 $\Pr(X \ge x)$（對於連續分佈，等號無影響），為 $\Pr(X \ge x) = 1 - F(x;\theta) = e^{-\theta x}$。

題目給定 $X \sim \text{Exp}(\theta)$，且 $\Pr(X \ge 15) = 0.223$。
根據生存函數的公式，我們有：
$e^{-\theta \times 15} = 0.223$

我們要求的是條件機率 $\Pr(X \ge 30 | X \ge 15)$。
根據條件機率的定義：
$\Pr(X \ge 30 | X \ge 15) = \frac{\Pr(X \ge 30 \cap X \ge 15)}{\Pr(X \ge 15)}$
由於事件 "$X \ge 30$" 蘊含事件 "$X \ge 15$"（如果 $X$ 大於等於 30，那麼它一定大於等於 15），所以交集為 $\Pr(X \ge 30 \cap X \ge 15) = \Pr(X \ge 30)$。
因此，條件機率可以寫成：
$\Pr(X \ge 30 | X \ge 15) = \frac{\Pr(X \ge 30)}{\Pr(X \ge 15)}$

核心觀念

• 連續型隨機變數 $Y$ 的期望值定義為 $\displaystyle E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y\,f(y)\,dy$。
• 若 $f(y)$ 已是已知分布的標準形式，只要直接套用該分布的母數公式即可。
• 若 pdf 包含額外的多項式因子（如 $y^3$）且係數不保證正規化，必須先計算 正規化常數，即

$C=\Bigl(\int_{-\infty}^{\infty} y^3\phi_{\mu,\sigma^2}(y)\,dy\Bigr)^{-1},$

其中 $\phi_{\mu,\sigma^2}$ 為正態分布的密度。

• 正態分布的原始矩（raw moment）公式

$E\!\left[Z^n\right]=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}\frac{(2k)!}{2^{k}k!}\,\sigma^{2k}\,\mu^{\,n-2k},$

可快速求得 $\displaystyle E[Z^3]$ 與 $\displaystyle E[Z^4]$。

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解題方法

1. 辨識每個選項的分布，判斷是否屬於常見的 Uniform、Gamma、或是「多項式 × 正態」形式。
2. 直接套用已知期望公式：
   • Uniform$[a,b]$：$E(Y)=\frac{a+b}{2}$。
   • Gamma$(k,\theta)$：$E(Y)=k\theta$。
3. 對於 (D)、(E)：先把密度寫成

$$f(y)=C\;y^{3}\,\phi_{\mu,\sigma^{2}}(y),\qquad \phi_{\mu,\sigma^{2}}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\!\Bigl[-\frac{(y-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr].$$

正規化常數為

$C=\Bigl(E[Z^{3}]\Bigr)^{-1},\; Z\sim N(\mu,\sigma^{2}).$

期望則變為

$E(Y)=\frac{E[Z^{4}]}{E[Z^{3}]}.$

使用正態原始矩公式分別算出 $E[Z^{3}]$ 與 $E[Z^{4}]$，再取比值即得答案。

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選項逐一分析

選項	pdf 形式	期望計算	期望值
(A)	$f(y)=\dfrac1{10},\;0\le y\le10$（Uniform）	$\displaystyle E(Y)=\frac{0+10}{2}=5$	5

本題考驗對幾種常見機率分佈變異數（Variance）公式的記憶與應用。我們需要計算或比較每個選項所代表機率分佈的變異數。

(A) $X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3)$
泊松分佈（Poisson Distribution）的變異數為 $\text{Var}(X) = \lambda$。
所以，$\text{Var}(X) = 3$。

(B) $X \sim \text{Binomial}(n = 10, p = 0.35)$
二項分佈（Binomial Distribution）的變異數為 $\text{Var}(X) = np(1-p)$。
所以，$\text{Var}(X) = 10 \times 0.35 \times (1 - 0.35) = 10 \times 0.35 \times 0.65 = 3.5 \times 0.65 = 2.275$。

(C) $X \sim \text{Geo}(p = 0.45)$, where $\Pr(X = x) = p(1-p)^{x-1}$, $x = 1, 2, 3, \dots$
這是定義為「第一次成功所需的試驗次數」的幾何分佈（Geometric Distribution）。
其變異數為 $\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$。
所以，$\text{Var}(X) = \frac{1 - 0.45}{(0.45)^2} = \frac{0.55}{0.2025} \approx 2.716$。
（注意：有些教材定義幾何分佈為「失敗的次數」，其變異數為 $\frac{1-p}{p^2}$，但期望值為 $\frac{1-p}{p}$。這裡題目給定的公式 $\Pr(X = x) = p(1-p)^{x-1}$ 是指第一次成功在第 $x$ 次試驗，期望值是 $1/p$，變異數是 $(1-p)/p^2$。）

(D) $X \sim \text{Hypergeometric}(N=30, r=15, n=10)$

本題考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）在比例估計中的應用，以及標準常態分佈（Standard Normal Distribution）的機率計算。

題目給定的資訊：

• 母體比例（true proportion）$p = 0.40$
• 樣本大小 $n = 400$
• 我們想計算樣本比例 $\hat{p}$ 介於 0.35 和 0.50 的機率，即 $\Pr(0.35 \le \hat{p} \le 0.50)$。

根據中央極限定理，當樣本大小足夠大時（通常 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$），樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其期望值和標準差如下：

• 期望值：$\text{E}(\hat{p}) = p = 0.40$
• 標準差（標準誤, standard error）：$\text{SE}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.40(1-0.40)}{400}} = \sqrt{\frac{0.40 \times 0.60}{400}} = \sqrt{\frac{0.24}{400}} = \sqrt{0.0006}$

計算標準誤：
$\text{SE}(\hat{p}) = \sqrt{0.0006} \approx 0.02449$

現在，我們將 $\hat{p}$ 的範圍轉換為標準常態分佈的 Z 分數。
Z 分數的計算公式為：$Z = \frac{\hat{p} - \text{E}(\hat{p})}{\text{SE}(\hat{p})}$。

本題考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）在樣本平均數抽樣分佈上的應用。

題目給定的資訊：

• 原始總體分佈：指數分佈（Exponential Distribution）。
• 指數分佈的 PDF 為 $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$，其中 $\theta$ 是平均壽命。
• 已知平均壽命為 2,000，所以 $\theta = 2000$。
• 樣本大小 $n = 400$。
• 我們計算樣本平均數 $\bar{x}$。

根據中央極限定理，對於任何總體（無論其原始分佈為何），只要樣本大小 $n$ 足夠大，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈。
這個近似常態分佈的期望值和標準差分別是：

• 期望值：$\text{E}(\bar{x}) = \text{E}(X) = \mu$（總體的平均值）
• 標準差（標準誤, standard error）：$\text{SE}(\bar{x}) = \frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（總體的標準差除以樣本大小的平方根）

首先，我們需要確定總體（指數分佈）的平均值和標準差。
對於指數分佈 $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$：

• 平均值：$\text{E}(X) = \theta$
• 標準差：$\text{SD}(X) = \theta$

本題考驗統計估計中的幾個重要概念：無偏估計量（Unbiased Estimator）、一致估計量（Consistent Estimator）以及估計量的性質。

我們逐一分析每個選項：

(A) Unbiased estimator for parameter $\mu$ is unique.
這個說法是錯誤的。對於參數 $\mu$（母體平均數），存在許多不同的無偏估計量。最常見的無偏估計量是樣本平均數 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$。但是，例如，對於 $n=2$，$\frac{x_1+x_2}{2}$ 和 $\frac{x_1}{4} + \frac{3x_2}{4}$ 都是 $\mu$ 的無偏估計量，但它們是不同的。因此，無偏估計量不是唯一的。

(B) When the sample size increases, the variance of any unbiased estimator of $\mu$ should get smaller.
這個說法是錯誤的。雖然對於某個特定類型的無偏估計量（例如，在某些條件下），當樣本大小增加時，其變異數會減小（例如，$\text{Var}(\bar{x}) = \sigma^2/n$，當 $n$ 增加時，變異數減小）。但是，這句話說的是「任何」無偏估計量。並非所有無偏估計量的變異數都會隨著樣本大小增加而減小。例如，我們可以構造一個無偏估計量，其變異數不隨 $n$ 變化，或者甚至增加。更準確的說法是，存在一個漸進無偏且一致的估計量，其變異數趨近於 Cramér-Rao 下界，並且當 $n \to \infty$ 時，該下界趨近於 0。但這並不適用於「任何」無偏估計量。

(C) $(n-1)S^2/n$ is an unbiased estimator for $\sigma^2$.
這個說法是錯誤的。其中 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ 是樣本變異數，它是 $\sigma^2$ 的無偏估計量，即 $\text{E}(S^2) = \sigma^2$。
但是，$(n-1)S^2/n = \frac{n-1}{n} S^2$。
$\text{E}\left(\frac{n-1}{n} S^2\right) = \frac{n-1}{n} \text{E}(S^2) = \frac{n-1}{n} \sigma^2$。
由於 $\frac{n-1}{n} < 1$，所以 $\frac{n-1}{n} \sigma^2 < \sigma^2$。這是一個有偏估計量。
相反，$\frac{nS^2}{n+1}$ 是一個有偏估計量，而 $\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ 則是 $\sigma^2$ 的有偏估計量。
正確的無偏估計量是 $S^2$。

(D) $(x_1+x_2+x_3)/3$ is an unbiased estimator for $\mu$.
這個說法是正確的。
我們知道 $x_1, x_2, x_3$ 是來自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的獨立同分佈（iid）隨機樣本。
因此，$\text{E}(x_1) = \mu$, $\text{E}(x_2) = \mu$, $\text{E}(x_3) = \mu$。
根據期望值的線性性質：

核心觀念

1. 母體平均數的雙尾信賴區間（母體標準差 $\sigma$ 已知）：
   $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 信賴區間長度（Length of Confidence Interval, $L$）：
   信賴區間的總長度為抽樣誤差（Margin of Error, $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$）的 2 倍：
   $L = 2 \cdot z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 影響區間長度的因素：

   • 母體標準差 $\sigma$：固定常數（題目給定 $\sigma =$$20）。
   • 樣本數 $n$：與長度成反比。$n$ 越大，分母 $\sqrt{n}$ 越大，$L$ 越短。
   • 信心水準 $1-\alpha$：與長度成正比。信心水準越低，顯著水準 $\alpha$ 越大，臨界值 $z_{\alpha/2}$ 越小，$L$ 越短。

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解題方法

欲求最短的信賴區間長度（shortest length），即在固定 $\sigma =$$20 的條件下，最小化目標函數：
$L = 2 \cdot z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \propto \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}}$

因此實驗設計的選擇準則為：

1. 最大化樣本數 $n$：在候選樣本數 $n \in \{81, 100\}$ 中，選擇較大的 $n = 100$。
2. 最小化臨界值 $z_{\alpha/2}$（即選擇最低的信心水準 $1-\alpha$）：
   • 信心水準 $90\%$（$\alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$）：$z_{0.05} \approx 1.645$
   • 信心水準 $95\%$（$\alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$）：$z_{0.025} \approx 1.96$
   • 信心水準 $99\%$（$\alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$）：$z_{0.005} \approx 2.576$

綜合兩者，最優設計應具備「最大樣本數 $n = 100$」與「最低信心水準 $90\%$」。

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核心觀念

本題旨在考查單一常態母體平均數 $\mu$ 之區間估計（母體變異數 $\sigma^2$ 未知、小樣本情況）。

當母體為常態分配且母體標準差 $\sigma$ 未知時，利用樣本標準差 $S = \sqrt{S^2}$ 作為估計量，統計量服從自由度 $df = n - 1$ 的 $t$ 分配：

$$T = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n - 1)$$

其母體平均數 $\mu$ 的雙尾 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）公式為：

$$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, n-1} \left( \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$$

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解題方法

步驟一：彙整題目已知參數

• 樣本數：$n = 25$，自由度 $df = n - 1 = 25 - 1 = 24$
• 樣本平均數：$\bar{X} = 250$（單位：元）
• 樣本變異數：$S^2 = 361 \implies$ 樣本標準差 $S = \sqrt{361} = 19$
• 信賴水準：$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$

步驟二：確定臨界值與計算標準誤

• 查 $t$ 分配表，自由度 $df = 24$ 且單尾機率為 $0.025$ 的臨界值為：

  $$t_{0.025, \, 24} \approx 2.064$$

• 樣本平均數的標準誤（Standard Error, SE）：

  $$SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{19}{\sqrt{25}} = \frac{19}{5} = 3.8$$

步驟三：計算抽樣誤差（Margin of Error, ME）

• 抽樣誤差為：

  $$ME = t_{0.025, \, 24} \times \left( \frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 2.064 \times 3.8 \approx 7.8432$$

步驟四：建構 95% 信賴區間

• 信賴區間下界：

  $$250 - 7.8432 \approx 242.1568 \approx 242.1$$

• 信賴區間上界：

核心觀念

• 顯著水準（Level of significance）：記為 $\alpha$，定義為在虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤拒絕 $H_0$（Type I error）的機率。
• 第一類錯誤（Type I error）：$H_0$ 為真而被拒絕，發生機率 $P(\text{reject }H_0\mid H_0\text{ 真})=\alpha$。
• 第二類錯誤（Type II error）：對立假設 $H_1$ 為真時，未拒絕 $H_0$，其機率記為 $\beta=P(\text{不拒絕 }H_0\mid H_1\text{ 真})$。
• 檢定的力量（Power）：$1-\beta$，表示在 $H_1$ 為真時正確拒絕 $H_0$ 的機率。
• 樣本量與檢定結果的關係：在固定顯著水準下，樣本量增大會提升檢定的力量，使得在 $H_1$ 為真時拒絕 $H_0$ 的機率上升；若 $H_0$ 為真，拒絕機率仍維持 $\alpha$，不會因樣本量增加而減少。

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解題方法
針對每個選項直接比對其敘述與上述定義。若敘述與正式定義一致，即為正確；若違背定義或常識，即為錯誤。特別注意 選項 D 中「收集更多資料，拒絕 $H_0$ 的機率會下降」與樣本量對檢定力量的已知關係相矛盾；選項 E 必須檢視「在 $H_0$ 為真時，Type I 與 Type II 錯誤的機率和為 1」是否符合錯誤的定義。

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選項分析

選項	敘述	判斷與說明
(A)	「顯著水準是當虛無假設為真時，發生第一類錯誤的機率。」	正確。顯著水準 $\alpha$ 正即此定義。
(B)	「若在虛無假設為真時拒絕它，即發生第一類錯誤。」	正確。這正是 Type I error 的描述。

本題考驗如何根據研究目的設定適當的統計檢定方向（單尾檢定或雙尾檢定）。

研究目的：品質管制人員想知道顧客是否「得到較少的含量」（getting less content）而不是標示的 375 ml。
這意味著他們關心的是實際含量是否「小於」標示值。

讓我們設定虛無假說 ($H_0$) 和對立假說 ($H_a$)：

• 標示值為 375 ml。

• 虛無假說 ($H_0$) 通常代表「沒有改變」或「沒有差異」的狀態，或者說「含量足夠」。

  • 一種可能的 $H_0$ 是：母體平均含量 $\mu \ge 375$ ml。
  • 另一種常見的設定是：母體平均含量 $\mu = 375$ ml。

• 對立假說 ($H_a$) 代表研究者想要證明或探測的狀態。在這裡，研究者關心的是「含量較少」，即 $\mu < 375$ ml。

因此，我們的檢定設定是：
$H_0: \mu \ge 375$ (或 $\mu = 375$)
$H_a: \mu < 375$

當對立假說的形式是 $\mu < \text{某個值}$ 時，這是一個「左尾檢定」（one tailed test with an alternative to t

核心觀念
本題屬於兩母體均值比較的假設檢定，樣本量皆小於 30，且母體變異數未知。

• 使用 Welch’s t 檢定（兩樣本不等變異數的 t‑test）。
• 零假設與對立假設：

$$H_{0}: \mu_{\text{new}}=\mu_{\text{old}},\qquad H_{1}: \mu_{\text{new}}>\mu_{\text{old}} \;\text{（單尾）}$$

• 檢定統計量

$$t=\frac{\bar X_{\text{new}}-\bar X_{\text{old}}} {\sqrt{\dfrac{s_{\text{new}}^{2}}{n_{\text{new}}}+ \dfrac{s_{\text{old}}^{2}}{n_{\text{old}}}}}$$

• 自由度採用 Welch‑Satterthwaite 近似式

$$\nu=\frac{\bigl(\dfrac{s_{\text{new}}^{2}}{n_{\text{new}}}+ \dfrac{s_{\text{old}}^{2}}{n_{\text{old}}}\bigr)^{2}} {\dfrac{(s_{\text{new}}^{2}/n_{\text{new}})^{2}}{n_{\text{new}}-1}+ \dfrac{(s_{\text{old}}^{2}/n_{\text{old}})^{2}}{n_{\text{old}}-1}}$$

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解題方法

1. 列出已知數值

族群	$n$	$\bar X$ (小時)	$s^{2}$
目前製程 (old)	$n_{1}=9$	$\bar X_{1}=100$	$s_{1}^{2}=81$
改良製程 (new)	$n_{2}=12$	$\bar X_{2}=106.48$	$s_{2}^{2}=84$

2. 計算標準誤

$$\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{81}{9}=9,\qquad \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{84}{12}=7$$

$\text{SE}= \sqrt{9+7}= \sqrt{16}=4$

3. 求檢定統計量 $t$

本題考驗簡單線性迴歸模型中需要估計的參數。

簡單線性迴歸模型為 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$，其中：

• $y$ 是應變數（dependent variable）。
• $x$ 是自變數（independent variable）。
• $\beta_0$ 是截距（intercept），表示當 $x=0$ 時 $y$ 的預期值。
• $\beta_1$ 是斜率（slope），表示 $x$ 每改變一個單位時，$y$ 的預期改變量。
• $\epsilon$ 是誤差項（error term），表示模型無法解釋的變異，且假設 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$。

在迴歸分析中，我們的目標是估計模型中的未知參數。這些參數是我們用來描述自變數和應變數之間關係的係數，以及誤差項的變異數。

在給定的模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ 中，需要估計的未知參數是：

1. $\beta_0$：截距。
2. $\beta_1$：斜率。

本題考驗計算簡單線性迴歸模型中迴歸係數 $\beta_1$ 的普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計量。

簡單線性迴歸模型為 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$。
OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 的公式為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$
這個公式也可以寫成：
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
其中：

• $S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}$
• $S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n \bar{x}^2$

我們有以下數據，樣本大小 $n=10$：

• $\sum y_i = 1000$
• $\sum x_i = 100$
• $\sum x_i y_i = 10020$
• $\sum x_i^2 = 1005$
• $\sum y_i^2 = 100100$

本題考驗計算簡單線性迴歸模型中的決定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）。

$R^2$ 的定義為：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：

• $SST$ (Total Sum of Squares) 是總平方和，表示應變數 $y$ 的總變異量。
• $SSR$ (Regression Sum of Squares) 是迴歸平方和，表示迴歸模型解釋的 $y$ 的變異量。
• $SSE$ (Error Sum of Squares) 是殘差平方和，表示迴歸模型未能解釋的 $y$ 的變異量。

我們需要計算 $SST$ 和 $SSE$。

首先，計算 $SST$：
$SST = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \sum y_i^2 - n \bar{y}^2$
我們已知 $\sum y_i^2 = 100100$。
從前一題知道 $\bar{y} = 100$，且 $n=10$。
$SST = 100100 - 10 \times (100)^2$
$SST = 100100 - 10 \times 10000$
$SST = 100100 - 100000 = 100$

接下來，計算 $SSE$。
$SSE$ 是殘差平方和，即 $\sum e_i^2 = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$。
在 OLS 中，我們有 $SSE = SST - SSR$。
我們也知道 $SSR$ 與迴歸係數 $\hat{\beta}_1$ 和 $S_{xy}$ 有關：
$SSR = \hat{\beta}_1 \times S_{xy}$。
從前一題我們知道：

• $\hat{\beta}_1 = 4$
• $S_{xy} = 20$
  所以，$SSR = 4 \times 20 = 80$。

核心觀念

• 兩因子完全隨機設計（balanced two‑way ANOVA）之模型：

$$y_{ijk}= \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij}+ \varepsilon_{ijk},\qquad i=1,\dots ,a;\; j=1,\dots ,b;\; k=1,\dots ,c$$

其中 $a$、$b$ 為因子水準數，$c$ 為每組重複次數（本題 $c=3$），$\varepsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)$ 為誤差。

• 總變異（SST）可分解為四部分：
  $\text{SST}=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$
• 自由度（df）：

$$\begin{aligned} df_A &= a-1\\ df_B &= b-1\\ df_{AB}&=(a-1)(b-1)\\ df_E &= ab(c-1)\\ df_T &= abc-1 \end{aligned}$$

• 均方（MS）＝SS/df，$F$ 值＝MS（因子）/MS$_E$。若 $F>F_{\alpha,\;df_{因子},\;df_E}$，則因子或交互作用顯著。

已知條件

• $a=3$（Factor A 之水準）
• $b=4$（Factor B 之水準）
• $c=3$（每組重複次數）
• 總樣本數 $N=abc = 3\times4\times3 = 36$
• $\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} y_{ijk}=662$
• $\bar y =2$，故 $N\bar y = 36\times2=72$，與上述總和不符，顯示題目中「平均 y = 2」指的是每組（即 $ab$ 組）之平均：
  $\bar y_{\text{組}} =\frac{662}{ab}= \frac{662}{12}=55.166\ldots$
  但本題只需要利用已給之 SS 值與自由度計算 SST、SSAB，故可直接使用給定的 SS。

自由度計算

$$\begin{aligned} df_A &= a-1 = 2\\ df_B &= b-1 = 3\\ df_{AB} &= (a-1)(b-1)=2\times3=6\\ df_E &= ab(c-1)=12\times2=24\\ df_T &= N-1 = 36-1 =35 \end{aligned}$$

題目表格中 Total 的 df 為 59，與上述 $df_T$ 不同，意味著題目將每個水準的 $c$ 視為 5（即 $c=5$），使
$N= a b c = 3\times4\times5 =60$，故 $df_T =59$ 與表格相符。此時 $c=5$，$df_E =ab(c-1)=12\times4=48$，但表格中 Error df 未列出，僅給出 SS =96，故此處無需使用 $df_E$ 之數值，只利用已知 SS 直接求 SST。

SST 計算

$\text{SST}=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$

已知 $SS_A=44$, $SS_B=90$, $SS_E=96$，故

$\text{SST}=44+90+SS_{AB}+96=230+SS_{AB}.$

求 $SS_{AB}$
利用題目給出的 $\displaystyle\sum y_{ijk}=662$ 與 $\bar y =2$（此處的 $\bar y$ 為每個觀測值之平均），可求

$\bar y =\frac{662}{N}\quad\Longrightarrow\quad N=\frac{662}{2}=331.$

但 $N$ 必須為整數且與設計相符，故題目暗示 $N=331$ 不合邏輯，實際上 $\bar y =2$ 為每個觀測值之平均，故 $N=331$。此時自由度 $df_T=N-1=330$，與表格不符，顯示題目在敘述上有矛盾，然而解題重點在於使用「平衡」設計之 ANOVA 公式，直接由表格資訊求出缺值。

根據兩因子 ANOVA 的基本關係

$\text{SST}= \sum_{i,j,k}(y_{ijk}-\bar y)^2 .$

亦可寫成

$\text{SST}= \sum y_{ijk}^2 - \frac{(\sum y_{ijk})^2}{N}.$

因缺少 $\sum y_{ijk}^2$，無法直接計算。但在本題中，選項僅提供四個可能值，利用已知之 $SS_A,SS_B,SS_E$，只要 $SS_{AB}$ 為正且使 $SST$ 為選項之一即可確定。

把選項代入 $SST=230+SS_{AB}$：

本題是針對前面提供的雙因子變異數分析 (Two-Way ANOVA) 表格，在給定的顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，判斷因子 A、因子 B 及它們的交互作用是否顯著。

首先，我們需要從題目提供的資訊和 ANOVA 表中推導出所有必要的計算值，包括平方和 (Sum of Squares, SS) 和自由度 (Degrees of Freedom, df)，然後計算平均平方 (Mean Square, MS) 和 F 值，最後與臨界 F 值進行比較。

1. 確定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
題目指出因子 A 有 3 個水準 ($a=3$)，因子 B 有 4 個水準 ($b=4$)。

• 因子 A 的自由度：$df_A = a - 1 = 3 - 1 = 2$。
• 因子 B 的自由度：$df_B = b - 1 = 4 - 1 = 3$。
• 交互作用 (A x B) 的自由度：$df_{AB} = (a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6$。
• 總自由度 (Total df) 根據表格為 $df_{Total} = 59$。
• 誤差 (Error) 的自由度：$df_E = df_{Total} - df_A - df_B - df_{AB} = 59 - 2 - 3 - 6 = 48$。
  （驗證：$df_E = N - ab$。如果 $df_{Total}=59$, 則 $N=60$。$ab = 3 \times 4 = 12$。$df_E = 60 - 12 = 48$。自由度計算一致。）

2. 確定平方和 (Sum of Squares, SS)：
從表格和問題 8、9 的推導結果：

• $SSA = 44$
• $SSB = 90$
• $SSAB = 192$ (由問題 9 推導得出)
• $SSE = 96$
• $SST = SSA + SSB + SSAB + SSE = 44 + 90 + 192 + 96 = 422$。 (由問題 8 推導得出)

3. 計算平均平方 (Mean Square, MS)：

• $MSA = SSA / df_A = 44 / 2 = 22$。
• $MSB = SSB / df_B = 90 / 3 = 30$。
• $MSAB = SSAB / df_{AB} = 192 / 6 = 32$。
• $MSE = SSE / df_E = 96 / 48 = 2$。