108 年 國立高雄大學統計學研究所碩士班《微積分》

本題考查微分的鏈式法則、基本函數的微分規則、對數微分、連鎖律以及微積分基本定理。

對給定的複合函數進行微分。我們將逐項進行微分：

1. $\frac{d}{dx} f(g(h(x)))$: 根據鏈式法則，這等於 $f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$。
2. $\frac{d}{dx} e^{g(x)}$: 根據鏈式法則，這等於 $e^{g(x)} \cdot g'(x)$。
3. $\frac{d}{dx} (-\ln f(x))$: 這等於 $-\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$。
4. $\frac{d}{dx} (\log_2 h(x))$: 首先將 $\log_2 u$ 轉換為 $\frac{\ln u}{\ln 2}$。因此，$\frac{d}{dx} (\log_2 h(x)) = \frac{1}{\ln 2} \frac{d}{dx} (\ln h(x)) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{h(x)} \cdot h'(x) = \frac{h'(x)}{h(x) \ln 2}$。
5. $\frac{d}{dx} \left( -\frac{f(x)g(x)}{h(x)} \right)$: 使用商法則。令 $u = -f(x)g(x)$ 且 $v = h(x)$。則 $u' = -(f'(x)g(x) + f(x)g'(x))$ 且 $v' = h'(x)$。

本題考查極限的計算，特別是處理不定型 $\frac{0}{0}$ 的情況，可以透過有理化或視為導數定義來求解。

方法一：有理化
當 $x \to 0$ 時，分子 $\sqrt{x+2} - \sqrt{2} \to \sqrt{0+2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$，分母 $x \to 0$。這是一個 $\frac{0}{0}$ 的不定型。
我們將分子有理化：
$\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}}{x} = \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{2})(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}$
$= \frac{(x+2) - 2}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}$
$= \frac{x}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}$
當 $x \neq 0$ 時，我們可以消去 $x$：
$= \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{2}}$
現在計算極限：

本題考查無窮級數的收斂性，特別是收斂的級數求和。這個級數是一個常見的例子，可以使用部分分式分解和 Telescoping Series (伸縮級數) 的概念來求解。

首先，我們對級數的通項 $\frac{1}{n(n+1)}$ 進行部分分式分解：
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$
將右邊通分：
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A(n+1) + Bn}{n(n+1)}$
令分子相等：
$1 = A(n+1) + Bn$
令 $n=0$，則 $1 = A(0+1) + B(0) \implies A = 1$。
令 $n=-1$，則 $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1$。
所以，
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

現在，我們考慮級數的部分和 $S_N$：

本題考查二項式定理 (Binomial Theorem) 的應用。

二項式定理指出，對於任何非負整數 $n$ 和任意實數 $a, b$，有：
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

觀察題目給出的級數：
$\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$
這個級數的形式與二項式定理的展開式非常相似。
我們可以將其與二項式定理的公式對比：
令 $a = p$ 且 $b = 1-p$。

核心觀念

令

$$g(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\frac{(i\theta)^{x_i}}{x_i!}e^{-i\theta},$$

則

$$f(\theta)=e^{g(\theta)}.$$

本題使用以下觀念：

1. 鏈鎖律：

   $$f'(\theta)=e^{g(\theta)}g'(\theta).$$

2. 因為 $e^{g(\theta)}>0$，所以

   $$f'(\theta)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad g'(\theta)=0.$$

3. 統計模型中 $\lambda=i\theta$ 通常須為正，因此參數域採

   $$\theta>0.$$

解題方法

考慮單獨一項

$$h_i(\theta)=\frac{(i\theta)^{x_i}}{x_i!}e^{-i\theta}.$$

利用乘積法則微分：

$$\begin{aligned} h_i'(\theta) &=\frac{1}{x_i!} \left[ \frac{d}{d\theta}(i\theta)^{x_i}\cdot e^{-i\theta} +(i\theta)^{x_i}\frac{d}{d\theta}e^{-i\theta} \right]\\ &=\frac{1}{x_i!} \left[ x_i i(i\theta)^{x_i-1}e^{-i\theta} -i(i\theta)^{x_i}e^{-i\theta} \right]\\ &=\frac{i(i\theta)^{x_i-1}}{x_i!}e^{-i\theta} \left(x_i-i\theta\right). \end{aligned}$$

因此

$$g'(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \frac{i(i\theta)^{x_i-1}}{x_i!}e^{-i\theta} \left(x_i-i\theta\right).$$

由於 $f(\theta)=e^{g(\theta)}>0$，故臨界點必須滿足

$$\boxed{ \sum_{i=1}^{n} \frac{i(i\theta)^{x_i-1}}{x_i!}e^{-i\theta} \left(x_i-i\theta\right)=0 }.$$

在 $\theta>0$ 且 $x_i$ 為非負整數時，也可將每一項改寫為

核心觀念

本題考查高斯型積分：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\,dt=\sqrt{\pi}$$

以及變數平移與尺度變換。題目中的 $\mu$ 只會造成圖形水平平移，不影響整體面積；$\sigma$ 則決定圖形的寬度。

在統計學中，標準差通常假設 $\sigma>0$。

解題方法

原式為

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(\mu-x)^2}{2\sigma^2}\right)\,dx$$

因為 $(\mu-x)^2=(x-\mu)^2$，令

$$t=\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$$

則

$$x=\mu+\sqrt{2}\sigma t, \qquad dx=\sqrt{2}\sigma\,dt$$

當 $x\to-\infty$ 時，$t\to-\infty$；當 $x\to\infty$ 時，$t\to\infty$。因此

本題考查平面區域面積的計算，需要先找出曲線的交點，然後利用定積分來計算曲線之間的面積。

首先，我們需要找到拋物線 $y = x^2$ 和直線 $y = x + 2$ 的交點。令兩個函數值相等：
$x^2 = x + 2$
將所有項移到一邊，得到一個二次方程式：
$x^2 - x - 2 = 0$
對這個二次方程式進行因式分解：
$(x-2)(x+1) = 0$
因此，交點的 $x$ 坐標是 $x = 2$ 和 $x = -1$。

當 $x = 2$ 時，$y = 2^2 = 4$。交點是 $(2, 4)$。
當 $x = -1$ 時，$y = (-1)^2 = 1$。交點是 $(-1, 1)$。

現在我們知道積分的範圍是從 $x = -1$ 到 $x = 2$。
在給定的區間 $[-1, 2]$ 內，我們需要確定哪一個函數的值比較大，以確定積分的順序。
我們可以測試一個在 $(-1, 2)$ 之間的點，例如 $x=0$。
對於直線，$y = 0 + 2 = 2$。
對於拋物線，$y = 0^2 = 0$。
由於 $2 > 0$，所以在區間 $[-1, 2]$ 內，直線 $y = x + 2$ 在拋物線 $y = x^2$ 的上方。

因此，所圍區域的面積 $A$ 可以通過對兩函數的差在積分區間上進行定積分來計算：
$A = \int_{-1}^{2} (\text{upper curve} - \text{lower curve}) dx$
$A = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) dx$

本題考查泰勒級數 (Taylor series) 的概念，特別是求函數在某點的泰勒展開式。題目要求求 $f(x) = \cos(x)$ 在 $x=0$ 點的泰勒級數，也就是麥克勞林級數 (Maclaurin series)。

函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的泰勒級數由以下公式給出：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
其中 $f^{(n)}(a)$ 是函數 $f(x)$ 的 $n$ 階導數在點 $a$ 的值。

對於 $f(x) = \cos(x)$，我們需要計算它在 $a=0$ 的各階導數。
$f(x) = \cos(x)$
$f'(x) = -\sin(x)$
$f''(x) = -\cos(x)$
$f'''(x) = \sin(x)$
$f^{(4)}(x) = \cos(x)$

我們可以看到導數是週期性的，以 4 為週期循環：$\cos(x), -\sin(x), -\cos(x), \sin(x), \cos(x), \dots$

現在，我們計算這些導數在 $a=0$ 的值：
$f(0) = \cos(0) = 1$
$f'(0) = -\sin(0) = 0$
$f''(0) = -\cos(0) = -1$
$f'''(0) = \sin(0) = 0$
$f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1$

觀察這些值：$1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots$
對於偶數階導數 $f^{(2k)}(0)$，其值為 $(-1)^k$。
對於奇數階導數 $f^{(2k+1)}(0)$，其值為 $0$。

本題考查集合論中的子集概念。一個集合的子集是指該集合中所有元素的組合，包括空集和集合本身。

給定的集合是 $S = \{a, \{a\}, \{\}\}$。
這個集合包含三個元素：

1. 元素 $a$
2. 集合 $\{a\}$
3. 空集 $\{\}$

我們需要找出 $S$ 的所有可能的子集。
一個有 $n$ 個元素的集合，其子集的個數是 $2^n$。
在這個例子中，集合 $S$ 有 3 個元素，所以它應該有 $2^3 = 8$ 個子集。

我們逐一列出所有子集：

1. 空集: 任何集合的子集都包含空集。
   $\{\}$

2. 包含一個元素的子集: 從集合 $S$ 中選取一個元素作為子集。

   • 包含元素 $a$: $\{a\}$
   • 包含元素 $\{a\}$: $\{\{a\}\}$ (注意：這裡的元素是集合 $\{a\}$，所以子集是包含這個集合的集合)
   • 包含元素 $\{\}$: $\{\{\}\}$ (注意：這裡的元素是空集，所以子集是包含空集的集合)

核心觀念

本題考查二變數函數在原點 $(0,0)$ 的多變數 Taylor 展開。若 $f(x,y)$ 在原點附近具有足夠階的連續偏導數，則可將 $f(x,y)$ 表示為各階偏導數所組成的多項式加上餘項。

原點處的函數值為 $f(0,0)$，而各項係數由偏導數在 $(0,0)$ 的值決定。

解題方法

二變數函數在原點的 $n$ 階 Taylor 公式為

$$f(x,y) = \sum_{i+j\le n} \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^i\partial y^j}(0,0) x^i y^j + R_n(x,y),$$

其中 $i,j$ 為非負整數，$R_n(x,y)$ 為餘項。

將前幾階展開，可寫成

$$\begin{aligned} f(x,y) ={}& f(0,0)\\ &+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y\\ &+\frac{1}{2!} \left[ f_{xx}(0,0)x^2 +2f_{xy}(0,0)xy +f_{yy}(0,0)y^2 \right]\\ &+\frac{1}{3!} \left[ f_{xxx}(0,0)x^3 +3f_{xxy}(0,0)x^2y +3f_{xyy}(0,0)xy^2 +f_{yyy}(0,0)y^3 \right]\\ &+\cdots+R_n(x,y). \end{aligned}$$

若題目所稱的 Taylor's formula 是指完整的無窮級數形式，則可表示為

$$f(x,y) = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^i\partial y^j}(0,0) x^i y^j.$$

此式也可依總次數排列為