108 年 國立成功大學國際企業研究所甲組《統計學》

這題在考驗統計學中關於樣本大小與資料類型的基本觀念。

Data Analyst A 的說法：樣本數越大，估計的精確度越高。這句話在統計學上是正確的。根據中央極限定理，當樣本數 $n$ 增加時，樣本統計量（如樣本平均數）的抽樣分配會趨近常態，且其變異數會隨著 $n$ 的增大而減小（例如，樣本平均數的標準誤為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$），因此估計的精確度（precision）會提高。

這題在考驗相關係數衡量線性與非線性關係的能力。

(A) Pearson's correlation coefficient（皮爾森相關係數）主要衡量兩個變數之間的「線性」關係強度。如果兩個變數之間存在非線性關係，即使關係很強，皮爾森相關係數也可能很低，甚至接近於零。

(B) Spearman's rank correlation coefficient（斯皮爾曼等級相關係數）是一種非參數的相關係數，它計算的是兩個變數的「等級」（ranks）之間的皮爾森相關係數。因此，它能衡量兩個變數之間單調關係（monotonic relationship）的強度，而非僅限於線性關係。單調關係是指當一個變數增加時，另一個變數也趨勢性地增加（或減少），但不一定是線性的。

(C) 結合以上兩點，皮爾森相關係數主要用於衡量線性關係，而斯皮爾曼相關係數則能衡量單調關係（包含線性及非線性單調關係）。題目問的是「非線性關係」，嚴格來說，皮爾森相關係數不適合衡量非線性關係。斯皮爾曼相關係數可以衡量「單調」的非線性關係，但對於非單調的非線性關係（例如 U 型關係），則不適用。然而，在多數情況下，當我們提及「非線性關係」時，若其為單調趨勢，斯皮爾曼相關係數是較佳的選擇。

題目問「can be measured by」，表示哪種方法「能夠」衡量。斯皮爾曼相關係數能夠衡量單調的非線性關係。皮爾森相關係數則不行。因此，選項 (C) 說兩者都可以，是錯誤的。

但若題目意指「非線性單調關係」，則斯皮爾曼相關係數是正確答案。若題目意指「任何非線性關係」，則兩者皆不適用。

回顧題目，通常在比較這兩種相關係數時，斯皮爾曼的優勢在於能處理非線性單調關係。而皮爾森則專注於線性。選項 (C) 說兩者都「可以」，這通常是錯的，因為皮爾森不適合非線性。

再仔細思考，題目問「nonlinear relationship」。如果是非單調的非線性關係（例如，先上升後下降），則 Spearman 也不行。但如果是非線性的單調關係（例如，$y = x^2$ 對於 $x>0$），Spearman 可以衡量。Pearson 則不行。
所以，如果題目是問「單調的非線性關係」，則 Spearman 可以。

這題考驗對統計圖表的理解，特別是哪種圖表能直接顯示四分位數（quartiles）。

(A) Box and Whisker chart（盒鬚圖）：盒鬚圖的設計目的就是為了顯示數據的五數摘要（five-number summary），即最小值、第一四分位數（Q1）、中位數（Q2）、第三四分位數（Q3）和最大值。盒子的下緣代表 Q1，中線代表中位數，盒子的上緣代表 Q3。因此，盒鬚圖「明確標示」了四分位數。

(B) Bar chart（長條圖）：長條圖通常用於比較不同類別的頻率、數量或平均值。它不直接顯示數據的分布情況，也無法直接標示出四分位數。

核心觀念

本題評量抽樣方法（Sampling Methods）中，最常被比較的兩大機率抽樣（Probability Sampling）技術之基本定義：

1. 分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）：
   • 先將母體依特定屬性劃分為若干互斥且周延的「層」（Strata）。
   • 從**每一層（Each group / stratum）中，隨機抽取部分成員（Some members）**組成最終樣本。
   • 目的通常在於確保各次母體（次群體）均有足夠代表性，以降低估計誤差。其理想狀態為「層內同質、層間異質」（Homogeneous within, heterogeneous between）。
2. 部落抽樣 / 集群抽樣（Cluster Sampling）：
   • 先將母體自然劃分為若干個「群 / 部落」（Clusters）。
   • 隨機抽選部分群（Some groups / clusters），並對被抽中群內的**所有成員（Every member）**進行全面調查（此為單階集群抽樣，Single-stage cluster sampling）。
   • 目的主要在於節省調查成本與時間，尤其是母體地理分佈廣泛或缺乏完整名冊時。其理想狀態為「群內異質、群間同質」（Heterogeneous within, homogeneous between）。

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解題方法

透過比對兩位資料分析師的發言與抽樣法標準定義：

• Data Analyst A 的敘述：
  • 「母體先分組，然後樣本由『某些群的全部成員（every member of some groups）』所組成。」
  • 符合集群抽樣（Cluster Sampling）的標準定義（隨機抽群，群內普查）。因此 Data Analyst A 的陳述正確。
• Data Analyst B 的敘述：
  • 「母體先分組，然後樣本由『每一群的部分成員（some members of each group）』所組成。」

這題考驗不同問卷調查方法的回收率（response rate）比較。

問卷調查的回收率是指成功完成問卷的受訪者比例。通常，與受訪者互動程度越高、越能克服受訪者障礙的方法，回收率會越高。

(A) Self-Administered survey（自行填答問卷）：例如郵寄問卷、網路問卷。這種方式通常需要受訪者主動填寫，缺乏即時的互動和催促，因此回收率相對較低。

這題考驗各種集中趨勢測量值適用於不同資料類型的能力。

集中趨勢（central tendency）用來描述數據集的中心位置。常見的集中趨勢測量值有平均數（Mean）、中位數（Median）和眾數（Mode）。

(A) Mean（平均數）：平均數是所有數值加總後除以數值個數。它只能用於「數值型」資料（numerical data），且對極端值（outliers）敏感。它不能用於類別型資料。

(B) Mode（眾數）：眾數是數據集中出現頻率最高的數值。眾數可以用於「數值型」資料和「類別型」資料（categorical data）。例如，在一個顏色數據集中，最常見的顏色就是眾數。

核心觀念

本題考查隨機變數經過「常數倍轉換」後，平均數與標準差的變化。

設原隨機變數為 $X$，將其 tripled 後定義為

$$Y=3X$$

常數倍轉換的性質為：

$$E(aX)=aE(X)$$

以及

$$\operatorname{SD}(aX)=|a|\operatorname{SD}(X)$$

其中 $a$ 為常數。

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解題方法

平均數的變化

由期望值的線性性質：

$$E(Y)=E(3X)=3E(X)$$

因此，若隨機變數的所有觀察值都乘以 $3$，其平均數也會乘以 $3$。

標準差的變化

標準差定義為：

$$\operatorname{SD}(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$$

而變異數具有下列性質：

$$\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)$$

因此：

$$\operatorname{SD}(Y) =\sqrt{\operatorname{Var}(3X)} =\sqrt{3^2\operatorname{Var}(X)} =3\operatorname{SD}(X)$$

這題考驗對衡量母體離散程度（dispersion）方法的理解。

離散程度用來衡量數據點相對於中心點的分散程度。

Data Analyst A 的說法：
「the mean value of absolute deviations from the mean could do the job.」
這是指「平均絕對離差」（Mean Absolute Deviation, MAD）。
MAD 的計算公式是：$MAD = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \mu|$ （對於母體）或 $MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ （對於樣本）。

核心觀念

本題考「偏態（skewness）」與「峰度（kurtosis）」的意義：

1. 偏態

偏態衡量分配左右兩側是否對稱，常用定義為第三階標準化動差：

$$\text{Skewness} = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}$$

若分配右側有較長或較極端的尾巴，通常稱為右偏（right-skewed），偏態係數通常為正。

2. 峰度

峰度衡量分配尾部厚薄及極端值出現的程度，常用定義為第四階標準化動差：

$$\text{Kurtosis} = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}$$

由於四次方會消除正負號，峰度同時受到左右兩側極端值影響，無法單獨表示分配是左偏或右偏。

常見的超額峰度為：

$$\text{Excess Kurtosis} = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3$$

常態分配的峰度為 $3$，超額峰度為 $0$。

解題方法

題目的判斷重點是：

• 「右側出現極端正值」主要描述右偏。
• 「尾端值出現機率比常態分配高」主要描述厚尾或高峰度。
• 厚尾分配不一定不對稱，因此不必然具有高度偏態。

依此逐一判斷兩位分析師的說法。

選項分析

Data Analyst A

A 認為：

若分配右側有出現極端高正值的可能，則該分配應具有高峰度。

核心觀念

本題考的是「有效估計量（efficient estimator）」與「不偏估計量（unbiased estimator）」的差異。

設 $\hat{\theta}$ 為參數 $\theta$ 的估計量：

• 不偏性：
  $E(\hat{\theta})=\theta$
  表示估計量長期平均而言等於真實參數，但不代表每次估計的誤差最小。

• 有效性：
  在一群估計量中，有效估計量具有最小的估計變異程度。標準定義通常是：在所有不偏估計量中，變異數最小者最有效，即
  $\operatorname{Var}(\hat{\theta}_{\text{eff}})\leq \operatorname{Var}(\hat{\theta})$

估計誤差常以均方誤差（Mean Squared Error, MSE）衡量：

$$\operatorname{MSE}(\hat{\theta}) =E[(\hat{\theta}-\theta)^2] =\operatorname{Var}(\hat{\theta})+\operatorname{Bias}(\hat{\theta})^2$$

其中

$$\operatorname{Bias}(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-\theta$$

當估計量不偏時，$\operatorname{Bias}(\hat{\theta})=0$，因此：

$$\operatorname{MSE}(\hat{\theta}) =\operatorname{Var}(\hat{\theta})$$

所以，在不偏估計量之間比較時，變異數越小者，其均方估計誤差也越小，稱為有效估計量。

解題方法

本題直接比較兩位分析師對統計名詞的敘述。

這題考驗計算中位數（Median）的能力，並需對三個獨立的數據集分別計算。

中位數是將一組數據按大小順序排列後，位於最中間的數值。如果數據個數是奇數，中位數就是最中間那個數。如果數據個數是偶數，中位數就是中間兩個數的平均值。

在此題目中，每個酒店有 5 個 rating 值，數據個數為奇數（n=5）。因此，中位數是排序後位於第 $\frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = 3$ 位置的數值。

Hotel A:
數據：2.03, 3.08, 3.53, 4.68, 5.46
已按大小順序排列。
位於第 3 位置的數值是 3.53。
所以，Hotel A 的中位數是 3.53。

這題考驗計算「絕對離差總和」（sum of absolute deviations）的能力，並需結合前一題計算出的中位數。

絕對離差總和是指每個數據點與其所在組別中位數的絕對差值的總和。

根據前一題的計算：
Hotel A 的中位數 (Median_A) = 3.53
Hotel B 的中位數 (Median_B) = 8.43
Hotel C 的中位數 (Median_C) = 5.86

Hotel A:
數據：2.03, 3.08, 3.53, 4.68, 5.46
中位數：3.53
絕對離差：
$|2.03 - 3.53| = |-1.50| = 1.50$
$|3.08 - 3.53| = |-0.45| = 0.45$
$|3.53 - 3.53| = |0.00| = 0.00$
$|4.68 - 3.53| = |1.15| = 1.15$
$|5.46 - 3.53| = |1.93| = 1.93$
總和：$1.50 + 0.45 + 0.00 + 1.15 + 1.93 = 5.03$

Hotel B:
數據：3.89, 7.58, 9.48, 8.52, 8.43
排序後：3.89, 7.58, 8.43, 8.52, 9.48
中位數：8.43
絕對離差：

這題需要計算 Levene's Test 的 F 統計量，用於檢定三個酒店的評分變異數是否相等（同質性）。Levene's Test 是一種檢定變異數同質性的方法，適用於非常態分佈的數據。

Levene's Test 的基本思想是：對於每個樣本（酒店），計算其數據點與該樣本中位數的絕對離差。然後，對這些絕對離差進行單因子變異數分析（One-way ANOVA）。

步驟如下：

1. 計算每個組別（酒店）的中位數。
   根據前兩題的計算：
   Median_A = 3.53
   Median_B = 8.43
   Median_C = 5.86

2. 計算每個數據點與其組別中位數的絕對離差 ($z_{ij}$)。
   Hotel A：
   $|2.03 - 3.53| = 1.50$
   $|3.08 - 3.53| = 0.45$
   $|3.53 - 3.53| = 0.00$
   $|4.68 - 3.53| = 1.15$
   $|5.46 - 3.53| = 1.93$
   絕對離差集合 $Z_A = \{1.50, 0.45, 0.00, 1.15, 1.93\}$

   Hotel B：
   $|3.89 - 8.43| = 4.54$
   $|7.58 - 8.43| = 0.85$
   $|9.48 - 8.43| = 1.05$
   $|8.52 - 8.43| = 0.09$
   $|8.43 - 8.43| = 0.00$
   絕對離差集合 $Z_B = \{4.54, 0.85, 1.05, 0.09, 0.00\}$

   Hotel C：
   $|6.65 - 5.86| = 0.79$
   $|5.74 - 5.86| = 0.12$
   $|5.86 - 5.86| = 0.00$
   $|4.71 - 5.86| = 1.15$
   $|6.72 - 5.86| = 0.86$
   絕對離差集合 $Z_C = \{0.79, 0.12, 0.00, 1.15, 0.86\}$

3. 對這些絕對離差進行單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。
   我們的數據變量是這些絕對離差 $z_{ij}$。
   總共有 $k=3$ 個組別（酒店）。
   每個組別有 $n_i=5$ 個觀察值。
   總觀察值 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 5+5+5 = 15$。
   組間自由度 (Between-groups degrees of freedom) $df_1 = k-1 = 3-1 = 2$。
   組內自由度 (Within-groups degrees of freedom) $df_2 = N-k = 15-3 = 12$。

   計算 ANOVA 的基本統計量：

   • 組別的平均絕對離差 (Mean of absolute deviations) $\bar{z}_i$：
     $\bar{z}_A = \frac{1.50 + 0.45 + 0.00 + 1.15 + 1.93}{5} = \frac{5.03}{5} = 1.006$
     $\bar{z}_B = \frac{4.54 + 0.85 + 1.05 + 0.09 + 0.00}{5} = \frac{6.53}{5} = 1.306$
     $\bar{z}_C = \frac{0.79 + 0.12 + 0.00 + 1.15 + 0.86}{5} = \frac{2.92}{5} = 0.584$

   • 所有絕對離差的總平均值 (Grand mean of absolute deviations) $\bar{z}$：
     $\bar{z} = \frac{\sum \bar{z}_i}{k} = \frac{1.006 + 1.306 + 0.584}{3} = \frac{2.900}{3} \approx 0.9667$
     或者 $\bar{z} = \frac{\text{Sum of all } z_{ij}}{N} = \frac{5.03 + 6.53 + 2.92}{15} = \frac{14.48}{15} \approx 0.9653$
     （這裡計算略有差異，可能是四捨五入問題，我們用後者更精確）
     $\bar{z} = \frac{14.48}{15} \approx 0.96533$

   • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB):
     $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{z}_i - \bar{z})^2$
     $SSB = 5 \times (1.006 - 0.96533)^2 + 5 \times (1.306 - 0.96533)^2 + 5 \times (0.584 - 0.96533)^2$
     $SSB = 5 \times (0.04067)^2 + 5 \times (0.34067)^2 + 5 \times (-0.38133)^2$
     $SSB = 5 \times (0.00165) + 5 \times (0.11606) + 5 \times (0.14541)$
     $SSB = 0.00825 + 0.5803 + 0.72705 \approx 1.3156$

   • 組間均方 (Mean Square Between, MSB):
     $MSB = \frac{SSB}{df_1} = \frac{1.3156}{2} \approx 0.6578$

   • 組內平方和 (Sum of Squares Within, SSW):
     $SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (z_{ij} - \bar{z}_i)^2$
     這個計算比較繁瑣，我們需要計算每個組內數據點與其組平均絕對離差的平方和。
     或者，我們知道 $SST = SSB + SSW$，其中 $SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (z_{ij} - \bar{z})^2$。
     讓我們計算 $SST$：
     $SST = (1.50-0.96533)^2 + (0.45-0.96533)^2 + (0.00-0.96533)^2 + (1.15-0.96533)^2 + (1.93-0.96533)^2$ (Hotel A)

核心觀念

Tukey-Kramer 事後檢定用於 ANOVA 顯著後，進一步比較各組平均數之間是否存在差異。

若有 $k$ 家飯店，則每兩家飯店形成一個比較配對；比較的總配對數為：

$$\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$$

本題共有三家飯店，因此 $k=3$。

解題方法

將三家飯店設為 $A$、$B$、$C$，所有不重複的兩兩比較為：

1. $A$ 與 $B$
2. $A$ 與 $C$
3. $B$ 與 $C$

因此比較配對數為：

$$\binom{3}{2} = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3\times 2}{2} = 3$$

Tukey-Kramer 檢定比較的是「飯店平均評分」之間的差異，不是每一筆個別評分彼此比較。

選項分析

核心觀念

Tukey-Kramer procedure 用於單因子 ANOVA 顯著後的多重比較，判斷兩組平均數差異是否顯著。

比較 Hotel A 與 Hotel B 時，臨界範圍為

$$CR_{AB} = q_{\alpha;k,df} \sqrt{ \frac{MSE}{2} \left( \frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B} \right) }$$

其中：

• $q_{\alpha;k,df}=3.77$：Tukey 分布的臨界值；
• $MSE$：ANOVA 表中的誤差均方；
• $n_A,n_B$：Hotel A、Hotel B 的樣本數。

判斷規則為：

$$|\bar X_A-\bar X_B|>CR_{AB} \quad\Longrightarrow\quad \text{平均評分差異顯著}$$

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解題方法

將本題所給的 $q$ 值，以及題目前述案例中的 $MSE$、$n_A$、$n_B$ 代入 Tukey-Kramer 公式：

$$CR_{AB} = 3.77 \sqrt{ \frac{MSE}{2} \left( \frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B} \right) }$$

依該案例資料計算可得：

$$CR_{AB}\approx 2.61$$

接著比較 Hotel A 與 Hotel B 的樣本平均評分差：

$$|\bar X_A-\bar X_B|>2.61$$

核心觀念

本題考查二次趨勢模型與指數平滑法。

二次趨勢模型為：

$$y_t=\beta_0+\beta_1t+\beta_2t^2$$

當時間間隔相等時，一階差分為：

$$\Delta y_t=y_t-y_{t-1} =\beta_1+\beta_2(2t-1)$$

因此，二階差分為：

$$\Delta^2 y_t=\Delta y_t-\Delta y_{t-1}=2\beta_2$$

所以：

$$\beta_2=\frac{\Delta^2 y_t}{2}$$

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解題方法

（1）求二次趨勢係數 $\beta_2$

原始資料如下：

$t$	$y_t$
1	102.32
2	105.24
3	109.25
4	114.35

先計算一階差分：

$$\Delta y_2=105.24-102.32=2.92$$ $$\Delta y_3=109.25-105.24=4.01$$ $$\Delta y_4=114.35-109.25=5.10$$

再計算二階差分：

$$\Delta^2 y_3=4.01-2.92=1.09$$ $$\Delta^2 y_4=5.10-4.01=1.09$$

因為：

$$\Delta^2 y_t=2\beta_2$$

故：

$$2\beta_2=1.09$$ $$\boxed{\beta_2=0.545}$$

因此：

$$\boxed{(a)=0.545}$$

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（2）估計 2018 年收入

2018 年對應：

$$t=5$$

題目指出 $\beta_0=103.7025$，並使用第（1）小題得到的二次項係數。由於題幹將「第（1）小題估計的 $\beta_1$」誤植為 $\beta_1$，但第（1）小題實際要求的是 $\beta_2$，以下依已知 $\beta_0$、$\beta_2$ 與第 1 年資料推得 $\beta_1$。

代入 $t=1$：

$$102.32=103.7025+\beta_1(1)+0.545(1)^2$$

因此：

$$\beta_1=102.32-103.7025-0.545=-1.9275$$

2018 年的趨勢估計值為：

$$\hat y_5 =103.7025-1.9275(5)+0.545(5^2)$$ $$=103.7025-9.6375+13.625$$ $$\boxed{\hat y_5=107.69}$$

因此：

$$\boxed{(b)=107.69\text{ billion}}$$

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（3）加入指數平滑後的估計收入

年度估計誤差定義為：

$$e_t=y_t-\hat y_t$$

先利用模型計算各年度估計值：

這題是關於 Friedman 檢定，這是一種非參數檢定，用於比較三個或更多獨立組別的等級數據。它相當於重複測量設計的 Kruskal-Wallis 檢定。

題目設定：

• 設計：隨機區組設計 (Randomized block design)。
• 因子：推廣活動 (Promotion Campaign)，有 3 個水平 (Campaign A, B, C)。
• 區組：Block，有 5 個水平 (Block 1 到 5)。
• 數據：偏好評分 (Preference feedback)，從 1 (最不喜歡) 到 5 (最喜歡)。
• 檢定：Friedman $F_r$-statistic，檢定三個推廣活動是否存在差異。

Friedman 檢定的基本原理：
在每個區組內，將數據按等級排序，然後比較不同處理（推廣活動）的等級總和。

步驟：

1. (d) 計算 Campaign B 的等級總和 (Rank Sum)

首先，我們需要對每個區組 (Block) 內的數據進行等級排序。
評分越高表示越喜歡。
Friedman 檢定中，等級是從 1 開始，給予最高評分的處理等級 1，次高評分的等級 2，以此類推。
在這裡，評分範圍是 1 到 5。
最高評分 (5) 得到等級 1。
次高評分 (4) 得到等級 2。
中間評分 (3) 得到等級 3。
再次評分 (2) 得到等級 4。
最低評分 (1) 得到等級 5。

表格數據 (原始評分)：

Block	Campaign A	Campaign B	Campaign C
1	3	4	5
2	2	4	3
3	2	4	3
4	2	2	1
5	4	5	5

對每個 Block 內的評分進行排序並分配等級：

Block 1:
評分：A=3, B=4, C=5
排序：C(5) > B(4) > A(3)
等級：C=1, B=2, A=3

Block 2:
評分：A=2, B=4, C=3
排序：B(4) > C(3) > A(2)
等級：B=1, C=2, A=3

Block 3:
評分：A=2, B=4, C=3
排序：B(4) > C(3) > A(2)
等級：B=1, C=2, A=3

Block 4:
評分：A=2, B=2, C=1
排序：A(2) = B(2) > C(1)
等級：A和B並列最高，給予平均等級。總共有 3 個值，等級是 1, 2, 3。
A, B 的等級是 (1+2)/2 = 1.5。
C 的等級是 3。
等級：A=1.5, B=1.5, C=3

Block 5:
評分：A=4, B=5, C=5
排序：B(5) = C(5) > A(4)
等級：B和C並列最高，給予平均等級。總共有 3 個值，等級是 1, 2, 3。
B, C 的等級是 (1+2)/2 = 1.5。
A 的等級是 3。
等級：B=1.5, C=1.5, A=3

將等級結果整理成表格：

Block	Campaign A Rank	Campaign B Rank	Campaign C Rank
1	3	2	1
2	3	1	2
3	3	1	2