112 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎數學（含微積分、線性代數）》

核心觀念

本題考查：

1. 矩陣滿秩的定義。
2. 正定矩陣的判定：
   對任意非零向量 $a$，若
   $a'Aa>0,$
   則稱對稱矩陣 $A$ 為正定矩陣。
3. 矩陣乘積 $X'X$ 的二次型：
   $a'X'Xa=(Xa)'(Xa)=\|Xa\|^2.$

其中，若 $X$ 具有行滿秩，即 $X$ 具有 full column rank，則表示 $X$ 的欄向量線性獨立，因而
$Xa=0\Longrightarrow a=0.$

第一部分：$X$ 行滿秩時，$X'X$ 為正定矩陣

設 $X$ 為 $m\times n$ 矩陣，且具有行滿秩，也就是具有 full column rank：

$\operatorname{rank}(X)=n.$

因此 $X$ 的 $n$ 個欄向量線性獨立。取任意非零向量 $a\in\mathbb{R}^n$，考慮二次型：

$$\begin{aligned} a'X'Xa &=(Xa)'(Xa)\\ &=\|Xa\|^2. \end{aligned}$$

由於 $a\neq 0$，且 $X$ 的欄向量線性獨立，所以

$Xa\neq 0.$

因此

$\|Xa\|^2>0,$

故

$a'X'Xa>0.$

此外，$X'X$ 必為對稱矩陣，因為

$(X'X)'=X'X.$

綜合可得，對所有非零向量 $a$，皆有

$a'X'Xa>0.$

所以

$\boxed{X'X\text{ 是正定矩陣。}}$

第二部分：題目原敘述的問題

題目寫道：

如果有列滿秩（full row rank），則 $Y'Y$ 是一個正定矩陣。

此敘述在一般情況下不成立。

設 $Y$ 為 $m\times n$ 矩陣，具有 full row rank，則

$\operatorname{rank}(Y)=m,$

其中通常 $m\leq n$。此時

$\operatorname{rank}(Y'Y)=\operatorname{rank}(Y)=m.$

但 $Y'Y$ 是 $n\times n$ 矩陣。若 $m<n$，則

$\operatorname{rank}(Y'Y)=m<n,$

所以 $Y'Y$ 不滿秩，必有非零向量 $b$ 使得

$Y'Yb=0.$

因此 $Y'Y$ 只能是半正定矩陣，不能是正定矩陣。

反例

取

$$Y= \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix}.$$

此矩陣為 $1\times2$ 矩陣，且具有 full row rank，因為

$\operatorname{rank}(Y)=1.$

但是

本題涉及矩陣的特徵值與特徵向量的計算與性質。

第一部分：證明特徵向量的形式

令矩陣 $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$。
特徵值 $\lambda$ 滿足特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$\det \left( \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) = 0$
$\det \begin{bmatrix} a-\lambda & -b \\ b & a-\lambda \end{bmatrix} = 0$
$(a-\lambda)^2 - (-b)(b) = 0$
$(a-\lambda)^2 + b^2 = 0$
$a^2 - 2a\lambda + \lambda^2 + b^2 = 0$
$\lambda^2 - 2a\lambda + (a^2+b^2) = 0$
利用二次方程式求根公式解 $\lambda$:
$\lambda = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4(1)(a^2+b^2)}}{2(1)}$
$\lambda = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2 - 4b^2}}{2}$
$\lambda = \frac{2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2}$
$\lambda = \frac{2a \pm 2|b|i}{2}$
$\lambda = a \pm |b|i$
所以，特徵值為 $\lambda_1 = a + |b|i$ 和 $\lambda_2 = a - |b|i$。
（注意：題目中提到 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是特徵值，但沒有明確給出它們的值，我們計算出來了。題目中給出的特徵向量形式是 $c \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$ 和 $c \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$，這暗示了特徵值與 $i$ 有關，這與我們的計算結果一致。如果我們假設 $b>0$，那麼 $\lambda_1 = a+bi, \lambda_2 = a-bi$。）

現在我們來求解特徵向量。
對於特徵值 $\lambda = a + bi$ (假設 $b \ge 0$)，我們解 $(A - \lambda I)v = 0$。
$\left( \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} - (a+bi) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a-(a+bi) & -b \\ b & a-(a+bi) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -bi & -b \\ b & -bi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
第一行方程式：$-bix - by = 0 \implies -b(ix+y) = 0$。
由於 $b$ 可以是 0，我們需要考慮。如果 $b=0$，則矩陣為 $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$，特徵值為 $a$ (重根)，特徵向量是任意非零向量。但題目給出的特徵向量形式暗示 $b \neq 0$。
假設 $b \neq 0$。則 $ix+y=0 \implies y = -ix$。
所以特徵向量的形式為 $\begin{bmatrix} x \\ -ix \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$。
如果我們取 $x=1$，則特徵向量為 $\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$。

對於特徵值 $\lambda = a - bi$ (假設 $b \ge 0$)，我們解 $(A - \lambda I)v = 0$。
$\left( \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} - (a-bi) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a-(a-bi) & -b \\ b & a-(a-bi) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} bi & -b \\ b & bi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
第一行方程式：$bix - by = 0 \implies b(ix-y) = 0$。
假設 $b \neq 0$。則 $ix-y=0 \implies y = ix$。

題意與記號釐清

題目中的

$$s=(y-Xb)'(x-Xb)$$

第二個 $x$ 應為 $y$，以下依照最小平方法的標準形式解題：

$$s=(y-Xb)'(y-Xb).$$

令

$$A=X'X,\qquad c=X'y.$$

因 $G$ 是 $A=X'X$ 的廣義反矩陣，依定義有

$$AGA=A.$$

又題目給定

$$b=GX'y=Gc.$$

---

核心觀念

本題使用三個關鍵觀念：

1. 廣義反矩陣的定義：

   $$AGA=A.$$

2. 正規方程式：
   最小平方法的估計量 $b$ 滿足

   $$X'Xb=X'y.$$

3. 殘差平方和展開：

   $$(y-Xb)'(y-Xb) =y'y-2b'X'y+b'X'Xb.$$

只要證明

$$X'Xb=X'y,$$

即可將上式化簡為題目要求的結果。

---

解題方法與關鍵推導

由 $b=GX'y$，有

$$X'Xb=X'XGX'y.$$

由於 $X'y$ 屬於 $X'$ 的欄空間，而

$$\operatorname{Col}(X')=\operatorname{Col}(X'X),$$

因此存在某個向量 $u$，使得

$$X'y=X'Xu.$$

代入廣義反矩陣的性質 $X'XG(X'X)=X'X$，得到

$$X'XGX'y =X'XG(X'Xu) =X'Xu =X'y.$$

本題考察多變量函數的極限，需要判斷函數在趨近某點時的行為。

核心概念：

• 二維極限： 函數 $f(x,y)$ 在點 $(a,b)$ 的極限存在，表示當 $(x,y)$ 從任何路徑趨近 $(a,b)$ 時，函數值都趨近同一個值 $L$。
• 夾擠定理 (Squeeze Theorem)： 如果能找到兩個函數 $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$，使得在點 $(a,b)$ 的鄰域內 $g(x,y) \le f(x,y) \le h(x,y)$，且 $\lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = \lim_{(x,y) \to (a,b)} h(x,y) = L$，則 $\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$。
• 極座標轉換： 變換變量為極座標 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$。當 $(x,y) \to (0,0)$ 時， $r \to 0$。

解題步驟：

方法一：使用夾擠定理

我們需要尋找一個界限。觀察函數的形式 $\frac{x^2y}{x^2+y^2}$。
分母 $x^2+y^2$ 是一個常見的項。
我們可以利用 $x^2 \le x^2+y^2$ 和 $y^2 \le x^2+y^2$。
從分母來看，$x^2+y^2 \ge 0$。

考慮函數的絕對值：
$\left| \frac{x^2y}{x^2+y^2} \right| = \frac{x^2|y|}{x^2+y^2}$
我們知道 $x^2 \le x^2+y^2$。
所以， $\frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$ (假設 $x^2+y^2 \neq 0$)。
因此，
$\frac{x^2|y|}{x^2+y^2} = \frac{x^2}{x^2+y^2} |y| \le 1 \cdot |y| = |y|$
所以，我們有：
$0 \le \left| \frac{x^2y}{x^2+y^2} \right| \le |y|$

本題考察單變量函數的極限，特別是當極限出現 $0/0$ 不定型時，可以使用羅必達法則。

核心概念：

• 羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)： 如果 $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$ 或 $\pm \infty$，且 $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或為 $\pm \infty$），則 $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。

解題步驟：

首先，我們檢查當 $x \to 0$ 時，分子和分母的行為：
分子：$e^x - x - 1 \to e^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$。
分母：$x^2 \to 0^2 = 0$。
由於出現 $0/0$ 的不定型，我們可以應用羅必達法則。

第一次應用羅必達法則：
令 $f(x) = e^x - x - 1$ 且 $g(x) = x^2$。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$。
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
所以，
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$

再次檢查極限：
分子：$e^x - 1 \to e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$。
分母：$2x \to 2(0) = 0$。
我們仍然得到 $0/0$ 的不定型，所以需要再次應用羅必達法則。

本題考察定積分的計算，需要用到換元積分法和分部積分法。

核心概念：

• 換元積分法 (Substitution Rule)： 如果 $u = g(x)$，則 $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$。
• 分部積分法 (Integration by Parts)： $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。

解題步驟：

觀察被積函數 $2x^3e^{x^2}$。我們注意到 $x^2$ 的導數是 $2x$。這提示我們可以使用換元積分法來簡化指數部分的表達式。

第一步：換元積分
令 $u = x^2$。
則 $du = 2x \, dx$。
積分的上下限也需要轉換：
當 $x=0$ 時，$u = 0^2 = 0$。
當 $x=1$ 時，$u = 1^2 = 1$。

原積分可以改寫為：
$\int_{0}^{1} 2x^3e^{x^2}dx = \int_{0}^{1} x^2 \cdot e^{x^2} \cdot (2x \, dx)$
將 $u = x^2$ 和 $du = 2x \, dx$ 代入：

本題考察定積分的計算，可以使用換元積分法。

核心概念：

• 換元積分法 (Substitution Rule)： 如果 $u = g(x)$，則 $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$。

解題步驟：

觀察被積函數 $\frac{x}{x^2+1}$。我們注意到分母 $x^2+1$ 的導數是 $2x$。這提示我們可以使用換元積分法。

第一步：換元
令 $u = x^2+1$。
則 $du = 2x \, dx$。
我們有 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。

積分的上下限也需要轉換：
當 $x=0$ 時，$u = 0^2+1 = 1$。
當 $x=1$ 時，$u = 1^2+1 = 2$。

本題考察定積分的計算，需要用到部分分式分解。

核心概念：

• 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)： 將有理函數分解為更簡單的分式之和，以便於積分。

解題步驟：

被積函數是 $\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}$。由於分子和分母都是關於 $x^2$ 的多項式，我們可以先對 $\frac{t}{(t+1)(t+2)}$ 進行部分分式分解，其中 $t = x^2$。

第一步：部分分式分解
令 $t = x^2$。我們需要分解 $\frac{t}{(t+1)(t+2)}$。
假設：
$\frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$
通分後得到：
$t = A(t+2) + B(t+1)$
令 $t = -1$：
$-1 = A(-1+2) + B(-1+1) \implies -1 = A(1) \implies A = -1$
令 $t = -2$：
$-2 = A(-2+2) + B(-2+1) \implies -2 = B(-1) \implies B = 2$
所以，
$\frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{-1}{t+1} + \frac{2}{t+2}$
將 $t=x^2$ 代回：
$\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{-1}{x^2+1} + \frac{2}{x^2+2}$

第二步：積分
現在我們可以對分解後的表達式進行積分：
$\int_{0}^{1} \left( \frac{-1}{x^2+1} + \frac{2}{x^2+2} \right) dx$
$= \int_{0}^{1} \frac{-1}{x^2+1} dx + \int_{0}^{1} \frac{2}{x^2+2} dx$

本題考察單變量函數的極限，特別是當趨近某點時，分母可能趨近於零的情況。

核心概念：

• 單側極限 (One-sided Limit)： 當變量從特定方向（左側或右側）趨近某值時的極限。
• 因式分解： 將多項式分解成較簡單的因子，便於分析函數的行為。

解題步驟：

首先，我們檢查當 $x \to 7^+$ 時，分子和分母的行為。
分子：$x-9 \to 7-9 = -2$。
分母：$x^2-12x+35$。

我們需要因式分解分母 $x^2-12x+35$。尋找兩個數字，它們的和是 $-12$，積是 $35$。這兩個數字是 $-5$ 和 $-7$。
所以， $x^2-12x+35 = (x-5)(x-7)$。

現在，我們重新寫出極限表達式：
$\lim_{x \to 7^+} \frac{x-9}{(x-5)(x-7)}$

本題考察連鎖律 (Chain Rule) 的應用，用於求複合函數的導數。

核心概念：

• 連鎖律： 如果 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$，則 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

解題步驟：

我們有一個複合函數 $y = \tan(x^2+5x)$。
令外層函數為 $f(u) = \tan(u)$，內層函數為 $u = g(x) = x^2+5x$。

第一步：求外層函數的導數
外層函數是 $\tan(u)$。其導數是：
$\frac{df}{du} = \frac{d}{du}(\tan(u)) = \sec^2(u)$

核心觀念

利用導數的線性性質：

$$(f+g)'(t)=f'(t)+g'(t)$$

並將與 $t$ 無關的 $p,q,r$ 視為常數；若它們是向量，微分規則同樣適用。

解題方法

先將 $f(t)$ 與 $g(t)$ 相加，合併同類項：

$$\begin{aligned} (f+g)(t) &=3t^2p+5tq+9r+p+4tq+3t^2r\\ &=3t^2p+9tq+p+(9+3t^2)r. \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查：

• 直線與圓的交點；
• 由曲線判斷封閉區域；
• 圓的上、下半圓函數：
  $y=\pm\sqrt{2-x^2};$
• 利用定積分計算平面圖形面積；
• 圓弓形面積的積分公式：

$$\int\sqrt{2-x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right).$$

三條曲線為

$x=0,\qquad y=x+1,\qquad x^2+y^2=2.$

其中圓心為原點，半徑為 $\sqrt2$。

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解題方法

一、求各曲線交點

直線與 $y$ 軸交於

$x=0\Rightarrow y=1,$

故交點為

$(0,1).$

圓與 $y$ 軸交於

$x=0\Rightarrow y=\pm\sqrt2,$

故交點為

$(0,\sqrt2),\qquad (0,-\sqrt2).$

直線與圓聯立：

$x^2+(x+1)^2=2,$

$2x^2+2x-1=0,$

$x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.$

令

$a=\frac{-1-\sqrt3}{2},\qquad b=\frac{-1+\sqrt3}{2}.$

對應的 $y=x+1$ 為

$$y_a=\frac{1-\sqrt3}{2},\qquad y_b=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

因此兩交點為

$\left(\frac{-1-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right),$

$\left(\frac{-1+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right).$

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二、判斷封閉區域

這三條曲線形成左右兩個封閉區域：

1. 右上方區域：由 $x=0$、直線與圓的上半部所包圍；
2. 左下方區域：由 $x=0$、直線與圓的下半部所包圍。

圓的上、下半部為

$y=\sqrt{2-x^2},\qquad y=-\sqrt{2-x^2}.$

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三、計算右上方區域面積

右上方區域的 $x$ 範圍為 $0\le x\le b$，上方為圓弧，下方為直線，因此

$A_1=\int_0^b\left[\sqrt{2-x^2}-(x+1)\right]dx,$

其中

$b=\frac{-1+\sqrt3}{2}.$

先計算圓弧部分：

$$\int\sqrt{2-x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} +\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right).$$

在 $x=b$ 時，圓上的 $y$ 值為

$\sqrt{2-b^2}=b+1=\frac{1+\sqrt3}{2},$

且

$b\sqrt{2-b^2}=\frac12.$

又因為

$\sin^{-1}\left(\frac{b}{\sqrt2}\right)=\frac{5\pi}{12},$

故

$$\int_0^b\sqrt{2-x^2}\,dx =\frac14+\frac{5\pi}{12}.$$

直線部分為

核心觀念

本題使用以下三個觀念：

1. 零空間（null space）
   對矩陣 $A$ 而言，

   $$\mathcal N(A)=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}.$$

2. 題目給出

   $$\mathcal N(A)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \right\},$$

   表示

   $$A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} =\mathbf{0}.$$

3. 秩－零度定理（rank-nullity theorem）
   若 $A$ 有 $3$ 個欄，則

   $$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=3.$$

   本題零空間由一個非零向量張成，因此零度為 $1$，所以

   $$\operatorname{rank}(A)=3-1=2.$$

題目給的兩個向量為

$$\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2= \begin{bmatrix}5\\-2\\1\end{bmatrix}.$$

兩向量不成比例，因此線性獨立。既然欄空間包含這兩個線性獨立向量，而矩陣的秩又是 $2$，可令欄空間為 $\operatorname{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$。

解題方法

因為零空間包含向量

$$\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},$$

所以矩陣的三個欄向量 $\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3$ 必須滿足

$$\mathbf c_1+\mathbf c_2+\mathbf c_3=\mathbf 0.$$

直接選取前兩個欄向量為題目指定的兩向量：

$$\mathbf c_1=\mathbf v_1= \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}, \qquad \mathbf c_2=\mathbf v_2= \begin{bmatrix}5\\-2\\1\end{bmatrix}.$$

則第三個欄向量取為

$$\mathbf c_3=-(\mathbf c_1+\mathbf c_2).$$

先計算：

核心觀念

對任意實數矩陣 $A$，其行空間與零空間互相正交：

$$\operatorname{Row}(A)=N(A)^\perp.$$

因此，若

$$\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\in N(A),$$

則行空間中的每一個向量 $r$ 都必須滿足

$$r\cdot \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=0.$$

---

解題方法

題目給定行空間包含

$$u= \begin{bmatrix}1\\-2\\4\end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix}5\\-2\\1\end{bmatrix},$$

且零空間為

$$N(A)=\operatorname{span} \left( \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \right).$$

由行空間與零空間正交，向量 $u$ 必須與零空間的生成向量正交。然而

$$u\cdot \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} =1-2+4=3\neq 0.$$

同樣地，

本題考察矩陣的特徵值與特徵向量的計算。

核心概念：

• 特徵值與特徵向量： 對於一個方陣 $A$，如果存在非零向量 $v$ 和標量 $\lambda$，使得 $Av = \lambda v$，則 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，而 $v$ 是對應於 $\lambda$ 的特徵向量。
• 特徵方程式： 特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(A - \lambda I) = 0$。

解題步驟：

第一步：求解特徵值
令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$。
我們需要解特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。
$\det \left( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right) = 0$
$\det \begin{bmatrix} -\lambda & 2 & 2 \\ 2 & -\lambda & 2 \\ 2 & 2 & -\lambda \end{bmatrix} = 0$
計算行列式：
$-\lambda \det \begin{bmatrix} -\lambda & 2 \\ 2 & -\lambda \end{bmatrix} - 2 \det \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -\lambda \end{bmatrix} + 2 \det \begin{bmatrix} 2 & -\lambda \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 0$
$-\lambda (\lambda^2 - 4) - 2 (-2\lambda - 4) + 2 (4 - (-2\lambda)) = 0$
$-\lambda^3 + 4\lambda + 4\lambda + 8 + 8 + 4\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 12\lambda + 16 = 0$
$\lambda^3 - 12\lambda - 16 = 0$
我們需要找到這個三次方程式的根。可以嘗試一些簡單的整數值（因子 16 的因子：$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$）。
令 $\lambda = 1$: $1 - 12 - 16 \neq 0$。
令 $\lambda = -1$: $-1 + 12 - 16 \neq 0$。
令 $\lambda = 2$: $8 - 12(2) - 16 = 8 - 24 - 16 \neq 0$。
令 $\lambda = -2$: $(-2)^3 - 12(-2) - 16 = -8 + 24 - 16 = 0$。
所以 $\lambda = -2$ 是一個特徵值。
這意味著 $(\lambda+2)$ 是 $\lambda^3 - 12\lambda - 16$ 的一個因子。
進行多項式長除法或綜合除法：
$(\lambda^3 - 12\lambda - 16) \div (\lambda+2)$
$\begin{array}{c|cccc} -2 & 1 & 0 & -12 & -16 \\ & & -2 & 4 & 16 \\ \hline & 1 & -2 & -8 & 0 \\ \end{array}$
所以，$\lambda^3 - 12\lambda - 16 = (\lambda+2)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0$。
現在分解二次因子 $\lambda^2 - 2\lambda - 8$。
尋找兩個數字，和為 -2，積為 -8。這兩個數字是 -4 和 2。
所以，$\lambda^2 - 2\lambda - 8 = (\lambda-4)(\lambda+2)$。
因此，特徵方程式是 $(\lambda+2)(\lambda-4)(\lambda+2) = 0$。
即 $(\lambda+2)^2 (\lambda-4) = 0$。
特徵值是 $\lambda_1 = 4$ (單根) 和 $\lambda_2 = -2$ (重根)。

第二步：求解對應的特徵向量

情況 1：特徵值 $\lambda = 4$
解 $(A - 4I)v = 0$。
$\begin{bmatrix} 0-4 & 2 & 2 \\ 2 & 0-4 & 2 \\ 2 & 2 & 0-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$