113 年國立臺灣大學統計碩士學位學程《統計學（G）》考古題與詳解

Question 1

1. (15%) The Bureau of Weather has documented the maximum temperatures for July in a specific city between 1920 and 2020, with a mean of 33.2 degrees and a standard deviation of 5.1. Meteorologists randomly select 36 years from these records, averaging the maximum temperatures for July in these samples and recording the sample mean. They repeat this process 1,000 times to create a distribution of sample means. (1) What would you anticipate the shape of this distribution to be—symmetric, right-skewed, or left-skewed? Explain your reasoning. (5%) (2) Determine the variability of this distribution and specify the appropriate term used to describe this value. (5%) (3) If these meteorologists decide to select random samples of 9 years, recording the sample mean of the maximum temperature, and r…

Accepted Answer

核心觀念 本題考「樣本平均數的抽樣分配」。若母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$，每次抽取 $n$ 個觀測值並計算樣本平均數 $\bar X$，則： - 抽樣分配的中心為 $\mu{\bar X}=\mu$。 - 樣本平均數的標準差稱為標準誤（standard error），為 $$\sigma{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$ - 根據中央極限定理，當樣本數夠大時，樣本平均數的抽樣分配近似對稱；即使母體分配不對稱，樣本平均數的分配也會隨樣本數增加而趨近常態。 以下依一般抽樣分配公式計算，將不同次抽樣視為相互獨立。 解題方法 (1) 抽樣分配的形狀 每次樣本包含 $36$ 年的最高氣溫，並記錄其平均數。樣本數 $n=36$ 足以使用中央極限定理判斷：樣本平均數的抽樣分配近似對稱，形狀近似常態。 題目未提供原始氣溫分配的形狀，因此不宜判斷原始資料本身是右偏或左偏；但樣本平均數的分配在此樣本數下可預期近似對稱。 (2) 抽樣分配的變異程度 抽樣分配的變異程度以標準誤表示。已知母體標準差 $\sigma=5.1$，樣本數 $n=36$，因此：

Question 2

2. (15%) Social scientists surveyed 196 randomly selected undergraduates at a college regarding the number of welcome parties they attended during their freshman year. The histogram (Figure 1) displays the distribution of this sampled data, with an average count of 3.2 and a standard deviation of 2.0. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 Figure 1 Estimate the average number of welcome parties attended by the college student using a 90% confidence interval and provide an interpretation of this interval within the context. (10%) Additionally, describe the possible biases and assumptions required for statistical inference in this case before performing calculations and drawing conclusions. (5%)

Accepted Answer

本題主要考驗信賴區間的建構、解釋，以及對統計推論中潛在偏差與假設的理解。

首先，我們需要計算 90% 信賴區間。
樣本數 $n = 196$ 。
樣本平均數 $\bar{x} = 3.2$ 。
樣本標準差 $s = 2.0$ 。
由於樣本數 $n=196$ 夠大，我們可以近似使用 Z 分布。90% 信賴水準對應的 Z 值為 $z_{\alpha/2} = z_{0.05} \approx 1.645$ 。
信賴區間的公式為： $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$ 。

計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.0}{\sqrt{196}} = \frac{2.0}{14} \approx 0.1429$ 。

計算信賴區間：
$3.2 \pm 1.645 \times 0.1429$
$3.2 \pm 0.2349$
信賴區間約為 $[3.2 - 0.2349, 3.2 + 0.2349] = [2.9651, 3.4349]$ 。

解釋信賴區間：
我們有 90% 的信心，認為大學生平均參加的迎新派對數量落在區間 $[2.9651, 3.4349]$ 之間。換句話說，如果我們重複抽樣並計算 90% 信賴區間 100 次，預計其中約 90 個區間會包含真實的母體平均數。

潛在偏差與假設：
在進行統計推論前，需要考慮以下幾點：

偏差 (Biases):
- 抽樣偏差 (Sampling Bias): 題目提到是「隨機選取的」大學生，但若隨機選取的範圍（例如僅限某特定學院、年級或居住校外學生）未能代表所有大學生，則可能產生偏差。

Question 3

3. (40%) The Department of Agriculture compiled data in Table 1 from a 23-year study on crop cold damages. The table presents temperatures in Fahrenheit($\degree$F) and the reported number of damaged farms (in hundreds) due to low temperatures. Table 1 Year ID | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 ------- |---|---|---|---|---|---|---|---|--- Temperature [°F] | 53 | 57 | 58 | 63 | 66 | 67 | 67 | 67 | 68 Damaged farms | 5 | 3 | 6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 Year ID | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 ------- |----|----|----|----|----|----|----|----|---- Temperature [°F] | 69 | 70 | 70 | 70 | 70 | 72 | 73 | 75 | 75 Damaged farms | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 Year ID | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 ------- |----|----|----|----|---- Temperature [°F] | 76 | 76 | 78 | 79 | 81 Damaged farms | 0…

Accepted Answer

本題主要考驗對離散型資料的機率分布選擇、迴歸模型（特別是廣義線性模型）的理解，以及迴歸結果的解釋。

(1) 潛在機率分布與迴歸模型建議

潛在機率分布：
我們要模擬的是「受損農場的數量」（單位為百戶），這是一個計數型（count data）的反應變數。常見的計數型資料機率分布包括：

卜瓦松分布 (Poisson Distribution): 這是最常見的計數資料模型。它假設事件發生的平均率是固定的，且事件發生的次數之間是獨立的。卜瓦松分布的平均數和變異數是相等的。
負二項分布 (Negative Binomial Distribution): 當計數資料的變異數大於其平均數時（即過度離散，overdispersion），負二項分布會比卜瓦松分布更適合。

迴歸模型：
由於反應變數是計數型資料，且我們想探討溫度（連續型解釋變數）對其影響，適合的模型是計數迴歸模型 (Count Regression Model)。

卜瓦松迴歸 (Poisson Regression): 如果假設農場受損數量符合卜瓦松分布，則可使用卜瓦松迴歸。模型形式為 $E(Y|X) = \exp(\beta_0 + \beta_1 X)$ ，其中 $Y$ 是受損農場數量， $X$ 是溫度。
負二項迴歸 (Negative Binomial Regression): 如果存在過度離散，則應考慮使用負二項迴歸。

理由：

反應變數性質： 受損農場的數量是非負整數，是典型的離散計數資料。
解釋變數： 溫度是連續變數，可以作為預測因子。
模型目的： 我們關心的是溫度如何影響受損農場的「平均數量」。計數迴歸模型能直接對平均數進行建模，並處理非負整數的反應變數。
卜瓦松分布假設： 雖然原始數據中，當溫度較高時（例如 $\ge 66^{\circ}$ F），受損農場數量為 0 的情況很多，這在卜瓦松分布中是可能的。但若觀察到變異數明顯大於平均數，則需考慮負二項分布。

【答案】潛在機率分布建議使用卜瓦松分布或負二項分布。適合的迴歸模型是計數迴歸模型，如卜瓦松迴歸或負二項迴歸。理由是反應變數（受損農場數量）是離散計數資料，且我們想探討連續變數（溫度）的影響。

(2) 新變數 "Damage" 的適合性似然函數與連結函數

新變數 "Damage" 的定義：
"Damage" = 1 (當 Damaged farms > 0)
"Damage" = 0 (當 Damaged farms = 0)
這個新變數是一個二元變數（Binary Variable），表示「是否有農場受損」。

適合的似然函數 (Likelihood Function) 與迴歸模型：
當反應變數是二元變數時，最適合的模型是羅吉斯迴歸 (Logistic Regression) 或Probit 迴歸。這些模型屬於廣義線性模型 (Generalized Linear Models, GLM) 的範疇。

羅吉斯迴歸：
- 反應變數 $Y$ （在此即 "Damage"）服從伯努利分布 (Bernoulli Distribution)。
- 伯努利分布的參數是 $p$ ，即成功的機率（在此即「有農場受損」的機率）。
- 似然函數基於獨立伯努利試驗的乘積。
- 模型形式為 $P(Y=1 | X) = p$ ，其中 $X$ 是溫度。

理由：

反應變數性質： "Damage" 變數是二元的（0 或 1），代表一個二元結果。伯努利分布是描述單次二元試驗結果的模型。
建模目標： 我們想建立溫度與「發生農場受損」這個事件機率之間的關係。

連結函數 (Link Function):
在廣義線性模型中，連結函數用於將線性預測器 $\eta = \beta_0 + \beta_1 X$ 與反應變數的期望值（或其轉換）聯繫起來。對於二元反應變數，常用的連結函數有：

Logit 連結函數 (Logit Link Function):
- 連結函數為 $g(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right)$ 。
- 模型關係為 $\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1 X$ 。
- 這裡的 $p$ 是 $P(\text{Damage}=1 | \text{Temperature})$ 。
- 這是羅吉斯迴歸的核心。它將機率 $p$ 的對數勝算（log-odds）與線性預測器聯繫起來。

Question 4

4. (30%) (1) The measurements of two variables across six samples are displayed in Matrix A. Determine the sample covariance matrix based on this data. (15%) $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -4 \ -7 & -1 & 8 \ -6 & -1 & -4 \end{pmatrix}$ The sample covariance matrix is $S = A A^T / (n-1)$. (2) Assume there is a new axis with unit vector of $v = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$. Calculate the variances on the new axis. (15%)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 以中心化資料矩陣計算樣本共變異數矩陣： $$S=\frac{AA^T}{n-1}.$$ 2. 線性組合或新座標軸上的變異數。若新軸的單位向量為 $v$，則該軸上的變異數為： $$\operatorname{Var}(v^TX)=v^TSv.$$ 其中，公式 $S=AA^T/(n-1)$ 的前提是 $A$ 已經是中心化後的資料矩陣。 --- （1）樣本共變異數矩陣 題目給定： $$ A= \begin{pmatrix} 1&7&-4\ -7&-1&8\ -6&-1&-4 \end{pmatrix}. $$ 先計算 $AA^T$： $$ AA^T= \begin{pmatrix} 1&7&-4\ -7&-1&8\ -6&-1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-7&-6\ 7&-1&-1\ -4&8&-4 \end{pmatrix}. $$ 逐項計算： $$ AA^T= \begin{pmatrix} 1^2+7^2+(-4)^2 & 1(-7)+7(-1)+(-4)(8) & 1(-6)+7(-1)+(-4)(-4) \[4pt] (-7)(1)+(-1)(7)+8(-4) & (-7)^2+(-1)^2+8^2 & (-7)(-6)+(-1)(-1)+8(-4) \[4pt] (-6)(1)+(-1)(7)+(-4)(-4) & (-6)(-7)+(-1)(-1)+(-4)(8) & (-6)^2+(-1)^2+(-4)^2 \end{pmatrix} $$ 因此： $$ AA^T= \begin{pmatrix} 66&-46&3\ -46&114&11\ 3&11&53 \end{pmatrix}. $$ 題幹寫明共有六個樣本，因此 $n=6$，$n-1=5$。故依題目指定公式： $$ S=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 66&-46&3\ -46&114&11\ 3&11&53 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{66}{5}&-\dfrac{46}{5}&\dfrac35\[4pt] -\dfrac{46}{5}&\dfrac{114}{5}&\dfrac{11}{5}\[4pt] \dfrac35&\dfrac{11}{5}&\dfrac{53}{5} \end{pmatrix}. $$ --- （2）新軸上的變異數 題目給定新軸的單位向量： $$ v= \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\ 1/\sqrt2 \end{pmatrix}. $$

113 年國立臺灣大學統計碩士學位學程《統計學（G）》

第 1 題15 分

核心觀念

解題方法

(1) 抽樣分配的形狀

(2) 抽樣分配的變異程度

第 2 題15 分

第 3 題40 分

第 4 題30 分

（1）樣本共變異數矩陣

（2）新軸上的變異數

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