113 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《流體力學（A）》

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第 1 題

  1. In an experiment to determine the aerodynamic force in the high Reynolds number flow, a long regular triangular prism with the
    triangle edge d was fixed on the wall, immersing in a steady, two-dimensional, unconfined incompressible flow with density ρ\rho.
    From the measurement at the left boundary of the fixed control volume, CV1 and CV2 shown below, one found the velocity V0V_0
    and pressure, P0P_0. On the right boundary, measurement shows that the height of the wake region is 3d3d and the mean velocity and
    pressure within the wake region is zero and P1P_1, respectively. CV1 has sides that are streamline surfaces. CV2 is rectangular. The
    measured x-component velocity and pressure fields are indicated in the sketch.

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(a)(10%) Obtain the drag force exerted on the triangular from the control volume analysis using CV1.
(b)(10%) Write down mass and momentum balance for CV2. Is it the same as what you had in (a)? If not, what is the difference?
(c)(5%) Fine the force to maintain the triangle fixed based on your formulation in (b).

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核心觀念

本題考查固定控制體積的：

  1. 質量守恆；
  2. 線動量方程；
  3. 尾流動量虧損法（wake survey method）；
  4. 控制體積邊界選取對計算的影響。

以下皆以「紙面垂直方向單位深度」為基準，阻力方向取 +x+x 方向，並令三角柱受到流體作用的阻力為 DD。

(a) 以 CV1 求三角柱所受阻力

CV1 的上下邊界為流線，因此沒有流體穿越控制面，僅需考慮入口與出口。

尾流區高度為 3d3d，其中平均速度為零、壓力為 P1P_1；尾流外的流體速度為 V0V_0、壓力為 P0P_0。

對於尾流區，原本若沒有三角柱，該區域應具有速度 V0V_0。因此三角柱造成的單位時間動量虧損為

ΔI˙x=ρV02(3d)−ρ(0)2(3d)=ρV02(3d).\Delta \dot{I}_x = \rho V_0^2(3d)-\rho(0)^2(3d) = \rho V_0^2(3d).

此外，尾流區的壓力由 P0P_0 變為 P1P_1，所造成的壓力阻力為

ΔFp=(P0−P1)(3d).\Delta F_p=(P_0-P_1)(3d).

因此，利用 xx 方向動量方程，

D=ρV02(3d)+(P0−P1)(3d).D = \rho V_0^2(3d)+(P_0-P_1)(3d).

所以

D=3d[ρV02+P0−P1]\boxed{ D=3d\left[\rho V_0^2+P_0-P_1\right] }

若 P1=P0P_1=P_0，則退化為一般的尾流動量虧損公式：

D=3ρdV02.D=3\rho dV_0^2.

(b) 以矩形控制體積 CV2 寫質量與動量平衡

設 CV2 的高度為 HH。

質量平衡

左側入口速度均為 V0V_0，因此入口質量流率為

m˙in=ρV0H.\dot m_{\text{in}}=\rho V_0H.

右側出口中，尾流區高度為 3d3d，速度為零；其餘高度 H−3dH-3d 的流體速度為 V0V_0，故

m˙out=ρV0(H−3d).\dot m_{\text{out}} = \rho V_0(H-3d).

由於

m˙in≠m˙out,\dot m_{\text{in}}\neq \dot m_{\text{out}},

可知 CV2 的上下邊界必須存在橫向質量通量。完整的質量守恆式為

∫CV2邊界ρV⋅n dA=0,\int_{\text{CV2邊界}}\rho \mathbf V\cdot\mathbf n\,dA=0,

即

−ρV0H+ρV0(H−3d)+∫上下邊界ρV⋅n dA=0.-\rho V_0H + \rho V_0(H-3d) + \int_{\text{上下邊界}}\rho \mathbf V\cdot\mathbf n\,dA =0.

因此

∫上下邊界ρV⋅n dA=3ρV0d\boxed{ \int_{\text{上下邊界}}\rho \mathbf V\cdot\mathbf n\,dA = 3\rho V_0d }

這表示 CV2 的上下邊界並非流線，流體會穿越這些邊界。

xx 方向動量平衡

右側出口的 xx 方向動量流率為

ρV02(H−3d),\rho V_0^2(H-3d),

左側入口的 xx 方向動量流率為

ρV02H.\rho V_0^2H.

因此左右邊界造成的動量流率差為

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第 2 題

  1. As shown in the figure below, an incompressible fluid of density ρ\rho flows into the channel at a uniform velocity VV, and the square
    smaller than the channel width is fixed. The clearance hh between the square and the channel wall is small compared to the channel
    width DD.

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(a) (5%) Assuming that the fluid flow can be treated as an inviscid flow. determine the pressure difference P1−P3P_1 - P_3 (see the
locations defined in the sketch).
(b) (10%) Consider the case when viscous effects are taken into account for the flow in the narrow gap between the square and the
pipe wall. Treat this part of the flow as viscous, fully developed. Sketch the velocity profile in the narrow gap between the square and the channel wall. Calculate the velocity profile in the narrow gap between the square and the channel wall.
(c) (10%) Following (b), what is the pressure difference P1−P3P_1 - P_3?

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核心觀念

本題考查：

  • 連續方程：流量在上、下兩個窄隙間對稱分流。
  • 伯努力方程：無黏流中，若上游與下游速度相同，總壓力不變。
  • 平行平板間的充分發展黏性流：窄隙內速度呈拋物線分布。
  • 窄隙內的壓力損失與間隙高度呈 h−3h^{-3} 關係。

取垂直紙面單位深度，入口總流量為

Q=VD.Q=VD.

由上下對稱，每一個窄隙的流量為

Qg=VD2.Q_g=\frac{VD}{2}.

(a) 無黏流的壓力差

在無黏、不可壓、穩態流中，沿流線使用伯努力方程。第 11、33 截面位於相同高度，且上下游通道截面相同，因此兩處平均速度皆為 VV：

P1+12ρV2=P3+12ρV2.P_1+\frac{1}{2}\rho V^2 = P_3+\frac{1}{2}\rho V^2.

因此

P1−P3=0.\boxed{P_1-P_3=0}.

雖然流體通過窄隙時速度會增加、局部壓力會降低，但在無黏模型中，流體離開窄隙後動能可以完全恢復，沒有永久壓力損失。

(b) 窄隙內的速度分布

令 xx 軸沿流動方向，yy 軸垂直於窄隙，並令兩固定壁面分別位於 y=0y=0 與 y=hy=h。由於兩壁面皆固定，採用無滑移條件：

u(0)=u(h)=0.u(0)=u(h)=0.

窄隙內視為充分發展流，因此 u=u(y)u=u(y)，xx 方向動量方程為

0=−dpdx+μd2udy2.0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}.

積分並套用邊界條件，得到平行平板間的 Poiseuille 流：

u(y)=−12μdpdxy(h−y).u(y) = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}y(h-y).

利用連續方程：

VD=2∫0hu(y) dy.VD = 2\int_0^h u(y)\,dy.

代入速度分布：

VD=2[−12μdpdx∫0hy(h−y) dy].VD = 2\left[ -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx} \int_0^h y(h-y)\,dy \right].

由

∫0hy(h−y) dy=h36,\int_0^h y(h-y)\,dy=\frac{h^3}{6},

可得

dpdx=−6μVDh3.\frac{dp}{dx} = -\frac{6\mu VD}{h^3}.

因此每一個窄隙內的速度分布為

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第 3 題

  1. (25%) A siphon is set up to remove gasoline from a tank. Quarter-inch-inside diameter flexible tubing is used.
    Estimate the exit velocity at the instant shown and the volume flow rate.

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本題考驗白努利定律在虹吸管流動中的應用，以及體積流量的計算。

核心觀念：

  1. 白努利定律 (Bernoulli's Equation)：適用於穩定的、不可壓縮的、無黏性流體沿著一條流線的能量守恆。
  2. 體積流量 (Volume Flow Rate)：定義為單位時間內流過某一截面的流體體積，等於截面積乘以平均流速。

解題步驟：

  1. 設定參考點與流線：

    • 選擇兩點來應用白努利定律。通常選擇液面（點 1）和虹吸管出口（點 2）。
    • 假設流體是穩定的、不可壓縮的、無黏性的。
    • 點 1：位於油箱液面上。
    • 點 2：位於虹吸管的出口處。

  2. 應用白努利定律：
    白努利定律的通用形式為：
    P+12ρv2+ρgz=constantP + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{constant}
    其中 PP 是靜壓力，vv 是流速，ρ\rho 是流體密度，gg 是重力加速度，zz 是高度。

    我們需要估計汽油的密度 ρ\rho。一般汽油的密度約為 720 kg/m3720 \text{ kg/m}^3。
    重力加速度 g≈9.81 m/s2g \approx 9.81 \text{ m/s}^2。

    對於點 1 (油箱液面)：

    • 壓力 P1P_1：液面直接暴露在大氣中，所以 P1=PatmP_1 = P_{atm}。
    • 速度 v1v_1：由於液面面積相對管徑非常大，液面下降的速度 v1v_1 可視為零，即 v1≈0v_1 \approx 0。
    • 高度 z1z_1：選擇虹吸管出口（點 2）的高度為零參考點，則點 1 的高度 z1z_1 為虹吸管出口到液面的垂直距離。從圖中可以看出，液面比出口高 16 in+6 in=22 in16 \text{ in} + 6 \text{ in} = 22 \text{ in}。
      將英吋轉換為公尺：1 in=0.0254 m1 \text{ in} = 0.0254 \text{ m}。
      z1=22 in×0.0254 m/in=0.5588 mz_1 = 22 \text{ in} \times 0.0254 \text{ m/in} = 0.5588 \text{ m}。

    對於點 2 (虹吸管出口)：

    • 壓力 P2P_2：虹吸管出口的液體直接排入大氣，所以 P2=PatmP_2 = P_{atm}。
    • 速度 v2v_2：這是我們要計算的出口速度。
    • 高度 z2z_2：我們選擇 z2=0z_2 = 0 作為參考點。

    將點 1 和點 2 的數據代入白努利定律：
    P1+12ρv12+ρgz1=P2+12ρv22+ρgz2P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2
    Patm+12ρ(0)2+ρgz1=Patm+12ρv22+ρg(0)P_{atm} + \frac{1}{2} \rho (0)^2 + \rho g z_1 = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g (0)

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第 4 題

  1. (25%) A nozzle is designed such that the velocity in the nozzle varies as
    u(x)=u01.0−0.5x/Lu(x) = \frac{u_0}{1.0-0.5x/L}
    where the velocity u0u_0 is the entrance velocity and LL is the nozzle length. The entrance velocity is 10 m/s10 \text{ m/s},
    and the length is 0.5 m0.5 \text{ m}. The velocity is uniform across each section. Find the acceleration at the station
    halfway through the nozzle (x/L=0.5x/L = 0.5).

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核心觀念

本題考查穩態一維流動的質點加速度：

a=DuDt=∂u∂t+ududxa=\frac{D u}{D t} =\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{d u}{d x}

流場為穩態，因此 ∂u/∂t=0\partial u/\partial t=0，加速度完全來自速度沿流向的變化：

a=ududxa=u\frac{d u}{d x}

解題方法

速度分布為

u(x)=u01−0.5x/Lu(x)=\frac{u_0}{1-0.5x/L}

先微分：

dudx=u0(0.5/L)(1−0.5x/L)2\frac{d u}{d x} = \frac{u_0(0.5/L)} {\left(1-0.5x/L\right)^2}

在 x/L=0.5x/L=0.5 處，

1−0.5(xL)=1−0.5(0.5)=0.751-0.5\left(\frac{x}{L}\right) =1-0.5(0.5)=0.75

因此該位置的速度為

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