112 年 國立臺灣大學統計碩士學位學程《統計學（G）》

本題在考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用。CLT 指出，不論母體分佈為何，當樣本數夠大時，樣本平均值的抽樣分佈會趨近於常態分佈。

簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS) 是最基礎的機率抽樣方法，在理想情況下，它確實能讓母體中的每一個樣本都有均等的機會被選到，因此能獲得較好的代表性。然而，「最佳的樣本代表性」是一個絕對的說法，可能過於武斷。

本題在考驗抽樣推論的適用範圍。從一個特定大學（如臺灣大學）的學生樣本來推論「全國大學生」的狀況，通常是不可行的，因為臺大學生可能在經濟、家庭背景、就學選擇、學術傾向等方

盒鬚圖 (Boxplot) 是一種用來顯示數據分佈的圖形，它主要顯示以下統計量：最小值 (Minimum)、第一四分位數 (Q1)、中位數 (Median, Q2)、第三四分位數 (Q3)、最大值 (Max

莖葉圖 (Stem-and-leaf plot) 是一種顯示數據分佈的圖形，它可以顯示：

1. 最小值與最大值。
2. 分佈的形狀：透過觀察莖葉的排列，可以大致判斷數據是偏左 (left-skewed)、偏右 (right-skewed) 或對稱。

本題考驗對 Type I error 的理解及其在實際應用中的重要性。Type I error (第一類錯誤) 是指在虛無假設 (Null Hypothesis) 為真時，卻拒絕了虛無假設。在涉及生命安全的研究中，例如藥物療效、公共安全標準等，Type I error 的後果可能非常嚴重（例如，誤判一種無效的藥物為有效，導致病患延誤治療；

此敘述是統計假設檢定的基本原則。在假設檢定中，我們是根據樣本資料來判斷是否有足夠的證據拒絕虛無假設 (H0)。即使我們拒絕了 H0，這也只是表示在目前的樣本資料下，H0 成立的可能性非常低 (低於顯著水準 $\alpha$)。這並不代表 H0 就「絕對是假的」。可能的原因是：

本題考驗機率的估計。
實驗是投擲普通精靈球 100,000 次，其中 60,125 次成功捕抓。
成功率的估計值是：

本題考驗期望值的計算。
假設 $p_1$ 是普通精靈球的成功率， $p_2$ 是超級精靈球的成功率。
已知 $p_1 = 0.60$，$p_2 = 0.80$。
擁有 100 顆普通精靈球，50 顆超級精靈球。
每次投擲視為一個獨立的伯努利試驗 (Bernoulli trial)。

本題考驗獨立事件的機率計算。
假設一枚戰術導彈成功攔截的機率為 $P(\text{成功}) = 0.70$。
則一枚戰術導彈攔截失敗的機率為 $P(\text{失敗}) = 1 - P(\text{成功}) = 1 - 0.70 = 0.30$。
同時發射三枚戰術導彈，且彼此之間互不相干 (independent)。
我們要求三枚導彈都失敗的機率。
由於事件獨立，三枚都失敗的機率是各枚失敗機率的乘積：

本題考驗對單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 基本假設的理解。One-way ANOVA 是一種用於比較三個或三個以上獨立群體平均數是否相等的統計方法。其主要假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組樣本之間以及各組樣本內部，觀察值之間必須是相互獨立的。在本次實驗中，代表不同遊客的滿意度分數應是獨立的，且同一組遊客中的分數也應獨立。

本題考驗對 ANOVA 檢定的虛無假設 (Null Hypothesis) 和對立假設 (Alternative Hypothesis) 的理解。
在單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 中，我們比較的是多個群體的平均數。
在此案例中，有 4 項遊樂設施，因此有 4 個群體。

• 虛無假設 (H0)：所有群體的母體平均數都相等。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$
  (其中 $\mu_i$ 代表第 $i$ 項遊樂設施的母體平均滿意度分數)

本題要求解釋 ANOVA 的統計分析結果，特別是 F 值和 P 值。
ANOVA 表提供的結果如下：

• Source of variation: Between groups (組間), Error (組內)
• Sum of square: 組間 SS = 72, 組內 SS = 856.34
• Degree of freedom: 組間 df = 3, 組內 df = 76
• Mean squares: 組間 MS = 24, 組內 MS = 11.27
• F value: 2.13
• P value: 0.103

解釋步驟：

1. 計算 F 值：F 值是組間均方 (Mean Square Between Groups) 除以組內均方 (Mean Square Error)。
   $F = \frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Error}}} = \frac{24}{11.27} \approx 2.13$
   此計算結果與表格中的 F 值相符。F 值衡量的是組間變異相對於組內變異的大小。F 值越大，表示組間差異越大。

本題考驗事後比較檢定 (Post hoc test) 的適用時機。
事後比較檢定，例如 Tukey's HSD, Bonferroni, Scheffé 等，是在 ANOVA 檢定結果顯示拒絕虛無假設（即發現至少有一個群體平均數與其他群體不同）之後，用來進一步找出是哪些具體群體之間存在顯著差異。

本題考驗樣本平均數的信賴區間計算與解釋。
已知：

• 母體標準差 $\sigma = 9,000$ (題目中提到「標準差為9,000」，且母體收入符合常態分佈，通常在信賴區間計算中，若母體標準差已知，則使用 Z 分佈；若未知，則使用 t 分佈。這裡假設母體標準差已知。)
• 樣本數 $n = 100$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 65,000$
• 信賴水準 = 95%

1. 計算標準誤 (Standard Error, SE)
由於母體標準差 $\sigma$ 已知，標準誤為：
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{9,000}{\sqrt{100}} = \frac{9,000}{10} = 900$

2. 尋找臨界值 (Critical Value)
對於 95% 的信賴水準，我們需要尋找 Z 分佈下的臨界值。95% 信賴區間意味著 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。因為是雙尾檢定，所以我們尋找 $\alpha/2 = 0.025$ 對應的 Z 值。

本題考驗二項分佈 (Binomial Distribution) 的應用。

1. 定義參數：

   • 試驗次數 $n = 30$ (報名人數)。
   • 每次試驗是成功或失敗：這裡的「成功」定義為「準時繳費」。
   • 準時繳費的機率 $p = 0.60$。
   • 不準時繳費的機率 $q = 1 - p = 1 - 0.60 = 0.40$。
   • 我們關心的是「30 位報名者都不會準時繳費」的事件。這相當於「30 位報名者全部都失敗（不準時繳費）」的事件。

2. 二項分佈公式：
   二項分佈的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
   $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

本題考驗比例的假設檢定 (Hypothesis Test for Proportions)。
我們需要比較 A 國離島的酒駕事故死亡比例與 A 國整體的酒駕事故死亡比例，判斷兩者是否存在顯著差異。

1. 設定參數與假設

• A 國整體比例：$p_0 = 0.20$ (已知)。

• A 國離島樣本：

  • 樣本數 $n = 200$。
  • 樣本中酒駕死亡數 $x = 95$。
  • 離島的樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{95}{200} = 0.475$。

• 虛無假設 ($H_0$)：A 國離島的酒駕事故死亡比例等於 A 國整體比例。
  $H_0: p = p_0 = 0.20$

• 對立假設 ($H_1$)：A 國離島的酒駕事故死亡比例不等於 A 國整體比例。
  $H_1: p \neq p_0 = 0.20$
  這是一個雙尾檢定。

2. 檢定統計量
我們使用 Z 檢定，其公式為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

本題考驗對適合數據類型的統計檢定方法的選擇。
數據類型：

• 自變數 (Independent Variable)：種植方式，分為「自然農法」和「慣行農法」。這是類別變數 (Categorical Variable)。
• 應變數 (Dependent Variable)：植株是否蟲害，分為「無蟲害」和「有蟲害」。這也是類別變數。

我們有兩個類別變數，並且想知道這兩個變數之間是否相關，或者說，一種種植方式的蟲害比例是否與另一種不同。這種情況適合使用 卡方檢定 (Chi-squared test)，更具體地說是 獨立性卡方檢定 (Chi-squared test of independence)，來檢定「種植方式」和「是否有蟲害」這兩個變數是否相互獨立。

1. 設定假設

• 虛無假設 ($H_0$)：種植方式與是否有蟲害是相互獨立的。
• 對立假設 ($H_1$)：種植方式與是否有蟲害不是相互獨立的（即存在關聯）。

2. 計算期望次數 (Expected Frequencies)
卡方檢定的核心是比較觀察次數 (Observed Frequencies, $O$) 與期望次數 (Expected Frequencies, $E$)。
期望次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{\text{Grand Total}}$
其中 $i$ 代表列 (無蟲害/有蟲害)，$j$ 代表欄 (自然農法/慣行農法)。

• 無蟲害, 自然農法: $E_{11} = \frac{100 \times 50}{200} = 25$
• 無蟲害, 慣行農法: $E_{12} = \frac{100 \times 150}{200} = 75$
• 有蟲害, 自然農法: $E_{21} = \frac{100 \times 50}{200} = 25$
• 有蟲害, 慣行農法: $E_{22} = \frac{100 \times 150}{200} = 75$

本題考驗對皮爾森相關係數 (Pearson Correlation Coefficient, $r$) 的理解及其與散佈圖的關係。皮爾森相關係數衡量的是兩個變數之間線性關聯的強度與方向。其值介於 -1 和 1 之間：

• $r$ 接近 1 表示強烈正線性相關。
• $r$ 接近 -1 表示強烈負線性相關。
• $r$ 接近 0 表示線性關聯很弱或不存在。

散佈圖 (Scatter Plot) 是視覺化兩個變數之間關係的工具。如果數據點大致沿著一條直線分布，則表示存在線性相關。

分析散佈圖：

1. Factor A 與 Factor B (左圖)：

   • 數據點大致沿著一條從左下方到右上方傾斜的直線分布。
   • 數據點緊密地聚集在這條直線上，沒有明顯的離散。
   • 這表示 Factor A 和 Factor B 之間存在強烈且正向的線性相關。

2. Factor A 與 Factor C (右圖)：

   • 數據點也呈現從左下方到右上方傾斜的趨勢，表示存在正向關係。
   • 然而，數據點的散佈程度遠大於左圖。點子們明顯地分散開來，沒有緊密地貼合在任何一條單一直線上。
   • 這表示 Factor A 和 Factor C 之間存在正向關係，但線性關聯的強度較弱，可能存在非線性成分或其他變異。

核心觀念

本題考查病例—對照研究中的勝算比（odds ratio, OR）與交互作用解讀。

表中的 AOR（adjusted odds ratio）是經教育程度與職業別調整後的勝算比，基準組為：

• 不吸菸
• 不飲酒
• 不嚼檳榔

其 AOR 設為 $1.0$。因此，表中各組的 AOR 是相對於此基準組的口腔癌疾病勝算。

嚴格而言，病例—對照研究通常解讀為「疾病勝算」或「罹病勝算」，不直接稱為疾病風險。

解題方法

一、同時吸菸、飲酒、嚼檳榔

查表中：

• Cigarette smoking：User
• Alcohol drinking：User
• Betel chewing：User

其 AOR 為：

基準組為不吸菸、不飲酒、不嚼檳榔，AOR 為 $1.0$，所以：

因此，同時具有三種行為者的口腔癌疾病勝算約為基準組的 $122.8$ 倍。

二、在飲酒者中比較嚼檳榔與不嚼檳榔

由於表格仍分吸菸與不吸菸，因此必須在相同吸菸狀態下比較。

若同時為吸菸者

• 飲酒、吸菸且嚼檳榔：AOR $=122.8$
• 飲酒、吸菸但不嚼檳榔：AOR $=22.3$

因此：