109 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《熱力學（C）》

此題考查 Carnot 引擎的熱效率與熱量傳遞計算。Carnot 引擎是理想的熱機，其效率僅由高低溫熱源的溫度決定。

(a) Carnot 引擎的熱效率定義為輸出功與輸入熱量之比。對於 Carnot 引擎，其熱效率也可由高低溫熱源的絕對溫度計算。
首先，將攝氏溫度轉換為絕對溫度（Kelvin）：
高溫熱源溫度 $T_H = 600^\circ\text{C} + 273.15 = 873.15 \, \text{K}$
低溫熱源溫度 $T_L = 25^\circ\text{C} + 273.15 = 298.15 \, \text{K}$

Carnot 引擎的熱效率 $\eta_{\text{Carnot}}$ 為：
$\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$
$\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{298.15 \, \text{K}}{873.15 \, \text{K}}$
$\eta_{\text{Carnot}} \approx 1 - 0.3415 \approx 0.6585$

因此，該 Carnot 引擎的熱效率約為 65.85%。

(b) Carnot 引擎每循環從高溫熱源吸收的熱量 $Q_H = 400 \, \text{kJ}$。
根據熱效率的定義：
$\eta_{\text{Carnot}} = \frac{W_{\text{net,out}}}{Q_H}$
其中 $W_{\text{net,out}}$ 是引擎每循環輸出的淨功。
$W_{\text{net,out}} = \eta_{\text{Carnot}} \times Q_H$

核心觀念

本題考查壓縮機的等熵壓縮功，以及降低出口壓力後對耗電量的影響。

對理想氣體，在入口溫度相同、壓縮機效率與空氣需求量不變的條件下，壓縮機所需功率可視為與單位質量壓縮功成正比。空氣的等熵壓縮功為

$$w_c=c_pT_1\left[\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}-1\right]$$

其中空氣取

$$k=1.4$$

由於題目給的是壓力表讀值，計算壓力比時必須使用絕對壓力。

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解題方法

假設：

• 壓縮空氣的質量需求量不變；
• 壓縮機效率不變；
• 空氣視為理想氣體；
• 壓縮過程以等熵壓縮功估算。

1. 轉換出口絕對壓力

入口壓力為當地大氣壓：

$$P_1=90\ \text{kPa}$$

原本出口壓力為 $1000\ \text{kPa}$ 表壓，因此

$$P_{2,\text{old}}=1000+90=1090\ \text{kPa}$$

降低後出口壓力為 $800\ \text{kPa}$ 表壓，因此

$$P_{2,\text{new}}=800+90=890\ \text{kPa}$$

2. 計算兩種操作條件下的壓縮功比

原本的單位質量壓縮功：

$$w_{\text{old}} =c_pT_1 \left[ \left(\frac{1090}{90}\right)^{(1.4-1)/1.4}-1 \right]$$

因為

$$\frac{k-1}{k}=\frac{0.4}{1.4}=\frac{2}{7}$$

所以

$$w_{\text{old}} =c_pT_1 \left[ \left(\frac{1090}{90}\right)^{2/7}-1 \right]$$

數值為

$$\left(\frac{1090}{90}\right)^{2/7}-1 \approx 1.039$$

降低壓力後：

$$w_{\text{new}} =c_pT_1 \left[ \left(\frac{890}{90}\right)^{2/7}-1 \right]$$

數值為

核心觀念

1. 真實流體之熱力性質查表（Tabulated Properties）：
   對於液態甲烷等實際流體，狀態由兩個獨立的密集性質（如溫度 $T$ 與壓力 $P$）決定。其熵變化量可直接由初、終狀態之比熵（Specific Entropy）差值求得：

   $$\Delta s = s_2 - s_1$$

2. 不可壓縮物質模型（Incompressible Substance Model）：
   對於液體或固體，若視為不可壓縮物質，其比容 $v$ 視為常數（$dv = 0$），且定壓比熱與定容比熱相等（$C_p = C_v = C$）。由熱力學基本 $T\,ds$ 關係式：

   $$T\,ds = du + P\,dv$$

   由於 $dv = 0$ 且 $du = C(T)\,dT$，可推導得：

   $$ds = \frac{C(T)\,dT}{T}$$

   在有限溫度區間內，取平均比熱 $C_{\text{avg}}$，積分可得不可壓縮物質之熵變化公式：

   $$\Delta s \approx C_{\text{avg}} \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)$$

3. 相對誤差（Relative Error）：
   以查表所得之精確值 $\Delta s_{\text{exact}}$ 為基準，近似值 $\Delta s_{\text{approx}}$ 的百分比誤差定義為：

   $$\text{Error} = \frac{\Delta s_{\text{approx}} - \Delta s_{\text{exact}}}{\Delta s_{\text{exact}}} \times 100\%$$

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解題步驟與詳細計算

(a) 利用熱力性質表求熵變化量

1. 確定初狀態（State 1）之比熵 $s_1$：

   • 條件：$T_1 = 110\text{ K},\ P_1 = 1.0\text{ MPa}$
   • 查表（Table 1）得： $$s_1 = 4.875\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

2. 確定終狀態（State 2）之比熵 $s_2$：

   • 條件：$T_2 = 120\text{ K},\ P_2 = 5.0\text{ MPa}$
   • 查表（Table 1）得： $$s_2 = 5.145\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

3. 計算熵變化量 $\Delta s_{\text{actual}}$：

   $$\Delta s_{\text{actual}} = s_2 - s_1 = 5.145 - 4.875 = 0.270\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$$

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(b) 視為不可壓縮物質之近似計算與誤差分析

1. 求取過程之平均比熱 $C_{\text{avg}}$：
   • 狀態 1 之比熱：$C_{p,1} = 3.471\text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}$

核心觀念

本題考查熱力學第一定律、邊界功與循環分析：

$$Q-W=\Delta U$$

其中 $W$ 採「系統對外作功為正」的符號 convention。準平衡過程的邊界功為

$$W=\int P\,dV$$

循環完成後系統回到初態，因此

$$\Delta U_{\text{cycle}}=0,\qquad Q_{\text{net}}=W_{\text{net}}$$

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已知條件與狀態關係

過程 $1\to2$ 為定容過程，因此

$$V_1=V_2=37\ \text{L}$$

過程 $3\to1$ 為定壓過程，且壓力為

$$P_1=P_3=155\ \text{kPa}$$

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(a) 循環總邊界功

過程 $1\to2$

定容過程：

$$W_{12}=\int P\,dV=0$$

過程 $3\to1$

已知

$$W_{31}=P(V_1-V_3)=-15.1\ \text{kJ}$$

利用 $1\ \text{kPa}\cdot\text{L}=0.001\ \text{kJ}$：

$$155(V_1-V_3)(0.001)=-15.1$$

代入 $V_1=37\ \text{L}$：

$$V_1-V_3=\frac{-15.1}{155(0.001)} =-97.419\ \text{L}$$

因此

$$V_3=37+97.419=134.419\ \text{L}$$

過程 $2\to3$

因為

$$PV=\text{constant}$$

所以

$$P_2V_2=P_3V_3$$

其邊界功為

$$W_{23}=\int_{V_2}^{V_3}P\,dV =\int_{V_2}^{V_3}\frac{C}{V}\,dV =C\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)$$

其中

$$C=P_3V_3 \approx155(134.419)=20835\ \text{kPa}\cdot\text{L} =20.835\ \text{kJ}$$

故

$$W_{23} =20.835\ln\left(\frac{134.419}{37}\right) \approx26.88\ \text{kJ}$$

循環總功：

$$W_{\text{cycle}} =W_{12}+W_{23}+W_{31}$$ $$W_{\text{cycle}} =0+26.88-15.1 \approx11.78\ \text{kJ}$$

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(b) 計算 $Q_{23}$

題目給定

$$\Delta U_{23}=0$$

由熱力學第一定律：

$$Q_{23}-W_{23}=\Delta U_{23}=0$$

因此

$$Q_{23}=W_{23} \approx26.88\ \text{kJ}$$

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(c) 計算 $Q_{31}$

循環總內能變化為零：

此題考查克勞修斯定理（Clausius theorem）的應用，用來判斷循環的可逆性。克勞修斯定理指出，對於任何循環，$\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0$，其中 $\le$ 成立當且僅當循環是可逆的。

題目給出了兩個積分值，分別代表路徑 A 和路徑 B 上的 $\oint \frac{\delta Q}{T}$。
路徑 A 的積分值 $\oint_A \frac{\delta Q}{T} = -24.7 \, \text{kJ/K}$。
路徑 B 的積分值 $\oint_B \frac{\delta Q}{T} = 41.3 \, \text{kJ/K}$。

整個循環由路徑 A 和路徑 B 組成。然而，題目中的圖顯示，路徑 A 是從狀態 1 到狀態 2，而路徑 B 是從狀態 2 回到狀態 1。
所以，整個循環是「路徑 A 加上路徑 B」。
因此，對整個循環的積分為：
$\oint_{\text{cycle}} \frac{\delta Q}{T} = \oint_A \frac{\delta Q}{T} + \oint_B \frac{\delta Q}{T}$