108 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《流體力學（A）》

核心觀念

本題考查同軸圓柱間的黏性旋轉流，屬於圓柱座標下的 Couette flow。主要使用：

• 牛頓黏性定律
• 圓柱面上的剪應力與扭矩關係
• 旋轉流的速度分布
• 角速度與線速度關係：$V=\omega R_r$

因題目忽略棒端部效應，剪應力只考慮圓柱側面。

解題方法

取半徑為 $r$、浸入深度為 $D$ 的圓柱面。該面的面積為

$$A=2\pi rD$$

扭矩等於剪力乘以力臂，因此

$$T=(\tau A)r$$

代入面積得

$$T=\tau(2\pi rD)r$$

所以半徑 $r$ 處的剪應力為

$$\boxed{\tau(r)=\frac{T}{2\pi r^2D}}$$

剪應力隨半徑增加而降低。

(A) 流動類型

此問題屬於同軸圓柱間的 Couette flow（庫ette流），也可稱為旋轉剪切流。

$$\boxed{\text{Couette flow}}$$

(B) 牛頓黏性定律

對圓柱座標中的周向速度 $u_\theta(r)$，正確的剪應力關係為

$$\boxed{ \tau_{r\theta} = \mu\left( \frac{du_\theta}{dr} - \frac{u_\theta}{r} \right) }$$

其中：

• $u_\theta$：液體周向速度
• $r$：距離旋轉軸的半徑
• $\mu$：動力黏度

圓柱座標中不能直接寫成平板流的 $\tau=\mu\,du/dr$，因為周向速度方向會隨半徑改變，必須包含 $-u_\theta/r$ 項。

(C) 以 $T$、$r$、$D$ 表示剪應力

半徑 $r$ 的圓柱面上：

$$dA=2\pi rD$$

剪力為

$$F=\tau dA=\tau(2\pi rD)$$

扭矩為

$$T=Fr$$

因此

$$T=\tau(2\pi rD)r$$

得到

$$\boxed{\tau=\frac{T}{2\pi r^2D}}$$

在旋轉棒表面 $r=R_r$ 處：

$$\boxed{ \tau_r=\frac{T}{2\pi R_r^2D} }$$

(D) 推導黏度 $\mu$

穩態軸對稱旋轉流的速度分布為

$$u_\theta(r)=Ar+\frac{B}{r}$$

邊界條件為：

$$u_\theta(R_r)=V$$ $$u_\theta(R_c)=0$$

由 $u_\theta(R_c)=0$：

$$AR_c+\frac{B}{R_c}=0$$

因此

$$A=-\frac{B}{R_c^2}$$

代入 $u_\theta(R_r)=V$：

$$V = -\frac{BR_r}{R_c^2}+\frac{B}{R_r}$$

整理得

$$B= \frac{VR_rR_c^2}{R_c^2-R_r^2}$$

而

$$\frac{du_\theta}{dr} = A-\frac{B}{r^2}$$

所以

$$\frac{du_\theta}{dr}-\frac{u_\theta}{r} = -\frac{2B}{r^2}$$

剪應力大小為

$$\tau(r)=\frac{2\mu B}{r^2}$$

代入 $B$：

$$\tau(r) = \frac{2\mu VR_rR_c^2} {r^2(R_c^2-R_r^2)}$$

在旋轉棒表面 $r=R_r$：

$$\tau_r = \frac{2\mu VR_c^2} {R_r(R_c^2-R_r^2)}$$

核心觀念

本題考查控制體積的質量守恆。穩態不可壓縮流中，流入體積流率等於流出體積流率；多孔測試段的吸氣孔必須視為額外的流出口。

設：

• 入口面積：$A_i$
• 測試段面積：$A_t=A_{\text{test}}$
• 出口面積：$A_o$
• 單一吸氣孔面積：$A_h=\pi R_h^2$

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(A) 控制體積的連續方程積分形式

對固定控制體積：

$$\frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathrm{C.V.}}\rho\,dV + \oint_{\mathrm{C.S.}} \rho\mathbf{U}\cdot\mathbf{n}\,dA =0$$

其中 $\mathbf n$ 為控制面的外法向量。

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(B) 各項的物理意義

第一項：

$$\frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathrm{C.V.}}\rho\,dV$$

表示控制體積內質量的累積率，即控制體積內儲存質量隨時間的變化率，單位為 $\mathrm{kg/s}$。

第二項：

$$\oint_{\mathrm{C.S.}} \rho\mathbf{U}\cdot\mathbf{n}\,dA$$

表示穿越控制面的淨質量流率：

• 流出控制體積時，$\mathbf U\cdot\mathbf n>0$；
• 流入控制體積時，$\mathbf U\cdot\mathbf n<0$；
• $\rho\mathbf U\cdot\mathbf n$ 是單位面積的質量通量。

等號右側為零，表示控制體積內的質量遵守守恆定律。

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(C) 穩態不可壓縮流的連續方程

穩態流：

$$\frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathrm{C.V.}}\rho\,dV=0$$

不可壓縮流：

$$\rho=\text{常數}$$

因此：

$$\oint_{\mathrm{C.S.}} \mathbf U\cdot\mathbf n\,dA=0$$

亦即：

$$\sum Q_{\text{in}}=\sum Q_{\text{out}}$$

對本題整個風洞取控制體積：

$$U_iA_i=U_oA_o+NU_sA_h$$

其中：

$$A_h=\pi R_h^2$$

所以：

$$U_iA_i=U_oA_o+NU_s\pi R_h^2$$

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(D) $U_o$ 的推導

若 $U_o$ 指整個風洞擴散段後的出口速度，則：

$$U_o= \frac{U_iA_i-NU_s\pi R_h^2}{A_o}$$

若入口與出口皆為圓形截面，則 $A_i=\pi R_i^2$、$A_o=\pi R_o^2$，因此：

$$\boxed{ U_o= \frac{U_iR_i^2-NU_sR_h^2}{R_o^2} }$$

若題目中的 $U_o$ 是指「多孔測試段出口」的平均速度，且測試段截面積為 $A_{\text{test}}$，則：

核心觀念

本題使用：

• 大水槽與小管出口皆接大氣，故 $p_1=p_2=p_{\mathrm{atm}}$。
• 水槽直徑 $100\ \mathrm{m}$，遠大於管徑 $1.0\ \mathrm{mm}$，自由液面速度可視為 $0$。
• 伯努力方程求理想出口速度。
• 雷諾數判斷層流或紊流：
  $Re=\frac{\rho VD}{\mu}$
• 管內黏度估算採 Hagen–Poiseuille 關係：
  $Q=\frac{\pi D^4\Delta p}{128\mu L}$

已知

$D=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m},\qquad L=1.5\ \mathrm{m},\qquad H=2.0\ \mathrm{m}$

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(A) 出口流速

自由液面與管口均為大氣壓，且忽略摩擦損失。由伯努力方程：

$$\frac{V_1^2}{2g}+z_1 = \frac{V_2^2}{2g}+z_2$$

其中 $V_1\approx0$，且 $z_1-z_2=H=2\ \mathrm{m}$，因此

$$V_2=\sqrt{2gH} =\sqrt{2(9.81)(2)} =6.26\ \mathrm{m/s}$$

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(B) 流態判斷

取常溫水的性質

$$\rho\approx1000\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu\approx1.00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$$

使用 (A) 的理想出口速度：

$$Re=\frac{(1000)(6.26)(1.0\times10^{-3})} {1.00\times10^{-3}} \approx6.26\times10^3$$

圓管流的判斷標準為：

• $Re<2300$：層流
• $2300<Re<4000$：過渡流
• $Re>4000$：紊流

因此本題依理想流速判斷為紊流。

判別方法如下：

• 層流：流體分層平順流動，染料線保持清晰，速度剖面呈拋物線。
• 紊流：具有隨機速度脈動與渦流，染料迅速混合，平均速度剖面較平坦。
• 定量判斷以雷諾數最可靠。

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(C) 由流量估算黏度

收集流量為

核心觀念

本題評量黏性不可壓縮流體於圓管（Circular Tube）及同心環狀管（Concentric Annulus）中的層流流動特性。核心公式與觀念如下：

1. 圓管層流（Hagen-Poiseuille Flow）：

   • 雷諾數定義：
     $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D}$
     判別流況是否為層流（圓管臨界雷諾數 $Re_{\text{crit}} \approx 2300$）。
   • 壓降公式（Hagen-Poiseuille Equation）：
     $\Delta p = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4}$

2. 同心環狀管層流（Laminar Flow in a Concentric Annulus）：

   • 外徑 $D_2 = 2r_2$，內徑 $D_1 = 2r_1$，半徑比 $k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{D_1}{D_2}$。
   • 水力直徑（Hydraulic Diameter）與雷諾數：
     $D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \cdot \frac{\pi}{4}(D_2^2 - D_1^2)}{\pi(D_2 + D_1)} = D_2 - D_1$
     $Re_h = \frac{\rho V_{\text{avg}} D_h}{\mu} = \frac{\rho \left(\frac{Q}{A}\right) (D_2 - D_1)}{\mu} = \frac{4\rho Q}{\pi \mu (D_2 + D_1)}$
   • 精確解析解流量關係式：
     $Q = \frac{\pi \Delta p}{8\mu L} \left[ r_2^4 - r_1^4 - \frac{(r_2^2 - r_1^2)^2}{\ln(r_2/r_1)} \right] = \frac{\pi D_2^4 \Delta p}{128\mu L} \left[ 1 - k^4 - \frac{(1 - k^2)^2}{\ln(1/k)} \right]$
     故環管壓降之理論精確值為：
     $\Delta p = \frac{128\mu L Q}{\pi D_2^4 \left[ 1 - k^4 - \frac{(1-k^2)^2}{\ln(1/k)} \right]}$
   • （工程近似解：水力直徑法）：若採水力直徑 $D_h$ 搭配平滑圓管摩擦因子 $f = \frac{64}{Re_h}$，所得之壓降為工程估算值。

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解題方法與詳細計算

給定之已知物性與流況條件：

• 密度 $\rho = 1.32 \times 10^3\text{ kg/m}^3$
• 動力黏滯係數 $\mu = 0.0065\text{ N}\cdot\text{s/m}^2 = 0.0065\text{ Pa}\cdot\text{s}$
• 體積流量 $Q = 12\text{ ml/s} = 12 \times 10^{-6}\text{ m}^3/\text{s}$
• 長度 $L = 2\text{ m}$

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(A) 4 mm 圓管之雷諾數與壓降

1. 管徑與截面積：
   $D = 4\text{ mm} = 4 \times 10^{-3}\text{ m}$
   $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (4 \times 10^{-3})^2 = 4\pi \times 10^{-6}\text{ m}^2 \approx 1.2566 \times 10^{-5}\text{ m}^2$

2. 平均流速：
   $V = \frac{Q}{A} = \frac{12 \times 10^{-6}}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{3}{\pi} \approx 0.9549\text{ m/s}$

3. 雷諾數 $Re$：
   $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{1.32 \times 10^3 \times \frac{3}{\pi} \times 4 \times 10^{-3}}{0.0065} = \frac{4 \rho Q}{\pi \mu D} = \frac{4 \times (1.32 \times 10^3) \times (12 \times 10^{-6})}{\pi \times 0.0065 \times (4 \times 10^{-3})}$
   $Re = \frac{0.06336}{8.1681 \times 10^{-5}} \approx 775.7$
   因 $Re \approx 776 < 2300$，確認為層流（Laminar Flow）。

4. 壓降 $\Delta p$：
   由 Hagen-Poiseuille 公式：
   $\Delta p = \frac{128 \mu L Q}{\pi D^4} = \frac{128 \times 0.0065 \times 2 \times (12 \times 10^{-6})}{\pi \times (4 \times 10^{-3})^4}$
   $\Delta p = \frac{1.9968 \times 10^{-5}}{\pi \times 2.56 \times 10^{-10}} = \frac{1.9968 \times 10^{-5}}{8.0425 \times 10^{-10}} \approx 2.483 \times 10^4\text{ Pa} = 24.83\text{ kPa}$

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(B) 同心環狀管（外徑 5 mm，內徑 3 mm）之雷諾數與壓降

1. 幾何尺寸：
   • 外徑 $D_2 = 5\text{ mm} = 5 \times 10^{-3}\text{ m}$，外半徑 $r_2 = 2.5\text{ mm}$
   • 內徑 $D_1 = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m}$，內半徑 $r_1 = 1.5\text{ mm}$
   • 水力直徑 $D_h = D_2 - D_1 = (5 - 3)\text{ mm} = 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m}$
   • 半徑比 $k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} = 0.6$
   • 環狀流通截面積：
     $A = \frac{\pi}{4}(D_2^2 - D_1^2) = \frac{\pi}{4}(5^2 - 3^2) \times 10^{-6} = 4\pi \times 10^{-6}\text{ m}^2$
     （注意：此截面積剛好與小題 (A) 中 4 mm 圓管之面積完全相同，因此平均流速 $V_{\text{avg}} = \frac{Q}{A} = \frac{3}{\pi} \approx 0.9549\text{ m/s}$）。