111 年 國立成功大學數據科學研究所《統計學》

本題考驗隨機變數的期望值與變異數性質，特別是獨立隨機變數的和的期望值和變異數。

首先，我們知道二項分配 $B(n, p)$ 的期望值為 $E(X) = np$，變異數為 $Var(X) = np(1-p)$。
對於 $X \sim B(16, 0.25)$：
$E(X) = 16 \times 0.25 = 4$
$Var(X) = 16 \times 0.25 \times (1 - 0.25) = 16 \times 0.25 \times 0.75 = 4 \times 0.75 = 3$

對於 $Y \sim B(32, 0.25)$：
$E(Y) = 32 \times 0.25 = 8$
$Var(Y) = 32 \times 0.25 \times (1 - 0.25) = 32 \times 0.25 \times 0.75 = 8 \times 0.75 = 6$

由於 $X$ 和 $Y$ 相互獨立，因此 $W = X+Y$ 的期望值為：
$E(W) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 4 + 8 = 12$

本題考驗二項分配的常態近似。

首先，我們將問題轉化為二項分配。
令 $n$ 為房間總數，即 $n = 72$。
令 $p$ 為房間的出租率（成功機率），即 $p = 2/3 \approx 0.6667$。
令 $X$ 為出租的房間數。則 $X \sim B(n, p) = B(72, 2/3)$。
我們要求的是出租42間的機率，即 $P(X=42)$。

當 $n$ 很大且 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$ 時，二項分配可以用常態分配近似。
計算 $np$ 和 $n(1-p)$:
$np = 72 \times (2/3) = 48$
$n(1-p) = 72 \times (1 - 2/3) = 72 \times (1/3) = 24$
由於 $48 \ge 5$ 且 $24 \ge 5$，我們可以使用常態近似。

常態近似的參數：
平均數 $\mu = np = 48$
標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{72 \times (2/3) \times (1/3)} = \sqrt{48 \times (1/3)} = \sqrt{16} = 4$

因此，我們用常態分配 $N(\mu, \sigma^2) = N(48, 4^2)$ 來近似 $X$。
為了計算離散的二項分配機率 $P(X=42)$，我們需要使用連續性修正 (continuity correction)。
$P(X=42)$ 在連續性近似中對應於常態分配的區間 $[41.5, 42.5]$。
所以，我們需要計算 $P(41.5 \le X_{normal} \le 42.5)$。

將區間轉換為標準常態變數 $Z = \frac{X_{normal} - \mu}{\sigma}$:
$Z_1 = \frac{41.5 - 48}{4} = \frac{-6.5}{4} = -1.625$
$Z_2 = \frac{42.5 - 48}{4} = \frac{-5.5}{4} = -1.375$

我們需要計算 $P(-1.625 \le Z \le -1.375)$。
這等於 $P(Z \le -1.375) - P(Z \le -1.625)$。

本題考驗隨機變數的常態分配及其線性轉換。

題目給定的機率密度函數 (PDF) 是：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \times 4} e^{-\frac{(x+3)^2}{2 \times 4^2}}$
這是一個常態分配的 PDF，其一般形式為：
$f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
比較給定的 $f(x)$ 與一般形式，我們可以確定隨機變數 $X$ 的平均數 $\mu_X$ 和標準差 $\sigma_X$。
從指數項的分子 $(x+3)^2 = (x - (-3))^2$，我們得到 $\mu_X = -3$。
從分母的 $2 \times 4^2$，我們得到 $\sigma_X = 4$。
所以，$X \sim N(\mu_X = -3, \sigma_X^2 = 4^2)$。

接著，題目說 $aX+b$ 服從標準常態分配。
標準常態分配是指平均數為 0 且標準差為 1 的常態分配，記為 $Z \sim N(0, 1)$。
我們知道，如果 $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，那麼線性轉換 $Y = aX+b$ 服從常態分配 $Y \sim N(a\mu_X + b, a^2\sigma_X^2)$。

在我們的問題中，$Y = aX+b$ 服從標準常態分配 $N(0, 1)$。
因此，我們有：
平均數：$a\mu_X + b = 0$
標準差：$|a|\sigma_X = 1$

將我們從 $f(x)$ 中得到的 $\mu_X = -3$ 和 $\sigma_X = 4$ 代入：

1. 平均數方程式：$a(-3) + b = 0 \implies -3a + b = 0 \implies b = 3a$

本題考驗常態分配的機率與參數估計。

題目已知考試成績 $X$ 服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$。
我們有兩個機率條件：

1. $P(X > 80) = 0.1230$
2. $P(X < 20) = 0.1003$

我們將這兩個條件轉換為標準常態變數 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 的機率。

對於第一個條件：
$P(X > 80) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{80 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z > \frac{80 - \mu}{\sigma}\right) = 0.1230$
由於 $P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$，所以 $1 - P\left(Z \le \frac{80 - \mu}{\sigma}\right) = 0.1230$。
$P\left(Z \le \frac{80 - \mu}{\sigma}\right) = 1 - 0.1230 = 0.8770$
查閱標準常態分配表，找到機率值最接近 $0.8770$ 的 $z$ 值。
$P(Z \le 1.16) \approx 0.8770$。
因此，我們得到第一個方程式：
$\frac{80 - \mu}{\sigma} = 1.16 \quad (1)$

對於第二個條件：
$P(X < 20) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{20 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z < \frac{20 - \mu}{\sigma}\right) = 0.1003$
查閱標準常態分配表，找到機率值最接近 $0.1003$ 的 $z$ 值。
$P(Z \le -1.28) \approx 0.1003$。
因此，我們得到第二個方程式：
$\frac{20 - \mu}{\sigma} = -1.28 \quad (2)$

現在我們需要解這兩個聯立方程式來求 $\mu$ 和 $\sigma$。
從方程式 (1)：$80 - \mu = 1.16\sigma$
從方程式 (2)：$20 - \mu = -1.28\sigma$

本題考查雙尾 $Z$ 檢定之樣本數決定 (Sample Size Determination) 與 型二錯誤率 ($\beta$) 的關係。核心概念在於當母體標準差 $\sigma$ 已知時，虛無假設下的不拒絕區域（Acceptance Region）在對立假設的真實母體均值 $\mu = 12$ 下進行標準化，藉由設定型二錯誤機率上限 $\beta = 0.1003$，反推滿足特定檢定力（Power, $1-\beta$）所需的最少樣本數 $n$。

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解題過程

1. 設定虛無假設與對立假設之不拒絕區域 (Acceptance Region)

題目給定條件如下：

• 虛無假設與對立假設：$H_0: \mu = 13$ vs $H_1: \mu \neq 13$（雙尾檢定）
• 顯著水準：$\alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$
• 母體標準差：$\sigma = 3$

在虛無假設 $H_0: \mu = 13$ 為真的前提下，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配為 $\bar{X} \sim N\left(13, \frac{3^2}{n}\right)$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$ 對應的雙尾標準常態臨界值為 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
因此，未能拒絕 $H_0$ 的不拒絕區域為：
$13 - 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{n}} \le \bar{X} \le 13 + 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{n}}$

2. 定義型二錯誤率 ($\beta$) 並進行標準化

型二錯誤（Type II Error）是指「當對立假設為真（實際母體均值 $\mu = 12$）時，卻未能拒絕虛無假設 $H_0$」的機率。
當實際母體均值為 $\mu = 12$ 時，樣本平均數的真實抽樣分配為 $\bar{X} \sim N\left(12, \frac{3^2}{n}\right)$。

將不拒絕區域在真實均值 $\mu = 12$ 下進行標準化（減去真實均值 $12$ 並除以標準誤 $\frac{3}{\sqrt{n}}$），定義標準常態變數 $Z' = \frac{\bar{X} - 12}{3/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$：

$\beta = P_{\mu=12}\left( 13 - 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{n}} \le \bar{X} \le 13 + 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{n}} \right)$

將邊界化簡：

本題考驗單尾檢定的 p 值計算。

首先，我們確定檢定的類型和參數。
檢定為單尾右側檢定：$H_0: \mu \leq 100$ vs $H_1: \mu > 100$。
母體變異數已知，$\sigma^2 = 16$，所以母體標準差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$。
樣本大小 $n = 25$。
樣本平均數 $\bar{x} = 102$。

由於母體變異數已知，我們使用 $Z$ 檢定。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設 $H_0$ 中的邊界值，即 $\mu_0 = 100$。

核心觀念

本題考查**簡單線性迴歸（Simple Linear Regression, SLR）**中最小平方法（OLS）估計量之公式與性質：

1. 斜率估計量 $\hat{\beta}_1$：
   $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{S_{xy}}{s_x^2}$
   亦可由樣本相關係數 $r$ 與兩變數標準差表示為 $\hat{\beta}_1 = r \frac{s_y}{s_x}$。
2. 截距估計量 $\hat{\beta}_0$：
   迴歸直線必然通過樣本中心點 $(\bar{x}, \bar{y})$，故截距為：
   $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$

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解題方法

題目欲求以 $X$ 預測 $Y$ 之直線迴歸方程式 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$。

步驟一：求斜率 $\hat{\beta}_1$
依據最小平方法公式，以樣本共變異數 $S_{xy}$ 與 $X$ 之樣本變異數 $s_x^2$ 進行計算：
已知 $S_{xy} = 18$、$s_x = 6$（即 $s_x^2 = 6^2 = 36$），代入得：
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{s_x^2} = \frac{18}{36} = 0.5$

步驟二：求截距 $\hat{\beta}_0$
將兩變數之樣本平均數 $\bar{x} = 10$、$\bar{y} = 16$ 以及求得之 $\hat{\beta}_1 = 0.5$ 代入：

本題考驗檢定相關係數的顯著性。

我們要檢定的假設是：
$H_0: \rho = 0$ (母體相關係數為零，表示 $X$ 和 $Y$ 之間沒有線性關係)
$H_1: \rho \neq 0$ (母體相關係數不為零，表示 $X$ 和 $Y$ 之間存在線性關係)

檢定統計量 $t$ 的計算公式為：
$t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$
其中：
$r$ 是樣本相關係數。
$n$ 是樣本大小。

題目給定的值：
樣本大小 $n = 17$。
樣本相關係數 $r = 0.25 = 1/4$。

將這些值代入公式：
$t = \frac{0.25 \sqrt{17-2}}{\sqrt{1-(0.25)^2}}$
$t = \frac{0.25 \sqrt{15}}{\sqrt{1-0.0625}}$
$t = \frac{0.25 \sqrt{15}}{\sqrt{0.9375}}$

本題考驗線性迴歸的迴歸方程式計算和迴歸的 F 檢定。

首先，我們需要計算迴歸方程式的係數。
題目要求的是「X 對 Y 之直線迴歸方程式 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$」。這意味著 $Y$ 是應變數 (dependent variable)，$X$ 是自變數 (independent variable)。

給定的數據：
樣本大小 $n = 50$
樣本相關係數 $r = 0.5$
$X$ 的平均數 $\bar{x} = 160$
$X$ 的標準差 $s_x = 16$
$Y$ 的平均數 $\bar{y} = 60$
$Y$ 的標準差 $s_y = 8$

(1). $X$ 對 $Y$ 之直線迴歸方程式 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$

迴歸斜率 $\hat{\beta}_1$ 的計算公式為：
$\hat{\beta}_1 = r \frac{s_y}{s_x}$
將已知值代入：
$\hat{\beta}_1 = 0.5 \times \frac{8}{16} = 0.5 \times 0.5 = 0.25$

迴歸截距 $\hat{\beta}_0$ 的計算公式為：
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
將已知值代入：
$\hat{\beta}_0 = 60 - 0.25 \times 160 = 60 - 40 = 20$

所以，$X$ 對 $Y$ 之直線迴歸方程式為：
$\hat{y} = 20 + 0.25 x$

(2). 檢定 $H_0: \beta = 0$ 時, 檢定統計量 $F$ 值是多少?

我們要檢定的假設是 $H_0: \beta_1 = 0$ (表示 $X$ 對 $Y$ 沒有線性影響)。
$F$ 檢定是用來檢定迴歸模型的整體顯著性，對於簡單線性迴歸，它等價於檢定斜率 $\beta_1$ 是否顯著不為零。
$F$ 統計量與 $t$ 統計量的關係為 $F = t^2$。
首先，我們需要計算 $t$ 統計量。
$t$ 檢定統計量用於檢定斜率 $\beta_1$ 是否顯著不為零：
$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_1^0}{SE(\hat{\beta}_1)}$
在檢定 $H_0: \beta_1 = 0$ 時，$\beta_1^0 = 0$。
$SE(\hat{\beta}_1)$ 是斜率的標準誤。
$SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{MSE}{S_{xx}}}$
其中 $MSE$ 是均方誤 (Mean Squared Error)。