112 年 國立臺灣大學統計與數據科學碩士班《數學》

核心觀念

矩陣的 rank 可由特徵值判定：

• 若 $3\times 3$ 矩陣的三個特徵值皆非零，則 rank 為 $3$。
• 若有一個特徵值為 $0$，其餘特徵值非零，則 rank 為 $2$。
• 若只有一個非零特徵值，則 rank 為 $1$。

本題矩陣可寫成

$$A=(1-x)I+xJ,$$

其中 $I$ 為 $3\times 3$ 單位矩陣，$J$ 為元素全為 $1$ 的矩陣。矩陣 $J$ 的特徵值為 $3,0,0$，因此可直接求出 $A$ 的特徵值。

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解題方法一：利用特徵值

令

$$\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}.$$

先計算 $A\mathbf{1}$：

$$A\mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1+2x\\ 1+2x\\ 1+2x \end{pmatrix} =(1+2x)\mathbf{1}.$$

因此，$\mathbf{1}$ 是 $A$ 的特徵向量，對應特徵值

$$\lambda_1=1+2x.$$

再考慮所有分量和為 $0$ 的向量，例如

$$\mathbf{v}= \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}, \qquad a+b+c=0.$$

由於

$$J\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a+b+c\\ a+b+c\\ a+b+c \end{pmatrix} = \mathbf{0},$$

所以

$$A\mathbf{v} =((1-x)I+xJ)\mathbf{v} =(1-x)\mathbf{v}.$$

分量和為 $0$ 的向量空間維度為 $2$，故另有兩個特徵值：

$$\lambda_2=\lambda_3=1-x.$$

因此 $A$ 的特徵值為

$$1+2x,\qquad 1-x,\qquad 1-x.$$

矩陣的 rank 取決於非零特徵值的個數：

1. 當

   $$1+2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac12,$$

   此時特徵值為

   $$0,\quad \frac32,\quad \frac32,$$

   有兩個非零特徵值，因此

   $$\operatorname{rank}(A)=2.$$

2. 當

   $$1-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1,$$

   此時特徵值為

   $$3,\quad 0,\quad 0,$$

核心觀念

本題涵蓋三個基礎且重要的微積分與數列極限觀念：

1. 常數項的級數求和與無窮極限：辨識求和式中的被加項是否與指標變數（$i$）有關。若被加項不含指標，則級數和即為「項數 $\times$ 該常數項」。
2. 平方和公式或黎曼和（Riemann Sum）：
   • 自然數平方和公式：$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
   • 定積分定義（黎曼和）：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$。
3. 未定式極限（Indeterminate Forms）：處理「$\infty^0$」型未定式，常用手法為取自然對數轉化為「$\frac{\infty}{\infty}$」或「$\frac{0}{0}$」型，再搭配羅必達法則（L'Hôpital's Rule）與指數函數的連續性求值。

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解題方法

(i) 求 $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n}$

觀察級數求和符號內的項：

$$\left(\frac{1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}$$

此項與指標變數 $i$ 無關，對求和來說視為常數。
指標 $i$ 從 $0$ 到 $n-1$，共累計 $n$ 項。因此求和式為：

$$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n^3} = n \times \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n^2}$$

接著取極限：

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$$

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(ii) 求 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2$

本小題提供兩種常見標準解法：

• 解法一：代數代入平方和公式
  利用前 $n$ 個正整數平方和公式 $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，原式可寫為：

  $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}$$

  分子與分母同除以 $n^3$：

  $$\lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

• 解法二：轉為黎曼和（定積分定義）
  將 $\frac{1}{n^3}$ 拆成 $\frac{1}{n} \times \frac{1}{n^2}$，並將 $\frac{1}{n^2}$ 放入求和號內：

本題要求計算一個 2x2 矩陣的特徵值、特徵向量，並將其對角化。

(i) Find all eigenvalues of $A$

特徵值 $\lambda$ 是滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的值。

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}$$ $$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(4-\lambda) - (2)(1) = 0$$ $$12 - 3\lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 2 = 0$$ $$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$$

對此二次方程式進行因式分解：

$$(\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$$

因此，特徵值為 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 5$。

【答案】特徵值為 2 和 5。

(ii) Find all eigenvectors of $A$

對於每個特徵值 $\lambda$，我們求解 $(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$，其中 $\mathbf{v}$ 是對應的特徵向量。

情況 1：$\lambda_1 = 2$

$$A - 2I = \begin{pmatrix} 3-2 & 2 \\ 1 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

我們需要解方程組：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

這給出方程 $v_1 + 2v_2 = 0$。
令 $v_2 = t$ (其中 $t$ 是任意非零實數)，則 $v_1 = -2t$。
所以，對應於 $\lambda_1 = 2$ 的特徵向量為 $\mathbf{v}_1 = t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $t \neq 0$。
我們通常取 $t=1$，得到一個特徵向量 $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$。

情況 2：$\lambda_2 = 5$

$$A - 5I = \begin{pmatrix} 3-5 & 2 \\ 1 & 4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

我們需要解方程組：

$$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

這給出方程 $v_1 - v_2 = 0$ (或者 $-2v_1 + 2v_2 = 0$)。
令 $v_2 = s$ (其中 $s$ 是任意非零實數)，則 $v_1 = s$。
所以，對應於 $\lambda_2 = 5$ 的特徵向量為 $\mathbf{v}_2 = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $s \neq 0$。
我們通常取 $s=1$，得到一個特徵向量 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

【答案】對應於特徵值 2 的特徵向量是 $t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$)；

核心觀念

(i) 使用微積分基本定理第一部分：若 $f$ 在區間上連續，則

$$\frac{d}{ds}\int_a^s f(t)\,dt=f(s).$$

(ii) 使用分部積分法，並利用原積分在分部積分後再次出現的特性，將它移項求解。

解題方法

(i) 被積分函數 $f(t)=\sqrt{t}\sin t$ 在 $t\geq 0$ 連續，因此由微積分基本定理，

$$\frac{d}{ds}\int_0^s \sqrt{t}\sin t\,dt =\sqrt{s}\sin s.$$

(ii) 設

$$I=\int e^x\cos x\,dx.$$

第一次分部積分，取 $u=\cos x$、$dv=e^x\,dx$，則 $du=-\sin x\,dx$、$v=e^x$：

$$I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx.$$

本題要求計算矩陣的列空間、行空間和零空間的基底。這通常可以透過將矩陣化為列梯形 (Row Echelon Form, REF) 或約簡列梯形 (Reduced Row Echelon Form, RREF) 來完成。

將矩陣 $A$ 化為約簡列梯形 (RREF)。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

第一步：將第二列減去第一列，以在第一行的第一個元素下方產生零。
$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

第二步：將第三列加上第二列，以在第二行的第二個元素下方產生零。
$R_3 \leftarrow R_3 + R_2$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

第三步：將第二列乘以 -1，使主元為 1。
$R_2 \leftarrow -R_2$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

第四步：將第一列減去第二列，以在第一行的第二個元素上方產生零。
$R_1 \leftarrow R_1 - R_2$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

這是矩陣 $A$ 的約簡列梯形 (RREF)。

(i) Find a basis for the row space of $A$.

行空間的基底是由矩陣的行梯形 (REF) 或約簡列梯形 (RREF) 中的非零行向量組成的。
在 RREF 中，非零行是 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
所以，行空間的基底是 $\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \}$。
注意：也可以使用原始矩陣的對應的線性無關行向量作為基底。在 RREF 中，前兩個行向量是基本變換的結果，它們對應於原始矩陣的前兩個行向量。然而，更嚴謹的說法是，RREF 的非零行是行空間的一個基底。

【答案】$\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \}$。

本題要求使用拉格朗日乘數法，在給定的約束條件下，找到函數 $f(x, y) = xy - x$ 的最大值和最小值。

約束條件是 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$。
拉格朗日乘數法的原理是，在約束條件下，函數的極值點會滿足 $\nabla f = \lambda \nabla g$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘數。

首先，計算梯度 $\nabla f$ 和 $\nabla g$。
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (y-1, x)$
$\nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) = (2x, 2y)$

拉格朗日乘數方程組為：

1. $y - 1 = \lambda (2x)$
2. $x = \lambda (2y)$
3. $x^2 + y^2 = 1$ (約束條件)

我們需要解這個方程組。

從方程 (2) $x = 2\lambda y$。
考慮兩種情況：

情況 1：$\lambda = 0$。
如果 $\lambda = 0$，則從方程 (2) 得到 $x = 0$。
從方程 (1) 得到 $y - 1 = 0 \implies y = 1$。
將 $x=0, y=1$ 代入約束條件 (3)：$0^2 + 1^2 = 1$。這滿足約束條件。
此時的函數值為 $f(0, 1) = (0)(1) - 0 = 0$。

情況 2：$\lambda \neq 0$。
從方程 (2) $x = 2\lambda y$。
將 $x$ 代入方程 (1)：
$y - 1 = \lambda (2 (2\lambda y)) = 4\lambda^2 y$
$y - 1 = 4\lambda^2 y$
$y - 4\lambda^2 y = 1$
$y(1 - 4\lambda^2) = 1$

如果 $1 - 4\lambda^2 = 0$，則 $1 = 0$，這是矛盾的。所以 $1 - 4\lambda^2 \neq 0$。
因此，$y = \frac{1}{1 - 4\lambda^2}$。

現在我們需要用 $\lambda$ 和 $y$ 來表示 $x$。
從方程 (2)，如果 $y=0$，則 $x=0$，但 $x^2+y^2=1$ 意味著 $x, y$ 不能同時為零。所以 $y \neq 0$。
從方程 (1)，如果 $x=0$，則 $y=1$ (已在情況 1 討論)。
如果 $y=0$，則 $x = \pm 1$。
如果 $x=1, y=0$:
方程 (1): $0-1 = \lambda(2(1)) \implies -1 = 2\lambda \implies \lambda = -1/2$.
方程 (2): $1 = \lambda(2(0)) \implies 1 = 0$. 這是矛盾的。
如果 $x=-1, y=0$:
方程 (1): $0-1 = \lambda(2(-1)) \implies -1 = -2\lambda \implies \lambda = 1/2$.
方程 (2): $-1 = \lambda(2(0)) \implies -1 = 0$. 這是矛盾的。