112 年 國立臺灣大學應用力學研究所乙組《流體力學（A）》

核心觀念

本題使用：

• 連續方程：穩態、不可壓縮流的流量守恆。
• 伯努力方程：求出口截面的壓力分布。
• 控制體積線性動量方程：求房屋所受水平力。
• 無黏性流體無壁面剪力，故水平力以壓力作用為主。

取流向向右為 $+x$，並以單位紙面深度計算。依題目風場模型，忽略重力位能差。

（A）求 $h_2$

出口速度剖面為線性分布：

$$u_2(y)=\frac{U}{h_2}y,\qquad 0\le y\le h_2$$

入口流量為

$$Q_1=Uh_1$$

出口流量為

$$Q_2=\int_0^{h_2}u_2(y)\,dy =\int_0^{h_2}\frac{U}{h_2}y\,dy =\frac{Uh_2}{2}$$

由連續方程 $Q_1=Q_2$：

$$Uh_1=\frac{Uh_2}{2}$$

因此

$$\boxed{h_2=2h_1}$$

（B）房屋所受水平力

出口速度隨高度變化，因此出口壓力也隨高度變化。沿流線使用伯努力方程：

$$p_2(y)+\frac12\rho u_2^2(y) = p_\infty+\frac12\rho U^2$$

所以出口壓力相對於 $p_\infty$ 的表壓為

$$p_2(y)-p_\infty = \frac12\rho\left[U^2-u_2^2(y)\right]$$

代入 $u_2(y)=Uy/h_2$：

$$p_2(y)-p_\infty = \frac12\rho U^2 \left(1-\frac{y^2}{h_2^2}\right)$$

出口截面上的壓力對控制體積產生向左的力：

$$F_{p,2,x} = -\int_0^{h_2}\left(p_2-p_\infty\right)\,dy$$

因此

$$F_{p,2,x} = -\frac12\rho U^2 \int_0^{h_2} \left(1-\frac{y^2}{h_2^2}\right)dy$$ $$F_{p,2,x} = -\frac12\rho U^2 \left(h_2-\frac{h_2}{3}\right) = -\frac{\rho U^2h_2}{3}$$

利用 $h_2=2h_1$：

$$F_{p,2,x} = -\frac23\rho U^2h_1$$

核心觀念

本題使用三個原理：

1. 自由液面為流線，且液面兩端壓力皆為大氣壓，可沿自由液面使用 Bernoulli 方程式。
2. 二維定常無黏性流中，渦度沿流線守恆。
3. 水道寬度固定且流體不可壓縮，因此單位寬度流量守恆。

注意：無黏性不代表速度梯度為零；$S_i$ 是速度梯度，不是黏性剪應力。

(A) 水面速度 $U_{s2}$

以自由液面站 1 與站 2 兩點套用 Bernoulli 方程式：

$$\frac{U_{s1}^2}{2}+gz_{s1} = \frac{U_{s2}^2}{2}+gz_{s2}.$$

依圖，站 2 位於下游，水道沿程下降的高度約為

$$z_{s1}-z_{s2}\simeq L\sin\theta,$$

其中忽略 $h_1,h_2$ 相對於 $L$ 所造成的高程差修正。因此

$$\frac{U_{s2}^2-U_{s1}^2}{2} = gL\sin\theta.$$

故

$$\boxed{ U_{s2} = \sqrt{U_{s1}^2+2gL\sin\theta} }.$$

(B) 站 2 的剪切率 $S_2$

取速度向量為 $(u_1,u_2)$，其渦度為

$$\omega_3 = \frac{\partial u_2}{\partial x_1} - \frac{\partial u_1}{\partial x_2}.$$

由於水道很長且 $h_1,h_2\ll L$，各測站附近的流動可視為近似平行流，故

$$\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\simeq 0, \qquad \omega_3\simeq-\frac{\partial u_1}{\partial x_2}.$$

在站 1，速度剖面為線性，因此渦度在整個剖面內均為

$$\omega_{3,1}=-S_1.$$

二維定常無黏性流滿足渦度輸運方程式

$$\frac{D\omega_3}{Dt}=0.$$

所以渦度由站 1 傳至站 2 後仍為 $-S_1$。又站 2 的剖面亦為線性，故

$$\omega_{3,2}=-S_2.$$

因此

$$-S_2=-S_1,$$

得到

$$\boxed{S_2=S_1}.$$

(C) 水深 $h_2$

核心觀念

本題使用三個觀念：

1. 連續方程式：由總流量與每個噴嘴面積求相對出口速度。
2. 角動量定理：以旋轉軸為取矩中心，流體角動量通量產生力矩。
3. 速度合成：絕對速度等於噴嘴相對流速與噴嘴周速的向量和。

假設水為不可壓縮流體、兩噴嘴平均分流，且入口位於旋轉軸上、沒有入口旋流；噴嘴出口相對於噴嘴為切線方向。

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基本流速計算

總流量為

$$Q=800\ \text{mL/s} =8.00\times10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$$

每個噴嘴的流量：

$$Q_o=\frac{Q}{2} =4.00\times10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$$

每個噴嘴面積：

$$A_o=25\ \text{mm}^2 =25\times10^{-6}\ \text{m}^2$$

因此，水相對於噴嘴的出口速度為

$$W=\frac{Q_o}{A_o} =\frac{4.00\times10^{-4}}{25\times10^{-6}} =16.0\ \text{m/s}$$

已知

$$r=200\ \text{mm}=0.200\ \text{m}, \qquad \rho=1000\ \text{kg/m}^3$$

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解題方法：角動量方程式

以旋轉軸為取矩中心，流體的角動量方程式為

$$\sum M_z = \dot m r V_\theta$$

入口在旋轉軸上，因此入口角動量為零。兩個噴嘴的流量與切向速度相同，故總流體力矩為

$$T = 2\left(\rho Q_o r V_\theta\right)$$

噴流造成的轉動方向與水流切向動量方向相反。

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(A) 固定噴水頭所需的抵抗力矩

當噴水頭固定不動時，噴嘴周速為零，因此

$$V_\theta=W=16.0\ \text{m/s}$$

每個噴嘴的質量流率為

$$\dot m_o=\rho Q_o =1000(4.00\times10^{-4}) =0.400\ \text{kg/s}$$

所需抵抗力矩大小：

$$T = 2\dot m_o rW$$ $$T = 2(0.400)(0.200)(16.0) = 2.56\ \text{N}\cdot\text{m}$$

此抵抗力矩方向須與水流對噴水頭所造成的轉動趨勢相反。

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(B) 轉速為 500 rev/min 時的絕對出口速度

核心觀念

本題使用三個觀念：

1. 連續方程式：由總流量與每個噴嘴面積求相對出口速度。
2. 角動量定理：以旋轉軸為取矩中心，流體角動量通量產生力矩。
3. 速度合成：絕對速度等於噴嘴相對流速與噴嘴周速的向量和。

假設水為不可壓縮流體、兩噴嘴平均分流，且入口位於旋轉軸上、沒有入口旋流；噴嘴出口相對於噴嘴為切線方向。

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基本流速計算

總流量為

$$Q=800\ \text{mL/s} =8.00\times10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$$

每個噴嘴的流量：

$$Q_o=\frac{Q}{2} =4.00\times10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$$

每個噴嘴面積：

$$A_o=25\ \text{mm}^2 =25\times10^{-6}\ \text{m}^2$$

因此，水相對於噴嘴的出口速度為

$$W=\frac{Q_o}{A_o} =\frac{4.00\times10^{-4}}{25\times10^{-6}} =16.0\ \text{m/s}$$

已知

$$r=200\ \text{mm}=0.200\ \text{m}, \qquad \rho=1000\ \text{kg/m}^3$$

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解題方法：角動量方程式

以旋轉軸為取矩中心，流體的角動量方程式為

$$\sum M_z = \dot m r V_\theta$$

入口在旋轉軸上，因此入口角動量為零。兩個噴嘴的流量與切向速度相同，故總流體力矩為

$$T = 2\left(\rho Q_o r V_\theta\right)$$

噴流造成的轉動方向與水流切向動量方向相反。

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(A) 固定噴水頭所需的抵抗力矩

當噴水頭固定不動時，噴嘴周速為零，因此

$$V_\theta=W=16.0\ \text{m/s}$$

每個噴嘴的質量流率為

$$\dot m_o=\rho Q_o =1000(4.00\times10^{-4}) =0.400\ \text{kg/s}$$

所需抵抗力矩大小：

$$T = 2\dot m_o rW$$ $$T = 2(0.400)(0.200)(16.0) = 2.56\ \text{N}\cdot\text{m}$$

此抵抗力矩方向須與水流對噴水頭所造成的轉動趨勢相反。

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(B) 轉速為 500 rev/min 時的絕對出口速度

核心觀念

本題考查圓管內黏性流動（Internal Incompressible Viscous Flow）之經典分析，涵蓋以下核心公式與觀念：

1. 流態判別（雷諾數 $Re$）：
   $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}$
   圓管流中，判別臨界雷諾數為 $Re_{cr} \approx 2100$ 或 $2300$。若 $Re < 2100$，流動為層流（Laminar Flow）；若 $Re > 4000$，為紊流（Turbulent Flow）。
2. 層流圓管摩擦因子（Darcy Friction Factor $f$）：
   針對完全發展的層流圓管流（Hagen-Poiseuille Flow）：
   $f = \frac{64}{Re}$
3. 水頭損失（Head Loss）與能量方程式（Energy Equation）：
   Darcy-Weisbach 公式：
   $h_L = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$
   對於均勻等徑垂直向下流動，依據管流能量方程式：
   $\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_L$
   因管徑均勻，$V_1 = V_2$；位能差與摩擦損耗共同決定沿程壓力變化。
4. 管壁剪應力（Wall Shear Stress $\tau_w$）：
   管壁剪應力與摩擦因子的直接關係為：
   $\tau_w = \frac{1}{8} f \rho V^2$
   在層流完全發展流中，亦可由牛頓黏滯定律 $\tau_w = \mu \left| \frac{du}{dr} \right|_{r=R}$ 求得。

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解題方法

已知條件統整

• 體積流量：$Q = 3.6\text{ L/min} = \frac{3.6 \times 10^{-3}\text{ m}^3}{60\text{ s}} = 6.0 \times 10^{-5}\text{ m}^3/\text{s}$
• 管徑：$D = 40\text{ mm} = 0.04\text{ m}$，半徑 $R = 0.02\text{ m}$
• 管截面積：$A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.04)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\text{ m}^2 \approx 1.2566 \times 10^{-3}\text{ m}^2$
• 平均流速：
  $V = \frac{Q}{A} = \frac{6.0 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-4}} = \frac{0.15}{\pi} \approx 0.04775\text{ m/s}$
• 流體物性（常溫水）：
  水的密度取 $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$，重力加速度 $g = 9.81\text{ m/s}^2$。
  題目給定動力黏滯係數數值標註為 $\mu = 1.14 \times 10^{-6}\text{ N}\cdot\text{s/m}^2$（註：常溫水之運動黏度 $\nu \approx 1.14 \times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}$，此處依題目給定之黏滯係數直接計算）。

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各子題推導與計算

(A) 判定為層流（Laminar）或紊流（Turbulent）

計算雷諾數 $Re$：
$Re = \frac{\rho V D}{\mu}$
代入已知數值：
$Re = \frac{1000 \times 0.04775 \times 0.04}{1.14 \times 10^{-6}} = \frac{1.910}{1.14 \times 10^{-6}} \approx 1.675 \times 10^6$

• 若依題面文字給定之黏滯係數 $\mu = 1.14 \times 10^{-6}\text{ N}\cdot\text{s/m}^2$：
  $Re \approx 1.68 \times 10^6 > 4000 \implies \text{流動為紊流（Turbulent）}$

• 原題勘誤考量（物理常理）：
  若該數值實為常溫水之運動黏度 $\nu = \frac{\mu}{\rho} = 1.14 \times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}$（對應動力黏度 $\mu \approx 1.14 \times 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{s/m}^2$）：
  $Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{0.04775 \times 0.04}{1.14 \times 10^{-6}} \approx 1675 < 2100 \implies \text{流動為層流（Laminar）}$
  本題依標準命題規範，各子題以層流公式設計。以下詳解依層流標準解析推導（$\nu = 1.14 \times 10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}$，即 $\mu = 1.14 \times 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{s/m}^2$），並在末尾標註純按題目符號之對應數值。

因 $Re = 1675 < 2100$，流動為層流（Laminar Flow）。

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(C) 單位長度之摩擦水頭損失（Friction head loss per unit length）

層流之 Darcy 摩擦因子：
$f = \frac{64}{Re} = \frac{64}{1675.4} \approx 0.0382$