113 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎數學（含微積分、線性代數）》

核心觀念

矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 與特徵向量 $\mathbf v\neq \mathbf 0$ 定義為

$$A\mathbf v=\lambda \mathbf v.$$

求特徵值通常由特徵方程

$$\det(A-\lambda I)=0$$

開始。若已知

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v,$$

則對同一特徵向量 $\mathbf v$ 有：

$$A^2\mathbf v=\lambda^2\mathbf v,$$ $$A^{-1}\mathbf v=\frac{1}{\lambda}\mathbf v \quad(\lambda\neq 0),$$ $$(A-4I)\mathbf v=(\lambda-4)\mathbf v.$$

因此，本題先求出 $A$ 的特徵值與特徵向量，再利用矩陣函數的特徵值變換公式，即可得到其餘三個矩陣的答案。

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一、矩陣 $A$ 的特徵值與特徵向量

題目給定

$$A= \begin{bmatrix} 2&-1\\ -1&2 \end{bmatrix}.$$

1. 求特徵值

特徵方程為

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

計算得

$$A-\lambda I= \begin{bmatrix} 2-\lambda&-1\\ -1&2-\lambda \end{bmatrix},$$

因此

$$\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)^2-1.$$

分解為

$$(2-\lambda)^2-1 = (1-\lambda)(3-\lambda).$$

所以

$$(1-\lambda)(3-\lambda)=0,$$

得到兩個特徵值：

$$\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=3.$$

2. 求 $\lambda=1$ 的特徵向量

解齊次方程

$$(A-I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

其中

$$A-I= \begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{bmatrix}.$$

令

$$\mathbf v= \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix},$$

則

$$x-y=0,$$

所以 $x=y$。因此特徵向量可表示為

$$\mathbf v=t \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

故 $\lambda=1$ 的特徵向量為

$$\operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} \right\}.$$

3. 求 $\lambda=3$ 的特徵向量

解

$$(A-3I)\mathbf v=\mathbf 0.$$

其中

$$A-3I= \begin{bmatrix} -1&-1\\ -1&-1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$-x-y=0,$$

也就是 $x=-y$。故特徵向量可表示為

$$\mathbf v=t \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

故 $\lambda=3$ 的特徵向量為

$$\operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} \right\}.$$

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二、矩陣 $A^2$ 的特徵值與特徵向量

若 $\mathbf v$ 是 $A$ 對應於 $\lambda$ 的特徵向量，則

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$

再乘一次 $A$：

$$A^2\mathbf v = A(A\mathbf v) = A(\lambda\mathbf v) = \lambda A\mathbf v = \lambda^2\mathbf v.$$

因此，$A^2$ 與 $A$ 具有相同的特徵向量，特徵值則變為原特徵值的平方。

1. 直接計算 $A^2$

$$A^2 = \begin{bmatrix} 2&-1\\ -1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&-1\\ -1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5&-4\\ -4&5 \end{bmatrix}.$$

2. 特徵值與特徵向量

對應關係如下：

$$\lambda=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2=1,$$

其特徵向量為

$$t \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

以及

$$\lambda=3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2=9,$$

其特徵向量為

$$t \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}, \qquad t\neq 0.$$

所以 $A^2$ 的特徵值為 $1,9$。

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三、矩陣 $A^{-1}$ 的特徵值與特徵向量

因為 $A$ 的特徵值 $1,3$ 均不為零，所以 $A$ 可逆。

若

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v,$$

兩邊左乘 $A^{-1}$，得

$$\mathbf v=\lambda A^{-1}\mathbf v.$$

因此

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值與特徵向量：

• 若存在非零向量 $\mathbf{x}$ 與純量 $\lambda$，使得
  $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},$
  則 $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的特徵值，$\mathbf{x}$ 稱為對應的特徵向量。
• 本矩陣具有高度對稱性，可利用全為 $1$ 的矩陣快速判斷。
• 矩陣 $A$ 為實對稱矩陣，因此不同特徵值所對應的特徵向量彼此正交。

解題方法

令 $J$ 表示 $3\times 3$ 的全 $1$ 矩陣：

$$J= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix}.$$

原矩陣可寫成

$$A=5I-J,$$

因為 $5I$ 的對角線元素為 $5$，扣除 $J$ 後，對角線變為 $4$，非對角線變為 $-1$。

一、找出特徵值 $2$

取全為 $1$ 的向量

$$\mathbf{u}= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

計算：

$$A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 4&-1&-1\\ -1&4&-1\\ -1&-1&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\2\\2 \end{bmatrix} = 2\mathbf{u}.$$

因此，

$$\lambda=2$$

是特徵值，其對應特徵向量為

$$\mathbf{x}=c \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad c\neq 0.$$

二、找出特徵值 $5$

考慮所有分量總和為 $0$ 的向量：

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}, \qquad x+y+z=0.$$

由於

$$J\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x+y+z\\ x+y+z\\ x+y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix},$$

所以

$$A\mathbf{x} =(5I-J)\mathbf{x} =5\mathbf{x}.$$

因此，

$$\lambda=5$$

是特徵值，其特徵空間為

$$E_5= \left\{ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}:x+y+z=0 \right\}.$$

此特徵空間為二維，因此特徵值 $5$ 的代數重數與幾何重數皆為 $2$。

可取一組基底為

核心觀念

矩陣 $A$ 的反矩陣 $A^{-1}$ 定義為

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I,$$

其中 $I$ 為同階單位矩陣。矩陣 $A$ 可逆的必要且充分條件為

$$\det(A)\neq 0.$$

由於本題寫作「承上題 2.」，但題目未提供第 2 題所定義的矩陣 $A$，因此無法求出唯一的數值矩陣。

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解題方法

若第 2 題給定的是二階矩陣

$$A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix},$$

先計算行列式：

$$\det(A)=ad-bc.$$

當 $ad-bc\neq 0$ 時，矩陣 $A$ 的反矩陣為

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}.$$

推導可由伴隨矩陣公式得到：

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),$$

而二階矩陣的伴隨矩陣為

$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}.$$

將所得矩陣與 $A$ 相乘驗算：

本題考查極限的計算，特別是與指數函數相關的標準極限。

此極限形式為 $\frac{0}{0}$，是個不定型，可以使用羅畢達法則 (L'Hôpital's Rule) 或利用定義來求解。

方法一：羅畢達法則
對分子和分母分別微分：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1}$
將 $x=0$ 代入：
$\frac{e^0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

方法二：利用導數的定義
我們知道函數 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 處的導數定義為：

本題考查含有指數形式的極限計算，通常需要轉換成指數函數的形式，並運用羅畢達法則或泰勒級數。

此極限為 $1^\infty$ 的不定型，我們令 $L = \lim_{x \to 0} (\cos(x))^{1/x^2}$。
取自然對數：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( (\cos(x))^{1/x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln(\cos(x)) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos(x))}{x^2}$
此極限為 $\frac{\ln(\cos(0))}{0^2} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$ 的不定型，我們可以使用羅畢達法則。

對分子和分母分別微分：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln(\cos(x))}{\frac{d}{dx} x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan(x)}{2x}$
此極限仍為 $\frac{0}{0}$ 的不定型，再次使用羅畢達法則：

本題考查不定積分的計算，屬於對數函數與多項式函數的乘積，適合使用分部積分法。

分部積分法的公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇 $u = \ln(x)$ (因為其微分後會變成多項式) 和 $dv = x^2 dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3$。

套用分部積分公式：
$\int x^2 \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{1}{3}x^3 - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} dx$

本題考查指數函數與三角函數乘積的積分，通常需要使用兩次分部積分法。

我們令 $I = \int e^x \cos(x) dx$。
第一次分部積分：
選擇 $u = \cos(x)$， $dv = e^x dx$。
則 $du = -\sin(x) dx$， $v = e^x$。
$I = e^x \cos(x) - \int e^x (-\sin(x)) dx$
$I = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) dx$
第二次分部積分，對 $\int e^x \sin(x) dx$ 進行：
選擇 $u = \sin(x)$， $dv = e^x dx$。
則 $du = \cos(x) dx$， $v = e^x$。

本題考查三角函數的積分，其中被積函數是 $\sin(x)$ 的冪次與 $\cos(x)$ 的乘積，適合使用換元積分法。

令 $u = \sin(x)$。
則 $du = \cos(x) dx$。
將原積分轉換為關於 $u$ 的積分：

核心觀念

本題考查：

• 曲線與直線的交點求法。
• 由交點判斷封閉圖形的邊界。
• 分段定積分計算面積。
• 面積公式：

$$\text{面積}=\int_a^b \bigl(\text{上方函數}-\text{下方函數}\bigr)\,dx$$

四條邊界為：

$$y=x^2,\qquad y=0,\qquad x=3,\qquad y=2-x$$

其中「四條線包圍之圖形」是指四個邊界均參與構成的封閉區域。

解題方法

1. 求各邊界的交點

拋物線與 $x$ 軸

令 $y=x^2=0$：

$$x=0$$

交點為：

$$(0,0)$$

但此交點屬於另一個未使用 $x=3$ 的小封閉區域，並非本題四個邊界共同包圍的區域。

直線與 $x$ 軸

令 $y=2-x=0$：

$$x=2$$

交點為：

$$(2,0)$$

拋物線與直線

令兩式相等：

$$x^2=2-x$$

整理得：

$$x^2+x-2=0$$ $$(x+2)(x-1)=0$$

因此 $x=-2$ 或 $x=1$。本題所需封閉區域使用右側交點 $x=1$，故交點為：

$$(1,1)$$

直線 $x=3$ 與其他邊界

與 $y=x^2$ 相交於：

$$(3,9)$$

與 $y=0$ 相交於：

$$(3,0)$$

因此本題封閉區域的頂點及邊界依序為：

$$(1,1)\rightarrow(3,9)\rightarrow(3,0)\rightarrow(2,0)\rightarrow(1,1)$$

邊界為：

• 拋物線 $y=x^2$，由 $(1,1)$ 到 $(3,9)$。
• 直線 $x=3$，由 $(3,9)$ 到 $(3,0)$。
• $x$ 軸 $y=0$，由 $(3,0)$ 到 $(2,0)$。
• 直線 $y=2-x$，由 $(2,0)$ 到 $(1,1)$。

2. 判斷上、下邊界

在 $1\le x\le 2$ 時：

• 上方為 $y=x^2$。
• 下方為 $y=2-x$。

因此面積為：

$$\int_1^2\left[x^2-(2-x)\right]\,dx$$

本題考查定積分的計算，被積函數是含有根號的表達式，適合使用換元積分法。

令 $u = x-1$。
則 $du = dx$。
當 $x=1$ 時，$u = 1-1 = 0$。
當 $x=5$ 時，$u = 5-1 = 4$。
將積分的上下限和被積函數進行轉換：
$\int_{1}^{5} 2\sqrt{x-1} dx = \int_{0}^{4} 2\sqrt{u} du$
現在計算這個積分：
$\int_{0}^{4} 2u^{1/2} du = 2 \int_{0}^{4} u^{1/2} du$

本題考查不定積分的計算，被積函數是多個項的組合，可以將積分拆開計算。

積分可以拆成三部分：
$\int (\sin^2(x) \cos(x) - 3\sin(x) - \cos^2(x)) dx = \int \sin^2(x) \cos(x) dx - \int 3\sin(x) dx - \int \cos^2(x) dx$

第一部分：$\int \sin^2(x) \cos(x) dx$
令 $u = \sin(x)$，則 $du = \cos(x) dx$。
$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C_1 = \frac{\sin^3(x)}{3} + C_1$
(這個部分與題目 8 相同)

第二部分：$\int 3\sin(x) dx$
$3 \int \sin(x) dx = 3 (-\cos(x)) + C_2 = -3\cos(x) + C_2$

本題考查連鎖法則 (Chain Rule) 的應用，計算複合函數的微分。

我們有 $y$ 是關於 $u$ 的函數，而 $u$ 是關於 $x$ 的函數。所以 $y$ 是關於 $x$ 的複合函數。
根據連鎖法則，$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

首先，計算 $\frac{dy}{du}$。
$y = \frac{2u}{1-4u}$
使用商法則 $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$。
令 $f(u) = 2u$, $g(u) = 1-4u$。
$f'(u) = 2$, $g'(u) = -4$。
$\frac{dy}{du} = \frac{2(1-4u) - (2u)(-4)}{(1-4u)^2} = \frac{2 - 8u + 8u}{(1-4u)^2} = \frac{2}{(1-4u)^2}$

其次，計算 $\frac{du}{dx}$。
$u = (5x^2 + 1)^4$
使用連鎖法則：令 $v = 5x^2 + 1$，則 $u = v^4$。
$\frac{du}{dv} = 4v^3$。
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 1) = 10x$。

核心觀念

向量組 $\{v_1,\ldots,v_k\}$ 的張成空間 $\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_k\}$，是所有形如

$$a_1v_1+\cdots+a_kv_k$$

的線性組合所成的集合。

要證明兩個張成空間相等，須證明雙向包含：一方面，右側每個向量都屬於 $\operatorname{span}\{x,y,z\}$；另一方面，能由右側的四個向量線性組合出 $x,y,z$。本題向量係數取自實數，因此可使用除以 $2$ 的運算。

解題方法

令

$$u=x+y+z,\qquad v=x+2y+2z,\qquad w=x-y+z,\qquad t=y+z.$$

先看右側四個向量，依定義皆為 $x,y,z$ 的線性組合，因此

$$\operatorname{span}\{u,v,w,t\}\subseteq \operatorname{span}\{x,y,z\}.$$

再由這四個向量反解 $x,y,z$。注意到

$$v-u=y+z=t,$$

所以

$$x=u-t.$$

本題考查二階方陣的特徵值與特徵空間的計算。

首先，計算矩陣 $A$ 的特徵值。
特徵方程式為 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & -2 \\ -2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)^2 - (-2)(-2) = (1-\lambda)^2 - 4 = 0$
$(1-\lambda)^2 = 4$
$1-\lambda = \pm 2$
$\lambda_1 = 1 - 2 = -1$
$\lambda_2 = 1 + 2 = 3$
特徵值為 $\lambda_1 = -1$ 和 $\lambda_2 = 3$。

接下來，計算特徵空間。

當特徵值 $\lambda_1 = -1$ 時，計算特徵向量 $v_1$：
$(A - (-1)I)v_1 = (A + I)v_1 = \begin{bmatrix} 1+1 & -2 \\ -2 & 1+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$2x - 2y = 0 \implies x = y$
令 $y=1$，則 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
特徵空間 $E_{-1} = \{k \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \}$。

本題考查轉移矩陣 (Transition Matrix) 的應用，屬於馬可夫鏈 (Markov Chain) 的概念。題目描述了一個離散時間的狀態轉移過程，其中狀態是鄉鎮，轉移是指病原在鄉鎮間的移動。

首先，我們需要根據圖形和題目描述建立轉移矩陣。
圖形顯示了四個鄉鎮 A, B, C, D。
題目描述：「經過一小時後，該病原會隨機的選擇停留在原本鄉鎮或轉往鄰近鄉鎮」。
我們需要釐清「鄰近」的定義，通常這可以從圖中連接線來判斷。
假設圖中的線段表示鄉鎮之間的連接（即鄰近關係）：

• A 鄉鎮：連接到 B。
• B 鄉鎮：連接到 A 和 C。
• C 鄉鎮：連接到 B 和 D。
• D 鄉鎮：連接到 C。

題目說「隨機選擇停留在原本鄉鎮或轉往鄰近鄉鎮」。這意味著，如果一個鄉鎮有 $k$ 個鄰居，那麼病原轉移到每個地方（包括原地）的機率是多少？
通常，這種隨機選擇是指「均勻隨機」。
如果一個鄉鎮 $i$ 有 $n_i$ 個鄰居（包括自身），那麼轉移到每個地方的機率是 $1/(n_i+1)$ 嗎？還是說，如果它有 $m$ 個鄰居，那麼轉移到每個鄰居的機率是 $1/m$？
題目說「隨機的選擇停留在原本鄉鎮或轉往鄰近鄉鎮」。這通常意味著，從鄉鎮 $i$ 出發，轉移到鄉鎮 $j$ 的機率 $P_{ij}$。

讓我們假設「隨機」是指，如果一個鄉鎮 $i$ 連接到 $k$ 個鄉鎮（包括它自己），那麼它會以 $1/k$ 的機率轉移到這 $k$ 個中的每一個。
根據圖示：

• A：連接到 B。它有 1 個鄰居 (B)。它也可以停留在 A。所以，A 的「選項」是 {A, B}。這裡有 2 個選項。
• B：連接到 A 和 C。它有 2 個鄰居 (A, C)。它也可以停留在 B。所以，B 的「選項」是 {B, A, C}。這裡有 3 個選項。
• C：連接到 B 和 D。它有 2 個鄰居 (B, D)。它也可以停留在 C。所以，C 的「選項」是 {C, B, D}。這裡有 3 個選項。
• D：連接到 C。它有 1 個鄰居 (C)。它也可以停留在 D。所以，D 的「選項」是 {D, C}。這裡有 2 個選項。

如果轉移到每個「選項」的機率是均等的：

• 從 A 出發：$P_{AA} = 1/2$, $P_{AB} = 1/2$, $P_{AC} = 0$, $P_{AD} = 0$。
• 從 B 出發：$P_{BA} = 1/3$, $P_{BB} = 1/3$, $P_{BC} = 1/3$, $P_{BD} = 0$。
• 從 C 出發：$P_{CA} = 0$, $P_{CB} = 1/3$, $P_{CC} = 1/3$, $P_{CD} = 1/3$。
• 從 D 出發：$P_{DA} = 0$, $P_{DB} = 0$, $P_{DC} = 1/2$, $P_{DD} = 1/2$。

轉移矩陣 $P$ 的行代表起始狀態，列代表結束狀態。
$P = \begin{bmatrix} P_{AA} & P_{AB} & P_{AC} & P_{AD} \\ P_{BA} & P_{BB} & P_{BC} & P_{BD} \\ P_{CA} & P_{CB} & P_{CC} & P_{CD} \\ P_{DA} & P_{DB} & P_{DC} & P_{DD} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$

第二部分：若起始時 A 鄉鎮具有 6000 隻病原，在經過極長時間後，各鄉鎮具有的病原數各是多少？
這是在求馬可夫鏈的穩態分佈 (steady-state distribution)。
穩態分佈 $\pi = [\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D]$ 是一個概率分佈向量，滿足 $\pi P = \pi$，且 $\pi_A + \pi_B + \pi_C + \pi_D = 1$。
穩態分佈向量 $\pi$ 是轉移矩陣 $P$ 的右特徵向量，對應於特徵值 1。

我們需要解方程組 $\pi P = \pi$，即 $\pi (P - I) = 0$。
$P - I = \begin{bmatrix} 1/2-1 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3-1 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 1/3-1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -2/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}$
我們需要解 $\pi (P-I) = 0$ 加上 $\sum \pi_i = 1$。