114 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎數學（含微積分、線性代數）》

本題考查函數的二階導數計算。

首先計算函數 $f(x)$ 的一階導數 $f'(x)$。
$f(x) = (2-x)^{-1}$
$f'(x) = -1 \cdot (2-x)^{-2} \cdot (-1) = (2-x)^{-2}$

本題考查微分的複合運算與求值。

首先，我們需要計算 $f(x)$ 的定義式中的微分部分。
令 $g(x) = x(x-x^2) = x^2 - x^3$。
則 $f(x) = \frac{d}{dx}[g(x)] = \frac{d}{dx}[x^2 - x^3]$。

本題考查極限計算，特別是當代入時出現 $\frac{0}{0}$ 型不定式時的處理方法。

當 $x \to 5^+$ 時，分子 $x^2-4x-5$ 的趨近值為 $5^2 - 4(5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0$。
分母 $x-5$ 的趨近值為 $5-5 = 0$。
因此，此極限為 $\frac{0}{0}$ 型不定式。

我們可以使用因式分解或羅必達法則來求解。

方法一：因式分解
觀察分子 $x^2-4x-5$。我們可以找到兩個數，它們的和是 $-4$，積是 $-5$，這兩個數是 $-5$ 和 $1$。
所以， $x^2-4x-5 = (x-5)(x+1)$。

將其代入極限式：
$\lim_{x \to 5^+} \frac{(x-5)(x+1)}{x-5}$

本題要求繪製函數 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$ 在區間 $[-1, 5]$ 內的圖形。這需要進行函數的增減性分析、凹凸性分析、極值判斷以及端點值的計算。

1. 求導數並分析增減性：
一階導數：$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$。
令 $f'(x) = 0$，得 $4x^2(x-3) = 0$，所以臨界點為 $x=0$ 和 $x=3$。

分析 $f'(x)$ 的符號：

• 當 $x < 0$ 時，$x^2 > 0$, $x-3 < 0$，所以 $f'(x) < 0$，函數遞減。
• 當 $0 < x < 3$ 時，$x^2 > 0$, $x-3 < 0$，所以 $f'(x) < 0$，函數遞減。
  -當 $x > 3$ 時，$x^2 > 0$, $x-3 > 0$，所以 $f'(x) > 0$，函數遞增。

注意：在 $x=0$ 處，導數符號沒有改變，所以 $x=0$ 不是局部極值點，而是水平拐點。在 $x=3$ 處，導數由負轉正，所以 $x=3$ 是局部最小值點。

2. 求二階導數並分析凹凸性：
二階導數：$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$。
令 $f''(x) = 0$，得 $12x(x-2) = 0$，所以潛在拐點為 $x=0$ 和 $x=2$。

分析 $f''(x)$ 的符號：
-當 $x < 0$ 時，$12x < 0$, $x-2 < 0$，所以 $f''(x) > 0$，函數上凹。
-當 $0 < x < 2$ 時，$12x > 0$, $x-2 < 0$，所以 $f''(x) < 0$，函數下凹。

本題考查矩陣的特徵值與特徵向量的計算。

1. 計算特徵值 (Eigenvalues)：
特徵值 $\lambda$ 滿足特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中 $I$ 是單位矩陣。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 4-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 4-\lambda \end{bmatrix}$

計算行列式：
$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda) \det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{bmatrix} - 2 \det \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{bmatrix} + 2 \det \begin{bmatrix} 2 & 4-\lambda \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$
$= (4-\lambda) [(4-\lambda)^2 - 4] - 2 [2(4-\lambda) - 4] + 2 [4 - 2(4-\lambda)]$
$= (4-\lambda) [16 - 8\lambda + \lambda^2 - 4] - 2 [8 - 2\lambda - 4] + 2 [4 - 8 + 2\lambda]$
$= (4-\lambda) [\lambda^2 - 8\lambda + 12] - 2 [4 - 2\lambda] + 2 [-4 + 2\lambda]$
$= (4-\lambda) (\lambda-2)(\lambda-6) - 8 + 4\lambda - 8 + 4\lambda$
$= (4-\lambda) (\lambda^2 - 8\lambda + 12) + 8\lambda - 16$
$= 4\lambda^2 - 32\lambda + 48 - \lambda^3 + 8\lambda^2 - 12\lambda + 8\lambda - 16$
$= -\lambda^3 + (4+8)\lambda^2 + (-32-12+8)\lambda + (48-16)$
$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 36\lambda + 32$

令 $-\lambda^3 + 12\lambda^2 - 36\lambda + 32 = 0$，即 $\lambda^3 - 12\lambda^2 + 36\lambda - 32 = 0$。

我們可以嘗試一些可能的整數根（因數 32 的約數）。
當 $\lambda = 2$ 時，$2^3 - 12(2^2) + 36(2) - 32 = 8 - 12(4) + 72 - 32 = 8 - 48 + 72 - 32 = 80 - 80 = 0$。
所以 $\lambda=2$ 是一個特徵值。
我們可以用多項式除法或綜合除法來分解。
$(\lambda - 2)$ 是因式。
使用綜合除法：

2 | 1  -12   36  -32
  |    2  -20   32
  ------------------
    1  -10   16    0

所以，原多項式可以分解為 $(\lambda - 2)(\lambda^2 - 10\lambda + 16) = 0$。
進一步分解二次項：$\lambda^2 - 10\lambda + 16 = (\lambda-2)(\lambda-8)$。
因此，特徵方程為 $(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-8) = 0$，即 $(\lambda-2)^2(\lambda-8) = 0$。

特徵值為 $\lambda_1 = 2$ (重根) 和 $\lambda_2 = 8$。

2. 計算特徵向量 (Eigenvectors)：

情況一：$\lambda_1 = 2$
求解 $(A - 2I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$。
$A - 2I = \begin{bmatrix} 4-2 & 2 & 2 \\ 2 & 4-2 & 2 \\ 2 & 2 & 4-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

本題考查線性代數中關於線性轉換性質的證明，重點在於「一對一映射」與「零空間為零向量」這兩個條件的等價性。

證明：
我們需要證明兩個方向：

1. 若 $L$ 為一對一映射，則 $L$ 的零空間是 $\{0\}$。
2. 若 $L$ 的零空間是 $\{0\}$，則 $L$ 為一對一映射。

方向一：若 $L$ 為一對一映射，則 $L$ 的零空間是 $\{0\}$。
令 $N(L)$ 為 $L$ 的零空間，即 $N(L) = \{ \mathbf{u} \in U \mid L(\mathbf{u}) = \mathbf{0}_V \}$，其中 $\mathbf{0}_V$ 是 $V$ 中的零向量。
我們知道零向量 $\mathbf{0}_U \in U$ 必定在 $N(L)$ 中，因為 $L(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V$ (線性轉換的基本性質)。
現在假設 $N(L)$ 中還有其他非零向量。令 $\mathbf{u} \in N(L)$ 且 $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}_U$。
因為 $\mathbf{u} \in N(L)$，所以 $L(\mathbf{u}) = \mathbf{0}_V$。
同時，我們知道 $L(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V$。
所以，我們有 $L(\mathbf{u}) = L(\mathbf{0}_U)$。
如果 $L$ 是一對一映射，則對於任意 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in U$，若 $L(\mathbf{u}_1) = L(\mathbf{u}_2)$，則必有 $\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_2$。
在此情況下，由於 $L(\mathbf{u}) = L(\mathbf{0}_U)$，我們必須得出 $\mathbf{u} = \mathbf{0}_U$。

本題考查轉移矩陣的建立與馬可夫鏈的穩態分析。從題目描述和圖示（雖然圖示未提供，但根據常見的傳染病模型和鄉鎮轉移情境，我們可以推斷出轉移邏輯）來看，這是一個離散時間的馬可夫鏈問題。

假設鄉鎮之間的轉移關係：
根據題意「經過一小時後，該病原會隨機的轉往鄰近鄉鎮（不停留於原本鄉鎮）」，我們需要定義「鄰近」以及轉移的機率。題目中沒有給出具體的鄉鎮數量和連接關係，也沒有給出機率。
在此，我們根據常見的線性代數或機率模型考試題目，假設存在 A, B, C, D, E 五個鄉鎮，並且「鄰近」的定義是圖中以線連接的鄉鎮。
由於原卷的圖未提供，我們在此假設一個可能的圖示結構，並據此建立轉移矩陣。

假設的圖示結構：
假設鄉鎮為 A, B, C, D, E。
假設 B 鄉鎮的鄰居是 A, C。
假設 A 鄉鎮的鄰居是 B。
假設 C 鄉鎮的鄰居是 B, D。
假設 D 鄉鎮的鄰居是 C, E。
假設 E 鄉鎮的鄰居是 D。

重要假設： 題目說「隨機的轉往鄰近鄉鎮」。這意味著如果一個鄉鎮有 $k$ 個鄰居，則轉移到每個鄰居的機率是 $1/k$。

1. 建立轉移矩陣 (Transition Matrix)：
轉移矩陣 $P$ 的元素 $p_{ij}$ 表示從狀態 $j$ 轉移到狀態 $i$ 的機率。在這裡，狀態代表鄉鎮。
我們將鄉鎮順序排列為 A, B, C, D, E。

• 從 B 轉移： B 的鄰居是 A 和 C (假設)。所以 B 轉移到 A 的機率是 $1/2$，轉移到 C 的機率是 $1/2$。B 不轉移到 B, D, E。
  所以，B 這一列（代表從 B 出發）的機率是 (A: 1/2, B: 0, C: 1/2, D: 0, E: 0)。
  這是列向量的表示。如果我們寫成行向量表示狀態，轉移矩陣的列是從某狀態轉移出去的機率。
  習慣上，轉移矩陣 $P$ 的元素 $p_{ij}$ 表示從狀態 $i$ 轉移到狀態 $j$ 的機率，且每行總和為 1。
  我們採用此習慣。

  • 從 A 轉移： 假設 A 的鄰居是 B。A 只有 1 個鄰居 B。所以 A 轉移到 B 的機率是 1。
    $p_{AA}=0, p_{AB}=1, p_{AC}=0, p_{AD}=0, p_{AE}=0$。

  • 從 B 轉移： 假設 B 的鄰居是 A, C。B 有 2 個鄰居。
    $p_{BA}=1/2, p_{BB}=0, p_{BC}=1/2, p_{BD}=0, p_{BE}=0$。

  • 從 C 轉移： 假設 C 的鄰居是 B, D。C 有 2 個鄰居。
    $p_{CA}=0, p_{CB}=1/2, p_{CC}=0, p_{CD}=1/2, p_{CE}=0$。

  • 從 D 轉移： 假設 D 的鄰居是 C, E。D 有 2 個鄰居。
    $p_{DA}=0, p_{DB}=0, p_{DC}=1/2, p_{DD}=0, p_{DE}=1/2$。

  • 從 E 轉移： 假設 E 的鄰居是 D。E 只有 1 個鄰居 D。
    $p_{EA}=0, p_{EB}=0, p_{EC}=0, p_{ED}=1, p_{EE}=0$。

  轉移矩陣 P (行代表起始狀態，列代表結束狀態)：

  $$$$

P = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \
0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
(請注意：這個矩陣是基於對圖示的假設。如果實際圖示不同，矩陣也會不同。)

2. 計算長時間後的病原數分佈：
長時間後，馬可夫鏈會收斂到一個穩態分佈 $\mathbf{\pi} = [\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D, \pi_E]$，其中 $\pi_i$ 是在穩態下病原停留在鄉鎮 $i$ 的機率。
穩態分佈滿足 $\mathbf{\pi} P = \mathbf{\pi}$，並且所有機率之和為 1：$\sum_{i} \pi_i = 1$。

我們需要解方程組：

$$[\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D, \pi_E] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = [\pi_A, \pi_B, \pi_C, \pi_D, \pi_E]$$

以及 $\pi_A + \pi_B + \pi_C + \pi_D + \pi_E = 1$。

方程組展開：
$\pi_A \cdot 0 + \pi_B \cdot 1/2 + \pi_C \cdot 0 + \pi_D \cdot 0 + \pi_E \cdot 0 = \pi_A \implies \frac{1}{2}\pi_B = \pi_A$ (1)
$\pi_A \cdot 1 + \pi_B \cdot 0 + \pi_C \cdot 1/2 + \pi_D \cdot 0 + \pi_E \cdot 0 = \pi_B \implies \pi_A + \frac{1}{2}\pi_C = \pi_B$ (2)

本題考查定積分的計算，特別是涉及對數函數和多項式乘積的積分，通常需要使用分部積分法。

我們需要計算 $\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx$。
使用分部積分法，公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇：
令 $u = \ln(x)$，則 $du = \frac{1}{x} \, dx$。
令 $dv = x^2 \, dx$，則 $v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$。

應用分部積分公式：
$\int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln(x) - \int \frac{x^2}{3} \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$
$= \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$
$= \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C$

現在我們計算定積分：
$\int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} \right]_0^1$

本題考查多元函數或單變數函數的複合導數計算，需要連續進行兩次求導。

首先，我們計算函數 $f(x) = \ln(x^2+1)$ 的一階導數 $f'(x)$。
使用連鎖法則：$\frac{d}{dx}(\ln(u)) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$。
令 $u = x^2+1$，則 $\frac{du}{dx} = 2x$。
所以，$f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2+1}$。

本題考查概率密度函數 (PDF) 的性質。一個函數 $f(x)$ 若為有效的 PDF，必須滿足兩個條件：

1. $f(x) \ge 0$ 對於所有 $x$。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。

給定的函數是 $f(x) = k(1-x^2)$，定義域為 $[-1, 1]$。

條件一：$f(x) \ge 0$
對於 $-1 \le x \le 1$，我們有 $x^2 \le 1$，所以 $1-x^2 \ge 0$。
因此，為了使 $f(x) = k(1-x^2) \ge 0$，我們必須要求 $k \ge 0$。

條件二：$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 1$
我們需要計算積分 $\int_{-1}^{1} k(1-x^2) \, dx$ 並令其等於 1。
$\int_{-1}^{1} k(1-x^2) \, dx = k \int_{-1}^{1} (1-x^2) \, dx$

本題考查泰勒級數的計算，特別是利用已知的標準級數進行展開。

我們知道標準指數函數 $e^u$ 在 $u=0$ 附近的泰勒級數為：
$e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \frac{u^4}{4!} + \cdots$

將 $u = -x^2$ 代入上述級數：
$f(x) = e^{-x^2} = 1 + (-x^2) + \frac{(-x^2)^2}{2!} + \frac{(-x^2)^3}{3!} + \frac{(-x^2)^4}{4!} + \cdots$

本題考查 3x3 矩陣的行列式計算。

我們可以使用薩魯法則 (Sarrus' rule) 或代數餘子式展開法。這裡我們使用代數餘子式展開法，沿著第一列進行展開，因為第一列有一個零元素，可以簡化計算。

行列式 $\det(A)$ 的計算公式為：
$\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}$
其中 $a_{ij}$ 是矩陣元素，$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 是代數餘子式，$M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列後剩下的子矩陣的行列式。

在這個矩陣 $A$ 中：
$a_{11} = 2$, $a_{21} = 0$, $a_{31} = 1$。

計算 $C_{11}$：
$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1) \det \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$
$M_{11} = (4)(0) - (5)(-2) = 0 - (-10) = 10$。
所以，$C_{11} = 10$。

計算 $C_{21}$：
$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1) \det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$
$M_{21} = (1)(0) - (2)(-2) = 0 - (-4) = 4$。
所以，$C_{21} = -4$。

核心觀念

矩陣 $B$ 可對角化，是指存在可逆矩陣 $P$ 與對角矩陣 $D$，使得

$$B=PDP^{-1}.$$

求法如下：

1. 由特徵方程式求特徵值。
2. 對每個特徵值求對應的特徵向量。
3. 將線性獨立的特徵向量作為 $P$ 的欄向量。
4. 將對應特徵值排列在 $D$ 的對角線上。

---

解題方法

給定

$$B= \begin{bmatrix} 6 & -2\\ 3 & 1 \end{bmatrix}.$$

先求特徵方程式：

$$\det(B-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 6-\lambda & -2\\ 3 & 1-\lambda \end{bmatrix}.$$

因此

$$\det(B-\lambda I) =(6-\lambda)(1-\lambda)-(-2)(3)$$ $$=(6-\lambda)(1-\lambda)+6 =\lambda^2-7\lambda+12 =(\lambda-3)(\lambda-4).$$

所以兩個特徵值為

$$\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=4.$$

由於 $B$ 有兩個相異特徵值，必定可對角化。

---

求 $\lambda=3$ 的特徵向量

解

$$(B-3I)\mathbf{x}=0.$$

其中

$$B-3I= \begin{bmatrix} 3 & -2\\ 3 & -2 \end{bmatrix}.$$

故特徵向量 $(x,y)^T$ 滿足

$$3x-2y=0.$$

取 $x=2$、$y=3$，得到

$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}.$$

---

求 $\lambda=4$ 的特徵向量

解

$$(B-4I)\mathbf{x}=0.$$

其中

$$B-4I= \begin{bmatrix} 2 & -2\\ 3 & -3 \end{bmatrix}.$$

故特徵向量滿足

$$2x-2y=0,$$

即 $x=y$。取 $x=y=1$，得到

本題考查 Moore-Penrose 逆矩陣 (或稱偽逆) 的計算。對於一個矩陣 $A$，其 Moore-Penrose 偽逆記為 $A^+$，滿足以下四個條件：

1. $AA^+A = A$
2. $A^+AA^+ = A^+$
3. $(AA^+)^T = AA^+$ (偽逆矩陣 $AA^+$ 是對稱的)
4. $(A^+A)^T = A^+A$ (偽逆矩陣 $A^+A$ 是對稱的)

對於一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$，如果 $A$ 的秩 (rank) 為 $r$，則：

• 若 $r=m=n$ (方陣且滿秩)，則 $A^+ = A^{-1}$。
• 若 $r < m$ 或 $r < n$ (非滿秩或非方陣)，則需要更通用的方法。

給定的矩陣是 $A = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$，這是一個 $2 \times 1$ 的矩陣 (向量)。
它的秩是 1，因為它是一個非零向量。

對於形如 $A = \mathbf{a}$ (列向量)，其偽逆 $A^+$ 可以通過以下公式計算：
$A^+ = (A^T A)^{-1} A^T$
這個公式適用於 $A^T A$ 是可逆的情況。

首先，計算 $A^T$:
$A^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix}$。

接下來，計算 $A^T A$:
$A^T A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = (2)(2) + (4)(4) = 4 + 16 = 20$。
這裡 $A^T A$ 是一個 $1 \times 1$ 的矩陣（一個純量）。

接下來，計算 $(A^T A)^{-1}$:
$(A^T A)^{-1} = (20)^{-1} = \frac{1}{20}$。

最後，計算 $A^+ = (A^T A)^{-1} A^T$:
$A^+ = \frac{1}{20} \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{20} & \frac{4}{20} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} & \frac{2}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 \end{bmatrix}$。

所以，Moore-Penrose 逆矩陣 $A^+$ 是 $\begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 \end{bmatrix}$。