114 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎統計學》

核心觀念

1. 機率模型（Probability Model）：
   「寒流持續天數」為代表「時間長度」或「事件發生次數/等待時間」的離散型隨機變數。在統計學中，常以幾何分佈（Geometric Distribution）或卜瓦松分佈（Poisson Distribution）來建立天數/次數的模型；若考慮連續天數或等待間隔，亦可考慮指數分佈（Exponential Distribution）。然而天數取值為正整數 $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$（最少持續 1 天），最標準且常見的機率模型為幾何分佈 $\text{Geometric}(p)$；若定義為非負整數 $x \in \{0, 1, 2, \dots\}$ 或計數型變數，則可考慮 Poisson 分佈 $\text{Poisson}(\lambda)$。在補考標準考題中，對於「等待持續天數（成功前的失敗次數或第一次終止的天數）」，以幾何分佈最為符合定義與統計推導架構。

2. 矩生成函數（Moment-Generating Function, MGF）：
   隨機變數 $X$ 的 MGF 定義為 $M_X(t) = E[e^{tX}]$。對於離散隨機變數，其推導係利用無窮級數求和（如等比級數求和公式）。

3. 動差估計法（Method of Moments, MM）：
   將母體動差（Population Moments）與樣本動差（Sample Moments）相等，建立方程組來估計參數：

   • 一階母體動差：$\mu_1' = E[X]$
   • 一階樣本動差：$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
   • 二階中央動差（變異數）：$\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$

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解題方法

步驟一：建立機率模型（Probability Model）

設隨機變數 $X$ 表示「寒流持續的天數」，其可能取值為正整數 $x = 1, 2, 3, \dots$。
假設每一天寒流結束（或持續）的機率為獨立且恆定（設每天寒流結束的機率為 $p$，其中 $0 < p < 1$），則 $X$ 服從幾何分佈（Geometric Distribution），其機率質量函數（PMF）為：
$f(x; p) = P(X = x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x = 1, 2, 3, \dots$

(註：若依據計數觀點採用 Poisson 分佈 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其取值範圍包含 0；考慮寒流持續天數必然至少為 1 天，以幾何分佈更符合實際題意。)

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步驟二：導出矩生成函數（MGF）

依據 MGF 定義：
$M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x=1}^{\infty} e^{tx} \cdot (1-p)^{x-1}p$

提出常數 $p$ 與 $e^t$：
$M_X(t) = p e^t \sum_{x=1}^{\infty} \left[(1-p)e^t\right]^{x-1}$

令 $k = x - 1$，當 $x=1$ 時 $k=0$：
$M_X(t) = p e^t \sum_{k=0}^{\infty} \left[(1-p)e^t\right]^k$

當 $(1-p)e^t < 1$（即 $t < -\ln(1-p)$）時，利用無窮等比級數求和公式 $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$：
$M_X(t) = \frac{p e^t}{1 - (1-p)e^t}$

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步驟三：利用動差估計法（Method of Moments）估計期望值與變異數

給定 10 波寒流持續天數樣本數據：
$3, 4, 5, 7, 1, 5, 2, 3, 2, 2$
樣本數 $n = 10$。

核心觀念

1. 第 1-(1) 題模型背景（動機與推導基礎）：
   在常見的事件發生數（如 10 年間 OHCA 發病人數）建模中，通常假設 OHCA 發生次數 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 獨立同分布（i.i.d.）服從卜瓦松分布（Poisson Distribution），即 $X_i \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$ 為平均發病率參數。

   • First moment（母體一階動差）定義為：$E(X) = \lambda$。
   • 動差法估計量（Method of Moments Estimator, MME）：令樣本一階動差等於母體一階動差，即 $\bar{X} = E(X) = \hat{\lambda}_{\text{MME}}$。因此，first moment 得到的估計量即為樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。

2. 充分統計量（Sufficient Statistic）：
   若統計量 $T(\mathbf{X})$ 包含樣本中關於未知參數 $\theta$（本題中為 $\lambda$）的所有訊息，使得在給定 $T(\mathbf{X})$ 的條件下，樣本 $\mathbf{X}$ 的條件機率分布不依賴於 $\theta$，則稱 $T(\mathbf{X})$ 為 $\theta$ 的充分統計量。

3. 費雪－奈曼分解定理（Fisher-Neyman Factorization Theorem）：
   隨機樣本 $\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_n)$ 的聯合機率質量函數（pmf）可分解為：
   $f(\mathbf{x}; \theta) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})$
   其中：

   • $g(T(\mathbf{x}), \theta)$ 為僅透過統計量 $T(\mathbf{x})$ 與參數 $\theta$ 互動的函數。
   • $h(\mathbf{x})$ 為僅與樣本數據 $\mathbf{x}$ 有關、與參數 $\theta$ 無關的函數。
     若且唯若上述分解成立，則 $T(\mathbf{X})$ 為 $\theta$ 的充分統計量。

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解題方法與推導過程

結論：是的，由 first moment 得到的估計量 $\bar{X}$（或其等價的總和 $\sum X_i$）為此模型參數 $\lambda$ 的充分統計量。

完整證明（使用費雪－奈曼分解定理）：

1. 建立聯合機率質量函數（Joint PMF）：
   設 $X_1, X_2, \dots, X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)$，單一觀測值之 pmf 為：
   $f(x_i; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!}, \quad x_i = 0, 1, 2, \dots$
   樣本 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_n)$ 的聯合 PMF 為：
   $f(\mathbf{x}; \lambda) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}}{\prod_{i=1}^n x_i!}$

核心觀念

本題考查多項分布（Multinomial Distribution）之適合度檢定（Goodness-of-Fit Test），或稱為單因子擬合優度檢定。

在探討「寒流發生時，四個地理區域（北部、中部、南部、東部）的 OHCA 發生數是否有差異」時，資料型態屬於類別資料（Categorical Data），觀測值為各區域的頻次／計數（Counts）。

1. 檢定統計量與虛無假設

若欲檢定四個區域的發病數是否有差異，通常以「各區域發生機率均等（即均勻分布，Uniform Distribution）」作為虛無假設基準：

• 虛無假設 $H_0: p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0.25$（四個區域 OHCA 發生數的理論比例無差異）
• 對立假設 $H_1:$ 至少有一個 $p_i \neq 0.25, \; i \in \{1, 2, 3, 4\}$

註（實務人口校正考量）：若題目考量各區域「總人口數不同」，理論比例 $p_i$ 應設定為各區域人口占全國總人口的比例 $\pi_i$。不論理論比例為何，其卡方檢定的架構與流程完全一致。

2. 皮爾森卡方檢定統計量（Pearson's Chi-Square Test Statistic）

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

• $k$: 類別數（本題 $k = 4$）
• $O_i$: 第 $i$ 個區域的實際觀察頻次（Observed Frequency）
• $E_i$: 第 $i$ 個區域的理論期望頻次（Expected Frequency），計算方式為 $E_i = n \times p_i$，其中 $n = \sum O_i$ 為總 OHCA 觀察案例數。
• 在虛無假設成立且樣本數足夠大時，該統計量近似服從自由度為 $k - 1 = 3$ 的卡方分布，即 $\chi^2 \sim \chi^2(3)$。

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解題方法：統計檢定完整流程

本題為問答申論題，須依照假設檢定的完整步驟進行說明：

步驟一：建立假設（Hypotheses）

• $H_0: p_{\text{北}} = p_{\text{中}} = p_{\text{南}} = p_{\text{東}} = 0.25$ （寒流發生時，四個地理區域 OHCA 發生數無顯著差異）
• $H_1:$ 至少有一個區域的發生機率不等於 $0.25$ （四個地理區域 OHCA 發生數有顯著差異）

步驟二：設定顯著水準（Level of Significance）

設定顯著水準 $\alpha$（常見取 $\alpha = 0.05$）。

步驟三：計算理論期望頻次與檢定統計量

1. 統計十年來每次寒流發生時，四個區域的總 OHCA 觀察案例數 $n = O_{\text{北}} + O_{\text{中}} + O_{\text{南}} + O_{\text{東}}$。
2. 計算各區域的期望頻次：
   $E_i = n \times 0.25 \quad (i = \text{北, 中, 南, 東})$
   前提條件檢驗：需確保每個類別的期望頻次 $E_i \ge 5$，以符合大樣本卡方近似之條件。
3. 計算皮爾森卡方檢定統計量值：
   $\chi_{\text{calc}}^2 = \frac{(O_{\text{北}} - E_{\text{北}})^2}{E_{\text{北}}} + \frac{(O_{\text{中}} - E_{\text{中}})^2}{E_{\text{中}}} + \frac{(O_{\text{南}} - E_{\text{南}})^2}{E_{\text{南}}} + \frac{(O_{\text{東}} - E_{\text{東}})^2}{E_{\text{東}}}$

核心觀念

本題考查列聯表卡方適合度檢定（Chi-square Goodness-of-Fit Test）或卡方獨立性檢定（Chi-square Test of Independence）的理論基本假設與使用條件。在統計推論中，卡方檢定屬於無母數檢定（Non-parametric Test），但要確保檢定統計量漸近服從卡方分配（Chi-square Distribution），資料與樣本必須滿足特定的統計假設。

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解題方法與假設說明

在進行卡方檢定（適合度檢定或獨立性檢定）時，主要包含以下 4 項核心假設與使用條件：

1. 資料獨立性假設（Independence of Observations）：

   • 樣本點之間必須相互獨立。每個觀測值（觀察數）只能被歸類到列聯表中的某一個類別（Cells），且個案之間不能有重複計數或相關性（例如：同一名患者 repeated measurement 罹病不可重複計入）。

2. 名義／類別尺度（Nominal / Categorical Scale）：

   • 觀察資料必須為次數（Frequencies / Counts）的形式，而非連續型資料（如平均數、比率等）。

3. 隨機抽樣假設（Random Sampling）：

   • 樣本資料應來自母體的隨機抽樣，以確保樣本具備母體代表性。

4. 期望次數足夠大假設（Large Sample Size / Expected Cell Count Rule）：

   • 卡方統計量為漸近極限定理（Asymptotic Theory）推導出的近似分配。為確保其卡方近似效果良好：

核心觀念

本題旨在考查多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression Model）的建立與設定，特別包含：

1. 名目類別變數的虛擬變數（Dummy Variable）編碼：當類別變數有 $k$ 個類別時，需設定 $k-1$ 個虛擬變數，未設定虛擬變數的類別即為「參考組」（Reference Group / Baseline Group）。本題地區變數共有 4 個類別（東部、南部、中部、北部），以東部為參考組，故包含 3 個地區虛擬變數。
2. 交互作用項（Interaction Term）：模型探討「寒流持續天數」與「地區」對發病數的聯合效應。
3. 無主效應（Main Effect）的交互作用模型：從迴歸結果表可知，模型中包含「寒流持續天數」的主效應以及「寒流持續天數與各地區」的交互作用項，但不包含「地區」本身的主效應虛擬變數（只有截距項，沒有地區的獨立主效應項 $\text{南部}$、$\text{中部}$、$\text{北部}$）。

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解題方法

首先定義變數：

• 設依變數 $Y$ 代表「OHCA 發病數」。
• 設連續自變數 $X$ 代表「寒流持續天數」。
• 設類別變數「地區」包含四個類別，以東部為參考組（Reference Group），定義三個虛擬變數：
  • $D_{\text{South}} = \begin{cases} 1, & \text{若為南部} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
  • $D_{\text{Central}} = \begin{cases} 1, & \text{若為中部} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
  • $D_{\text{North}} = \begin{cases} 1, & \text{若為北部} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

檢視迴歸分析結果表中的變數項目：

1. 截距：對應參數 $\beta_0$，估計值 $\hat{\beta}_0 = -13.48$。
2. 寒流持續天數：對應 $X$ 的主效應項，參數為 $\beta_1$，估計值 $\hat{\beta}_1 = 7.54$（即東部地區寒流天數對 OHCA 發病數的斜率）。
3. 寒流持續天數 × 東部（參考組）：作為參考基準，不進入模型（係數為 0）。
4. 寒流持續天數 × 南部：對應交互作用項 $X \cdot D_{\text{South}}$，參數為 $\beta_2$，估計值 $\hat{\beta}_2 = 4.47$。
5. 寒流持續天數 × 中部：對應交互作用項 $X \cdot D_{\text{Central}}$，參數為 $\beta_3$，估計值 $\hat{\beta}_3 = 2.73$。
6. 寒流持續天數 × 北部：對應交互作用項 $X \cdot D_{\text{North}}$，參數為 $\beta_4$，估計值 $\hat{\beta}_4 = 7.22$。

因此，總體迴歸模型（Population Regression Model）的一般式可表示為：

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 (X \cdot D_{\text{South}}) + \beta_3 (X \cdot D_{\text{Central}}) + \beta_4 (X \cdot D_{\text{North}}) + \varepsilon$$

代入表格中估計出的迴歸係數後，樣本迴歸方程式（Sample Regression Equation / Estimated Model）為：

$$\hat{Y} = -13.48 + 7.54 X + 4.47 (X \cdot D_{\text{South}}) + 2.73 (X \cdot D_{\text{Central}}) + 7.22 (X \cdot D_{\text{North}})$$

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選項分析

本題為非選擇題（問答題），依據題目需求說明模型變數與結構：

核心觀念

本題考查**多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression Model）**之參數估計方法——**最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）與最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）**的推導過程。

多元線性迴歸的矩陣形式定義如下：

$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$$

其中：

• $\mathbf{y}$ 為 $n \times 1$ 之反應變數向量（Observed Response Vector）。
• $\mathbf{X}$ 為 $n \times p$ 之設計矩陣（Design Matrix），包含截距項與各虛擬變數（Dummy Variables）及交互作用項（Interaction Terms）。
• $\boldsymbol{\beta}$ 為 $p \times 1$ 之未知迴歸係數向量（Parameter Vector）。
• $\boldsymbol{\varepsilon}$ 為 $n \times 1$ 之誤差項向量（Error Vector），假設 $E(\boldsymbol{\varepsilon}) = \mathbf{0}$ 且 $\text{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \sigma^2 \mathbf{I}_n$。

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解題方法

最小平方法（OLS）的核心切入點是：尋找一組參數估計值 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$，使得殘差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）達到極小化。

1. 建立目標函數（極小化殘差平方和）

殘差平方和 $S(\boldsymbol{\beta})$ 定義為：

$$S(\boldsymbol{\beta}) = \boldsymbol{\varepsilon}^T \boldsymbol{\varepsilon} = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})$$

將矩陣轉置與乘法展開：

$$S(\boldsymbol{\beta}) = \mathbf{y}^T \mathbf{y} - \mathbf{y}^T \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} - \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}^T \mathbf{y} + \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}^T \mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$$

由於 $\mathbf{y}^T \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$ 為純量（$1 \times 1$ 矩陣），其轉置等於其自身，即 $(\mathbf{y}^T \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T = \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}^T \mathbf{y}$。因此目標函數可簡化為：

$$S(\boldsymbol{\beta}) = \mathbf{y}^T \mathbf{y} - 2\boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}^T \mathbf{y} + \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}^T \mathbf{X} \boldsymbol{\beta}$$

2. 一階條件（First-Order Necessary Condition）

對未知的參數向量 $\boldsymbol{\beta}$ 求微分（向量微分），並令偏微分向量等於零向量 $\mathbf{0}$：

$$\frac{\partial S(\boldsymbol{\beta})}{\partial \boldsymbol{\beta}} = -2\mathbf{X}^T \mathbf{y} + 2\mathbf{X}^T \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} = \mathbf{0}$$

整理後得到正則方程式（Normal Equations）：

$$\mathbf{X}^T \mathbf{X} \hat{\boldsymbol{\beta}} = \mathbf{X}^T \mathbf{y}$$

核心觀念

在多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression Model）中，整體迴歸模型的 ANOVA $F$ 檢定（Overall $F$-test）主要用來檢定「模型中所有自變數（不含截距項）的迴歸係數是否全為零」。

本題的迴歸模型包含截距項與 4 個自變數（ predictor variables ）：

1. 寒流持續天數（$\beta_1$）
2. 寒流持續天數 $\times$ 南部（$\beta_2$）
3. 寒流持續天數 $\times$ 中部（$\beta_3$）
4. 寒流持續天數 $\times$ 北部（$\beta_4$）

※ 註：東部為參考組（Reference group），其交互作用項為基準。

因此，全模型（Full Model）可寫為：

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 X_4 + \epsilon$$

其中，ANOVA 表中的迴歸自由度為 $k = 4$（對應 4 個自變數），殘差自由度為 $n - k - 1 = 45$。Overall $F$ 檢定的目的即為評估這 4 個自變數整體而言對應變數 $Y$ 是否具有統計顯著的解釋能力。

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解題方法

建立整體迴歸模型 $F$ 檢定的假設檢定步驟如下：

1. 虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）：
   假設所有自變數的迴歸係數同時等於零。這代表模型中所有的自變數對應變數皆無顯著解釋能力，迴歸模型不具顯著性（模型無效）。

   $$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0$$

2. 對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）：
   假設 4 個迴歸係數中至少有一個不等於零。這代表模型中至少有一個自變數對應變數具有顯著的解釋能力（模型有效）。

核心觀念

本題考查複迴歸模型中**截距項（Intercept, $\hat{\beta}_0$）**的統計意義與解釋條件。

在包含交互作用項（Interaction terms）或虛擬變數（Dummy variables）的迴歸模型中：

1. 模型結構：
   假設 $Y$ 為 OHCA（院外心肺功能停止）發病數，$X$ 為寒流持續天數，模型引入了地區與寒流天數的交互作用項。
   由於題目表格中以「東部」作為參考組（Reference group），其交互作用項為 --，這代表模型將區域的主效果或基準點納入了變數設定中。若以完整的模型表達，其迴歸模型形式為：
   $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 D_{\text{南部}} X + \beta_3 D_{\text{中部}} X + \beta_4 D_{\text{北部}} X + \epsilon$
   其中 $\beta_0$ 即為模型的截距項。

2. 截距項的統計定義：
   截距項 $\hat{\beta}_0$ 代表當模型中所有解釋變數（Predictor variables）皆為 0 時，反應變數 $Y$ 的期望估計值。
   在此模型設定下，即為「基期（參考組：東部）」且「寒流持續天數 $X = 0$ 天」時的估計 OHCA 發病數。

3. 數值合理性與外推陷阱（Extrapolation）：
   截距項估計值為 $\hat{\beta}_0 = -13.48$。雖然數學上其意義明確，但在實際商業或公共衛生情境中，OHCA 發病數不可能為負數，且 $X = 0$ 可能超出觀察資料的範圍。因此截距項往往僅具備數學上的基準點調節作用，不一定具備實際物理領域的現實合理性。

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解題方法

1. 模型參數與基準組辨識：
   • 觀察表格，寒流持續天數 的主要效果估計值為 $\hat{\beta}_1 = 7.54$（代表參考組「東部」每增加一天寒流，OHCA 發病數增加 7.54 人）。

核心觀念

1. 迴歸模型設定與交互作用項（Interaction Effect）：
   根據題目表格，模型中包含「寒流持續天數」主效應以及其與區域虛擬變數（Dummy Variables）的交互作用項。以「東部」為參考組（Baseline / Reference group），模型之總體迴歸式可表示為：
   $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 (X \times D_{\text{南部}}) + \beta_3 (X \times D_{\text{中部}}) + \beta_4 (X \times D_{\text{北部}}) + \varepsilon$
   其中：

   • $X$ 代表寒流持續天數。
   • $D_{\text{南部}}, D_{\text{中部}}, D_{\text{北部}}$ 為各地區之虛擬變數。

2. 迴歸係數 $\hat{\beta}_1$ 的統計意義：
   在存在交互作用項的模型中，主效應係數 $\hat{\beta}_1 = 7.54$ 並非 全體樣本的平均邊際效果，而是當所有交互作用項皆為 $0$（即參考組「東部」）時，寒流持續天數每增加 1 天，OHCA 發病數的平均改變量。

3. 頻率學派信賴區間（Frequentist Confidence Interval）的嚴謹定義：
   $95\%$ 信賴區間 $(0.40, 14.86)$ 的定義建立於**重複抽樣（Repeated Sampling）**的概念上：若在相同條件下獨立進行無限多次（或極多次）抽樣並建構 $95\%$ 信賴區間，則約有 $95\%$ 的信賴區間會包含真實的母體參數 $\beta_1$。

   注意（常見陷阱）：不能解釋為「母體參數有 $95\%$ 的機率落在此區間內」，因為在頻率學派中，真值 $\beta_1$ 是一個固定的未知常數，計算出來的區間 $(0.40, 14.86)$ 也已固定，該參數「要麼在區間內，要麼不在」，機率非 $1$ 即 $0$。

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解題方法

本題須針對統計學理論的嚴謹解釋與實際情境的應用解釋兩個層面進行完整說明：

1. 實際統計情境下的解釋

• 母體參數：在控制其他區域交互作用後，東部地區（參考組）的寒流持續天數每增加 1 天，OHCA 平均發病數的增量 $\beta_1$。

核心觀念

本題考查複迴歸模型中**連續變數與類別變數交互作用項（Interaction Term）**的統計解讀與係數組合。

在包含地區類別變數與寒流持續天數交互作用的模型中，迴歸模型的結構如下：
設 $Y$ 為 OHCA 發病數，$X$ 為寒流持續天數。地區分為四區：東部（參考組 $D_{\text{East}}$）、南部（$D_{\text{South}}$）、中部（$D_{\text{Central}}$）、北部（$D_{\text{North}}$）。
迴歸模型可寫為：

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 (X \times D_{\text{South}}) + \beta_3 (X \times D_{\text{Central}}) + \beta_4 (X \times D_{\text{North}}) + \varepsilon$$

其中：

• $\hat{\beta}_1 = 7.54$ 表示**基準組（東部地區）**每增加 1 天寒流持續天數，OHCA 發病數的平均增加量（斜率）。
• $\hat{\beta}_4 = 7.22$ 表示北部地區比東部地區在寒流持續天數每增加 1 天時，OHCA 發病數額外增加的量（斜率差異/交互作用效果）。

當要說明北部地區 OHCA 發病數與寒流持續天數的總體斜率關係時，需將主效果係數與北部地區的交互作用係數相加：

$$\text{北部地區斜率} = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_4$$

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解題方法

1. 計算北部地區的總斜率（Marginal Effect）：
   • 基準組（東部）斜率 $\hat{\beta}_1 = 7.54$
   • 北部地區相對東部地區的斜率調整量 $\hat{\beta}_4 = 7.22$
   • 北部地區的邊際斜率估計值：

核心觀念

殘差圖用來檢查迴歸模型是否符合線性迴歸的假設。若模型適當，殘差應以 0 為中心，隨預測值隨機散布，且散布幅度大致一致。

殘差定義為實際值減去預測值：

$$e_i=y_i-\hat{y}_i$$

若殘差隨預測值呈現規律形狀，代表模型未能充分描述資料中的關係；若殘差散布幅度隨預測值改變，則可能有異質變異。

解題方法

觀察圖中殘差相對於預測值的分布：低預測值處有不少正殘差，中間範圍的殘差多為負值，而較高預測值處又出現正殘差。殘差因此不是在零線上下隨機散布，而呈現彎曲趨勢，顯示線性模型可能未充分捕捉資料關係，線性假設有疑慮。

核心觀念

本題旨在考察**一般線性迴歸模型（Simple Linear Regression Model）下，誤差變異數 $\sigma^2$ 之最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator, MLE）**的數理推導。

設迴歸模型為：
$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$

其中 $Y_i$ 為生理年齡（BA），$X_i$ 為實足年齡（CA），$n=20$ 為樣本數。
根據古典線性迴歸假設，誤差項獨立且同分布於常態分布：
$\varepsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)$

因此，反應變數 $Y_i$ 的條件分布為：
$Y_i \mid X_i \overset{\text{ind}}{\sim} N(\beta_0 + \beta_1 X_i, \sigma^2)$

估計目標為參數集 $\boldsymbol{\theta} = (\beta_0, \beta_1, \sigma^2)^T$ 中的 $\sigma^2$。

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解題方法

採用**概似函數法（Maximum Likelihood Method）**推導，步驟如下：

1. 建立樣本之對數概似函數 $\ln L(\beta_0, \beta_1, \sigma^2)$。
2. 對待估參數 $\sigma^2$ 求偏微分，並令微分值等於零（一階條件, First-Order Condition）。
3. 解出 $\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}$，並將 $\beta_0, \beta_1$ 代換為最小平方法／最大概似估計量 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$。

推導過程

Step 1：建立概似函數（Likelihood Function）

由於各觀測值相互獨立，$Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ 的聯合機率密度函數即為概似函數：
$L(\beta_0, \beta_1, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{ -\frac{(Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2}{2\sigma^2} \right\}$

$L(\beta_0, \beta_1, \sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-\frac{n}{2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2 \right\}$

Step 2：取對數概似函數（Log-Likelihood Function）

兩邊取自然對數得 $\ln L$：
$\ln L(\beta_0, \beta_1, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2$

Step 3：求解一階極值條件（FOC）

核心觀念

本題考察複迴歸模型（Multiple Linear Regression Model）或單因子變異數分析（One-Way ANOVA）模型中，殘差變異數（誤差項變異數）$\sigma^2$ 的最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator, MLE）之偏誤性（Biasness）檢定與不偏估計量（Unbiased Estimator）之推導。

在一般的線性模型（包含多元迴歸與單因子變異數分析模型）中：

1. 殘差變異數的 MLE：$\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = \frac{SSE}{n}$，其中 $SSE$ 為殘差平方和（Sum of Squared Errors），$n$ 為總樣本數。
2. 偏誤性判斷：由於 $SSE / \sigma^2 \sim \chi^2(n - k)$（$k$ 為模型估計的參數個數，如含截距與基因型 dummy 變數或各組平均數共 $k$ 個參數），因此 $E[SSE] = (n - k)\sigma^2$。
3. 結論：$E[\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}] = \frac{n - k}{n}\sigma^2 \neq \sigma^2$，故 $\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}$ 為有偏估計量（Biased Estimator），且低估了真實變異數。
4. 不偏估計量（Unbiased Estimator）：欲修正其偏誤，需將殘差平方和除以自由度 $(n - k)$，即自由度修正後的均方誤差（Mean Squared Error, MSE）：
   $S^2 = \frac{SSE}{n - k}$

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解題方法與完整推導

設本題模型為一線性模型（不論表示為單因子變異數分析模型 $Y_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij}$ 或迴歸模型 $\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$），樣本總數為 $n = 20$。模型中包含估計參數個數為 $k$（若以三種 SNP 基因型 AA、AG、GG 的獨立組別平均數模型而言，$k = 3$；若考慮納入實足年齡為共變數之 ANCOVA 模型，則 $k = 4$）。

下文以一般性線性模型（包含 ANOVA 與 Regression）之矩陣與純數表示法進行嚴謹推導：

1. 證明 $\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}$ 不是 $\sigma^2$ 的不偏估計量

在正態線性模型 $\mathbf{Y} \sim N(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$ 下，對數概似函數（Log-Likelihood Function）為：
$\ln L(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})$

求解一階條件（First-Order Condition）：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}})^T(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}}) = 0$

解得 $\sigma^2$ 的最大概似估計量（MLE）為：
$\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = \frac{SSE}{n}$
其中 $SSE = \mathbf{e}^T\mathbf{e} = (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}})^T(\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol{\beta}})$ 為殘差平方和。

計算 $\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}}$ 的期望值：
定義投影矩陣（Hat Matrix）$\mathbf{H} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T$，則殘差向量 $\mathbf{e} = (\mathbf{I}_n - \mathbf{H})\mathbf{Y} = (\mathbf{I}_n - \mathbf{H})\boldsymbol{\varepsilon}$。
殘差平方和可寫為二次形式（Quadratic Form）：
$SSE = \boldsymbol{\varepsilon}^T (\mathbf{I}_n - \mathbf{H}) \boldsymbol{\varepsilon}$

【核心觀念】

1. 虛擬變數（Dummy Variables）之編碼與比較基準（Reference Level）：
   對於分類型獨立變數（Categorical Predictor），若該類別共有 $k$ 個種類（Levels），則需設置 $k-1$ 個虛擬變數以避免多重共線性陷阱（Dummy Variable Trap）。本題中基因型共有三種（AA、AG、GG），故需建立 2 個虛擬變數。
2. 一般線性迴歸模式（General Linear Model）：
   將一階段模式之殘差 $e_i = BA_i - \hat{BA}_i$ 作為反應變數（Response Variable），對基因型虛擬變數進行線性迴歸。
3. 最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimators, MLE）：
   在常態母體假設 $\varepsilon_i \sim i.i.d.\ N(0, \sigma^2)$ 下，普通最小平方法（OLS）估計量與最大概似估計量（MLE）在迴歸係數上完全一致。對分組的類別變數模型，其係數估計量可透過極大化對數概似函數（Log-Likelihood Function）或藉由組平均值（Group Means）之關係導出。

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【解題方法與完整推導】

1. 迴歸模式及虛擬變數之定義

令 $e_i$ 為第 $i$ 位受試者之「老化加速程度」（即第一階段迴歸之殘差）。
設基因型共有三組：AA、AG、GG。我們選擇 AA 作為比較基準組（Reference / Control Group）。

定義兩個虛擬變數 $D_{1i}$ 與 $D_{2i}$ 如下：

$$D_{1i} = \begin{cases} 1, & \text{若第 } i \text{ 位受試者之基因型為 AG} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ $$D_{2i} = \begin{cases} 1, & \text{若第 } i \text{ 位受試者之基因型為 GG} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

則二階段一般線性迴歸模式可寫為：

$$e_i = \gamma_0 + \gamma_1 D_{1i} + \gamma_2 D_{2i} + u_i$$

其中 $u_i \sim i.i.d.\ N(0, \sigma^2)$ 為獨立同常態分配之隨機誤差項，$\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2$ 為欲估計之迴歸係數。

各基因型對應之老化加速程度期望值為：

• AA 基因型 ($D_{1i}=0, D_{2i}=0$)：$E[e_i | \text{AA}] = \gamma_0$
• AG 基因型 ($D_{1i}=1, D_{2i}=0$)：$E[e_i | \text{AG}] = \gamma_0 + \gamma_1$
• GG 基因型 ($D_{1i}=0, D_{2i}=1$)：$E[e_i | \text{GG}] = \gamma_0 + \gamma_2$

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2. 三個迴歸係數之最大概似估計量（MLE）推導

設總樣本數為 $n$。令 $n_{AA}, n_{AG}, n_{GG}$ 分別為三組基因型之樣本數（$n = n_{AA} + n_{AG} + n_{GG}$）。
設 $I_{AA}, I_{AG}, I_{GG}$ 為對應基因型之受試者指標集合。

步驟一：寫出概似函數與對數概似函數

由於 $u_i = e_i - (\gamma_0 + \gamma_1 D_{1i} + \gamma_2 D_{2i}) \sim N(0, \sigma^2)$，概似函數（Likelihood Function）為：

$$L(\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{[e_i - (\gamma_0 + \gamma_1 D_{1i} + \gamma_2 D_{2i})]^2}{2\sigma^2} \right)$$

取自然對數得對數概似函數（Log-Likelihood Function）：

$$\ln L = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} [e_i - (\gamma_0 + \gamma_1 D_{1i} + \gamma_2 D_{2i})]^2$$

極大化 $\ln L$ 等價於極小化殘差平方和（Sum of Squared Residuals, SSR）：

$$S(\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2) = \sum_{i=1}^{n} [e_i - (\gamma_0 + \gamma_1 D_{1i} + \gamma_2 D_{2i})]^2$$

將平方和按三組基因型拆開：

$$S = \sum_{i \in I_{AA}} (e_i - \gamma_0)^2 + \sum_{i \in I_{AG}} (e_i - \gamma_0 - \gamma_1)^2 + \sum_{i \in I_{GG}} (e_i - \gamma_0 - \gamma_2)^2$$

步驟二：求解一階偏微分方程（First-Order Conditions）

對各迴歸係數求一階偏微分並令其為 0：

1. 對 $\gamma_0$ 偏微分：

核心觀念

本題考察古典多元線性迴歸模型（Classical Multiple Linear Regression Model）中迴歸係數最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator, MLE）的不偏性（Unbiasedness）與證明。

1. 模型設定：
   設多元線性迴歸模型之矩陣形式為：

   $$\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$$

   其中 $\mathbf{Y}$ 為 $n \times 1$ 之反應變數向量，$\mathbf{X}$ 為 $n \times p$ 之設計矩陣（Design Matrix，本題含截距項共 $p=3$ 個參數），$\boldsymbol{\beta} = [\beta_0, \beta_1, \beta_2]^T$ 為 $p \times 1$ 之迴歸係數向量，$\boldsymbol{\varepsilon}$ 為 $n \times 1$ 之隨機誤差項向量。

2. 高斯-馬可夫與常態性假設（Gauss-Markov & Normality Assumptions）：

   • $\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon} \mid \mathbf{X}] = \mathbf{0}$
   • $\text{Var}(\boldsymbol{\varepsilon} \mid \mathbf{X}) = \sigma^2 \mathbf{I}_n$
   • $\boldsymbol{\varepsilon} \sim N(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$，即 $\mathbf{Y} \sim N(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$

3. 不偏估計量定義：
   若估計量 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 滿足 $\mathbb{E}[\hat{\boldsymbol{\beta}}] = \boldsymbol{\beta}$，則稱 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 為 $\boldsymbol{\beta}$ 的不偏估計量（Unbiased Estimator）。

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解題方法

Step 1：求取迴歸係數的最大概似估計量（MLE）

在誤差項服從獨立同常態分佈 $\boldsymbol{\varepsilon} \sim N(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$ 的假設下，概似函數（Likelihood Function）為：

$$L(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2 \mid \mathbf{Y}, \mathbf{X}) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}) \right)$$

對數概似函數為：

$$\ln L(\boldsymbol{\beta}, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})$$

極大化對數概似函數等同於極小化殘差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）：

$$S(\boldsymbol{\beta}) = (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta})^T (\mathbf{Y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}) = \mathbf{Y}^T\mathbf{Y} - 2\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{Y} + \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$$

對 $\boldsymbol{\beta}$ 微分並令其為 $\mathbf{0}$：

$$\frac{\partial \ln L}{\partial \boldsymbol{\beta}} = \frac{1}{\sigma^2} (\mathbf{X}^T\mathbf{Y} - \mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}) = \mathbf{0}$$

解得迴歸係數之最大概似估計量（MLE）為：

$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\text{MLE}} = (\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{Y}$$

（註：此結果與最小平方法（OLS）估計量完全相同。）

Step 2：證明 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\text{MLE}}$ 為不偏估計量

將模型方程 $\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$ 代入 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\text{MLE}}$ 式中：

核心觀念

本題的核心觀念在於單因子變異數分析（One-Way ANOVA）的無母數替代方法——克魯斯克爾-瓦利斯檢定（Kruskal-Wallis Test）。

1. 老化加速程度（Aging Acceleration, $e$）之定義：
   根據題目脈絡，老化加速程度 $e$ 定義為「生理年齡」（Biological Age, $Y$）減去「實足年齡」（Chronological Age, $X$），即： $$e = Y - X$$
2. 無母數統計檢定選擇：
   題目欲比較 SNP 基因型（分三組：AA, AG, GG）是否影響老化加速程度 $e$。在「$e$ 不呈常態分布」的前提下，無法使用傳統的單因子變異數分析（One-Way ANOVA），必須採用專門比較 $k \ge 3$ 個獨立樣本中位數（或分布）差異的無母數檢定方法——Kruskal-Wallis H 檢定。
3. Kruskal-Wallis 檢定統計量公式：
   將所有 $N$ 個觀察值混合排序並賦予等級（Rank，若有同分取平均等級）。設共有 $k$ 個組別，第 $i$ 組樣本數為 $n_i$，該組等級和為 $R_i$，總樣本數為 $N = \sum n_i$。檢定統計量 $H$ 公式為： $$H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)$$ 當各組樣本數足夠大時（一般每組 $n_i \ge 5$），統計量 $H$ 近似服從自由度為 $k - 1$ 的卡方分布（$\chi^2_{k-1}$）。

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解題方法

步驟一：定義變數與計算各觀測值之老化加速程度 $e_j = Y_j - X_j$

資料共 $N = 20$ 筆，依 SNP 基因型分為三組（$k = 3$）：

• 組別 1：AA 型（$n_1 = 7$ 人）
• 組別 2：AG 型（$n_2 = 7$ 人）
• 組別 3：GG 型（$n_3 = 6$ 人）

計算每位受試者之 $e = Y - X$ 並彙整如下表：

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{編號} & \text{生理年齡 } (Y) & \text{SNP 基因型} & \text{實足年齡 } (X) & e = Y - X \\ \hline 1 & 60 & \text{AA} & 63 & -3 \\ 2 & 65 & \text{AG} & 69 & -4 \\ 3 & 72 & \text{GG} & 65 & +7 \\ 4 & 58 & \text{AA} & 63 & -5 \\ 5 & 40 & \text{AG} & 43 & -3 \\ 6 & 32 & \text{GG} & 26 & +6 \\ 7 & 58 & \text{AA} & 64 & -6 \\ 8 & 36 & \text{AG} & 39 & -3 \\ 9 & 46 & \text{GG} & 42 & +4 \\ 10 & 68 & \text{AA} & 73 & -5 \\ 11 & 70 & \text{AG} & 71 & -1 \\ 12 & 66 & \text{GG} & 63 & +3 \\ 13 & 23 & \text{AA} & 30 & -7 \\ 14 & 45 & \text{AG} & 46 & -1 \\ 15 & 78 & \text{GG} & 68 & +10 \\ 16 & 71 & \text{AA} & 76 & -5 \\ 17 & 66 & \text{AG} & 68 & -2 \\ 18 & 52 & \text{GG} & 50 & +2 \\ 19 & 30 & \text{AG} & 26 & +4 \\ 20 & 43 & \text{AA} & 36 & +7 \\ \hline \end{array}$$

步驟二：對全體 $N = 20$ 個 $e$ 值進行混合排序與賦予等級（Rank）

將 20 個 $e$ 值由小到大排序並給予等級 $1 \sim 20$（同分者取平均等級）：

1. $e = -7$（AA）：第 1 名 $\rightarrow$ Rank = 1
2. $e = -6$（AA）：第 2 名 $\rightarrow$ Rank = 2
3. $e = -5$（AA, AA, AA）：佔據第 3, 4, 5 名 $\rightarrow$ 平均等級 $\frac{3+4+5}{3} = \mathbf{4}$
4. $e = -4$（AG）：第 6 名 $\rightarrow$ Rank = 6
5. $e = -3$（AA, AG, AG）：佔據第 7, 8, 9 名 $\rightarrow$ 平均等級 $\frac{7+8+9}{3} = \mathbf{8}$
6. $e = -2$（AG）：第 10 名 $\rightarrow$ Rank = 10
7. $e = -1$（AG, AG）：佔據第 11, 12 名 $\rightarrow$ 平均等級 $\frac{11+12}{2} = \mathbf{11.5}$
8. $e = +2$（GG）：第 13 名 $\rightarrow$ Rank = 13
9. $e = +3$（GG）：第 14 名 $\rightarrow$ Rank = 14
10. $e = +4$（GG, AG）：佔據第 15, 16 名 $\rightarrow$ 平均等級 $\frac{15+16}{2} = \mathbf{15.5}$
11. $e = +6$（GG）：第 17 名 $\rightarrow$ Rank = 17
12. $e = +7$（GG, AA）：佔據第 18, 19 名 $\rightarrow$ 平均等級 $\frac{18+19}{2} = \mathbf{18.5}$
13. $e = +10$（GG）：第 20 名 $\rightarrow$ Rank = 20

步驟三：計算各組的等級和（$R_i$）

• AA 組（$n_1 = 7$）： $$e \text{ 值：} -3, -5, -6, -5, -7, -5, +7$$ $$\text{等級：} 8, 4, 2, 4, 1, 4, 18.5$$