115 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《流體力學（A）》

核心觀念

本題使用：

1. 連續方程式
   $Q=AV$
2. 伯努力方程式：穩態、不可壓縮、無黏性損失，且各點位於同一水平面。
3. 大型儲槽內流速可忽略，即 $V_1\approx 0$。
4. 噴嘴出口排入大氣，因此出口表壓 $p_3=0$。

取標準大氣條件下空氣密度 $\rho=1.225\ \text{kg/m}^3$。

解題方法

令儲槽、軟管及噴嘴出口分別為第 $1$、$2$、$3$ 點。噴嘴出口直徑為 $d=0.01\ \text{m}$。

由第 $1$ 點至第 $3$ 點套用伯努力方程式：

$$\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2} = \frac{p_3}{\rho}+\frac{V_3^2}{2}$$

其中 $V_1\approx0$、$p_1=3000\ \text{Pa}$、$p_3=0$，因此

$$V_3 = \sqrt{\frac{2(p_1-p_3)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2(3000)}{1.225}} \approx69.99\ \text{m/s}$$

噴嘴出口面積為

$$A_3=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.01)^2}{4} =7.854\times10^{-5}\ \text{m}^2$$

因此體積流率

$$Q=A_3V_3 =(7.854\times10^{-5})(69.99)$$ $$Q\approx5.50\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$

軟管直徑為 $D=0.03\ \text{m}$，由連續方程式：

本題考驗對體積流量、體積以及時間關係的理解。題目給定了一個泳池的尺寸和注水的水龍頭的流量，要求計算注滿泳池所需的時間。

核心觀念：
體積流量 (Flow Rate, $Q$) 定義為單位時間內流過的流體體積。
$Q = \frac{V}{t}$
其中 $V$ 是流體的體積，$t$ 是所需的時間。
因此，計算時間的公式為：
$t = \frac{V}{Q}$

解題步驟：

1. 計算泳池的體積 ($V$)：
   泳池為圓柱形，其體積公式為：
   $V = \text{底面積} \times \text{高度}$
   底面積為圓形，其面積公式為 $A = \pi r^2$ 或 $A = \frac{\pi D^2}{4}$，其中 $D$ 是直徑，$r$ 是半徑。
   題目給定泳池直徑 $D = 8$ m，因此半徑 $r = D/2 = 8/2 = 4$ m。
   泳池的底面積 $A = \pi (4 \text{ m})^2 = 16\pi \text{ m}^2$。
   題目給定水深（即泳池高度）$h = 1.5$ m。
   所以，泳池的體積 $V = A \times h = 16\pi \text{ m}^2 \times 1.5 \text{ m} = 24\pi \text{ m}^3$。

2. 確認流量單位並轉換：
   題目給定的流量為 $Q = 1.0$ L/s。
   為了與體積單位 m³ 保持一致，我們需要將 L/s 轉換為 m³/s。
   已知 1 m³ = 1000 L，所以 1 L = 0.001 m³。
   因此，流量 $Q = 1.0 \text{ L/s} = 1.0 \times 0.001 \text{ m}^3/\text{s} = 0.001 \text{ m}^3/\text{s}$。

3. 計算所需時間 ($t$)：
   使用公式 $t = V/Q$。
   $V = 24\pi \text{ m}^3$

本題要求我們在給定的條件下，利用 Navier-Stokes 方程式推導出薄膜厚度與單位寬度體積流量之間的關係。

核心觀念：

1. Navier-Stokes 方程式： 描述黏滯不可壓縮流體運動的守恆方程式。
2. 薄膜流 (Film Flow)： 在傾斜平面上流動的薄層流體，其厚度遠小於流動的長度。
3. 質量守恆 (Continuity Equation)： 在穩態流動下，流體體積不變。
4. 邊界條件 (Boundary Conditions)： 描述流體在邊界上的行為。

解題步驟：

1. 設定座標系與流動假設：

• 考慮一個無限寬的傾斜平面，與水平面的夾角為 $\theta$。
• 設定座標系：x 軸沿著平面向下，y 軸垂直於平面向上。
• 流體為黏滯、不可壓縮液體，密度為 $\rho$，動力黏滯係數為 $\mu$。
• 流動是穩態 (steady)、層流 (laminar)。
• 流速剖面是均勻的，只沿著 x 方向有速度分量 $u(y)$，且速度不隨時間和 z 方向（寬度方向）變化。
• 速度分量 $v(y) = 0$ (垂直於平面的速度為零，因為是薄膜流且厚度均勻)。
• 速度分量 $w = 0$ (無限寬，無沿寬度方向的速度)。
• 壓強 $p$ 僅是 y 的函數，或者在薄膜流假設下，流場的壓強分佈可以簡化。

2. 寫出 Navier-Stokes 方程式：
在上述座標系和假設下，x 和 y 方向的 Navier-Stokes 方程式為：

x 方向：
$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g \sin\theta$
y 方向：
$\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right) - \rho g \cos\theta$

3. 簡化 Navier-Stokes 方程式：
根據流動假設：

• 穩態流動：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
• 速度分量：$u=u(y)$, $v=0$, $w=0$。
• 速度梯度：$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$, $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$。
• $v=0$ 意味著 $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0$, $\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$, $\frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0$。
• 壓強分佈：由於流體是不可壓縮且流動是穩態層流，且沒有外力沿 y 方向（除了重力垂直分量），壓強 $p$ 僅隨 y 變化，且通常可以被重力垂直分量平衡，或者在薄膜流中，我們假設壓強在垂直於平面的方向上是常數（例如等於大氣壓）。在這裡，我們假設 $p$ 僅是 $y$ 的函數。

簡化後的 x 方向方程式：
$\rho (0 + 0 + u \frac{du}{dy} + 0) = -\frac{dp}{dx} + \mu \frac{d^2 u}{dy^2} + \rho g \sin\theta$
由於 $u=u(y)$ 且 $\frac{dp}{dx}$ 為常數 (或零)，此式仍有問題。
在薄膜流中，通常假設流動是沿著傾斜平面的，且壓力在垂直於平面的方向上是常數，等於外面的壓力（例如大氣壓）。如果我們假設 $p$ 在 x 方向上不變，則 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
那麼 x 方向方程式變為：
$\mu \frac{d^2 u}{dy^2} + \rho g \sin\theta = 0$
$\frac{d^2 u}{dy^2} = -\frac{\rho g \sin\theta}{\mu}$

簡化後的 y 方向方程式：
$\rho (0 + 0 + 0 + 0) = -\frac{\partial p}{\partial y} + 0 - \rho g \cos\theta$
$\frac{\partial p}{\partial y} = -\rho g \cos\theta$
積分得到 $p(y) = -\rho g y \cos\theta + C_1$。
如果我們假設在自由表面 $y=h$ (薄膜厚度)，壓力 $p = p_{atm}$ (大氣壓力)，則 $p_{atm} = -\rho g h \cos\theta + C_1$。
所以 $C_1 = p_{atm} + \rho g h \cos\theta$。
$p(y) = p_{atm} + \rho g (h-y) \cos\theta$
這表明壓力沿 y 方向線性變化。

4. 解速度剖面 $u(y)$：
對 $\frac{d^2 u}{dy^2} = -\frac{\rho g \sin\theta}{\mu}$ 積分兩次：
第一次積分：

本題探討一個在黏滯流體中受彈簧約束的球體振動問題，並分別探討了理想流體、有限容器、高黏滯流體等不同情況下的運動方程式。

核心觀念：

1. 牛頓第二運動定律： $\sum F = ma$。
2. 浮力 (Buoyancy Force)： 阿基米德原理。
3. 彈簧力 (Spring Force)： 胡克定律。
4. 流體阻力 (Fluid Resistance/Drag Force)： 隨流體性質（黏滯性、速度）和物體形狀而變化。
5. 白努利方程式 (Bernoulli's Equation)： 在理想流體中，用於分析壓力與速度的關係。
6. 雷諾數 (Reynolds Number)： 用於區分流動的線性（層流）或非線性（紊流）特徵。

解題步驟：

圖示說明：
圖 2a 顯示一個大水箱（視為無限大），球體在其中。
圖 2b 顯示一個容器，其橫截面尺寸僅略大於球體。
y 軸垂直向上，原點 $y=0$ 是球體的平衡位置。
$m_b$ 是球體質量，$\rho_b$ 是球體密度， $R_b$ 是球體半徑。
$k$ 是彈簧的彈性係數。
$\rho$ 是流體密度，$\nu$ 是流體運動黏滯係數。

(a) 列出力作用在球體上的力：
球體在垂直方向上受到以下幾種力的作用：

1. 重力 (Gravitational Force)： $F_g = m_b g$。方向向下。
2. 浮力 (Buoyancy Force)： $F_b = \rho V_b g = \rho (\frac{4}{3}\pi R_b^3) g$。方向向上。
3. 彈簧力 (Spring Force)： $F_s = -k y$。方向向上當 $y<0$ (壓縮)，向下當 $y>0$ (伸長)。這裡 $y$ 是相對於平衡位置的位移。
4. 流體阻力 (Fluid Resistance/Drag Force)： $F_d$。方向與速度方向相反。

平衡位置的確定：
在平衡位置 $y=0$，球體合力為零。
$F_g + F_s + F_b + F_d(at y=0) = 0$
通常，在平衡位置，速度為零，所以流體阻力為零。
$m_b g - F_b = 0$ (假設彈簧在平衡位置沒有預壓縮或預伸長，即 $y=0$ 時彈簧力為零)
$m_b g = \rho (\frac{4}{3}\pi R_b^3) g$
$m_b = \rho (\frac{4}{3}\pi R_b^3)$
由於 $m_b = \rho_b (\frac{4}{3}\pi R_b^3)$，所以平衡條件是 $\rho_b = \rho$。
如果 $\rho_b \neq \rho$，則平衡位置 $y=0$ 處的彈簧力 $F_s$ 必須平衡重力和浮力的差值。
假設 $y=0$ 是彈簧未受力時的位置，則：
$F_s(y=0) = 0$。
在平衡位置 $y=0$ 時，合力為零：
$F_g - F_b + F_s(y=0) = 0$ (假設 $F_s(y=0)=0$)
$m_b g - \rho V_b g = 0$
$m_b = \rho V_b$
如果 $m_b \neq \rho V_b$，則 $y=0$ 不是彈簧力為零的平衡位置。
Let's assume $y=0$ is the equilibrium position where the net force is zero.
Then, $F_{net}(y=0) = m_b g - F_b + F_s(y=0) = 0$.
If the spring is unstretched at $y=0$, then $F_s(y=0)=0$.
This implies $m_b g = F_b = \rho V_b g$, so $m_b = \rho V_b$.
If $m_b > \rho V_b$, the equilibrium position is where $m_b g - F_b = k y_{eq}$.
However, the problem states the equilibrium position is $y=0$, implying that the net forces excluding the spring force are balanced by the spring force at $y=0$.
So, $m_b g - F_b + k y_{eq} = 0$ where $y_{eq}=0$. This implies $m_b g = F_b$.
This means $\rho_b = \rho$.
Let's proceed with this assumption for simplicity, or acknowledge that the spring force is $F_s = -k(y - y_{eq})$, and $y=0$ is where $m_b g - F_b = k y_{eq}$.
If $y=0$ is the equilibrium position, and the spring is attached such that it is unstretched at $y=0$, then $m_b g - F_b = 0$. This means $\rho_b = \rho$.
If the spring is stretched/compressed at $y=0$, then the equilibrium position is defined by $m_b g - F_b + F_s(y=0) = 0$.
Let's assume the simplest case: $y=0$ is the equilibrium position, and the spring force at $y=0$ is such that it balances the net force of gravity and buoyancy.
$F_{net, y=0} = m_b g - F_b + F_{s,0} = 0$, where $F_{s,0}$ is the spring force at $y=0$.
The total spring force is $F_s = -k y + F_{s,0}$ (if $y$ is displacement from unstretched position).
If $y=0$ is the equilibrium position, the net force is $m_b g - F_b - k y = 0$.
So $F_{net} = m_b g - F_b - k y$. This implies the spring force is $-ky$ and it's acting downwards when $y$ is positive.
Let's follow the convention: y is positive upwards. Spring force is $-ky$.
At equilibrium $y=0$: $m_b g - F_b - k(0) = 0$, so $m_b g = F_b$. This means $\rho_b = \rho$.
If $\rho_b \ne \rho$, then the equilibrium position $y=0$ means $m_b g - F_b + F_{s, at y=0} = 0$. Let $y_{unstretched}$ be the position where the spring is unstretched. Let $y_{eq}=0$. Then $y = y_{unstretched} - y_{eq}$. Spring force is $-k(y - y_{unstretched})$. If $y_{eq}=0$ is the equilibrium, then $m_b g - F_b - k(0 - y_{unstretched}) = 0$. So $k y_{unstretched} = F_b - m_b g$.
The spring force is $F_s = -k (y - y_{unstretched})$.
Total force is $F_{net} = m_b g - F_b - k(y - y_{unstretched}) = m_b g - F_b - ky + k y_{unstretched}$.
$F_{net} = m_b g - F_b - ky + (F_b - m_b g) = -ky$.
This confirms that if $y=0$ is the equilibrium position, the net force is indeed $-ky$, regardless of whether $m_b g = F_b$ or not, as long as the spring is attached appropriately.

So, the forces are:

• Gravity: $m_b g$ (downwards)
• Buoyancy: $\rho V_b g$ (upwards)
• Spring force: $-ky$ (upwards if $y<0$, downwards if $y>0$)
• Fluid resistance: $F_d(y, \dot{y})$ (opposing velocity $\dot{y}$)

(b) 理想流體 (Inviscid Fluid) 且水箱很大 (Very Large Tank) 的運動方程式：
在理想流體情況下，$F_d = 0$。
牛頓第二運動定律：$\sum F_y = m_b \ddot{y}$
$F_b - m_b g - k y = m_b \ddot{y}$ (這裡我們將浮力設為正，重力設為負，彈簧力設為負，因為 $y$ 是向上位移)。
$\rho V_b g - m_b g - k y = m_b \ddot{y}$
$\ddot{y} + \frac{k}{m_b} y = \frac{(\rho V_b - m_b) g}{m_b}$
$\ddot{y} + \frac{k}{m_b} y = \left(\frac{\rho}{\rho_b} - 1\right) g$

這是一個二階線性常微分方程式，描述了簡諧運動（如果右側為零，即 $\rho_b = \rho$）或受迫振盪。
由於題目要求的是「equation describing the motion」，這就是該方程式。

核心觀念

依圖取波的傳播方向為 $+x$。波前水深為 $h_1$，原本水體靜止；波後水深為 $h_2$，且 $h_2>h_1$。設波後水流速度為 $u_2$。

本題是有限振幅的淺水波，可視為移動的水躍。採用隨波移動的參考座標後，波面固定，可使用：

1. 質量守恆；
2. 水平動量守恆；
3. 淺水假設下的靜水壓分布。

取單位寬度，斷面上的靜水壓合力為

$$P=\frac{1}{2}\rho g h^2.$$

解題方法

(a) 波速 $C_w$

在波的參考座標中：

• 波前水體的相對速度為 $-C_w$；
• 波後水體的相對速度為 $u_2-C_w$。

由質量守恆，

$$\rho h_1 C_w=\rho h_2(C_w-u_2),$$

因此

$$u_2=C_w\left(1-\frac{h_1}{h_2}\right). \tag{1}$$

在隨波座標中套用水平動量守恆：

$$\frac{1}{2}\rho g h_1^2+\rho h_1C_w^2 = \frac{1}{2}\rho g h_2^2 +\rho h_2(C_w-u_2)^2.$$

由質量守恆式可得

$$C_w-u_2=\frac{h_1}{h_2}C_w.$$

代入動量方程：

$$\frac{1}{2}\rho g h_1^2+\rho h_1C_w^2 = \frac{1}{2}\rho g h_2^2 +\rho h_2\left(\frac{h_1}{h_2}C_w\right)^2.$$

整理得

$$C_w^2\left(h_1-\frac{h_1^2}{h_2}\right) = \frac{g}{2}(h_2^2-h_1^2).$$

因為