115 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎數學（含微積分、線性代數）》

本題在考投影矩陣的定義與性質。
證明一個矩陣是投影矩陣，通常需要證明兩件事：

1. 該矩陣是對稱矩陣，即 $P^T = P$。
2. 該矩陣是冪等矩陣，即 $P^2 = P$。

題目已給定條件 $P=P^T P$。我們需要從這個條件出發，證明 $P$ 滿足投影矩陣的兩個性質。

首先，證明 $P$ 是對稱矩陣。
由題目給定 $P = P^T P$。
對 $P$ 取轉置：
$P^T = (P^T P)^T$
利用轉置的性質 $(AB)^T = B^T A^T$，我們得到：
$P^T = P^T (P^T)^T$
又因為 $(P^T)^T = P$，所以：
$P^T = P^T P$
而題目給定 $P = P^T P$，所以我們有 $P^T = P$。
這證明了 $P$ 是一個對稱矩陣。

本題考查投影矩陣的建構以及投影為零向量的條件。

首先，我們需要建構由向量 $a_1 = (1,1,0)$ 和 $a_2 = (1,1,1)$ 所展開的子空間的投影矩陣 $P$。
設 $V$ 為由 $a_1$ 和 $a_2$ 所展成的子空間。由於 $a_1$ 和 $a_2$ 顯然線性獨立，所以 $V$ 的維度是 2。
我們可以用 $a_1$ 和 $a_2$ 作為標準基底來建構投影矩陣。
將 $a_1$ 和 $a_2$ 組成一個矩陣 $A$ 的行向量：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
則子空間 $V$ 是 $A$ 的行空間 (Column Space)。
投影到 $A$ 的行空間上的投影矩陣 $P$ 的公式為：
$P = A(A^T A)^{-1} A^T$

首先計算 $A^T A$：
$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

接下來計算 $(A^T A)^{-1}$：
$\det(A^T A) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$
$(A^T A)^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

然後計算 $A(A^T A)^{-1}$：
$A(A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

最後計算 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$：

本題考查行列式的基本性質。

首先，計算矩陣 $A$ 的行列式 $\det(A)$。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
我們可以利用第一行或第三行進行展開。利用第三行展開會比較簡便，因為有兩個零。
$\det(A) = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\det(A) = (-1) \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1 \cdot 1 = -1$

接下來，計算其他行列式值，利用行列式的性質：

1. $\det(cA) = c^n \det(A)$，其中 $n$ 是矩陣的維度。在此，$n=3$。
2. $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$。

本題考查不定積分，屬於三角函數與指數函數的組合積分，可利用換元積分法解決。

我們觀察被積函數 $\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin^3(x)}}$，注意到 $\cos(x)$ 是 $\sin(x)$ 的導數。這提示我們可以使用換元積分法，令 $u = \sin(x)$。

令 $u = \sin(x)$。
則 $du = \cos(x) dx$。

將積分轉換為以 $u$ 為變數的積分：
$\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin^3(x)}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u^3}} du$

本題考查指數函數的積分。

首先，我們需要化簡被積函數。
$e^{2x} e^x = e^{2x+x} = e^{3x}$

所以，積分變為：
$\int e^{3x} dx$

我們可以使用換元積分法，令 $u = 3x$。
則 $du = 3 dx$，所以 $dx = \frac{1}{3} du$。

本題考查對數函數與冪函數組合的積分，可利用換元積分法解決。

觀察被積函數 $\frac{\ln(x)}{x}$，我們注意到 $\frac{1}{x}$ 是 $\ln(x)$ 的導數。這提示我們可以使用換元積分法，令 $u = \ln(x)$。

令 $u = \ln(x)$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$。

將積分轉換為以 $u$ 為變數的積分：
$\int u \, du$

本題考查極限的計算，當代入變數後出現 $\frac{0}{0}$ 的不定型時，可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)。

首先，我們嘗試將 $x=0$ 代入極限表達式：
分子：$e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$
分母：$0^2 = 0$
由於出現 $\frac{0}{0}$ 的不定型，我們可以應用羅必達法則。

第一次應用羅必達法則：對分子和分母分別求導。
分子對 $x$ 的導數為：$\frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$
分母對 $x$ 的導數為：$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

核心觀念

本題考查指數函數與多項式在 $x\to\infty$ 時的成長速度比較：

$$e^x \text{ 的成長速度快於任何固定次數的多項式 }x^n。$$

可使用羅必達法則。當分子、分母同時趨近於無限大時，若導數比值的極限存在，則原極限等於導數比值的極限。

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解題方法

因為 $n$ 為正整數，當 $x\to\infty$ 時，

$$x^n\to\infty,\qquad e^x\to\infty,$$

原式屬於 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，可以使用羅必達法則。

第一次使用羅必達法則：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^x}.$$

再次使用羅必達法則：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{nx^{n-1}}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{n(n-1)x^{n-2}}{e^x}.$$

連續使用 $n$ 次後，分子微分至常數：

本題考查函數微分，需要對一個複雜的有理函數求導。

首先，我們化簡函數 $f(x)$ 的分子。
分子 $= x(x^2-5)+5(x-1) = x^3 - 5x + 5x - 5 = x^3 - 5$。

所以，函數 $f(x)$ 可以簡化為：
$f(x) = \frac{x^3 - 5}{x^3 - 1}$

現在，我們對簡化後的 $f(x)$ 求導。我們可以使用微分的除法法則 (Quotient Rule)：
如果 $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，那麼 $f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$。

本題考查高階導數的計算，需要對複合函數進行兩次微分。

首先，我們計算 $f'(x)$。
令 $u = x^3 + x$。則 $f(x) = u^4$。
使用連鎖法則 (Chain Rule)：
$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
$\frac{df}{du} = 4u^3$
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1$

所以，
$f'(x) = 4u^3 (3x^2 + 1) = 4(x^3 + x)^3 (3x^2 + 1)$

接下來，我們計算 $f''(x)$，即對 $f'(x)$ 再次求導。
$f'(x) = 4(x^3 + x)^3 (3x^2 + 1)$
我們需要使用乘法法則 (Product Rule) 和連鎖法則。
令 $g(x) = 4(x^3 + x)^3$ 且 $h(x) = 3x^2 + 1$。
$f''(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

先計算 $g'(x)$：
$g'(x) = \frac{d}{dx} [4(x^3 + x)^3]$
使用連鎖法則，令 $v = x^3+x$，則 $g(x) = 4v^3$。
$\frac{dg}{dv} = 12v^2$
$\frac{dv}{dx} = 3x^2 + 1$

本題考查極限計算，當代入變數後出現 $\frac{0}{0}$ 的不定型時，可使用羅必達法則或因式分解。

首先，嘗試將 $x=-2$ 代入極限表達式：
分子：$x+2 = -2+2 = 0$
分母：$(3x^2+10x+8)^2$
先計算 $3x^2+10x+8$ 在 $x=-2$ 的值：
$3(-2)^2 + 10(-2) + 8 = 3(4) - 20 + 8 = 12 - 20 + 8 = 0$
所以分母為 $(0)^2 = 0$。
由於出現 $\frac{0}{0}$ 的不定型，我們可以使用羅必達法則或因式分解。

方法一：因式分解
我們知道 $x=-2$ 是 $3x^2+10x+8$ 的一個根。因此，$(x+2)$ 是 $3x^2+10x+8$ 的一個因式。
我們可以進行多項式除法或配因式來分解 $3x^2+10x+8$。
$3x^2+10x+8 = (x+2)(3x+4)$。
（驗證：$(x+2)(3x+4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8 = 3x^2 + 10x + 8$）

現在，將分解後的結果代入極限表達式：
$\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{((x+2)(3x+4))^2} = \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{(x+2)^2 (3x+4)^2}$

由於 $x \to -2$，所以 $x \neq -2$，我們可以約分 $(x+2)$：
$\lim_{x \to -2} \frac{1}{(x+2) (3x+4)^2}$

現在，嘗試將 $x=-2$ 代入簡化後的表達式：
分子：$1$
分母：$(-2+2)(3(-2)+4)^2 = (0)(-6+4)^2 = 0 \cdot (-2)^2 = 0 \cdot 4 = 0$

此時，我們得到 $\frac{1}{0}$ 的形式。這意味著極限可能為 $\infty$, $-\infty$, 或不存在。
我們需要分析分母的符號。
當 $x \to -2$ 時：
$x+2 \to 0$。如果 $x > -2$ (例如 $x=-1.9$)，則 $x+2 > 0$。如果 $x < -2$ (例如 $x=-2.1$)，則 $x+2 < 0$。
$(3x+4)^2$ 總是正的（除非 $3x+4=0$，即 $x=-4/3$，這與 $x \to -2$ 無關）。
當 $x \to -2$ 時，$3x+4 \to 3(-2)+4 = -2$。

核心觀念

本題考查由兩條垂直線與兩條曲線所圍成區域的面積。計算時需掌握：

• 上下函數的差，表示垂直方向的高度：
  $\text{高度}=\text{上方函數}-\text{下方函數}$
• 兩曲線交點決定上下關係改變的位置。
• 面積須依交點分段積分。

題目中的四條邊界為：

$x=1,\qquad x=3,\qquad y=x^2-1,\qquad y=-3x+9$

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解題方法

先求拋物線與直線的交點：

$x^2-1=-3x+9$

整理得：

$x^2+3x-10=0$

因式分解：

$(x+5)(x-2)=0$

因此：

$x=-5\quad\text{或}\quad x=2$

由於區域限制在 $x=1$ 到 $x=3$ 之間，只有 $x=2$ 位於範圍內。

在 $x=1$ 時：

$x^2-1=0,\qquad -3x+9=6$

所以直線 $y=-3x+9$ 在上方。

在 $x=3$ 時：

$x^2-1=8,\qquad -3x+9=0$

所以拋物線 $y=x^2-1$ 在上方。

因此，兩曲線在 $x=2$ 交叉，面積必須分成兩部分：

$$A=\int_1^2\left[(-3x+9)-(x^2-1)\right]dx +\int_2^3\left[(x^2-1)-(-3x+9)\right]dx$$

整理被積分式：

$(-3x+9)-(x^2-1)=-x^2-3x+10$

$(x^2-1)-(-3x+9)=x^2+3x-10$

所以：

本題考查矩陣的特徵值、特徵向量的計算，以及矩陣的冪次計算。

第一部分：計算特徵值 (Eigenvalues)
特徵值 $\lambda$ 是滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的值，其中 $I$ 是單位矩陣。
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -4-\lambda & 0 \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

計算行列式 $\det(A - \lambda I)$:
由於這是一個下三角矩陣，其行列式等於對角線元素的乘積。
$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(-4-\lambda)(2-\lambda) = (2-\lambda)^2 (-4-\lambda)$

令 $\det(A - \lambda I) = 0$，我們得到特徵值：
$(2-\lambda)^2 (-4-\lambda) = 0$
所以，特徵值為 $\lambda_1 = 2$ (重根，代數重數為 2) 和 $\lambda_2 = -4$ (代數重數為 1)。

第二部分：計算特徵向量 (Eigenvectors)
對於每個特徵值，我們求解 $(A - \lambda I)v = 0$ 來找到對應的特徵向量 $v$。

情況 1：$\lambda_1 = 2$
$A - 2I = \begin{pmatrix} 2-2 & 0 & 0 \\ 1 & -4-2 & 0 \\ 1 & 2 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$
我們需要解方程組 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
由第二行：$v_1 - 6v_2 = 0 \implies v_1 = 6v_2$。
由第三行：$v_1 + 2v_2 = 0$。
將 $v_1 = 6v_2$ 代入第三行：$6v_2 + 2v_2 = 0 \implies 8v_2 = 0 \implies v_2 = 0$。
如果 $v_2 = 0$，則 $v_1 = 6(0) = 0$。
$v_3$ 可以是任意值，因為第一行和第三行的係數是 $0$。
所以，特徵向量的形式為 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}$。
我們可以選擇 $v_3 = 1$，得到一個特徵向量 $v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
由於 $\lambda=2$ 是重根，我們期望有兩個線性獨立的特徵向量。然而，在這個例子中，我們只找到一個方向的特徵向量。這表示矩陣 $A$ 是不可對角化的 (not diagonalizable)，因為特徵值 $\lambda=2$ 的幾何重數 (geometric multiplicity，即線性獨立特徵向量的個數) 為 1，小於其代數重數 (algebraic multiplicity，即 2)。

情況 2：$\lambda_2 = -4$
$A - (-4)I = A + 4I = \begin{pmatrix} 2+4 & 0 & 0 \\ 1 & -4+4 & 0 \\ 1 & 2 & 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$
我們需要解方程組 $\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
由第一行：$6v_1 = 0 \implies v_1 = 0$。
由第二行：$v_1 = 0$，這與第一行一致。
由第三行：$v_1 + 2v_2 + 6v_3 = 0$。
代入 $v_1 = 0$：$0 + 2v_2 + 6v_3 = 0 \implies 2v_2 = -6v_3 \implies v_2 = -3v_3$。
所以，特徵向量的形式為 $\begin{pmatrix} 0 \\ -3v_3 \\ v_3 \end{pmatrix}$。

核心觀念

本題考查「有限馬可夫鏈的穩態分布」。將各鄉鎮視為狀態，病原每經過一小時便依規則轉移，因此可用轉移矩陣描述。

若鄉鎮之間的鄰接關係形成一個連通無向圖，且病原在每一小時內，等機率選擇「留在原鄉鎮」或「前往一個鄰近鄉鎮」，則從鄉鎮 $i$ 出發的可能目的地共有

$$d_i+1$$

個，其中 $d_i$ 是鄉鎮 $i$ 的鄰近鄉鎮數。因此轉移機率為

$$P_{ij}= \begin{cases} \dfrac{1}{d_i+1}, & j=i\text{ 或 }j\text{ 與 }i\text{ 相鄰},\\[6pt] 0, & \text{其他情形}. \end{cases}$$

極長時間後，各鄉鎮的病原數趨於穩態分布，而不是繼續改變。

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解題方法

設共有 $n$ 個鄉鎮，第 $i$ 個鄉鎮有 $d_i$ 個鄰近鄉鎮。令 $\pi_i$ 表示極長時間後，單一病原位於鄉鎮 $i$ 的機率。

對於相鄰的兩個鄉鎮 $i,j$，有

$$\pi_iP_{ij} = \frac{\pi_i}{d_i+1}, \qquad \pi_jP_{ji} = \frac{\pi_j}{d_j+1}.$$

若取

$$\pi_i=\frac{d_i+1}{\sum_{k=1}^{n}(d_k+1)},$$

則

$$\pi_iP_{ij} = \frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(d_k+1)} = \pi_jP_{ji}.$$

因此滿足細緻平衡條件，這就是此隨機行走的穩態分布。由於初始共有 $10000$ 個病原，極長時間後鄉鎮 $i$ 的病原數為

$$N_i = 10000\pi_i = 10000\cdot \frac{d_i+1}{\sum_{k=1}^{n}(d_k+1)}.$$

所以：