113 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎統計學》

本題主要在考察使用者對統計學基本概念的掌握，包含單因子變異數分析、多因子變異數分析、假設檢定的條件、列聯表分析以及路徑分析等。

核心觀念：

• 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)： 比較三個或三個以上獨立樣本的平均數。
• 多因子變異數分析 (Two-way ANOVA)： 探討兩個因子（及交互作用）對應變數的影響。
• 統計檢定的假設與條件： 了解進行統計檢定時需要滿足的前提。
• 列聯表分析 (Contingency Table Analysis)： 探討類別變數之間的關聯性。
• 路徑分析 (Path Analysis)： 檢驗變數間的因果關係模型。

(A) 不考慮性別的抽菸狀態對 FG 的假說檢定

此小題要求進行單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，比較三個獨立群體（不抽菸組、已戒菸組、抽菸組）的平均 FG 是否有顯著差異。

• 核心觀念： 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。

• 定義符號：

  • $\mu_1$：不抽菸組的平均空腹血糖值。
  • $\mu_2$：已戒菸組的平均空腹血糖值。
  • $\mu_3$：抽菸組的平均空腹血糖值。

• 虛無假說 ($H_0$)： 三組的平均空腹血糖值沒有差異。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$

• 對立假說 ($H_1$)： 至少有一組的平均空腹血糖值與其他組不同。
  $H_1: \text{not all } \mu_i \text{ are equal}$

• 檢定統計量： $F$ 統計量。
  $F = \frac{\text{組間變異 (Between-group variance)}}{\text{組內變異 (Within-group variance)}} = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$

• 虛無假說下的分布及自由度：

  • 在虛無假說為真時，檢定統計量 $F$ 服從自由度為 $(k-1, N-k)$ 的 $F$ 分布，其中 $k$ 是組數， $N$ 是總樣本數。
  • 在此題中，$k=3$ (不抽菸組、已戒菸組、抽菸組)。
  • 男性樣本數為 $4+4+4 = 12$。女性樣本數為 $4+4+4 = 12$。總樣本數 $N = 12 + 12 = 24$。
  • 因此，自由度為 $(3-1, 24-3) = (2, 21)$。
  • 檢定統計量服從 $F(2, 21)$ 分布。

• 拒絕域：

  • 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  • 拒絕域為 $F > F_{\alpha, k-1, N-k}$，即 $F > F_{0.05, 2, 21}$。
  • 查 $F$ 分布表，臨界值 $F_{0.05, 2, 21}$ 約為 3.47。
  • 因此，當觀察到的 $F$ 值大於 3.47 時，拒絕虛無假說。

• 計算步驟（非必需，但說明如何進行）：

  1. 計算每組的平均值與變異數。
  2. 計算組間均方 ($MS_{between}$) 和組內均方 ($MS_{within}$)。
  3. 計算 $F$ 統計量。
  4. 將計算出的 $F$ 值與臨界值比較，決定是否拒絕 $H_0$。

• 【答案】 虛無假說: $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$；對立假說: $H_1: \text{not all } \mu_i \text{ are equal}$；檢定統計量: $F$ 統計量；分布: $F(2, 21)$；拒絕域: $F > F_{0.05, 2, 21} \approx 3.47$。

(B) 考慮性別的抽菸狀態對 FG 的假說檢定

此小題要求進行雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)，探討抽菸狀態（三個水準）和性別（兩個水準）對 FG 的影響，並需考慮交互作用。

• 核心觀念： 雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)。

• 定義符號：

  • $\mu_{ij}$：第 $i$ 性別 ( $i=1$ for 男性, $i=2$ for 女性) 和第 $j$ 抽菸狀態 ( $j=1$ for 不抽菸, $j=2$ for 已戒菸, $j=3$ for 抽菸) 的平均空腹血糖值。

• 虛無假說 ($H_0$)：

  1. 主效應 (抽菸狀態)： 抽菸狀態對 FG 沒有影響，與性別無關。
     $H_{0A}: \mu_{11} = \mu_{12} = \mu_{13} \text{ and } \mu_{21} = \mu_{22} = \mu_{23}$
     （或者說，所有抽菸狀態的平均數相等：$\mu_{.1} = \mu_{.2} = \mu_{.3}$）
  2. 主效應 (性別)： 性別對 FG 沒有影響，與抽菸狀態無關。
     $H_{0B}: \mu_{11} = \mu_{21}, \mu_{12} = \mu_{22}, \mu_{13} = \mu_{23}$
     （或者說，所有性別的平均數相等：$\mu_{1.} = \mu_{2.}$)
  3. 交互作用： 抽菸狀態對 FG 的影響不因性別而異（或反之）。
     $H_{0C}: \text{No interaction effect}$

• 對立假說 ($H_1$)：

  1. 主效應 (抽菸狀態)： 抽菸狀態對 FG 有影響，與性別有關。
     $H_{1A}: \text{At least one mean is different}$
  2. 主效應 (性別)： 性別對 FG 有影響，與抽菸狀態有關。
     $H_{1B}: \text{At least one mean is different}$
  3. 交互作用： 抽菸狀態對 FG 的影響因性別而異。
     $H_{1C}: \text{Interaction effect exists}$

• 檢定統計量： 三個 $F$ 統計量，分別用於檢定抽菸狀態的主效應、性別的主效應以及交互作用。

  • $F_A = \frac{MS_{A}}{MS_{within}}$ (檢定抽菸狀態主效應)
  • $F_B = \frac{MS_{B}}{MS_{within}}$ (檢定性別主效應)
  • $F_{AB} = \frac{MS_{AB}}{MS_{within}}$ (檢定交互作用)

• 虛無假說下的分布及自由度：

  • 總樣本數 $N=24$。
  • 性別因子有 $a=2$ 水準。
  • 抽菸狀態因子有 $b=3$ 水準。
  • 每格（cell）的樣本數 $n=4$。
  • 交互作用自由度： $(a-1)(b-1) = (2-1)(3-1) = 1 \times 2 = 2$。
  • 性別主效應自由度： $(a-1) = (2-1) = 1$。
  • 抽菸狀態主效應自由度： $(b-1) = (3-1) = 2$。
  • 組內誤差自由度 (Within-group / Error)： $N - ab = 24 - (2 \times 3) = 24 - 6 = 18$。
  • 總自由度： $(ab \times n) - 1 = 24-1 = 23$。
  • 檢定統計量分布： 在各自虛無假說為真時， $F_A, F_B, F_{AB}$ 服從 $F$ 分布。
    • $F_A \sim F(b-1, N-ab) = F(2, 18)$
    • $F_B \sim F(a-1, N-ab) = F(1, 18)$
    • $F_{AB} \sim F((a-1)(b-1), N-ab) = F(2, 18)$

• 拒絕域：

  • 顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  • 交互作用拒絕域： $F_{AB} > F_{0.05, 2, 18}$。查表約為 3.61。
  • 主效應（抽菸）拒絕域： $F_A > F_{0.05, 2, 18}$。查表約為 3.61。
  • 主效應（性別）拒絕域： $F_B > F_{0.05, 1, 18}$。查表約為 4.41。
  • 通常，若交互作用顯著，則不直接解釋主效應。若交互作用不顯著，則解釋主效應。

• 【答案】 虛無假說：$H_{0A}: \mu_{.1} = \mu_{.2} = \mu_{.3}$ (抽菸狀態主效應)，$H_{0B}: \mu_{1.} = \mu_{2.}$ (性別主效應)，$H_{0C}: \text{No interaction effect}$ (交互作用)。對立假說為各自相反。檢定統計量為 $F_A, F_B, F_{AB}$。分布分別為 $F(2, 18), F(1, 18), F(2, 18)$。拒絕域分別為 $F_A > F_{0.05, 2, 18}$, $F_B > F_{0.05, 1, 18}$, $F_{AB} > F_{0.05, 2, 18}$。

(C) 假說檢定需滿足的條件與假設

執行單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 和雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 的主要假設如下：

• 核心觀念： ANOVA 的假設。

• 條件與假設：

  1. 獨立性 (Independence)： 各組的樣本必須是獨立抽樣的。這意味著一個樣本的觀測值不應影響其他樣本的觀測值。

     • 檢驗方法： 通常依賴於抽樣設計。若為隨機抽樣，則此假設較易滿足。可透過繪製殘差圖（Residual plots）來檢查是否存在系統性模式，但這主要用於檢驗其他假設。

  2. 常態性 (Normality)： 每個分組（或每個 cell）的母體應服從常態分布。即，在每個處理水準組合下，應變數的觀測值來自一個常態分布。

     • 檢驗方法：
       • 視覺檢查： 繪製 Q-Q 圖 (Quantile-Quantile plot) 或直方圖 (Histogram) 針對每個組別的殘差。若點大致落在對角線上，則符合常態性。
       • 統計檢定： 進行常態性檢定，如 Shapiro-Wilk 檢定或 Kolmogorov-Smirnov 檢定。但需注意，當樣本數很大時，這些檢定對微小偏差也很敏感；當樣本數很小時，檢定力不足。

  3. 變異數同質性 (Homogeneity of variances / Homoscedasticity)： 各組的母體變異數應相等。

     • 檢驗方法：
       • 視覺檢查： 繪製殘差圖，檢查殘差的散佈是否隨預測值（或因子水準）的變化而系統性改變（例如，出現扇形或喇叭形）。
       • 統計檢定： 進行變異數同質性檢定，如 Levene's test 或 Bartlett's test。Levene's test 對常態性假設較不敏感，通常是首選。

• 如何檢驗各個假設：

  • 獨立性： 主要依賴抽樣設計。若抽樣設計良好（如隨機抽樣），此假設通常被認為成立。
  • 常態性： 對每個分組（或 cell）的殘差進行 Shapiro-Wilk 檢定或繪製 Q-Q 圖。
  • 變異數同質性： 對所有分組（或 cell）的殘差進行 Levene's test。

• 如果假設不成立怎麼辦？

  • 獨立性： 如果獨立性被違反，可能需要使用更複雜的模型，如時間序列分析或混合效應模型，取決於違反的性質。
  • 常態性： 如果常態性被違反，尤其是在小樣本情況下，可以考慮數據轉換（如取對數、平方根）或使用非參數檢定（如 Kruskal-Wallis 檢定，用於單因子 ANOVA）。
  • 變異數同質性： 如果變異數同質性被違反，可以使用 Welch's ANOVA（一種對變異數不均的 ANOVA 變體）或進行數據轉換。

• 【答案】 假說檢定需滿足的條件與假設包括：獨立性、常態性、變異數同質性。檢驗方法包含：依賴抽樣設計（獨立性），繪製 Q-Q 圖或進行 Shapiro-Wilk 檢定（常態性），繪製殘差圖或進行 Levene's test（變異數同質性）。

(D) 男性組「抽菸狀態」與「糖尿病前期與否」的關聯性分析

此題要求檢定男性組中，抽菸狀態（不抽菸、已戒菸、抽菸）與糖尿病前期與否（FG ≥ 100 mg/dl vs. FG < 100 mg/dl）之間的關聯性。由於樣本數小，不能使用卡方檢定。

• 核心觀念： 列聯表分析、Fisher 精確檢定 (Fisher's Exact Test)。

• 步驟與想法：

  1. 建立列聯表 (Contingency Table)：

     • 首先，只考慮男性樣本。
     • 將男性樣本依據抽菸狀態（不抽菸、已戒菸、抽菸）分組。
     • 在每一組內，再依據 FG 值是否 ≥ 100 mg/dl（糖尿病前期）或 < 100 mg/dl（非糖尿病前期）進行分類。
     • 形成一個 $3 \times 2$ 的列聯表，列為抽菸狀態，行代表糖尿病前期狀況。

     抽菸狀態	糖尿病前期 (FG ≥ 100)	非糖尿病前期 (FG < 100)	小計
     不抽菸	(計算男性不抽菸組中 FG ≥ 100 的人數)	(計算男性不抽菸組中 FG < 100 的人數)	4
     已戒菸	(計算男性已戒菸組中 FG ≥ 100 的人數)	(計算男性已戒菸組中 FG < 100 的人數)	4

本題主要考察機率模型、期望值與變異數計算、配對樣本檢定（McNemar's test）、羅吉斯迴歸模型建構與參數估計，以及迴歸結果的解讀。

(A) 明年度 OHCA 個案到院前 ROSC 人數的機率模型

此小題要求建立一個機率模型來描述 OHCA 個案到院前 ROSC 的人數。首先，我們需要釐清模型適用於「個案」還是「人數」。題目問「ROSC 人數的機率模型」，這暗示我們需要建立一個關於「人數」的模型，而非個別案件的機率。然而，從後續小題 (B) 詢問「期望值與變異數」，以及題目中「1800 例 OHCA 個案」、「10% 的個案...ROSC」等描述，更傾向於將模型建立在「個別 OHCA 病人是否 ROSC」的機率上，再推導到人數。

我們將首先建立個別 OHCA 病人是否 ROSC 的機率模型，然後考慮反應時間的影響，最後推導到人數的模型。

• 核心觀念： 機率模型、二項分布、泊松分布、羅吉斯迴歸。

• 定義符號：

  • $N_{OHCA}$：每年 OHCA 個案總數。
  • $p_{ROSC}$：OHCA 個案到院前 ROSC 的機率。
  • $T$：救護反應時間。
  • $I(T \le 6.5)$：指示變數，當 $T \le 6.5$ 時為 1，否則為 0。
  • $I(T > 6.5)$：指示變數，當 $T > 6.5$ 時為 1，否則為 0。
  • $N_{ROSC}$：每年到院前 ROSC 的個案數。
  • $N_{ROSC, <6.5}$：每年反應時間在 6.5 分鐘以內，且到院前 ROSC 的個案數。
  • $N_{ROSC, >6.5}$：每年反應時間超過 6.5 分鐘，且到院前 ROSC 的個案數。
  • $P(T \le 6.5)$：救護反應時間在 6.5 分鐘以內的案件率。
  • $P(T > 6.5)$：救護反應時間超過 6.5 分鐘的案件率。
  • $p_{ROSC | T \le 6.5}$：反應時間 $\le 6.5$ 分鐘時，OHCA 個案到院前 ROSC 的機率。
  • $p_{ROSC | T > 6.5}$：反應時間 $> 6.5$ 分鐘時，OHCA 個案到院前 ROSC 的機率。

• 分析現有數據：

  • 每年 OHCA 個案總數 $N_{OHCA} = 1800$。
  • 整體 ROSC 機率 $p_{ROSC} = 10\% = 0.1$。
  • 反應時間 $\le 6.5$ 分鐘的案件率 $P(T \le 6.5) = 0.8$ (八成)。
  • 反應時間 $> 6.5$ 分鐘的案件率 $P(T > 6.5) = 0.2$ (兩成)。
  • 在 $T \le 6.5$ 的案件中，每年 ROSC 人數 $N_{ROSC, <6.5} = 156$。
  • 在 $T > 6.5$ 的案件中，每年 ROSC 人數 $N_{ROSC, >6.5} = 24$。
  • 總 ROSC 人數 = $156 + 24 = 180$。
  • 驗證：每年總 OHCA 個案數為 1800。假設這 1800 是所有案件的總和。
    • $T \le 6.5$ 的案件數 = $1800 \times 0.8 = 1440$。
    • $T > 6.5$ 的案件數 = $1800 \times 0.2 = 360$。
    • $p_{ROSC | T \le 6.5} = \frac{N_{ROSC, <6.5}}{\text{案件數}_{T \le 6.5}} = \frac{156}{1440} \approx 0.1083$。
    • $p_{ROSC | T > 6.5} = \frac{N_{ROSC, >6.5}}{\text{案件數}_{T > 6.5}} = \frac{24}{360} \approx 0.0667$。
    • 整體 ROSC 機率（加權平均）= $P(T \le 6.5) \times p_{ROSC | T \le 6.5} + P(T > 6.5) \times p_{ROSC | T > 6.5}$
      $= 0.8 \times 0.1083 + 0.2 \times 0.0667 = 0.08664 + 0.01334 = 0.1000$。
      這與題目給的整體 ROSC 機率 10% 相符。

• 預測明年度的達成率：

  • 明年 $T \le 6.5$ 的案件達成率預計提升至 85%。
  • 假設總 OHCA 個案數 $N_{OHCA}$ 仍為 1800 例/年。
  • 明年 $T \le 6.5$ 的案件數 = $1800 \times 0.85 = 1530$。
  • 明年 $T > 6.5$ 的案件數 = $1800 \times (1 - 0.85) = 1800 \times 0.15 = 270$。

• 模型建立：
  題目問「ROSC 人數的機率模型」。最直接的模型是假設每年 ROSC 的人數服從二項分布，但這需要知道「總 OHCA 病人數」和「ROSC 機率」。
  一種更精確的模型是考慮到反應時間的影響，並假設在給定反應時間下，ROSC 的機率是固定的。

  模型一：基於反應時間的條件機率模型
  假設：

  1. 每年總 OHCA 個案數 $N_{OHCA} = 1800$。
  2. 反應時間 $T$ 的分布：$P(T \le 6.5) = 0.85$, $P(T > 6.5) = 0.15$。
  3. 在給定反應時間下，ROSC 的機率：
     • $p_{ROSC | T \le 6.5} = 0.1083$ (沿用今年估計值)。
     • $p_{ROSC | T > 6.5} = 0.0667$ (沿用今年估計值)。

  問題： 題目問「每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 人數的機率模型」。這表示我們需要考慮時間的離散性（每月）。

  模型二：月度 ROSC 人數模型 (假設總數固定，但反應時間分布和 ROSC 機率變動)
  假設：

  1. 每月 OHCA 個案總數 $N_{OHCA, month} = 1800 / 12 = 150$。
  2. 在一個月內，反應時間 $\le 6.5$ 分鐘的案件率為 85%，$> 6.5$ 分鐘為 15%。
  3. 在反應時間 $\le 6.5$ 分鐘的案件中，ROSC 的機率 $p_{<6.5} = 0.1083$。
  4. 在反應時間 $> 6.5$ 分鐘的案件中，ROSC 的機率 $p_{>6.5} = 0.0667$。

  我們可以用以下方式來定義「每月 ROSC 人數的機率模型」：
  設 $N_{month} = 150$ 為每月 OHCA 個案總數。
  設 $N_{<6.5, month}$ 為每月反應時間 $\le 6.5$ 分鐘的 OHCA 個案數。
  設 $N_{>6.5, month}$ 為每月反應時間 $> 6.5$ 分鐘的 OHCA 個案數。
  $N_{<6.5, month} \sim Binomial(n=N_{month}, p=0.85)$
  $N_{>6.5, month} \sim Binomial(n=N_{month}, p=0.15)$ (但 $N_{<6.5, month} + N_{>6.5, month} = N_{month}$，所以這裡的 Binomial 假設不完全獨立，更準確是 Multinomial 或條件二項)。

  更簡化的模型是假設每月有 $N_{month} = 150$ 個 OHCA 病人，每個病人有獨立的 ROSC 機率 $p_{ROSC, month}$。
  此時，每月 ROSC 人數 $N_{ROSC, month} \sim Binomial(n=150, p=p_{ROSC, month})$。
  那麼 $p_{ROSC, month}$ 是多少？
  $p_{ROSC, month} = P(T \le 6.5) \times p_{ROSC | T \le 6.5} + P(T > 6.5) \times p_{ROSC | T > 6.5}$
  $p_{ROSC, month} = 0.85 \times 0.1083 + 0.15 \times 0.0667$
  $p_{ROSC, month} = 0.092055 + 0.010005 = 0.10206$

  所以，一個簡潔的機率模型是：
  模型：
  設 $X$ 為每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的人數。
  假設每月 OHCA 個案總數為 $n = 150$。
  假設每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的機率為 $p = 0.10206$。
  則 $X$ 服從二項分布：$X \sim Binomial(n=150, p=0.10206)$。

  符號定義：

  • $n$: 每月 OHCA 個案總數。
  • $p$: 每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的平均機率。
  • $X$: 每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的人數。

  說明：
  這個模型假設每月 150 個 OHCA 個案是獨立的，且每個個案的 ROSC 機率是相同的 $p=0.10206$。這個 $p$ 值是基於明年度反應時間達成率提升後的預期值計算出來的。

  • 【答案】 機率模型：設 $X$ 為每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的人數。每月 OHCA 個案總數設為 $n = 150$。每月 OHCA 個案到院前有 ROSC 的機率設為 $p = 0.85 \times 0.1083 + 0.15 \times 0.0667 = 0.10206$。則 $X \sim Binomial(n=150, p=0.10206)$。

(B) 明年度每月 OHCA 個案到院前 ROSC 人數的期望值與變異數

延續 (A) 小題的二項分布模型 $X \sim Binomial(n=150, p=0.10206)$。

• 核心觀念： 二項分布的期望值與變異數。

• 計算：

  • 對於二項分布 $X \sim Binomial(n, p)$：

    • 期望值 $E(X) = np$
    • 變異數 $Var(X) = np(1-p)$

  • 代入數值：

    • $n = 150$
    • $p = 0.10206$
    • $1-p = 1 - 0.10206 = 0.89794$

  • 期望值：
    $E(X) = 150 \times 0.10206 = 15.309$

  • 變異數：
    $Var(X) = 150 \times 0.10206 \times 0.89794$
    $Var(X) = 15.309 \times 0.89794 \approx 13.747$

• 結果解釋：

  • 期望值 $E(X) = 15.309$ 表示，在預計的達成率下，該縣市明年度每月平均會有約 15.3 位 OHCA 個案到院前恢復 ROSC。
  • 變異數 $Var(X) \approx 13.747$ 表示，每月 ROSC 人數的離散程度。標準差為 $\sqrt{13.747} \approx 3.708$。

• 【答案】 期望值 $E(X) = 15.309$。變異數 $Var(X) \approx 13.747$。

(C) 配對樣本檢定：CPR 對預後 (ROSC) 的影響

此題要求檢定配對樣本資料，分析 CPR 是否對到院前 ROSC 有影響。配對樣本的二元結果（ROSC vs. 無 ROSC）檢定，最適合使用 McNemar's Test。

• 核心觀念： 配對樣本的卡方檢定 (McNemar's Test)。

• 定義符號：

  • CPR 組：有接受旁觀者 CPR 的個案。
  • No-CPR 組：沒有接受旁觀者 CPR 的個案。
  • ROSC：到院前恢復自發性循環。
  • No-ROSC：到院前未恢復自發性循環。

• 數據整理：
  題目給了兩種形式的數據：

  1. 整體比例： 500 位有 CPR 者中有 60 人 ROSC；500 位無 CPR 者中有 40 人 ROSC。
  2. 配對結果： 500 對配對樣本。
     • 405 對：CPR 組 No-ROSC，No-CPR 組 No-ROSC。
     • 5 對：CPR 組 ROSC，No-CPR 組 ROSC。
     • 55 對：CPR 組 No-ROSC，No-CPR 組 ROSC。
     • 35 對：CPR 組 ROSC，No-CPR 組 No-ROSC。

  McNemar's Test 關注的是「不一致的配對」(discordant pairs)，即兩組結果不同的配對。

  • 不一致配對 1： No-CPR 組 ROSC，CPR 組 No-ROSC。（這對支持「CPR 有幫助」）
  • 不一致配對 2： CPR 組 ROSC，No-CPR 組 No-ROSC。（這對支持「CPR 無幫助」，或有負面影響）

  根據題目給的配對結果：

  • Case (b): No-CPR 組 ROSC, CPR 組 No-ROSC = 55 對。

  • Case (c): CPR 組 ROSC, No-CPR 組 No-ROSC = 35 對。

  • 注意： 題目描述的配對結果順序有點令人困惑，需要仔細解讀。

    • "55 對個案中沒有 CPR 的到院前無 ROSC, 有 CPR 的到院前有 ROSC" -> 這是 (b) 類型的配對。
    • "35 對個案中沒有 CPR 的到院前有 ROSC, 有 CPR 的到院前無 ROSC" -> 這是 (c) 類型的配對。

  所以，我們有：

  • $n_b = 55$ (No-CPR 沒 ROSC, CPR 有 ROSC)

  • $n_c = 35$ (No-CPR 有 ROSC, CPR 沒 ROSC)

  • 一致配對 (concordant pairs)：

    • $n_a = 405$ (兩組皆 No-ROSC)
    • $n_d = 5$ (兩組皆 ROSC)

  • 總配對數 = $n_a + n_b + n_c + n_d = 405 + 55 + 35 + 5 = 500$。

• 虛無假說 ($H_0$)： 旁觀者 CPR 對到院前 ROSC 的影響為零。即，CPR 組與 No-CPR 組的 ROSC 機率相等。
  $H_0: P(\text{ROSC | CPR}) = P(\text{ROSC | No-CPR})$
  這等價於說，不一致配對的比例是相等的，即 $P(b) = P(c)$，或 $n_b = n_c$。

• 對立假說 ($H_1$)： 旁觀者 CPR 對到院前 ROSC 有影響。
  $H_1: P(\text{ROSC | CPR}) \neq P(\text{ROSC | No-CPR})$
  這等價於 $n_b \neq n_c$。

• 顯著水準： 通常設為 $\alpha = 0.05$。

• 檢定方法：
  McNemar's Test 檢定統計量為：
  $\chi^2 = \frac{(n_b - n_c)^2}{n_b + n_c}$
  當 $n_b + n_c$ 較大時（例如 > 20），此 $\chi^2$ 統計量近似服從自由度為 1 的卡方分布 $\chi^2(1)$。
  如果 $n_b + n_c$ 較小，則應使用精確檢定。在此題中，$n_b + n_c = 55 + 35 = 90$，足夠大，可以使用近似檢定。

• 計算檢定統計量：
  $n_b = 55$, $n_c = 35$
  $\chi^2 = \frac{(55 - 35)^2}{55 + 35} = \frac{20^2}{90} = \frac{400}{90} = \frac{40}{9} \approx 4.44$

• 決定檢定統計量的分布與拒絕域：
  在虛無假說為真時，$\chi^2$ 近似服從自由度為 1 的卡方分布：$\chi^2 \sim \chi^2(1)$。
  顯著水準 $\alpha = 0.05$。
  拒絕域為 $\chi^2 > \chi^2_{0.05, 1}$。
  查卡方分布表，$\chi^2_{0.05, 1} \approx 3.841$。
  因此，當計算出的 $\chi^2$ 值大於 3.841 時，拒絕虛無假說。

• 結論：
  計算出的 $\chi^2 = 4.44$。
  由於 $4.44 > 3.841$，我們拒絕虛無假說 $H_0$。
  這表示旁觀者 CPR 對到院前 ROSC 的影響是顯著的。

• 解釋影響方向：
  $n_b = 55$ (CPR 導致 ROSC, No-CPR 未 ROSC)
  $n_c = 35$ (No-CPR 導致 ROSC, CPR 未 ROSC)
  由於 $n_b > n_c$，這表示 CPR 導致 ROSC 的情況比 CPR 導致未 ROSC 的情況（相對於 No-CPR 組）更多。因此，CPR 對預後（ROSC）有正面影響。

• 【答案】 虛無假說: $H_0: P(\text{ROSC | CPR}) = P(\text{ROSC | No-CPR})$ (CPR 對 ROSC 無影響)。對立假說: $H_1: P(\text{ROSC | CPR}) \neq P(\text{ROSC | No-CPR})$ (CPR 對 ROSC 有影響)。顯著水準 $\alpha = 0.05$。檢定方法：McNemar's Test。計算檢定統計量 $\chi^2 = \frac{(55-35)^2}{55+35} = 4.44$。自由度為 1，臨界值 $\chi^2_{0.05, 1} \approx 3.841$。因為 $4.44 > 3.841$，拒絕虛無假說。結論：CPR 對到院前 ROSC 有顯著影響，且根據 $n_b > n_c$ 的情況，CPR 有正面幫助。

(D) 影響 OHCA 個案到院前 ROSC 的迴歸模型

此題要求建立一個迴歸模型，探討哪些因素會影響 OHCA 個案到院前是否有 ROSC。由於應變數「是否有 ROSC」是一個二元結果（是/否），最適合的模型是羅吉斯迴歸 (Logistic Regression)。

• 核心觀念： 羅吉斯迴歸。

• 模型設定：

  • 應變數 (DV)： $Y$ = 是否到院前 ROSC。可以編碼為 $Y=1$ (有 ROSC)，$Y=0$ (無 ROSC)。
  • 自變數 (IVs)： $p$ 個可能的因素，記為 $X_1, X_2, ..., X_p$。這些因素可以是連續變數（如反應時間、年齡）或類別變數（如性別、是否有旁觀者 CPR，需要進行 dummy coding）。

• 模型方程式：
  羅吉斯迴歸模型建立的是應變數發生機率的對數幾何（logit）與自變數之間的線性關係。
  $logit(P(Y=1 | X_1, ..., X_p)) = \log\left(\frac{P(Y=1 | X_1, ..., X_p)}{1 - P(Y=1 | X_1, ..., X_p)}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ... + \beta_p X_p$