111 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《流體力學（A）》

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第 1 題

As shown in the figure, a funnel (with the circular cross-section and a smooth wall) is placed in the water, of density ρ\rho, at a depth hh. The funnel does not move. A Pitot tube is placed at the inlet of the funnel to measure the velocity of the water flow. Inside the Pitot tube, the height of the water column is HH. The radius of the cross-section area at the inlet of the funnel is R1R_1 and at the outlet is R2R_2.

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(1) (5 pts) What is the flow velocity at the inlet?
(2) (5 pts) If you move the Pitot tube toward the outlet (e.g., move it to the point MM in the figure), will the water level in the Pitot tube retain the same, decrease, or increase? State the reason in detail.
(3) (5 pts) At the outlet of the funnel, for the slow flow case where the viscosity dominates, the velocity distribution can be described as
uz(r)=C4ν(R2−r2),u_z(r) = \frac{C}{4\nu} (R^2 - r^2),
where ν\nu is the kinematic viscosity of the water, rr is the coordinate in the radial direction, and CC is a (dimensional) coefficient. Find the value of CC.
(4) (10 pts) Now, in the fast flow case, assuming that the velocity at the outlet is uniform by neglecting viscosity (u2≈constantu_2 \approx \text{constant}), what is the force required to hold the funnel in place?

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核心觀念

本題綜合使用：

  • Pitot 管測量停滯壓力；
  • Bernoulli 方程；
  • 質量守恆（連續方程）；
  • 圓管內拋物線速度分布；
  • 線動量方程。

令流動方向為 +z+z，入口、出口中心位於同一深度，截面積為

A1=πR12,A2=πR22.A_1=\pi R_1^2,\qquad A_2=\pi R_2^2.

(1) 入口流速

入口處的靜壓為

p1=patm+ρgh.p_1=p_{\mathrm{atm}}+\rho gh.

Pitot 管內水柱頂端為大氣壓，且停滯點到水柱頂端的高度為 HH，因此停滯壓力為

p0=patm+ρgH.p_0=p_{\mathrm{atm}}+\rho gH.

入口流速在停滯點變為零，套用 Bernoulli 方程：

p1+12ρu12=p0.p_1+\frac{1}{2}\rho u_1^2=p_0.

代入壓力：

patm+ρgh+12ρu12=patm+ρgH.p_{\mathrm{atm}}+\rho gh+\frac{1}{2}\rho u_1^2 = p_{\mathrm{atm}}+\rho gH.

所以

u1=2g(H−h).\boxed{u_1=\sqrt{2g(H-h)}}.

Pitot 管讀到的是速度水頭所造成的額外高度，因此必須使用 H−hH-h，而不是直接使用 HH。

(2) Pitot 管移至 MM 點後的水位

漏斗壁面光滑，忽略黏性損失。沿著中心線套用 Bernoulli 方程：

p+12ρu2+ρgz=constant.p+\frac{1}{2}\rho u^2+\rho gz=\text{constant}.

MM 點與入口位於相同高度，且 Pitot 管測量的是停滯壓力：

p0=p+12ρu2.p_0=p+\frac{1}{2}\rho u^2.

因此即使漏斗截面逐漸縮小，使流速增加、靜壓降低，速度水頭的增加會恰好補償靜壓的降低，停滯壓力保持不變。

所以 Pitot 管內水柱高度：

保持不變.\boxed{\text{保持不變}}.

(3) 慢流時的係數 CC

連續方程給出體積流率：

Q=A1u1=πR12u1.Q=A_1u_1=\pi R_1^2u_1.

出口速度分布為

u2(r)=C4ν(R22−r2).u_2(r)=\frac{C}{4\nu}(R_2^2-r^2).

因此出口流量為

Q=∫A2u2 dA=2π∫0R2C4ν(R22−r2)r dr=πCR248ν.\begin{aligned} Q &=\int_{A_2}u_2\,dA\\ &=2\pi\int_0^{R_2} \frac{C}{4\nu}(R_2^2-r^2)r\,dr\\ &=\frac{\pi C R_2^4}{8\nu}. \end{aligned}
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第 2 題

As shown in the figure, a stream of viscous liquid, of viscosity μ\mu and density ρ\rho, discharged from a slot onto the upper surface of a brick, forming two branches of the liquid film on the brick's surface AB and AC. The brick is inclined at an angle θ\theta with the horizontal plane. The measured depths of the liquid film are h1h_1 on AB and h2h_2 on AC.

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(1) (5 pts) Sketch the velocity profiles.
(2) (15 pts) Solve for the velocity profiles of the liquid film on the brick's surface. State all assumptions you have to make.
(3) (5 pts) If the flow rate on the brick's surface is uniform, find the ratio of the film's depths, h1/h2h_1/h_2.

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核心觀念

本題考查「傾斜平面上的層流液膜」。對於穩態、充分發展且不可壓縮的牛頓流體，沿斜面方向的動量方程為

0=ρgsin⁡α+μd2udn2,0=\rho g\sin\alpha+\mu\frac{d^2u}{dn^2},

其中：

  • ss：沿斜面向下的座標；
  • nn：垂直斜面、由固壁指向自由液面的座標；
  • α\alpha：斜面與水平面的夾角；
  • hh：液膜厚度；
  • u(n)u(n)：沿斜面方向的速度。

邊界條件為：

  1. 固壁無滑移：
    u(0)=0u(0)=0
  2. 自由液面剪應力為零：
    dudn∣n=h=0\left.\frac{du}{dn}\right|_{n=h}=0

圖中 ABAB 與水平夾角為 θ\theta；ACAC 與 ABAB 垂直，因此 ACAC 與水平的夾角為 90∘−θ90^\circ-\theta。

(1) 速度剖面

兩個表面的速度剖面皆為拋物線：

  • 在固壁處 n=0n=0，因無滑移而有 u=0u=0；
  • 往自由液面方向速度逐漸增加；
  • 在自由液面 n=hn=h，速度達到最大值；
  • 自由液面處斜率為零，即剪應力為零。

因此，ABAB 上的速度剖面為厚度 h1h_1 的拋物線，ACAC 上的速度剖面為厚度 h2h_2 的拋物線。若兩面液膜厚度不同，兩個剖面的高度不同，但形狀相同。

(2) 液膜速度分布

表面 ABAB

對於 ABAB，斜面角度為

α1=θ.\alpha_1=\theta.

沿 ABAB 方向的動量方程為

0=ρgsin⁡θ+μd2u1dn12.0=\rho g\sin\theta+\mu\frac{d^2u_1}{dn_1^2}.

因此

d2u1dn12=−ρgsin⁡θμ.\frac{d^2u_1}{dn_1^2} =-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}.

積分兩次得

u1(n1)=−ρgsin⁡θ2μn12+C1n1+C2.u_1(n_1) =-\frac{\rho g\sin\theta}{2\mu}n_1^2+C_1n_1+C_2.

由固壁無滑移條件 u1(0)=0u_1(0)=0，得

C2=0.C_2=0.

自由液面剪應力為零：

du1dn1∣n1=h1=0.\left.\frac{du_1}{dn_1}\right|_{n_1=h_1}=0.

而

du1dn1=−ρgsin⁡θμn1+C1,\frac{du_1}{dn_1} =-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}n_1+C_1,

故

C1=ρgsin⁡θμh1.C_1=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}h_1.

所以 ABAB 上的速度分布為

u1(n1)=ρgsin⁡θμ(h1n1−n122)\boxed{ u_1(n_1)= \frac{\rho g\sin\theta}{\mu} \left(h_1n_1-\frac{n_1^2}{2}\right) }

其中 0≤n1≤h10\leq n_1\leq h_1。

自由液面最大速度為

u1,max⁡=u1(h1)=ρgsin⁡θ2μh12.u_{1,\max} =u_1(h_1) =\frac{\rho g\sin\theta}{2\mu}h_1^2.

表面 ACAC

表面 ACAC 與水平的夾角為

α2=90∘−θ.\alpha_2=90^\circ-\theta.

因此

sin⁡α2=sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ.\sin\alpha_2 =\sin(90^\circ-\theta) =\cos\theta.

沿 ACAC 方向的動量方程為

0=ρgcos⁡θ+μd2u2dn22.0=\rho g\cos\theta+\mu\frac{d^2u_2}{dn_2^2}.

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第 3 題

A piston moves slowly inside a cylinder closed at one end, as shown in the figure, and its position xp(t)x_p(t) is a prescribed function of time tt. The initial position of the piston is x0x_0, the initial gas density is ρ0\rho_0, and the area of the cylinder is AA. Please find the gas density ρ\rho and the gas velocity uu for the following conditions. Since the motion is slow, the gas density ρ\rho is assumed to be uniform within the cylinder but varies with time. (Hint: mass conservation).

(a) (12.5 pts) The position of the piston is xp(t)=x0+v0tx_p(t) = x_0 + v_0 t. Here the moving velocity v0v_0 is a constant.
(b) (12.5 pts) The position of the piston is xp(t)=x0+apsin⁡(ω0t)x_p(t) = x_0 + a_p \sin(\omega_0 t). Here the amplitude of the oscillation apa_p and the angular velocity ω0\omega_0 are constants.

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本題主要考驗質量守恆在壓縮氣體系統中的應用，特別是對於緩慢運動的假設下的處理。由於運動緩慢，我們可以假設氣體在任何時刻都是均勻的，並且其密度只隨時間變化。

基本概念：質量守恆
對於一個封閉的控制體積，其內部的總質量變化率等於通過控制體積表面的淨質量流率。
dmCVdt=m˙in−m˙out\frac{dm_{CV}}{dt} = \dot{m}_{in} - \dot{m}_{out}
在本題中，控制體積是氣缸內從固定端到活塞的空間。由於氣缸是封閉的，沒有質量流入或流出，因此 m˙in=m˙out=0\dot{m}_{in} = \dot{m}_{out} = 0。
所以，控制體積內的總質量應保持不變：
mCV=constantm_{CV} = \text{constant}
氣缸內的氣體質量可以表示為 m=ρVm = \rho V，其中 ρ\rho 是氣體密度，VV 是氣缸內氣體的體積。
氣缸內氣體的體積 VV 是隨活塞位置 xp(t)x_p(t) 變化的。由於氣缸截面積為 AA，則 V(t)=Axp(t)V(t) = A x_p(t)。
所以，氣缸內的總質量為 m(t)=ρ(t)V(t)=ρ(t)Axp(t)m(t) = \rho(t) V(t) = \rho(t) A x_p(t)。
由於質量守恆，m(t)m(t) 應該是一個常數，等於初始質量 m0=ρ0Ax0m_0 = \rho_0 A x_0。
ρ(t)Axp(t)=ρ0Ax0\rho(t) A x_p(t) = \rho_0 A x_0
ρ(t)=ρ0x0xp(t)\rho(t) = \rho_0 \frac{x_0}{x_p(t)}
這是氣體密度 ρ(t)\rho(t) 的表達式。

接下來，我們需要求解氣體速度 uu。
氣體速度 uu 指的是氣體相對於固定參考系的運動速度。由於氣缸內的氣體被活塞帶著一起運動，我們可以將氣體的速度視為活塞的速度。
活塞的位置是 xp(t)x_p(t)，所以活塞的速度是 up(t)=dxp(t)dtu_p(t) = \frac{dx_p(t)}{dt}。
由於氣體運動是緩慢且均勻的，氣體的速度 uu 等於活塞的速度 up(t)u_p(t)。
u(t)=up(t)=dxp(t)dtu(t) = u_p(t) = \frac{dx_p(t)}{dt}

現在我們分別處理 (a) 和 (b) 的情況。

(a) 活塞位置 xp(t)=x0+v0tx_p(t) = x_0 + v_0 t

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第 4 題25 分

A flat roof of a building is constructed of precast concrete slabs of width W=1mW = 1m and depth L=0.1mL = 0.1m, but the end joint between two slabs is not sealed, leaving a crack of width h=1mmh = 1mm, as shown in the figure. As it rains, the rainwater drips into the interior of the building through the crack. To catch the incoming water, we place a 100-Liter bucket under the leak. Please find out how long it would take to fill the bucket. The roof is 3 meters above the ground, the dynamic viscosity of the water μ=1.13×10−3Pa⋅s\mu = 1.13 \times 10^{-3} Pa \cdot s, the mass density of the water ρ=1000kg/m3\rho = 1000kg/m^3, and the gravitation acceleration g=9.8m/s2g = 9.8m/s^2. The rainwater passing through the crack is assumed to be a steady laminar viscous flow, and the influence of the surface tension is neglected.

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核心觀念

裂縫可視為兩片相距 hh 的垂直平行板，水沿重力方向向下作穩態層流。使用：

  • 固體表面無滑移條件；
  • 穩態 Navier–Stokes 方程；
  • 流量為速度分布對裂縫截面的積分。

由於裂縫上下端皆與大氣相通，且忽略表面張力，裂縫兩端壓力差取為零。屋頂離地 3 m3\ \mathrm{m} 的高度只影響水滴落下的時間，不是裂縫內的壓力差。

解題方法

令 ss 軸鉛直向下，yy 為跨越裂縫寬度的座標，0≤y≤h0\le y\le h。裂縫內流速為 u(y)u(y)，穩態動量方程為

0=−dpds+μd2udy2+ρg.0=-\frac{dp}{ds}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}+\rho g.

上下端皆為大氣壓，因此

dpds=0.\frac{dp}{ds}=0.

故

d2udy2=−ρgμ.\frac{d^2u}{dy^2}=-\frac{\rho g}{\mu}.

套用無滑移條件

u(0)=u(h)=0,u(0)=u(h)=0,

得到速度分布

u(y)=ρg2μy(h−y).u(y)=\frac{\rho g}{2\mu}y(h-y).

裂縫沿接縫方向的寬度為 WW，因此體積流率為

Q=W∫0hu(y) dy=ρgWh312μ.Q=W\int_0^h u(y)\,dy =\frac{\rho gWh^3}{12\mu}.

代入

W=1 m,h=1×10−3 m,W=1\ \mathrm{m},\qquad h=1\times10^{-3}\ \mathrm{m}, ρ=1000 kg/m3,μ=1.13×10−3 Pa⋅s,\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu=1.13\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s},

可得

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