115 年 國立臺灣大學健康數據拓析統計研究所《基礎統計學》

本題主要在探討運動習慣與多個生物指標（空腹血糖值、甲基化位點1、甲基化位點2）之間的關係，並考慮了性別和年齡等潛在的混淆因子。題目要求逐步建立統計模型，從單變量檢定到多變量路徑分析。

(1) 檢定運動習慣是否影響空腹血糖值

核心觀念：在控制其他變項的影響後，檢定一個類別變項（運動習慣）對一個連續變項（空腹血糖值）的影響。由於題目提到空腹血糖值可能受到性別和年齡的影響，我們需要使用迴歸分析來控制這些變項。

• 方法：使用複迴歸分析。

• 模型設定：
  令 $Y$ 為空腹血糖值， $X_1$ 為運動習慣（可以編碼為 0 代表無，1 代表有），$X_2$ 為性別（編碼為 0 代表女，1 代表男），$X_3$ 為年齡。
  我們建立迴歸模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$

• 虛無假說 ($H_0$)：運動習慣對空腹血糖值沒有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_0: \beta_1 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：運動習慣對空腹血糖值有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_1: \beta_1 \neq 0$

• 檢定統計量：$t$ 統計量。
  $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}$
  其中 $\hat{\beta}_1$ 是模型估計出的 $\beta_1$ 係數，$\text{SE}(\hat{\beta}_1)$ 是 $\hat{\beta}_1$ 的標準誤。

• 虛無假說下該檢定統計量的分布：自由度為 $n-k-1$ 的 $t$ 分布，其中 $n$ 是樣本數（2000人），$k$ 是自變項的數量（性別、年齡、運動習慣，共 3 個）。所以自由度為 $2000 - 3 - 1 = 1996$。

• 拒絕域：在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，若 $|t| > t_{\alpha/2, 1996}$，則拒絕 $H_0$。
  （$t_{\alpha/2, 1996}$ 為自由度 1996 的 $t$ 分布的 $\alpha/2$ 分位數，約等於 $z_{\alpha/2}$，即 1.96）。

• 符號定義：
  $Y$: 空腹血糖值 (mg/dL)
  $X_1$: 運動習慣 (0: 無, 1: 有)
  $X_2$: 性別 (0: 女, 1: 男)
  $X_3$: 年齡 (歲)
  $\beta_0$: 截距項
  $\beta_1$: 運動習慣對空腹血糖值的影響係數
  $\beta_2$: 性別對空腹血糖值的影響係數
  $\beta_3$: 年齡對空腹血糖值的影響係數
  $\epsilon$: 誤差項

【答案】虛無假說：$H_0: \beta_1 = 0$；對立假說：$H_1: \beta_1 \neq 0$；檢定統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_1}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}$；分布：$t$ 分布，自由度 1996；拒絕域：$|t| > t_{0.025, 1996}$。

(2) 資料條件與檢定

核心觀念：迴歸分析的經典假設（高斯-馬可夫假設）及其檢定方法。

• 資料需滿足的條件 (迴歸模型的假設)：

  1. 線性關係 (Linearity)：自變項與因變項之間的關係是線性的。
  2. 獨立性 (Independence)：殘差之間相互獨立。
  3. 同質變異數 (Homoscedasticity)：殘差的變異數在所有自變項水平上是恆定的。
  4. 常態性 (Normality)：殘差呈常態分布。
  5. 無多重共線性 (No Multicollinearity)：自變項之間沒有高度相關。
  6. 無極端值 (No Outliers)：數據中無影響迴歸線的極端值。

• 如何檢定這些條件：

  1. 線性關係：
     • 繪製殘差對預測值 (residual vs. fitted values) 圖。若點點隨機散佈在零線周圍，則線性關係成立。若出現特定模式（如曲線），則表示非線性。
     • 繪製因變項與各自變項的散佈圖。
  2. 獨立性：
     • 對於時間序列數據，可繪製殘差對時間的圖，或計算 Durbin-Watson 統計量。對於橫斷面數據，通常假設獨立性成立，除非有特殊設計（如集群抽樣）。此研究為橫斷面資料，通常假設獨立。
  3. 同質變異數：
     • 繪製殘差對預測值圖。若點點散佈的寬度大致相同（漏斗狀表示異質變異數），則同質變異數成立。
     • 可進行 Breusch-Pagan 檢定或 White 檢定。
  4. 常態性：
     • 繪製殘差的直方圖或 Q-Q 圖 (Quantile-Quantile plot)。若殘差近似呈鐘形曲線或 Q-Q 圖上的點近似落在直線，則常態性成立。
     • 進行 Shapiro-Wilk 檢定或 Kolmogorov-Smirnov 檢定。
  5. 無多重共線性：
     • 計算自變項之間的相關係數矩陣。
     • 計算變異膨脹因子 (Variance Inflation Factor, VIF)。若 VIF 值大於 5 或 10，則可能存在多重共線性問題。
  6. 無極端值：
     • 繪製殘差圖，檢查是否有殘差值絕對值過大的點。
     • 計算 Cook's distance, DFFITS, DFBETAS 等診斷統計量。

• 假設的設定：

  • 線性關係：$H_0$: 空腹血糖值與自變項（運動習慣、性別、年齡）之間存在線性關係。 $H_1$: 非線性關係。
  • 獨立性：$H_0$: 殘差相互獨立。 $H_1$: 殘差不獨立。
  • 同質變異數：$H_0$: 殘差的變異數恆定。 $H_1$: 殘差的變異數不恆定。
  • 常態性：$H_0$: 殘差服從常態分布。 $H_1$: 殘差不服從常態分布。
  • 無多重共線性：$H_0$: 自變項之間不存在高度相關 (VIF < 5)。 $H_1$: 存在高度相關 (VIF $\ge$ 5)。

【答案】資料需滿足線性關係、獨立性、同質變異數、常態性、無多重共線性、無極端值等假設。可透過繪製殘差圖、Q-Q 圖、直方圖，計算 VIF、Durbin-Watson 統計量，或進行統計檢定（如 Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan）來檢定這些條件是否成立。

(3) 檢定運動習慣是否影響甲基化位點1

核心觀念：類似於小題(1)，但因變項改為甲基化位點1。甲基化位點1的數值介於0到1之間，這是一個連續變項。

• 方法：使用複迴歸分析。

• 模型設定：
  令 $Y'$ 為甲基化位點1， $X_1$ 為運動習慣（0: 無, 1: 有），$X_2$ 為性別（0: 女, 1: 男），$X_3$ 為年齡。
  我們建立迴歸模型：$Y' = \gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \gamma_2 X_2 + \gamma_3 X_3 + \eta$

• 虛無假說 ($H_0$)：運動習慣對甲基化位點1沒有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_0: \gamma_1 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：運動習慣對甲基化位點1有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_1: \gamma_1 \neq 0$

• 檢定統計量：$t$ 統計量。
  $t = \frac{\hat{\gamma}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\gamma}_1)}$
  其中 $\hat{\gamma}_1$ 是模型估計出的 $\gamma_1$ 係數，$\text{SE}(\hat{\gamma}_1)$ 是 $\hat{\gamma}_1$ 的標準誤。

• 虛無假說下該檢定統計量的分布：自由度為 $n-k-1 = 2000 - 3 - 1 = 1996$ 的 $t$ 分布。

• 拒絕域：在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，若 $|t| > t_{\alpha/2, 1996}$，則拒絕 $H_0$。

• 符號定義：
  $Y'$: 甲基化位點1
  $X_1$: 運動習慣 (0: 無, 1: 有)
  $X_2$: 性別 (0: 女, 1: 男)
  $X_3$: 年齡 (歲)
  $\gamma_0$: 截距項
  $\gamma_1$: 運動習慣對甲基化位點1的影響係數
  $\gamma_2$: 性別對甲基化位點1的影響係數
  $\gamma_3$: 年齡對甲基化位點1的影響係數
  $\eta$: 誤差項

【答案】虛無假說：$H_0: \gamma_1 = 0$；對立假說：$H_1: \gamma_1 \neq 0$；檢定統計量：$t = \frac{\hat{\gamma}_1}{\text{SE}(\hat{\gamma}_1)}$；分布：$t$ 分布，自由度 1996；拒絕域：$|t| > t_{0.025, 1996}$。

(4) 檢定運動習慣是否藉由甲基化位點1、甲基化位點2來影響空腹血糖值

核心觀念：檢定運動習慣對空腹血糖值的「間接效應」是否存在，即運動習慣透過中介變項（甲基化位點1和位點2）影響空腹血糖值。這需要使用中介分析或結構方程模型 (SEM) 的概念。題目要求提出一種檢定方法，最直接的方式是建立一個包含自變項、中介變項和因變項的迴歸模型。

• 方法：使用複迴歸分析，並考慮中介效應。

• 模型設定：
  我們需要建立一個模型，其中空腹血糖值 ($Y$) 是因變項，運動習慣 ($X_1$)、性別 ($X_2$)、年齡 ($X_3$)、甲基化位點1 ($M_1$) 和甲基化位點2 ($M_2$) 都是自變項。
  模型：$Y = \delta_0 + \delta_1 X_1 + \delta_2 X_2 + \delta_3 X_3 + \delta_4 M_1 + \delta_5 M_2 + \nu$
  同時，我們也需要建立中介變項對自變項的迴歸模型，但在此題的問法下，我們主要關注運動習慣對空腹血糖值的「總效應」是否可以被 $M_1$ 和 $M_2$ 解釋。

  一個更完整的模型架構（類似於 SEM）會包含：

  1. $Y = \beta_{Y0} + \beta_{Y1} X_1 + \beta_{Y2} X_2 + \beta_{Y3} X_3 + \beta_{YM1} M_1 + \beta_{YM2} M_2 + \epsilon_Y$ (Outcome model)
  2. $M_1 = \beta_{M10} + \beta_{M11} X_1 + \beta_{M12} X_2 + \beta_{M13} X_3 + \epsilon_{M1}$ (Mediator 1 model)
  3. $M_2 = \beta_{M20} + \beta_{M21} X_1 + \beta_{M22} X_2 + \beta_{M23} X_3 + \epsilon_{M2}$ (Mediator 2 model)

  然而，題目只要求提出一個檢定「運動習慣是否藉由甲基化位點1、甲基化位點2來影響空腹血糖值」的方法，這可以理解為檢定 $M_1$ 和 $M_2$ 在控制了 $X_1, X_2, X_3$ 後，對 $Y$ 是否有顯著的影響。
  因此，我們使用以下模型：
  $Y = \delta_0 + \delta_1 X_1 + \delta_2 X_2 + \delta_3 X_3 + \delta_4 M_1 + \delta_5 M_2 + \nu$
  其中，$M_1$ 和 $M_2$ 是中介變項。

• 虛無假說 ($H_0$)：在控制性別、年齡後，甲基化位點1和甲基化位點2對空腹血糖值沒有影響。這意味著運動習慣的影響（如果有的話）並非透過這兩個中介變項。
  $H_0: \delta_4 = 0 \text{ and } \delta_5 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：在控制性別、年齡後，甲基化位點1或甲基化位點2對空腹血糖值有影響。
  $H_1: \delta_4 \neq 0 \text{ or } \delta_5 \neq 0$

• 檢定統計量：$F$ 統計量（用於檢定多個係數同時為零）。
  $F = \frac{(\text{SSE}_{H_0} - \text{SSE}_{H_1}) / (\text{df}_{H_0} - \text{df}_{H_1})}{\text{SSE}_{H_1} / \text{df}_{H_1}}$
  其中 $\text{SSE}_{H_0}$ 是只包含 $X_1, X_2, X_3$ 的模型的殘差平方和，$\text{SSE}_{H_1}$ 是包含 $X_1, X_2, X_3, M_1, M_2$ 的模型的殘差平方和。
  df$_{H_0}$ = $n - 1 - 3 = n-4$ (假設 $X_1, X_2, X_3$ 為自變項)

核心觀念

本題使用的是「配對二元資料」的檢定。由於每一對是同卵雙胞胎，兩人的遺傳背景與部分環境因素相近，因此資料具有配對性，應採用 McNemar 檢定，而不是兩個獨立樣本比例檢定。

令：

• 「發生疾病」記為 1；
• 「未發生疾病」記為 0。

建立配對列聯表：

	P 藥發生	P 藥未發生	合計
A 藥發生	4	4	8
A 藥未發生	12	80	92
合計	16	84	100

其中：

• $b=12$：A 藥未發生、P 藥發生；
• $c=4$：A 藥發生、P 藥未發生。

McNemar 檢定只使用不一致的配對，即 $b+c=16$ 對；兩種藥物都有效或都無效的配對，不影響兩藥效果差異的判斷。

---

解題方法

欲檢定兩種藥物是否同樣有效，設定假設：

$$H_0:p_A=p_P$$ $$H_1:p_A\ne p_P$$

在虛無假設成立時，對於不一致的 16 對雙胞胎，A 藥與 P 藥各自出現疾病的機率相同，因此：

$$B\sim\operatorname{Binomial}(16,0.5)$$

觀察到 P 藥發生疾病而 A 藥未發生的配對有 12 對，A 藥發生而 P 藥未發生的配對有 4 對。

採用雙尾精確 McNemar 檢定，$p$ 值為：

$$p\text{-value} = 2P(B\ge 12)$$ $$= 2\left[ \frac{\binom{16}{12}+\binom{16}{13}+\binom{16}{14}+\binom{16}{15}+\binom{16}{16}} {2^{16}} \right]$$

由於：

核心觀念

本題主要考查：

1. 單因子變異數分析（one-way ANOVA）的變異分解。
2. ANOVA 表中平方和、自由度、均方與 $F$ 統計量的計算。
3. ANOVA 的基本假設。
4. 當只有兩組時，ANOVA 與兩獨立樣本 pooled $t$ 檢定的關係。

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_B$：組間平方和，反映各組平均數彼此的差異。
• $SS_W$：組內平方和，反映同組個體內部的差異。
• $SS_T$：總平方和。

均方為平方和除以自由度：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B},\qquad MS_W=\frac{SS_W}{df_W}$$

檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

---

（1）完成 ANOVA 表並作結論

第一步：計算組內平方和

由

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

可得：

$$SS_W=SS_T-SS_B =250846-1466 =249380$$

第二步：計算組內自由度

總樣本數為：

$$N=429+322+249=1000$$

共有 $k=3$ 組，因此：

$$df_B=k-1=3-1=2$$ $$df_T=N-1=1000-1=999$$ $$df_W=df_T-df_B=999-2=997$$

因此題目中的①為：

$$\boxed{997}$$

第三步：計算各組均方

組間均方：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{1466}{2} =733$$

組內均方：

$$MS_W=\frac{SS_W}{df_W} =\frac{249380}{997} \approx 250.13$$

第四步：計算 $F$ 統計量

$$F=\frac{MS_B}{MS_W} =\frac{733}{250.13} \approx 5.86$$

自由度為 $(2,997)$。

查 $F$ 分配表或使用統計軟體，可得：

$$p\text{-value}\approx 0.003$$

ANOVA 表

變異來源	Sum of Squares	d.f.	MSE	F	P-value
Between	1466	2	733.00	5.86	約 0.003
Within	249380	997	250.13	—	—
Total	250846	999	—	—	—

統計推論

虛無假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$

對立假設為：

$$H_1:\text{至少有一組母體平均數不同}$$

由於：

$$p\text{-value}\approx 0.003<\alpha=0.1$$

因此拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $\alpha=0.1$ 下，有足夠證據顯示三種經濟狀況的家庭照顧者，其照顧負荷與壓力的平均分數並非全部相同。

不過，ANOVA 只能判定「至少有一組不同」，不能直接指出是哪兩組不同；若要進一步判斷，需進行事後比較，例如 Tukey 檢定。

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（2）ANOVA 的基本假設

ANOVA 通常需要以下假設：

1. 觀察值彼此獨立

不同研究個案的照顧負荷與壓力分數應相互獨立。若同一個案被重複測量，則不能直接視為獨立觀察值，應考慮重複量數 ANOVA 或其他縱貫資料分析方法。

2. 各組母體分布近似常態

在每一種經濟狀況組別內，照顧負荷與壓力分數應近似常態分布。

3. 各組母體變異數相等

亦即：

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2$$

本題主要考驗對 2x2 列聯表的分析，包括勝算比 (Odds Ratio, OR) 的計算與解釋、比例差異的信賴區間估計，以及不偏估計量的概念。

(1) 勝算比 (Odds Ratio, OR)

核心觀念：勝算比是比較兩組條件機率（勝算）的比例，常用於 2x2 列聯表，尤其是在病例對照研究中估計風險。

• 數據整理：

  	女童 (G)	男童 (B)	合計
  專注力高 (E)	25 ($n_{GE}$)	15 ($n_{BE}$)	40
  專注力低 (N)	25 ($n_{GN}$)	35 ($n_{BN}$)	60
  合計	50	50	100

• 勝算 (Odds)：

  • 女童專注力高的勝算 (Odds of E for G)：$O_G = \frac{P(\text{E}|\text{G})}{P(\text{N}|\text{G})} = \frac{n_{GE}/N_G}{n_{GN}/N_G} = \frac{n_{GE}}{n_{GN}} = \frac{25}{25} = 1$。
  • 男童專注力高的勝算 (Odds of E for B)：$O_B = \frac{P(\text{E}|\text{B})}{P(\text{N}|\text{B})} = \frac{n_{BE}/N_B}{n_{BN}/N_B} = \frac{n_{BE}}{n_{BN}} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$。

• 勝算比 (Odds Ratio, OR)：
  $OR = \frac{O_G}{O_B} = \frac{n_{GE}/n_{GN}}{n_{BE}/n_{BN}} = \frac{n_{GE} \times n_{BN}}{n_{GN} \times n_{BE}}$
  $OR = \frac{25 \times 35}{25 \times 15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \approx 2.3333$。

• 解釋：
  女童專注力高的勝算約為男童的 2.33 倍。
  或者，女童專注力高的勝算比男童專注力高的勝算高出約 133% ( (2.3333-1)*100% )。
  換句話說，相較於男童，女童有較高的勝算（機率）專注力高。

【答案】勝算比 (OR) 為 $\frac{7}{3} \approx 2.333$。這表示女童專注力高的勝算約為男童的 2.33 倍。

(2) 比例差異的 95% 信賴區間

核心觀念：估計兩個比例差異的信賴區間，用於推斷母體比例差異的範圍。

• 數據：

  • 高專注力女童的比例 ($p_G$) = $\frac{n_{GE}}{N_G} = \frac{25}{50} = 0.5$。
  • 高專注力男童的比例 ($p_B$) = $\frac{n_{BE}}{N_B} = \frac{15}{50} = 0.3$。
  • 比例差異 ($\Delta p$) = $p_G - p_B = 0.5 - 0.3 = 0.2$。

• 計算信賴區間：
  比例差異的信賴區間公式（使用標準近似法）：
  $\Delta p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_G(1-p_G)}{N_G} + \frac{p_B(1-p_B)}{N_B}}$
  其中，$z_{\alpha/2}$ 是標準常態分布的臨界值。對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} \approx 1.96$。

  標準誤 (Standard Error, SE)：
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{p_G(1-p_G)}{N_G} + \frac{p_B(1-p_B)}{N_B}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{50} + \frac{0.3(1-0.3)}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{50} + \frac{0.3 \times 0.7}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.25}{50} + \frac{0.21}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.46}{50}} = \sqrt{0.0092} \approx 0.0959$。

  信賴區間：
  $0.2 \pm 1.96 \times 0.0959$
  $0.2 \pm 0.1880$
  信賴區間為 $[0.2 - 0.1880, 0.2 + 0.1880] = [0.0120, 0.3880]$。

• 解釋：
  我們有 95% 的信心，認為「高專注力女童比例」比「高專注力男童比例」實際高出的值，落在 0.0120 到 0.3880 之間。
  由於這個信賴區間的下限 (0.0120) 大於 0，這也支持了女童高專注力比例顯著高於男童的結論（這相當於在 $\alpha=0.05$ 下進行雙尾檢定）。

【答案】「高專注力女童的比例」比「高專注力男童的比例」高出 0.2。
95% 信賴區間為 $[0.0120, 0.3880]$。這表示我們有 95% 的信心，真實的比例差異（女童高專注力比例減去男童高專注力比例）在 0.0120 到 0.3880 之間。

(3) 證明樣本比例差與樣本觀察值差為不偏估計量

核心觀念：不偏估計量 (unbiased estimator) 的定義，即估計量的期望值等於被估計的母體參數。

• 符號定義：
  • $p_G$: 樣本中高專注力女童的比例。
  • $p_B$: 樣本中高專注力男童的比例。
  • $P_G$: 母體中高專注力女童的真實比例。

本題主要在探討運動習慣與多個生物指標（空腹血糖值、甲基化位點1、甲基化位點2）之間的關係，並考慮了性別和年齡等潛在的混淆因子。題目要求逐步建立統計模型，從單變量檢定到多變量路徑分析。

(1) 檢定運動習慣是否影響空腹血糖值

核心觀念：在控制其他變項的影響後，檢定一個類別變項（運動習慣）對一個連續變項（空腹血糖值）的影響。由於題目提到空腹血糖值可能受到性別和年齡的影響，我們需要使用迴歸分析來控制這些變項。

• 方法：使用複迴歸分析。

• 模型設定：
  令 $Y$ 為空腹血糖值， $X_1$ 為運動習慣（可以編碼為 0 代表無，1 代表有），$X_2$ 為性別（編碼為 0 代表女，1 代表男），$X_3$ 為年齡。
  我們建立迴歸模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$

• 虛無假說 ($H_0$)：運動習慣對空腹血糖值沒有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_0: \beta_1 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：運動習慣對空腹血糖值有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_1: \beta_1 \neq 0$

• 檢定統計量：$t$ 統計量。
  $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}$
  其中 $\hat{\beta}_1$ 是模型估計出的 $\beta_1$ 係數，$\text{SE}(\hat{\beta}_1)$ 是 $\hat{\beta}_1$ 的標準誤。

• 虛無假說下該檢定統計量的分布：自由度為 $n-k-1$ 的 $t$ 分布，其中 $n$ 是樣本數（2000人），$k$ 是自變項的數量（性別、年齡、運動習慣，共 3 個）。所以自由度為 $2000 - 3 - 1 = 1996$。

• 拒絕域：在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，若 $|t| > t_{\alpha/2, 1996}$，則拒絕 $H_0$。
  （$t_{\alpha/2, 1996}$ 為自由度 1996 的 $t$ 分布的 $\alpha/2$ 分位數，約等於 $z_{\alpha/2}$，即 1.96）。

• 符號定義：
  $Y$: 空腹血糖值 (mg/dL)
  $X_1$: 運動習慣 (0: 無, 1: 有)
  $X_2$: 性別 (0: 女, 1: 男)
  $X_3$: 年齡 (歲)
  $\beta_0$: 截距項
  $\beta_1$: 運動習慣對空腹血糖值的影響係數
  $\beta_2$: 性別對空腹血糖值的影響係數
  $\beta_3$: 年齡對空腹血糖值的影響係數
  $\epsilon$: 誤差項

【答案】虛無假說：$H_0: \beta_1 = 0$；對立假說：$H_1: \beta_1 \neq 0$；檢定統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_1}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}$；分布：$t$ 分布，自由度 1996；拒絕域：$|t| > t_{0.025, 1996}$。

(2) 資料條件與檢定

核心觀念：迴歸分析的經典假設（高斯-馬可夫假設）及其檢定方法。

• 資料需滿足的條件 (迴歸模型的假設)：

  1. 線性關係 (Linearity)：自變項與因變項之間的關係是線性的。
  2. 獨立性 (Independence)：殘差之間相互獨立。
  3. 同質變異數 (Homoscedasticity)：殘差的變異數在所有自變項水平上是恆定的。
  4. 常態性 (Normality)：殘差呈常態分布。
  5. 無多重共線性 (No Multicollinearity)：自變項之間沒有高度相關。
  6. 無極端值 (No Outliers)：數據中無影響迴歸線的極端值。

• 如何檢定這些條件：

  1. 線性關係：
     • 繪製殘差對預測值 (residual vs. fitted values) 圖。若點點隨機散佈在零線周圍，則線性關係成立。若出現特定模式（如曲線），則表示非線性。
     • 繪製因變項與各自變項的散佈圖。
  2. 獨立性：
     • 對於時間序列數據，可繪製殘差對時間的圖，或計算 Durbin-Watson 統計量。對於橫斷面數據，通常假設獨立性成立，除非有特殊設計（如集群抽樣）。此研究為橫斷面資料，通常假設獨立。
  3. 同質變異數：
     • 繪製殘差對預測值圖。若點點散佈的寬度大致相同（漏斗狀表示異質變異數），則同質變異數成立。
     • 可進行 Breusch-Pagan 檢定或 White 檢定。
  4. 常態性：
     • 繪製殘差的直方圖或 Q-Q 圖 (Quantile-Quantile plot)。若殘差近似呈鐘形曲線或 Q-Q 圖上的點近似落在直線，則常態性成立。
     • 進行 Shapiro-Wilk 檢定或 Kolmogorov-Smirnov 檢定。
  5. 無多重共線性：
     • 計算自變項之間的相關係數矩陣。
     • 計算變異膨脹因子 (Variance Inflation Factor, VIF)。若 VIF 值大於 5 或 10，則可能存在多重共線性問題。
  6. 無極端值：
     • 繪製殘差圖，檢查是否有殘差值絕對值過大的點。
     • 計算 Cook's distance, DFFITS, DFBETAS 等診斷統計量。

• 假設的設定：

  • 線性關係：$H_0$: 空腹血糖值與自變項（運動習慣、性別、年齡）之間存在線性關係。 $H_1$: 非線性關係。
  • 獨立性：$H_0$: 殘差相互獨立。 $H_1$: 殘差不獨立。
  • 同質變異數：$H_0$: 殘差的變異數恆定。 $H_1$: 殘差的變異數不恆定。
  • 常態性：$H_0$: 殘差服從常態分布。 $H_1$: 殘差不服從常態分布。
  • 無多重共線性：$H_0$: 自變項之間不存在高度相關 (VIF < 5)。 $H_1$: 存在高度相關 (VIF $\ge$ 5)。

【答案】資料需滿足線性關係、獨立性、同質變異數、常態性、無多重共線性、無極端值等假設。可透過繪製殘差圖、Q-Q 圖、直方圖，計算 VIF、Durbin-Watson 統計量，或進行統計檢定（如 Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan）來檢定這些條件是否成立。

(3) 檢定運動習慣是否影響甲基化位點1

核心觀念：類似於小題(1)，但因變項改為甲基化位點1。甲基化位點1的數值介於0到1之間，這是一個連續變項。

• 方法：使用複迴歸分析。

• 模型設定：
  令 $Y'$ 為甲基化位點1， $X_1$ 為運動習慣（0: 無, 1: 有），$X_2$ 為性別（0: 女, 1: 男），$X_3$ 為年齡。
  我們建立迴歸模型：$Y' = \gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \gamma_2 X_2 + \gamma_3 X_3 + \eta$

• 虛無假說 ($H_0$)：運動習慣對甲基化位點1沒有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_0: \gamma_1 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：運動習慣對甲基化位點1有影響，即使在控制性別和年齡後。
  $H_1: \gamma_1 \neq 0$

• 檢定統計量：$t$ 統計量。
  $t = \frac{\hat{\gamma}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\gamma}_1)}$
  其中 $\hat{\gamma}_1$ 是模型估計出的 $\gamma_1$ 係數，$\text{SE}(\hat{\gamma}_1)$ 是 $\hat{\gamma}_1$ 的標準誤。

• 虛無假說下該檢定統計量的分布：自由度為 $n-k-1 = 2000 - 3 - 1 = 1996$ 的 $t$ 分布。

• 拒絕域：在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，若 $|t| > t_{\alpha/2, 1996}$，則拒絕 $H_0$。

• 符號定義：
  $Y'$: 甲基化位點1
  $X_1$: 運動習慣 (0: 無, 1: 有)
  $X_2$: 性別 (0: 女, 1: 男)
  $X_3$: 年齡 (歲)
  $\gamma_0$: 截距項
  $\gamma_1$: 運動習慣對甲基化位點1的影響係數
  $\gamma_2$: 性別對甲基化位點1的影響係數
  $\gamma_3$: 年齡對甲基化位點1的影響係數
  $\eta$: 誤差項

【答案】虛無假說：$H_0: \gamma_1 = 0$；對立假說：$H_1: \gamma_1 \neq 0$；檢定統計量：$t = \frac{\hat{\gamma}_1}{\text{SE}(\hat{\gamma}_1)}$；分布：$t$ 分布，自由度 1996；拒絕域：$|t| > t_{0.025, 1996}$。

(4) 檢定運動習慣是否藉由甲基化位點1、甲基化位點2來影響空腹血糖值

核心觀念：檢定運動習慣對空腹血糖值的「間接效應」是否存在，即運動習慣透過中介變項（甲基化位點1和位點2）影響空腹血糖值。這需要使用中介分析或結構方程模型 (SEM) 的概念。題目要求提出一種檢定方法，最直接的方式是建立一個包含自變項、中介變項和因變項的迴歸模型。

• 方法：使用複迴歸分析，並考慮中介效應。

• 模型設定：
  我們需要建立一個模型，其中空腹血糖值 ($Y$) 是因變項，運動習慣 ($X_1$)、性別 ($X_2$)、年齡 ($X_3$)、甲基化位點1 ($M_1$) 和甲基化位點2 ($M_2$) 都是自變項。
  模型：$Y = \delta_0 + \delta_1 X_1 + \delta_2 X_2 + \delta_3 X_3 + \delta_4 M_1 + \delta_5 M_2 + \nu$
  同時，我們也需要建立中介變項對自變項的迴歸模型，但在此題的問法下，我們主要關注運動習慣對空腹血糖值的「總效應」是否可以被 $M_1$ 和 $M_2$ 解釋。

  一個更完整的模型架構（類似於 SEM）會包含：

  1. $Y = \beta_{Y0} + \beta_{Y1} X_1 + \beta_{Y2} X_2 + \beta_{Y3} X_3 + \beta_{YM1} M_1 + \beta_{YM2} M_2 + \epsilon_Y$ (Outcome model)
  2. $M_1 = \beta_{M10} + \beta_{M11} X_1 + \beta_{M12} X_2 + \beta_{M13} X_3 + \epsilon_{M1}$ (Mediator 1 model)
  3. $M_2 = \beta_{M20} + \beta_{M21} X_1 + \beta_{M22} X_2 + \beta_{M23} X_3 + \epsilon_{M2}$ (Mediator 2 model)

  然而，題目只要求提出一個檢定「運動習慣是否藉由甲基化位點1、甲基化位點2來影響空腹血糖值」的方法，這可以理解為檢定 $M_1$ 和 $M_2$ 在控制了 $X_1, X_2, X_3$ 後，對 $Y$ 是否有顯著的影響。
  因此，我們使用以下模型：
  $Y = \delta_0 + \delta_1 X_1 + \delta_2 X_2 + \delta_3 X_3 + \delta_4 M_1 + \delta_5 M_2 + \nu$
  其中，$M_1$ 和 $M_2$ 是中介變項。

• 虛無假說 ($H_0$)：在控制性別、年齡後，甲基化位點1和甲基化位點2對空腹血糖值沒有影響。這意味著運動習慣的影響（如果有的話）並非透過這兩個中介變項。
  $H_0: \delta_4 = 0 \text{ and } \delta_5 = 0$

• 對立假說 ($H_1$)：在控制性別、年齡後，甲基化位點1或甲基化位點2對空腹血糖值有影響。
  $H_1: \delta_4 \neq 0 \text{ or } \delta_5 \neq 0$

• 檢定統計量：$F$ 統計量（用於檢定多個係數同時為零）。
  $F = \frac{(\text{SSE}_{H_0} - \text{SSE}_{H_1}) / (\text{df}_{H_0} - \text{df}_{H_1})}{\text{SSE}_{H_1} / \text{df}_{H_1}}$
  其中 $\text{SSE}_{H_0}$ 是只包含 $X_1, X_2, X_3$ 的模型的殘差平方和，$\text{SSE}_{H_1}$ 是包含 $X_1, X_2, X_3, M_1, M_2$ 的模型的殘差平方和。
  df$_{H_0}$ = $n - 1 - 3 = n-4$ (假設 $X_1, X_2, X_3$ 為自變項)

核心觀念

本題使用的是「配對二元資料」的檢定。由於每一對是同卵雙胞胎，兩人的遺傳背景與部分環境因素相近，因此資料具有配對性，應採用 McNemar 檢定，而不是兩個獨立樣本比例檢定。

令：

• 「發生疾病」記為 1；
• 「未發生疾病」記為 0。

建立配對列聯表：

	P 藥發生	P 藥未發生	合計
A 藥發生	4	4	8
A 藥未發生	12	80	92
合計	16	84	100

其中：

• $b=12$：A 藥未發生、P 藥發生；
• $c=4$：A 藥發生、P 藥未發生。

McNemar 檢定只使用不一致的配對，即 $b+c=16$ 對；兩種藥物都有效或都無效的配對，不影響兩藥效果差異的判斷。

---

解題方法

欲檢定兩種藥物是否同樣有效，設定假設：

$$H_0:p_A=p_P$$ $$H_1:p_A\ne p_P$$

在虛無假設成立時，對於不一致的 16 對雙胞胎，A 藥與 P 藥各自出現疾病的機率相同，因此：

$$B\sim\operatorname{Binomial}(16,0.5)$$

觀察到 P 藥發生疾病而 A 藥未發生的配對有 12 對，A 藥發生而 P 藥未發生的配對有 4 對。

採用雙尾精確 McNemar 檢定，$p$ 值為：

$$p\text{-value} = 2P(B\ge 12)$$ $$= 2\left[ \frac{\binom{16}{12}+\binom{16}{13}+\binom{16}{14}+\binom{16}{15}+\binom{16}{16}} {2^{16}} \right]$$

由於：

核心觀念

本題主要考查：

1. 單因子變異數分析（one-way ANOVA）的變異分解。
2. ANOVA 表中平方和、自由度、均方與 $F$ 統計量的計算。
3. ANOVA 的基本假設。
4. 當只有兩組時，ANOVA 與兩獨立樣本 pooled $t$ 檢定的關係。

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_B$：組間平方和，反映各組平均數彼此的差異。
• $SS_W$：組內平方和，反映同組個體內部的差異。
• $SS_T$：總平方和。

均方為平方和除以自由度：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B},\qquad MS_W=\frac{SS_W}{df_W}$$

檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

---

（1）完成 ANOVA 表並作結論

第一步：計算組內平方和

由

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

可得：

$$SS_W=SS_T-SS_B =250846-1466 =249380$$

第二步：計算組內自由度

總樣本數為：

$$N=429+322+249=1000$$

共有 $k=3$ 組，因此：

$$df_B=k-1=3-1=2$$ $$df_T=N-1=1000-1=999$$ $$df_W=df_T-df_B=999-2=997$$

因此題目中的①為：

$$\boxed{997}$$

第三步：計算各組均方

組間均方：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{1466}{2} =733$$

組內均方：

$$MS_W=\frac{SS_W}{df_W} =\frac{249380}{997} \approx 250.13$$

第四步：計算 $F$ 統計量

$$F=\frac{MS_B}{MS_W} =\frac{733}{250.13} \approx 5.86$$

自由度為 $(2,997)$。

查 $F$ 分配表或使用統計軟體，可得：

$$p\text{-value}\approx 0.003$$

ANOVA 表

變異來源	Sum of Squares	d.f.	MSE	F	P-value
Between	1466	2	733.00	5.86	約 0.003
Within	249380	997	250.13	—	—
Total	250846	999	—	—	—

統計推論

虛無假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$

對立假設為：

$$H_1:\text{至少有一組母體平均數不同}$$

由於：

$$p\text{-value}\approx 0.003<\alpha=0.1$$

因此拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $\alpha=0.1$ 下，有足夠證據顯示三種經濟狀況的家庭照顧者，其照顧負荷與壓力的平均分數並非全部相同。

不過，ANOVA 只能判定「至少有一組不同」，不能直接指出是哪兩組不同；若要進一步判斷，需進行事後比較，例如 Tukey 檢定。

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（2）ANOVA 的基本假設

ANOVA 通常需要以下假設：

1. 觀察值彼此獨立

不同研究個案的照顧負荷與壓力分數應相互獨立。若同一個案被重複測量，則不能直接視為獨立觀察值，應考慮重複量數 ANOVA 或其他縱貫資料分析方法。

2. 各組母體分布近似常態

在每一種經濟狀況組別內，照顧負荷與壓力分數應近似常態分布。

3. 各組母體變異數相等

亦即：

$$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2$$

本題主要考驗對 2x2 列聯表的分析，包括勝算比 (Odds Ratio, OR) 的計算與解釋、比例差異的信賴區間估計，以及不偏估計量的概念。

(1) 勝算比 (Odds Ratio, OR)

核心觀念：勝算比是比較兩組條件機率（勝算）的比例，常用於 2x2 列聯表，尤其是在病例對照研究中估計風險。

• 數據整理：

  	女童 (G)	男童 (B)	合計
  專注力高 (E)	25 ($n_{GE}$)	15 ($n_{BE}$)	40
  專注力低 (N)	25 ($n_{GN}$)	35 ($n_{BN}$)	60
  合計	50	50	100

• 勝算 (Odds)：

  • 女童專注力高的勝算 (Odds of E for G)：$O_G = \frac{P(\text{E}|\text{G})}{P(\text{N}|\text{G})} = \frac{n_{GE}/N_G}{n_{GN}/N_G} = \frac{n_{GE}}{n_{GN}} = \frac{25}{25} = 1$。
  • 男童專注力高的勝算 (Odds of E for B)：$O_B = \frac{P(\text{E}|\text{B})}{P(\text{N}|\text{B})} = \frac{n_{BE}/N_B}{n_{BN}/N_B} = \frac{n_{BE}}{n_{BN}} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$。

• 勝算比 (Odds Ratio, OR)：
  $OR = \frac{O_G}{O_B} = \frac{n_{GE}/n_{GN}}{n_{BE}/n_{BN}} = \frac{n_{GE} \times n_{BN}}{n_{GN} \times n_{BE}}$
  $OR = \frac{25 \times 35}{25 \times 15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \approx 2.3333$。

• 解釋：
  女童專注力高的勝算約為男童的 2.33 倍。
  或者，女童專注力高的勝算比男童專注力高的勝算高出約 133% ( (2.3333-1)*100% )。
  換句話說，相較於男童，女童有較高的勝算（機率）專注力高。

【答案】勝算比 (OR) 為 $\frac{7}{3} \approx 2.333$。這表示女童專注力高的勝算約為男童的 2.33 倍。

(2) 比例差異的 95% 信賴區間

核心觀念：估計兩個比例差異的信賴區間，用於推斷母體比例差異的範圍。

• 數據：

  • 高專注力女童的比例 ($p_G$) = $\frac{n_{GE}}{N_G} = \frac{25}{50} = 0.5$。
  • 高專注力男童的比例 ($p_B$) = $\frac{n_{BE}}{N_B} = \frac{15}{50} = 0.3$。
  • 比例差異 ($\Delta p$) = $p_G - p_B = 0.5 - 0.3 = 0.2$。

• 計算信賴區間：
  比例差異的信賴區間公式（使用標準近似法）：
  $\Delta p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_G(1-p_G)}{N_G} + \frac{p_B(1-p_B)}{N_B}}$
  其中，$z_{\alpha/2}$ 是標準常態分布的臨界值。對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} \approx 1.96$。

  標準誤 (Standard Error, SE)：
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{p_G(1-p_G)}{N_G} + \frac{p_B(1-p_B)}{N_B}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{50} + \frac{0.3(1-0.3)}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{50} + \frac{0.3 \times 0.7}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.25}{50} + \frac{0.21}{50}}$
  $SE(\Delta p) = \sqrt{\frac{0.46}{50}} = \sqrt{0.0092} \approx 0.0959$。

  信賴區間：
  $0.2 \pm 1.96 \times 0.0959$
  $0.2 \pm 0.1880$
  信賴區間為 $[0.2 - 0.1880, 0.2 + 0.1880] = [0.0120, 0.3880]$。

• 解釋：
  我們有 95% 的信心，認為「高專注力女童比例」比「高專注力男童比例」實際高出的值，落在 0.0120 到 0.3880 之間。
  由於這個信賴區間的下限 (0.0120) 大於 0，這也支持了女童高專注力比例顯著高於男童的結論（這相當於在 $\alpha=0.05$ 下進行雙尾檢定）。

【答案】「高專注力女童的比例」比「高專注力男童的比例」高出 0.2。
95% 信賴區間為 $[0.0120, 0.3880]$。這表示我們有 95% 的信心，真實的比例差異（女童高專注力比例減去男童高專注力比例）在 0.0120 到 0.3880 之間。

(3) 證明樣本比例差與樣本觀察值差為不偏估計量

核心觀念：不偏估計量 (unbiased estimator) 的定義，即估計量的期望值等於被估計的母體參數。

• 符號定義：
  • $p_G$: 樣本中高專注力女童的比例。
  • $p_B$: 樣本中高專注力男童的比例。
  • $P_G$: 母體中高專注力女童的真實比例。