114 年 國立臺灣大學統計碩士學位學程《統計學（G）》

本題主要在釐清兩個統計學中常被混淆的概念：樣本標準差與標準誤。

樣本標準差 (Sample Standard Deviation, $s$)

• 定義： 樣本標準差是衡量單一樣本中各數據點與樣本平均數之間離散程度的指標。它描述了樣本數據的散佈情況。
• 計算公式： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$，其中 $x_i$ 是樣本中的第 $i$ 個觀測值，$\bar{x}$ 是樣本平均數，$n$ 是樣本大小。
• 用途： 用來估計母體標準差，並描述樣本數據本身的變異性。
• 舉例： 假設我們調查了 10 位學生的身高，計算出這 10 位學生的平均身高為 170 公分，而樣本標準差為 5 公分。這表示這 10 位學生的身高大約有 5 公分的波動，分散在平均身高 170 公分周圍。

標準誤 (Standard Error, SE)

• 定義： 標準誤是指統計量（例如樣本平均數）的抽樣分佈的標準差。它衡量了從同一個母體中重複抽取不同樣本，而這些樣本統計量（如樣本平均數）的變異程度。
• 計算公式： 對於樣本平均數的標準誤，公式為 $SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是樣本標準差，$n$ 是樣本大小。

本題旨在區分兩種常見的統計圖形：長條圖與直方圖。

長條圖 (Bar Chart)

• 定義： 長條圖是用來呈現類別資料 (categorical data) 或離散數據 (discrete data) 的圖形。每個長條代表一個類別，長條的高度（或長度）代表該類別的頻率、比例或數值。
• 特性：
  • 長條之間通常有明顯的間隔，表示各類別是獨立的。
  • 類別的順序通常可以任意調整，除非有特殊考量（如時間序列）。
  • 適用於比較不同類別的數量或大小。
• 舉例：
  • 比較不同品牌手機的銷售量。
  • 顯示不同科系學生的數量。
  • 呈現不同國家的人口數。

直方圖 (Histogram)

• 定義： 直方圖是用來呈現連續數據 (continuous data) 或離散數據（當數據點很多時）的頻率分佈的圖形。數據被劃分成若干個連續的區間（稱為 bin 或 class interval），每個長條代表一個區間，長條的高度代表該區間內的數據點數量或頻率。
• 特性：

核心觀念

本題考查：

• 以樣本空間計算比賽結果的機率。
• 以「最終獲勝機率」作為獎金公平分配的依據。
• Deuce 狀況下的對稱性：兩位選手實力相當、每球勝率皆為 $0.5$，因此進入平手後，兩人最終獲勝機率相同。

目前比分為 $17:19$，因此：

• A 還需要贏 $4$ 球才能達到 $21$ 分。
• B 還需要贏 $2$ 球才能達到 $21$ 分。

解題方法

將比賽分成三種互斥情況：

1. A 在進入 $20:20$ 前直接獲勝。
2. B 在進入 $20:20$ 前直接獲勝。
3. 比賽進入 $20:20$，再依公平原則決定勝負。

情況一：A 直接獲勝

A 必須連贏四球，比分依序為：

$$17:19\to18:19\to19:19\to20:19\to21:19$$

因此：

$$P(\text{A直接獲勝})=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}$$

情況二：B 直接獲勝

B 只需要再贏兩球，且必須在 A 得到第 $3$ 球前完成。

B 第二次得分時獲勝，A 在此之前可能得到 $0$、$1$ 或 $2$ 球。

B 連贏兩球

$$P(BB)=\left(\frac12\right)^2=\frac14$$

A 得 $1$ 球後，B 得到第二球

可能序列為 $ABB$、$BAB$，共有 $2$ 種：

$$P=\frac{2}{2^3}=\frac14$$

A 得 $2$ 球後，B 得到第二球

可能序列共有

$$\binom{3}{2}=3$$

種，因此：

$$P=\frac{3}{2^4}=\frac3{16}$$

所以：

$$P(\text{B直接獲勝}) =\frac14+\frac14+\frac3{16} =\frac{11}{16}$$

情況三：進入 $20:20$

核心觀念

本題依序考查兩獨立樣本平均數比較、盒鬚圖、單因子變異數分析，以及以多元迴歸同時控制性別與學院。以下以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷。

（1）檢定方法

趙、錢兩位老師各自隨機抽取一批不同學生，想比較兩群學生的平均每日滑手機時數，因此應做兩獨立樣本平均數差異檢定。題目沒有提供母體變異數相等的依據，採用Welch 兩樣本 $t$ 檢定，並使用雙尾檢定。

（2）比較兩位老師調查的平均時數

(a) 假設檢定名稱： Welch 兩獨立樣本 $t$ 檢定。

(b) 使用理由： 兩組受試者不同，欲比較兩個母體平均數；兩組變異數分別為 $1.04$ 與 $1.99$，不需假設母體變異數相等。

(c) 適用條件： 兩組樣本互相獨立，且各組內觀測值獨立；母體分布近似常態，或樣本數足以支持平均數的近似推論。若母體變異數不等，Welch 檢定不要求兩組變異數相等。

(d) 假設： 令 $\mu_{\text{趙}}$、$\mu_{\text{錢}}$ 分別表示兩位老師欲代表的學生母體平均時數：

$$H_0:\mu_{\text{趙}}-\mu_{\text{錢}}=0$$ $$H_1:\mu_{\text{趙}}-\mu_{\text{錢}}\ne 0$$

(e) 統計量： 樣本平均數差為 $3.80-4.15=-0.35$。Welch 標準誤為

$$SE=\sqrt{\frac{1.04}{25}+\frac{1.99}{64}} =\sqrt{0.072694} \approx 0.2696$$

因此

$$t=\frac{3.80-4.15}{0.2696}\approx -1.298$$

Welch 自由度約為 $60.4$，雙尾 $p$ 值約為 $0.199$。差異的 95% 信賴區間約為 $(-0.89,\ 0.19)$ 小時。

(f) 結論： 因為 $p=0.199>0.05$，不拒絕 $H_0$。樣本中錢老師調查的平均數較高，但目前沒有足夠證據認定兩群學生的母體平均滑手機時數不同。

（3）性別與學院的圖形

兩張圖都是盒鬚圖（box plot）：左圖按性別分組，右圖按學院 A 至 E 分組。盒子表示第 1 四分位數至第 3 四分位數，中線表示中位數；鬚表示非離群值的延伸範圍，單獨的點表示離群值。

左圖中，女性組的中位數看來高於男性組，但兩組盒子與鬚的範圍有不少重疊，表示組內差異也很大。右圖中，各學院的中位數與分布範圍有些差異，部分學院出現較遠的離群點。盒鬚圖適合用來比較分布位置、離散程度與離群值；單憑圖形不能判定群體差異是否達統計顯著，仍須搭配檢定。

（4）兩張變異數分析表

兩表都是單因子變異數分析（one-way ANOVA）表。用途是比較三組以上（也可用於兩組）母體平均數是否相同。第一表比較性別組別，第二表比較五個學院。

以 $k$ 組平均數為例，檢定假設為

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$ $$H_1:\text{至少一組母體平均數不同}$$

檢定統計量是組間均方除以組內均方：

$$F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}$$

第一表：性別

組內平方和由總平方和扣除組間平方和：

$$SS_{\text{組內}}=152.5782-5.0820=147.4962$$

組間 $F$ 值為

$$F=\frac{5.0820}{1.6954}\approx 2.9975$$

欄位	數值
(a) 組內 SS	147.4962
(b) $F$	2.9975
(c) $F_{\text{crit}}$（$df_1=1,df_2=87$，$\alpha=0.05$）	約 3.95

核心觀念

本題綜合考查：

1. 兩獨立母體平均數差異的假設檢定。
2. 箱型圖（boxplot）的判讀。
3. 單因子變異數分析（one-way ANOVA）。
4. 多元線性迴歸與類別變數虛擬變數（dummy variables）的解釋。

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(1) 統計檢定方法

趙老師與錢老師分別從學生中抽取樣本，欲比較兩批學生「每天滑手機平均時數」是否相同，因此孫老師應進行：

兩獨立母體平均數差異的假設檢定。

由於兩組樣本彼此獨立、母體變異數未知，且樣本數為 $n_1=25$、$n_2=64$，可使用兩獨立樣本 $t$ 檢定。若假設兩母體變異數相同，則使用合併變異數 $t$ 檢定。

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(2) 兩獨立樣本平均數檢定

(a) 假設檢定名稱

採用：

兩獨立樣本平均數差異之合併變異數 $t$ 檢定。

(b) 使用理由

兩位老師的樣本來自不同抽樣對象，兩組資料彼此獨立；研究問題是比較兩個母體平均滑手機時數是否相同。

已知：

$$n_1=25,\qquad \bar{x}_1=3.80$$ $$n_2=64,\qquad \bar{x}_2=4.15$$

(c) 適用條件

使用此方法須滿足：

1. 兩組樣本彼此獨立。
2. 兩組資料分別為隨機樣本。
3. 兩母體近似常態，或樣本數夠大。
4. 兩母體變異數相等，作為合併變異數 $t$ 檢定的前提。

(d) 假設

令 $\mu_1$ 為趙老師所抽樣學生的母體平均滑手機時數，$\mu_2$ 為錢老師所抽樣學生的母體平均滑手機時數。

$$H_0:\mu_1-\mu_2=0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2\ne 0$$

這是雙尾檢定，因為題目要判斷兩者是否有差異，而非預先指定哪一組較大。

(e) 統計量計算

由兩組平均數可得：

$$\bar{x}_1-\bar{x}_2=3.80-4.15=-0.35$$

由整體資料的變異數分解，可得組內合併變異數約為：

$$s_p^2 = \frac{SS_E}{n_1+n_2-2} \approx 1.7285$$

因此：

$$s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} = \sqrt{1.7285\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{64}\right)} \approx 0.3100$$

檢定統計量為：

$$t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2} {s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} = \frac{-0.35}{0.3100} \approx -1.13$$

自由度：

$$df=n_1+n_2-2=87$$

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，雙尾臨界值約為：

$$\pm t_{0.025,87}\approx \pm 1.99$$

由於：

$$|t|=1.13<1.99$$

故不拒絕虛無假設。

(f) 結論

在 $5\%$ 顯著水準下，沒有足夠證據認為趙老師與錢老師所抽樣學生的母體平均滑手機時數不同。

雖然兩組樣本平均數相差 $0.35$ 小時，但此差異尚不足以判定為統計上的顯著差異，可能只是抽樣誤差造成。

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(3) 圖形判讀

統計圖正式名稱

這兩張圖都是：

箱型圖（box-and-whisker plot）。

左圖比較不同性別學生的每日滑手機時數；右圖比較五個不同學院學生的每日滑手機時數。

箱型圖主要呈現：

• 中位數；
• 第一四分位數 $Q_1$；
• 第三四分位數 $Q_3$；
• 四分位距 $IQR=Q_3-Q_1$；
• 非離群值範圍；
• 離群值。

左圖：性別差異

左圖顯示女性與男性的每日滑手機時數分布。

可觀察到：

1. 女性組的中位數約略高於男性組。
2. 女性組的箱體較寬，表示中央 $50\%$ 資料的離散程度較大。
3. 兩組資料分布範圍相當，且彼此重疊不少。
4. 僅由箱型圖尚不能判定性別造成顯著差異，仍須配合兩樣本 $t$ 檢定或其他正式推論方法。

右圖：學院差異

右圖比較學院 A、B、C、D、E：

1. 各學院的中位數有所不同。
2. 學院 E 的中位數相對較高。
3. 各組箱體及鬚長不同，代表不同學院學生的滑手機時數變異程度不同。
4. 圖中部分觀測值落在鬚線之外，屬於可能的離群值。
5. 五組資料仍有相當程度重疊，故不能只依視覺差異斷定學院間平均數一定不同，應進一步使用單因子變異數分析。

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(4) 變異數分析表

表格正式名稱與用途

兩份表格都是：

單因子變異數分析表（one-way ANOVA table）。

第一份以「性別」作為分組變數；第二份以「學院」作為分組變數。

其用途是檢定三組以上母體平均數是否完全相同，也可用於兩組平均數的比較。

假設

以性別為分組變數時：

$$H_0:\mu_F=\mu_M$$ $$H_1:\text{至少有一個性別的母體平均數不同}$$

以學院為分組變數時：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu_D=\mu_E$$ $$H_1:\text{至少有一個學院的母體平均數不同}$$

ANOVA 基本公式

$$SS_T=SS_B+SS_W$$ $$MS_B=\frac{SS_B}{df_B}$$ $$MS_W=\frac{SS_W}{df_W}$$ $$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

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第一份表格：性別

已知：

$$SS_T=152.5782,\qquad SS_B=5.0820$$

因此：

$$(a)=SS_W=152.5782-5.0820=147.4962$$

又因為 $df_W=87$：

$$MS_W=\frac{147.4962}{87}\approx 1.6954$$

所以：

$$(b)=F=\frac{5.0820}{1.6954}\approx 2.9975$$

由表中 $p$ 值：