108 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《熱力學（C）》

本題考驗氣體作功、膨脹過程的熱力學分析，以及理想氣體狀態方程式的應用。

核心觀念：

1. 氣體作功：$W = \int P \, dV$
2. 理想氣體狀態方程式：$PV = nRT$
3. 氣體體積與球體直徑的關係：$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}d^3$
4. 能量守恆定律：$\Delta U = Q - W$

解題步驟：

首先，我們需要將題目給定的狀態 1 和狀態 2 的參數整理出來。

狀態 1：
直徑 $d_1 = 0.3 \, \text{m}$
壓力 $P_1 = 150 \, \text{kPa} = 150 \times 10^3 \, \text{Pa}$
莫耳數 $n = 0.5 \, \text{mol}$

狀態 2：
直徑 $d_2 = 0.4 \, \text{m}$
壓力 $P_2 = 200 \, \text{kPa} = 200 \times 10^3 \, \text{Pa}$

過程中，壓力與直徑成正比，即 $P \propto d$。由於直徑與體積的關係為 $V \propto d^3$，因此壓力與體積的關係並非簡單的線性關係。我們可以推導出壓力與體積的關係式。

由 $P \propto d$ 可知 $P = kd$ 對於某個常數 $k$。
又 $d = (\frac{6V}{\pi})^{1/3}$，所以 $P = k (\frac{6V}{\pi})^{1/3}$。
這表示 $P^3 \propto V$。

然而，題目也給了 P-V 圖，圖中顯示了從狀態 1 到狀態 2 的過程，壓力從 $P_1$ 上升到 $P_2$，體積從 $V_1$ 上升到 $V_2$。圖中 P-V 曲線是彎曲的，這與 $P \propto d$ 的關係是相符的，因為 $P = k d$ 且 $V = \frac{\pi}{6} d^3$。從 $d = (\frac{6V}{\pi})^{1/3}$，我們有 $P = k (\frac{6V}{\pi})^{1/3}$。
我們可以利用狀態 1 和狀態 2 的數據來求出常數 $k$。
$P_1 = k d_1 \implies k = \frac{P_1}{d_1} = \frac{150 \times 10^3 \, \text{Pa}}{0.3 \, \text{m}} = 500 \times 10^3 \, \text{Pa/m}$
$P_2 = k d_2 \implies k = \frac{P_2}{d_2} = \frac{200 \times 10^3 \, \text{Pa}}{0.4 \, \text{m}} = 500 \times 10^3 \, \text{Pa/m}$
常數 $k$ 確實一致。

因此，在過程中，$P = (500 \times 10^3 \, \text{Pa/m}) \times d$。
而體積 $V = \frac{\pi}{6} d^3$。
我們可以將 $d$ 表示為 $d = \frac{P}{k}$。
則 $V = \frac{\pi}{6} (\frac{P}{k})^3 = \frac{\pi}{6k^3} P^3$。
這表示 $V \propto P^3$。

(a) 氣體作功 $W_{gas}$：
$W_{gas} = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
我們需要先計算狀態 1 和狀態 2 的體積 $V_1$ 和 $V_2$。
$V_1 = \frac{\pi}{6} d_1^3 = \frac{\pi}{6} (0.3 \, \text{m})^3 = \frac{\pi}{6} (0.027) \, \text{m}^3 \approx 0.0141 \, \text{m}^3$
$V_2 = \frac{\pi}{6} d_2^3 = \frac{\pi}{6} (0.4 \, \text{m})^3 = \frac{\pi}{6} (0.064) \, \text{m}^3 \approx 0.0335 \, \text{m}^3$

由於 $P = k d$ 且 $V = \frac{\pi}{6} d^3$，我們可以將積分變數從 $V$ 改為 $d$。
$dV = \frac{\pi}{6} (3d^2) \, dd = \frac{\pi}{2} d^2 \, dd$
$W_{gas} = \int_{d_1}^{d_2} (kd) (\frac{\pi}{2} d^2 \, dd) = \frac{k\pi}{2} \int_{d_1}^{d_2} d^3 \, dd$
$W_{gas} = \frac{k\pi}{2} [\frac{d^4}{4}]_{d_1}^{d_2} = \frac{k\pi}{8} (d_2^4 - d_1^4)$
代入 $k = 500 \times 10^3 \, \text{Pa/m}$：
$W_{gas} = \frac{(500 \times 10^3 \, \text{Pa/m})\pi}{8} ((0.4 \, \text{m})^4 - (0.3 \, \text{m})^4)$
$W_{gas} = \frac{500\pi}{8} \times 10^3 \, \text{Pa/m} \, (\text{m}^4)$
$W_{gas} = 62.5\pi \times 10^3 \, \text{Pa} \, \text{m}^3 \times (0.0256 - 0.0081) \, \text{m}^4$
$W_{gas} = 62.5\pi \times 10^3 \times (0.0256 - 0.0081) \, \text{J}$
$W_{gas} = 62.5\pi \times 10^3 \times 0.0175 \, \text{J}$
$W_{gas} \approx 62.5 \times 3.14159 \times 17.5 \, \text{J} \approx 3436 \, \text{J}$

另一種方法是利用 $V \propto P^3$，即 $V = C P^3$。
$C = \frac{\pi}{6k^3} = \frac{\pi}{6(500 \times 10^3)^3}$
$V_1 = C P_1^3$
$V_2 = C P_2^3$
$dV = 3 C P^2 dP$
$W_{gas} = \int_{P_1}^{P_2} P (3 C P^2 dP) = 3 C \int_{P_1}^{P_2} P^3 dP = 3 C [\frac{P^4}{4}]_{P_1}^{P_2} = \frac{3C}{4} (P_2^4 - P_1^4)$
$C = \frac{V_1}{P_1^3} = \frac{0.0141}{(150 \times 10^3)^3}$
$W_{gas} = \frac{3}{4} \frac{V_1}{P_1^3} (P_2^4 - P_1^4) = \frac{3}{4} V_1 (\frac{P_2^4}{P_1^4} - 1)$
$W_{gas} = \frac{3}{4} V_1 ((\frac{P_2}{P_1})^4 - 1)$
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{200}{150} = \frac{4}{3}$
$W_{gas} = \frac{3}{4} V_1 ((\frac{4}{3})^4 - 1) = \frac{3}{4} V_1 (\frac{256}{81} - 1) = \frac{3}{4} V_1 (\frac{256-81}{81}) = \frac{3}{4} V_1 (\frac{175}{81})$
$W_{gas} = \frac{3 \times 175}{4 \times 81} V_1 = \frac{525}{324} V_1 \approx 1.62 V_1$
$W_{gas} \approx 1.62 \times 0.0141 \, \text{m}^3 \times 150 \times 10^3 \, \text{Pa} \approx 3436 \, \text{J}$

或者，直接從 P-V 圖的面積來計算。圖中顯示的是一條彎曲的線，代表 $P \propto d$。
我們可以利用 $P = kd$ 和 $V = \frac{\pi}{6} d^3$ 來計算。
$P_1 = 150 \, \text{kPa}$, $d_1 = 0.3 \, \text{m}$
$P_2 = 200 \, \text{kPa}$, $d_2 = 0.4 \, \text{m}$
$V_1 = \frac{\pi}{6} (0.3)^3 \approx 0.014137 \, \text{m}^3$
$V_2 = \frac{\pi}{6} (0.4)^3 \approx 0.03351 \, \text{m}^3$
$k = \frac{P_1}{d_1} = \frac{150 \times 10^3}{0.3} = 5 \times 10^5 \, \text{Pa/m}$

$W_{gas} = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
由於 $P = kd$，我們可以將 $P$ 用 $d$ 表示，然後積分。
$W_{gas} = \int_{d_1}^{d_2} (kd) (\frac{\pi}{2} d^2 \, dd) = \frac{k\pi}{2} \int_{d_1}^{d_2} d^3 \, dd = \frac{k\pi}{8} (d_2^4 - d_1^4)$

本題考驗熱平衡、相變以及熵變的計算。

(a) 熱平衡狀態的判斷

核心觀念：

1. 熱傳導：熱量從高溫物體傳向低溫物體，直到溫度相等為止。
2. 相變：固態（冰）變為液態（水）需要吸收潛熱。
3. 比熱：溫度變化時，吸收或放出熱量的比例。
4. 能量守恆：系統內總能量不變，熱量交換遵循 $Q = mc\Delta T$ 或 $Q = mL_f$。

解題步驟：
首先，我們需要計算將冰加熱到 0°C 所需的熱量，以及將水冷卻到 0°C 所能放出的熱量，並比較兩者，以判斷最終的熱平衡狀態。

已知參數：
冰的質量 $m_{ice} = 50 \, \text{g}$
冰的初始溫度 $T_{ice,i} = -20^\circ\text{C}$
水的質量 $m_{water} = 100 \, \text{g}$
水的初始溫度 $T_{water,i} = 10^\circ\text{C}$
冰的熔化潛熱 $L_f = 333 \, \text{J/g}$
冰的比熱 $c_{ice} = 2.22 \, \text{J/(g}\cdot^\circ\text{C)}$
水的比熱 $c_{water} = 4.19 \, \text{J/(g}\cdot^\circ\text{C)}$

步驟 1：計算將冰從 -20°C 加熱到 0°C 所需的熱量 $Q_{ice \to 0^\circ\text{C}}$。
$Q_{ice \to 0^\circ\text{C}} = m_{ice} \times c_{ice} \times (0^\circ\text{C} - (-20^\circ\text{C}))$
$Q_{ice \to 0^\circ\text{C}} = 50 \, \text{g} \times 2.22 \, \text{J/(g}\cdot^\circ\text{C)} \times 20^\circ\text{C}$
$Q_{ice \to 0^\circ\text{C}} = 50 \times 2.22 \times 20 \, \text{J} = 2220 \, \text{J}$

步驟 2：計算將 50g 冰在 0°C 時完全熔化成水所需的最大熱量 $Q_{melt}$。
$Q_{melt} = m_{ice} \times L_f$
$Q_{melt} = 50 \, \text{g} \times 333 \, \text{J/g} = 16650 \, \text{J}$

步驟 3：計算將 100g 水從 10°C 冷卻到 0°C 所能放出的熱量 $Q_{water \to 0^\circ\text{C}}$。
$Q_{water \to 0^\circ\text{C}} = m_{water} \times c_{water} \times (0^\circ\text{C} - 10^\circ\text{C})$
$Q_{water \to 0^\circ\text{C}} = 100 \, \text{g} \times 4.19 \, \text{J/(g}\cdot^\circ\text{C)} \times (-10^\circ\text{C})$
$Q_{water \to 0^\circ\text{C}} = -4190 \, \text{J}$
（負號表示放熱）
所以，水能放出的熱量為 $4190 \, \text{J}$。

比較熱量：
將冰加熱到 0°C 需要 $2220 \, \text{J}$。
水冷卻到 0°C 可以放出 $4190 \, \text{J}$。

由於水能放出的熱量 ($4190 \, \text{J}$) 大於將冰加熱到 0°C 所需的熱量 ($2220 \, \text{J}$)，所以冰會先完全融化成水，並且還會有一部分熱量剩餘。
剩餘的熱量 $Q_{rem} = Q_{water \to 0^\circ\text{C}} - Q_{ice \to 0^\circ\text{C}} = 4190 \, \text{J} - 2220 \, \text{J} = 1970 \, \text{J}$。

這 $1970 \, \text{J}$ 的熱量將用於熔化冰。
但是，熔化 50g 冰需要 $16650 \, \text{J}$，而我們只有 $1970 \, \text{J}$ 的熱量。
這表示冰不能完全熔化。

因此，最終的熱平衡狀態是部分冰融化成水，並且冰、水混合物的溫度為 0°C。

計算有多少冰融化：
設有 $m_{melt}$ 克冰融化。
$m_{melt} \times L_f = Q_{rem}$
$m_{melt} \times 333 \, \text{J/g} = 1970 \, \text{J}$
$m_{melt} = \frac{1970}{333} \, \text{g} \approx 5.916 \, \text{g}$

所以，最終狀態是：

• 有 $5.916 \, \text{g}$ 的冰融化成水。
• 剩餘的冰量為 $50 \, \text{g} - 5.916 \, \text{g} = 44.084 \, \text{g}$。
• 原來的水量為 $100 \, \text{g}$，加上融化的冰產生的水 $5.916 \, \text{g}$，總水量為 $100 \, \text{g} + 5.916 \, \text{g} = 105.916 \, \text{g}$。

本題要求描述四種熱力學循環在 P-V 圖上的各個階段。

核心觀念：

1. P-V 圖：橫軸為體積 V，縱軸為壓力 P，圖中曲線下的面積代表系統對外作的功。
2. 熱力學循環：一系列過程，結束時系統回到初始狀態，用於將熱能轉化為機械功。
3. 等溫過程：溫度恆定，理想氣體在此過程中 $PV = \text{const}$。
4. 絕熱過程：系統與外界無熱交換 ($Q=0$)，理想氣體在此過程中 $PV^\gamma = \text{const}$。
5. 等容過程：體積恆定，壓力與溫度成正比 ($P/T = \text{const}$)。
6. 等壓過程：壓力恆定，體積與溫度成正比 ($V/T = \text{const}$)。

(a) Carnot 循環

Carnot 循環是理論上效率最高的熱機循環，由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成，且所有過程都是可逆的。

階段描述：

1. 等溫膨脹 (Isothermal Expansion)：
   • 系統（工作氣體）從低溫熱源吸收熱量 $Q_H$。
   • 氣體體積增加，壓力降低。
   • 在 P-V 圖上表現為一條向右下方傾斜的曲線 (類似 $1/V$)。
   • 此過程是可逆等溫過程。
2. 絕熱膨脹 (Adiabatic Expansion)：
   • 系統與外界絕熱，沒有熱交換 ($Q=0$)。
   • 氣體繼續膨脹，體積增加，壓力進一步降低。
   • 由於絕熱膨脹，氣體溫度會從高溫 $T_H$ 降低到低溫 $T_C$。
   • 在 P-V 圖上表現為一條比等溫線更陡峭的向右下方傾斜的曲線 ($P \propto V^{-\gamma}$)。
3. 等溫壓縮 (Isothermal Compression)：
   • 系統與高溫熱源隔絕，與低溫熱源接觸。
   • 系統向低溫熱源放出熱量 $Q_C$。
   • 氣體體積減小，壓力升高。
   • 在 P-V 圖上表現為一條向左上方傾斜的曲線 (類似 $1/V$)，與第一個等溫膨脹過程相對。
4. 絕熱壓縮 (Adiabatic Compression)：
   • 系統與外界絕熱。
   • 氣體被壓縮，體積減小，壓力進一步升高。
   • 由於絕熱壓縮，氣體溫度會從低溫 $T_C$ 回升到高溫 $T_H$。
   • 在 P-V 圖上表現為一條比等溫線更陡峭的向左上方傾斜的曲線 ($P \propto V^{-\gamma}$)，與第二個絕熱膨脹過程相對。

P-V 圖特徵：Carnot 循環在 P-V 圖上是一個封閉的矩形區域，其邊界由兩條等溫線和兩條絕熱線構成。

(b) Otto 循環

Otto 循環是典型的火花點火內燃機循環，由兩個等容過程和兩個絕熱過程組成。

階段描述：

1. 等容加熱 (Isochoric Heating / Heat Addition)：
   • 在活塞位於上死點，氣體體積最小的狀態下，燃料被點燃，瞬間放熱。
   • 氣體體積保持恆定，壓力急劇升高。
   • 在 P-V 圖上表現為一條垂直的直線（$V=\text{const}$）。
2. 絕熱膨脹 (Adiabatic Expansion / Power Stroke)：
   • 高溫高壓的氣體膨脹，推動活塞做功。
   • 氣體體積增加，壓力降低。
   • 系統與外界絕熱。
   • 在 P-V 圖上表現為一條向右下方傾斜的曲線 ($P \propto V^{-\gamma}$)。
3. 等容冷卻 (Isochoric Cooling / Heat Rejection)：
   • 活塞到達下死點，氣體體積最大，此時通過排氣閥，氣體瞬間排出。
   • 氣體體積保持恆定，壓力急劇降低，回到初始壓力。
   • 在 P-V 圖上表現為一條垂直的直線（$V=\text{const}$），與第一個等容加熱過程相對。
4. 絕熱壓縮 (Adiabatic Compression)：
   • 氣體被壓縮，體積減小，壓力升高。

本題考驗濕空氣的熱力學性質，包含分壓、比濕以及質量計算。

核心觀念：

1. 濕空氣組成的氣體分壓：濕空氣可視為乾空氣和水蒸氣的混合物，總壓力等於各組分氣體分壓之和 (Dalton's Law)。
2. 相對濕度 (RH)：實際水蒸氣分壓與相同溫度下飽和水蒸氣分壓的比值。
3. 比濕 (Specific Humidity, $\omega$)：濕空氣中水蒸氣的質量與乾空氣質量的比值。
4. 理想氣體狀態方程式：$PV = nRT$ 或 $P V = m R T$。
5. 水蒸氣的飽和壓力：在特定溫度下，水蒸氣所能達到的最大壓力。

已知參數：
房間尺寸：$5 \, \text{m} \times 4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$
房間體積 $V = 5 \times 4 \times 3 = 60 \, \text{m}^3$
溫度 $T = 25^\circ\text{C} = 25 + 273.15 = 298.15 \, \text{K}$
總壓力 $P_{total} = 100 \, \text{kPa}$
相對濕度 $RH = 80\% = 0.80$
25°C 時的飽和水蒸氣壓力 $P_{sat}(25^\circ\text{C}) = 3.1698 \, \text{kPa}$

常用常數：
乾空氣的氣體常數 $R_{air} = 287 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
水蒸氣的氣體常數 $R_v = 461.5 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ (或 $R_w$)

(a) 乾空氣的分壓 $P_{air}$

相對濕度定義為：
$RH = \frac{P_v}{P_{sat}(T)}$
其中 $P_v$ 是實際水蒸氣的分壓。

我們可以計算出實際水蒸氣的分壓 $P_v$：
$P_v = RH \times P_{sat}(T)$
$P_v = 0.80 \times 3.1698 \, \text{kPa} = 2.53584 \, \text{kPa}$

根據 Dalton's Law，濕空氣的總壓力是乾空氣分壓和水蒸氣分壓之和：
$P_{total} = P_{air} + P_v$
$P_{air} = P_{total} - P_v$
$P_{air} = 100 \, \text{kPa} - 2.53584 \, \text{kPa}$
$P_{air} = 97.46416 \, \text{kPa}$

【答案】(a) 乾空氣的分壓約為 $97.464 \, \text{kPa}$。

(b) 比濕 $\omega$

比濕定義為水蒸氣的質量與乾空氣質量的比值：
$\omega = \frac{m_v}{m_{air}}$

我們可以利用理想氣體狀態方程式來計算 $m_v$ 和 $m_{air}$。
對於水蒸氣：$P_v V = m_v R_v T$
$m_v = \frac{P_v V}{R_v T}$

對於乾空氣：$P_{air} V = m_{air} R_{air} T$
$m_{air} = \frac{P_{air} V}{R_{air} T}$

將 $m_v$ 和 $m_{air}$ 代入 $\omega$ 的定義式：