109 年 國立高雄大學統計學研究所碩士班《微積分》

此題考查可導性與連續性的關係。

核心觀念：一個函數在某點可導，則必定在該點連續。但是，一個函數在某點連續，不一定在該點可導。

詳解：
若函數 $f$ 在點 $a$ 可導，則表示 $f'(a)$ 存在，即極限
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
存在。
我們需要證明 $f$ 在點 $a$ 連續，即 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，或者等價地 $\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$。
考慮 $\lim_{h \to 0} (f(a+h) - f(a))$。
$\lim_{h \to 0} (f(a+h) - f(a)) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \cdot h$
由於 $f$ 在點 $a$ 可導，所以 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$ 存在（為一有限值）。
又 $\lim_{h \to 0} h = 0$。
因此，根據極限的乘法性質：

此題考查泰勒展開的條件。

核心觀念：函數在某點的泰勒展開的階數，與該函數在該點的可導次數有關，但並非直接決定展開的「最大」階數。泰勒展開式本身可以有無窮多項，重點在於「是否能展開」以及「餘項的性質」。

詳解：
如果一個函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處至少可導 $n$ 次，則我們可以在點 $a$ 處寫出其 $n$ 階泰勒多項式：
$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
而函數 $f(x)$ 可以表示為 $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$，其中 $R_n(x)$ 是餘項。
若函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處可以進行 $n$ 階泰勒展開，意味著 $f^{(k)}(a)$ 對於 $k = 0, 1, \dots, n$ 都存在。
題目說「函數於某點為 $n$ 次可導」，這通常指的是函數在該點至少有 $n$ 階導數存在。

然而，泰勒展開到 $(n+1)$ 階，需要函數在該點至少有 $(n+1)$ 階導數存在。
如果函數只保證在某點 $n$ 次可導，我們只能確保寫出 $n$ 階泰勒多項式，並且餘項 $R_n(x)$ 具有某種形式。
例如，拉格朗日餘項的形式為 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$，其中 $c$ 是介於 $a$ 和 $x$ 之間的某個值。這個形式要求 $f^{(n+1)}(x)$ 在點 $a$ 的某鄰域內存在。

如果函數恰好是 $n$ 次可導，也就是說 $f^{(n)}(a)$ 存在，但 $f^{(n+1)}(a)$ 可能不存在。
例如，考慮函數 $f(x) = x^3$ 在 $a=0$ 點。
$f(x) = x^3$
$f'(x) = 3x^2$
$f''(x) = 6x$
$f'''(x) = 6$
$f^{(4)}(x) = 0$
$f^{(5)}(x) = 0$, 依此類推。
對 $n=2$ 而言，函數 $f(x)=x^3$ 在 $a=0$ 點是 3 次可導（因為 $f'''(0)=6$ 存在）。
$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=6$。
$n=2$ 階泰勒展開式為 $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 0 + 0 \cdot x + \frac{0}{2}x^2 = 0$。

此題考查可導性與可微性的關係。

核心觀念：對於一元函數，可導性與可微性是等價的。

詳解：
對於一元函數 $f(x)$，在點 $a$ 可導的定義是：
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
存在。

而函數 $f(x)$ 在點 $a$ 可微的定義是：
存在一個常數 $A$ 和一個函數 $\epsilon(h)$，使得當 $h \to 0$ 時 $\epsilon(h) \to 0$，並且
$f(a+h) - f(a) = A \cdot h + \epsilon(h) \cdot h$
我們可以將右式除以 $h$：
$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = A + \epsilon(h)$
當 $h \to 0$ 時，取極限：

此題考查數列有界性的定義。

核心觀念：有界數列的定義是同時有上界和下界。

詳解：
一個數列 $\{a_n\}$ 被稱為「有上界」(upper bounded) 如果存在一個實數 $M$ 使得對於所有的 $n \in \mathbb{N}$，都有 $a_n \le M$。
一個數列 $\{a_n\}$ 被稱為「有下界」(lower bounded) 如果存在一個實數 $m$ 使得對於所有的 $n \in \mathbb{N}$，都有 $a_n \ge m$。
一個數列 $\{a_n\}$ 被稱為「有界數列」(bounded sequence) 如果它「既有上界又有下界」。換句話說，存在實數 $m$ 和 $M$ 使得對於所有的 $n \in \mathbb{N}$，都有 $m \le a_n \le M$。

題目敘述「若一數列(sequences)有上界(upper bounded),則此數列被稱為有界數列(bounded sequences)」。
這只滿足了有界數列的一半條件（有上界），而沒有提到有下界。
例如，數列 $a_n = -n$。
對於任何實數 $M$，總可以找到一個 $n$ 使得 $-n < M$。所以它沒有上界。
但是，它有下界，例如 $m = -100$，則對所有 $n \in \mathbb{N}$，$-n \le -1 \le -100$ 是錯誤的。
例如，數列 $a_n = -n$。

此題考查級數發散與數列極限的關係。

核心觀念：級數 $\sum a_n$ 發散的充要條件之一是其數列的極限 $a_n$ 不存在或不為零。

詳解：
考慮級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。
令其部分和為 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$。
級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 發散，意味著其部分和數列 $\{S_N\}$ 的極限不存在，或者極限值不是一個有限實數。

級數發散的「必要條件」是：如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 發散，則 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 不存在或 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$。
這個條件通常稱為「級數收斂的必要條件」，其逆否命題是「如果 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，則級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收斂」。這個逆否命題是錯誤的。

級數收斂的「充要條件」是：級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收斂 $\iff$ 其部分和數列 $\{S_N\}$ 收斂到一個有限值 $S$。

由級數收斂的充要條件，我們可以推導出級數發散的條件。
如果級數 $\sum a_n$ 發散，則部分和數列 $\{S_N\}$ 的極限不存在（或為 $\pm \infty$）。

現在來看題目敘述：「若一級數 $\sum a_n$ 發散，則 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 不存在。」
這句話是不完全正確的。

核心觀念

本題考查二重積分的基本性質：

1. 面積為 $0$ 的區域，其可積函數的二重積分為 $0$。
2. 積分區域的可加性，必須注意區域是否有重疊。
3. 絕對值不等式：
   $\left|\iint_D h(x,y)\,dxdy\right|\leq \iint_D |h(x,y)|\,dxdy.$
4. $\iint_D 1\,dxdy$ 等於區域 $D$ 的面積。

選項分析

(A) 正確

若區域 $D$ 的面積為 $0$，且 $f$ 在 $D$ 上可積，則由積分的估計性質：

$$\left|\iint_D f(x,y)\,dxdy\right| \leq \iint_D |f(x,y)|\,dxdy=0.$$

因此：

$$\iint_D f(x,y)\,dxdy=0.$$

所以 (A) 正確。

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(B) 錯誤

題目僅說：

$$D=D_1\cup D_2,$$

但沒有說明 $D_1$ 與 $D_2$ 不重疊。若兩區域有重疊部分，直接相加會將重疊區域計算兩次。

正確的區域可加性通常需要 $D_1,D_2$ 的內部不相交，或需扣除重疊部分：

$$\iint_{D_1\cup D_2} f\,dxdy = \iint_{D_1}f\,dxdy+\iint_{D_2}f\,dxdy -\iint_{D_1\cap D_2}f\,dxdy.$$

因此依題面原文，(B) 錯誤。

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(C) 正確

由二重積分的線性性質：

$$\iint_D(f+g)\,dxdy = \iint_D f\,dxdy+\iint_D g\,dxdy.$$

再利用三角不等式：

此題考查奇函數的定義。

核心觀念：一個函數 $f(x)$ 被稱為奇函數，如果對於定義域內的所有 $x$，都滿足 $f(-x) = -f(x)$。

詳解：
我們逐一檢驗選項：
(A) $f(x) = \sin(x)$
檢查 $f(-x)$：$\sin(-x) = -\sin(x)$。
由於 $f(-x) = -\sin(x) = -f(x)$，所以 $\sin(x)$ 是奇函數。

(B) $f(x) = x^3$
檢查 $f(-x)$：$(-x)^3 = -x^3$。
由於 $f(-x) = -x^3 = -f(x)$，所以 $x^3$ 是奇函數。

(C) $f(x) = 0$
檢查 $f(-x)$：$0$。
由於 $f(-x) = 0 = -0 = -f(x)$，所以常數函數 $0$ 是奇函數。

(D) $f(x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$
檢查 $f(-x)$：$(\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = (\sin x)^2$。
由於 $f(-x) = \sin^2 x = f(x)$，所以 $\sin^2 x$ 是偶函數，不是奇函數。

題目問「下列何者為奇函數」。選項 (A), (B), (C) 都是奇函數。
這又是一個「多選」但格式為「單選」的題目。
由於題目形式是單選，且允許多選（「全對方給分」），這表示如果選對了其中一個，就可以得分。
在這種情況下，題目可能期望選出「所有」奇函數，或者認為其中某個選項是「最」典型的奇函數。
通常，如果有多個正確答案，會明確標示為「多選題」。
如果這是單選題，則題目本身有問題。

我將列出所有奇函數。
(A) $\sin(x)$ 是奇函數。
(B) $x^3$ 是奇函數。
(C) $0$ 是奇函數。

此題考查奇函數與偶函數的性質。

核心觀念：奇函數與偶函數的定義、積分性質，以及導數與函數奇偶性的關係。

詳解：
我們逐一檢驗選項。

(A) 若函數f(x)為奇函數,則∫ f(x)dx = 0°
這個敘述不完整，積分的範圍很重要。
如果函數 $f(x)$ 是奇函數，那麼對於對稱的積分區間 $[-a, a]$，積分值為零。即：若 $f(-x) = -f(x)$，則 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
但是，如果積分範圍不是對稱的，例如 $\int_{0}^{1} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{4} \neq 0$。
因此，選項 (A) 的敘述是錯誤的，因為缺少了積分區間必須是對稱區間的條件。

(B) 若函數g(x)為偶函數(even function),則∫ g(x)dx = 2 ∫ g(x)dx°
-π
這個敘述也是不完整的。
如果函數 $g(x)$ 是偶函數，那麼對於對稱的積分區間 $[-a, a]$，積分值滿足 $\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} g(x) \, dx$。
選項中給出的積分範圍是 $[-\pi, \pi]$，這是對稱區間。
然而，右邊的積分範圍是 $[0, \pi]$。
所以，若 $g(x)$ 是偶函數，則 $\int_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} g(x) \, dx$。
此敘述是正確的，它給出了對稱積分區間的計算方法。
（注意：選項的寫法 $\int_{-\pi}^{\pi} g(x)dx = 2 \int_{0}^{\pi} g(x)dx$ 是正確的。右邊的積分符號後面漏寫了 $dx$，但根據上下文可以理解。）

(C) 承(A)、(B),則∫ f(x)g(x)dx = 0。
-π
這裡的「承(A)、(B)」可能意味著：假設 $f(x)$ 是奇函數，$g(x)$ 是偶函數，並且積分範圍是對稱的。
如果 $f(x)$ 是奇函數，且 $g(x)$ 是偶函數，那麼 $h(x) = f(x)g(x)$ 的奇偶性是：
$h(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(g(x)) = -f(x)g(x) = -h(x)$。
所以，乘積 $f(x)g(x)$ 是一個奇函數。
對於一個奇函數，在對稱區間 $[-a, a]$ 上的積分值為零。
因此，若 $f(x)$ 是奇函數， $g(x)$ 是偶函數，則 $\int_{-a}^{a} f(x)g(x) \, dx = 0$。
這裡的積分範圍是 $[-\pi, \pi]$，是對稱區間。
所以，這個敘述是正確的。

(D) 承(A),若f(x)為一可導函數,則其導數亦為奇函數。
這個敘述是錯誤的。
如果 $f(x)$ 是奇函數，則 $f(-x) = -f(x)$。
我們對兩邊同時對 $x$ 求導：
$\frac{d}{dx} f(-x) = \frac{d}{dx} (-f(x))$
利用連鎖律：$f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)$
$-f'(-x) = -f'(x)$
$f'(-x) = f'(x)$。
這表示 $f'(x)$ 是一個偶函數。
例如，考慮奇函數 $f(x) = x^3$。其導數是 $f'(x) = 3x^2$，這是一個偶函數。
因此，若 $f(x)$ 是奇函數且可導，則其導數 $f'(x)$ 是偶函數，而不是奇函數。
選項 (D) 的敘述是錯誤的。

我們現在有選項 (B) 和 (C) 是正確的，選項 (A) 和 (D) 是錯誤的。
題目問「下列敘述何者正確」。
那麼，應該是 (B) 和 (C) 都是正確的。
然而，這是一個單選題的格式。
我需要仔細檢查是否有誤讀。

(A) $\int f(x) dx = 0$。 缺少對稱區間。錯誤。
(B) $\int_{-\pi}^{\pi} g(x)dx = 2 \int_{0}^{\pi} g(x)dx$。 $g(x)$ 是偶函數。這是一個標準的性質，正確。
(C) $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx = 0$。 $f$ 奇，$g$ 偶。則 $fg$ 奇。在對稱區間積分為零。正確。
(D) $f$ 奇可導 $\implies f'$ 奇。 實際上 $f'$ 是偶。錯誤。

核心觀念

本題主要考查：

1. 絕對值數列極限的性質。
2. 夾擠定理。
3. 函數極限與數列極限的關係。

重要定理如下：

• 若 $a_n\to L$，則 $|a_n|\to |L|$；反向推論一般不成立。
• 若 $|b_n|\le c_n$ 且 $c_n\to 0$，則由夾擠定理可得 $b_n\to 0$。
• 若 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$，且 $x_n\to\infty$，則 $$f(x_n)\to L.$$ 但函數極限不存在，不能直接推出某一特定數列所對應的函數值數列不收斂。

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解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述定理。對於錯誤敘述，提供反例即可否定其普遍性。

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選項分析

(A) 若 $d\in\mathbb R$，且

$$\lim_{n\to\infty}|a_n|=d,$$

則 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=d$。

此敘述錯誤。絕對值數列收斂，不代表原數列收斂。例如令

$$a_n=(-1)^n.$$

則

$$|a_n|=1,$$

所以

$$\lim_{n\to\infty}|a_n|=1.$$

但 $a_n$ 在 $1$ 與 $-1$ 之間交替，沒有極限。因此不能由 $|a_n|\to d$ 推出 $a_n\to d$。

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(B) 若

$$|b_n|\le c_n,\qquad c_n\to 0,$$

則

$$b_n\to 0.$$

此敘述正確。由絕對值定義可知

$$-|b_n|\le b_n\le |b_n|.$$

又因為

$$|b_n|\le c_n,$$

可得

$$-c_n\le b_n\le c_n.$$

由 $c_n\to 0$，同時有

$$-c_n\to 0,\qquad c_n\to 0.$$

因此由夾擠定理，

此題考查級數的斂散性判別。

核心觀念：p-級數、幾何級數、比值檢驗法、根值檢驗法、p-級數判別法、比較檢驗法、極限比較檢驗法。

詳解：
我們逐一判別各級數的斂散性。

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
這是調和級數 (Harmonic Series)，是一個發散的 p-級數，其中 $p=1$。
或者，可以使用積分檢驗法：$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{1}^{\infty} = \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln 1) = \infty$。
由於積分發散，級數也發散。
所以，選項 (A) 是發散的。

(B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\pi}}$
這是一個 p-級數，其中 $p = \pi$。
由於 $\pi \approx 3.14159 > 1$，所以此級數收斂。
根據 p-級數判別法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 當 $p > 1$ 時收斂，當 $p \le 1$ 時發散。

(C) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{\pi^{n+3}}$
這個級數可以改寫成：

此題考查可導性與導數的定義。

核心觀念：理解微積分中兩個基本定義：可導性與導數。

詳解：
對於一個實變數函數 $f(x)$，在某一點 $a$ 處滿足下列條件，則稱 $f(x)$ 在點 $a$ 是可導函數 (differentiable function)：
存在一個實數 $L$，使得
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = L$
這個極限值 $L$ 就是函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處的導數 (derivative)，記作 $f'(a)$。

更嚴謹地說，函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處可導，是指存在一個實數 $f'(a)$，使得：
$f(a+h) - f(a) = f'(a) \cdot h + \epsilon(h) \cdot h$

此題考查泰勒級數的定義。

核心觀念：一個無窮可導函數在某點的泰勒級數是其所有階導數在該點的泰勒展開式。

詳解：
若一個實變數函數 $f(x)$ 在實數域 $\mathbb{R}$ 上為無窮可導函數（即對於所有正整數 $n$，其 $n$ 階導數 $f^{(n)}(x)$ 都存在），則對於該函數在點 $a \in \mathbb{R}$ 處的泰勒級數 (Taylor series) 定義如下：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
其中，$f^{(0)}(a)$ 表示 $f(a)$。

核心觀念

本題考查兩個概念：

1. 偏導數存在：固定另一個變數，利用單變數極限定義。
2. 全微分（可微）存在：須存在線性函數 $L(h,k)$，使得

$$f(h,k)-f(0,0)=L(h,k)+o\left(\sqrt{h^2+k^2}\right).$$

若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，則必連續。因此，只要證明 $f$ 在 $(0,0)$ 不連續，即可推出 $f$ 不可微。

題目中的函數為

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\ne 0,\\ 0, & x^2+y^2=0. \end{cases}$$

其中 $f(0,0)=0$。

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解題方法一：證明兩個偏導數存在

$x$ 方向的偏導數

依偏導數定義，

$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.$$

因為

$$f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{h^2+0^2}=0,$$

且 $f(0,0)=0$，所以

$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h} =0.$$

因此，$x$ 方向的偏導數存在，且

$$f_x(0,0)=0.$$

$y$ 方向的偏導數

同理，

$$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}.$$

因為

$$f(0,k)=\frac{0\cdot k}{0^2+k^2}=0,$$

故

$$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{0-0}{k} =0.$$

因此，$y$ 方向的偏導數也存在，且

$$f_y(0,0)=0.$$

所以，$f$ 在 $(0,0)$ 的兩個偏導數皆存在。

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解題方法二：證明函數在原點不連續

考慮沿著直線 $y=x$ 趨近原點。當 $x\ne 0$ 時，

$$f(x,x) = \frac{x\cdot x}{x^2+x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac12.$$

因此，

此題考查高斯積分及其變換。

核心觀念：利用參數微分法或變數代換法來計算與高斯積分相關的積分。

詳解：
已知高斯積分：$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$。
題目給的 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$。
（注意：題目寫 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2}dx = \sqrt{\pi/2}$，這是一個常用的結果，因為 $e^{-x^2/2}$ 是偶函數，所以 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} dx = 2 \sqrt{\pi/2} = \sqrt{2\pi}$。題目給的是 $\sqrt{\pi/2}$，這意味著積分範圍是 $[0, \infty)$。但是，常見的高斯積分是 $(-\infty, \infty)$。我先假設題目給的 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2}dx = \sqrt{\pi/2}$ 是正確的，並且我們需要計算 $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$。如果題目給的範圍是 $[0, \infty)$，那麼我們計算的結果也應該是針對 $[0, \infty)$ 或 $(-\infty, \infty)$。通常這種問題會要求計算 $(-\infty, \infty)$ 的積分。我先按 $(-\infty, \infty)$ 來計算。）

令 $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$。
我們要求計算 $J = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx$。

方法一：參數微分法。
考慮積分 $I(a) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx$。
我們知道，令 $u = \sqrt{a}x$，則 $du = \sqrt{a} \, dx$。
$I(a) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \, du = \frac{1}{\sqrt{a}} \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$。
這裡的 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \, du = \sqrt{\pi}$ 是標準高斯積分。

我們需要計算 $J = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx$。
可以將 $e^{-2x^2}$ 寫成 $e^{-ax^2}$ 的形式，其中 $a=2$。
考慮 $I(a) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$。
對 $I(a)$ 關於 $a$ 微分：
$\frac{dI}{da} = \frac{d}{da} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} (e^{-ax^2}) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} (-x^2 e^{-ax^2}) \, dx$
同時，$\frac{d}{da} \sqrt{\frac{\pi}{a}} = \sqrt{\pi} \frac{d}{da} a^{-1/2} = \sqrt{\pi} (-\frac{1}{2} a^{-3/2}) = -\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$。
所以，$\int_{-\infty}^{\infty} -x^2 e^{-ax^2} \, dx = -\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$。
$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$。

現在將 $a=2$ 代入：
$J = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2(2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{8}$。

方法二：變數代換。
我們需要計算 $J = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx$。
令 $u = \sqrt{2}x$。則 $x = \frac{u}{\sqrt{2}}$， $dx = \frac{1}{\sqrt{2}} du$。
當 $x \to \pm \infty$， $u \to \pm \infty$。
$x^2 = \frac{u^2}{2}$。
$e^{-2x^2} = e^{-2(u^2/2)} = e^{-u^2}$。
所以，
$J = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{u^2}{2}\right) e^{-u^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} du\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-u^2} \, du$。

現在我們需要計算 $\int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-u^2} \, du$。
這個積分可以通過對高斯積分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \, du = \sqrt{\pi}$ 進行參數微分來得到。
令 $K(a) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-au^2} \, du = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$。
對 $K(a)$ 關於 $a$ 微分：
$\frac{dK}{da} = \int_{-\infty}^{\infty} -u^2 e^{-au^2} \, du = -\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$。
所以，$\int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-au^2} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$。
令 $a=1$：
$\int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-u^2} \, du = \frac{\sqrt{\pi}}{2(1)^{3/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

將此結果代回 J 的計算：
$J = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{8}$。

兩個方法得到相同的結果。

關於題目給的 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2}dx = \sqrt{\pi/2}$。
如果我們計算的是 $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$，則結果應該是 $\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2\pi}}{8} = \frac{\sqrt{2\pi}}{16}$。
但是，題目問的是 $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$。
所以，我們使用 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}$。

驗證一下題目給的 $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2}dx = \sqrt{\pi/2}$。
令 $y = x^2/2$, $dy = x dx$。這不是好的代換。
令 $u = x/\sqrt{2}$, $du = dx/\sqrt{2}$。
$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} (\sqrt{2} du) = \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$。
這個結果是正確的。

那麼，我們計算的 $J = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{8}$。
由於 $x^2 e^{-2x^2}$ 是偶函數，所以 $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx$。
所以 $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} \, dx = \frac{1}{2} J = \frac{\sqrt{2\pi}}{16}$。

題目問的是 $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2x^2} dx$。
所以我們需要使用 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$。

此題考查多重積分的計算，特別是利用對稱性簡化積分。

核心觀念：區域的對稱性、奇函數與偶函數在積分中的應用。

詳解：
我們要求計算在單位圓盤 $D = \{(x,y) | x^2+y^2 \le 1\}$ 上的重積分：
$I = \iint_D (\sin(x) + y^3 + 3) \, dxdy$
我們可以將積分拆分成三個部分：
$I = \iint_D \sin(x) \, dxdy + \iint_D y^3 \, dxdy + \iint_D 3 \, dxdy$

1. 計算 $\iint_D \sin(x) \, dxdy$：
   被積函數 $f(x,y) = \sin(x)$。
   考慮函數 $f(x,y)$ 對於 $x$ 的奇偶性。如果我們固定 $y$，則 $\sin(x)$ 是一個奇函數。
   積分區域 $D$ 是單位圓盤，它關於 $y$ 軸是對稱的。也就是說，如果 $(x,y) \in D$，那麼 $(-x,y) \in D$。
   對於積分 $\iint_D \sin(x) \, dxdy$，我們可以利用對稱性。
   令 $D_1 = \{(x,y) \in D | x > 0\}$ 和 $D_2 = \{(x,y) \in D | x < 0\}$。
   則 $\iint_D \sin(x) \, dxdy = \iint_{D_1} \sin(x) \, dxdy + \iint_{D_2} \sin(x) \, dxdy$。
   在 $D_2$ 上，令 $x' = -x$。則 $dx' = -dx$。當 $x$ 從負值趨近於 0 時，$x'$ 從正值趨近於 0。
   $\iint_{D_2} \sin(x) \, dxdy = \iint_{D_1'} \sin(-x') \, dx'dy$ (其中 $D_1'$ 是對應的區域)。
   由於 $\sin(-x') = -\sin(x')$，所以 $\iint_{D_2} \sin(x) \, dxdy = \iint_{D_1'} -\sin(x') \, dx'dy = -\iint_{D_1} \sin(x) \, dxdy$。
   因此，$\iint_D \sin(x) \, dxdy = \iint_{D_1} \sin(x) \, dxdy - \iint_{D_1} \sin(x) \, dxdy = 0$。