115 年 國立成功大學數據科學研究所《統計學（含迴歸分析）》

本題主要考驗對敘述統計基本概念的理解，包括集中量數（平均數、中位數、眾數）、離散量數（全距、變異數、標準差）以及相關係數的計算與解釋。

給定資料為 6 位受測者對於 X1 和 X2 的分數：
X1: {5, 8, 1, 2, 5, 9}
X2: {3, 3, 0, 3, 3, 0}

(1) 使用三種統計量計算 X1 資料中心的位置：
中心位置的統計量通常指平均數、中位數和眾數。

• 平均數 (Mean): 所有數值的總和除以數值的個數。
  $\bar{X_1} = \frac{5+8+1+2+5+9}{6} = \frac{30}{6} = 5$
• 中位數 (Median): 將資料由小到大排序後，位於中間的數值。若有偶數筆資料，則取中間兩數的平均。
  將 X1 排序：{1, 2, 5, 5, 8, 9}
  中間兩數為 5 和 5，所以中位數為 $\frac{5+5}{2} = 5$。
• 眾數 (Mode): 資料中出現頻率最高的數值。
  在 X1 的資料 {5, 8, 1, 2, 5, 9} 中，數值 5 出現兩次，其他數值都只出現一次。
  所以眾數為 5。

【答案】X1 的中心位置統計量為：平均數 = 5，中位數 = 5，眾數 = 5。

(2) 使用兩種統計量計算 X2 資料分散狀況：
分散狀況的統計量通常指全距、變異數或標準差。

• 全距 (Range): 資料中的最大值減去最小值。
  X2 的資料為 {3, 3, 0, 3, 3, 0}。
  最大值為 3，最小值為 0。
  全距 = 3 - 0 = 3。
• 樣本變異數 (Sample Variance): 衡量資料點與平均數之間離散程度的平均平方差。
  首先計算 X2 的平均數：
  $\bar{X_2} = \frac{3+3+0+3+3+0}{6} = \frac{12}{6} = 2$
  樣本變異數 $S_2^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{2i} - \bar{X_2})^2}{n-1}$
  $S_2^2 = \frac{(3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2 + (3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2}{6-1}$
  $S_2^2 = \frac{1^2 + 1^2 + (-2)^2 + 1^2 + 1^2 + (-2)^2}{5}$
  $S_2^2 = \frac{1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$
  （若題目要求母體變異數，則分母為 n，但通常情況下，若未特別說明，則使用樣本變異數。）

【答案】X2 的分散狀況統計量為：全距 = 3，樣本變異數 = 2.4。

(3) 計算 X1 和 X2 之間皮爾森相關係數：
皮爾森相關係數 (Pearson correlation coefficient) $r$ 用來衡量兩個變數之間線性相關的強度與方向。
$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{1i} - \bar{X_1})(X_{2i} - \bar{X_2})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_{1i} - \bar{X_1})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_{2i} - \bar{X_2})^2} }$
我們已經計算了 $\bar{X_1} = 5$ 和 $\bar{X_2} = 2$。
我們需要計算 $(X_{1i} - \bar{X_1})$ 和 $(X_{2i} - \bar{X_2})$ 的值：
| i | X1 | X2 | $X_{1i} - \bar{X_1}$ | $X_{2i} - \bar{X_2}$ | $(X_{1i} - \bar{X_1})(X_{2i} - \bar{X_2})$ | $(X_{1i} - \bar{X_1})^2$ | $(X_{2i} - \bar{X_2})^2$ |

本題考驗對柴比雪夫定理的理解與應用，以及對該定理準確性的判斷。

(1) 請敘述柴比雪夫定理：
柴比雪夫定理 (Chebyshev's Inequality) 指出，對於任何機率分佈，無論其具體形式如何，至少有一定比例的數據落在其平均值的一個標準差範圍內。
對於一個隨機變數 $X$ 具有期望值 $E(X) = \mu$ 和有限變異數 $Var(X) = \sigma^2$，對於任意常數 $k > 0$，有：
$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$
或者，等價地，對於任意常數 $k > 0$，有：
$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$
這個定理給出了一個機率的下限，說明樣本值落在平均值 $\mu$ 距離 $k\sigma$ 以內的機率至少為 $1 - \frac{1}{k^2}$。

【答案】柴比雪夫定理指出，對於任意具有期望值 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，對於任何 $k > 0$，隨機變數 $X$ 的值落在其期望值 $\mu$ 的 $k$ 個標準差範圍內（即 $|X - \mu| < k\sigma$）的機率至少為 $1 - \frac{1}{k^2}$。

(2) 假設一個隨機變數 X, 觀察到了一組隨機樣本 5, 8, 1, 2, 5, 9。請估計以下機率值 $Pr(5 - \sqrt{20} < X < 5 + \sqrt{20})$：
首先，從樣本資料 {5, 8, 1, 2, 5, 9} 計算樣本的平均數和樣本標準差，以估計母體的期望值 $\mu$ 和標準差 $\sigma$。
樣本平均數 $\bar{X} = \frac{5+8+1+2+5+9}{6} = \frac{30}{6} = 5$。
樣本變異數 $S^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$
$S^2 = \frac{(5-5)^2 + (8-5)^2 + (1-5)^2 + (2-5)^2 + (5-5)^2 + (9-5)^2}{6-1}$
$S^2 = \frac{0^2 + 3^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 4^2}{5} = \frac{0 + 9 + 16 + 9 + 0 + 16}{5} = \frac{50}{5} = 10$。
樣本標準差 $S = \sqrt{10} \approx 3.162$。

我們需要估計 $Pr(5 - \sqrt{20} < X < 5 + \sqrt{20})$。
注意到 $5$ 是樣本平均數 $\bar{X}$。
$\sqrt{20} \approx 4.472$。
所以我們要求的是 $Pr(5 - 4.472 < X < 5 + 4.472) = Pr(0.528 < X < 9.472)$。
這看起來像是要求 $Pr(\bar{X} - k\sigma < X < \bar{X} + k\sigma)$ 的形式。
我們可以將 $\sqrt{20}$ 與 $k\sigma$ 比較。
如果我們假設 $\sigma \approx S = \sqrt{10}$，那麼 $\sqrt{20} = k \sqrt{10}$，則 $k = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$。

本題主要考驗對常態分佈相關統計量的分佈性質的理解，特別是標準化變數、卡方分佈、t分佈，以及如何利用這些分佈來建構信賴區間。

已知產品品質 $X$ 服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$，有一批次 $n$ 個同規格產品 $X_1, ..., X_n$。

(1) 試問 $(X_1 - \mu) / \sigma$ 和 $(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 各具有何種分配?

• $(X_1 - \mu) / \sigma$:
  若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $X - \mu \sim N(0, \sigma^2)$。
  將 $X - \mu$ 除以 $\sigma$（標準差），得到標準化變數：
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
  標準常態分佈的定義就是 $Z \sim N(0, 1)$。
  因此，$(X_1 - \mu) / \sigma$ 服從標準常態分佈。

• $(X_1 - \bar{X}) / \sigma$:
  我們知道 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$。
  $\bar{X}$ 是 $X_1, ..., X_n$ 的函數。由於 $X_i$ 都是獨立同分佈的常態隨機變數，$\bar{X}$ 也服從常態分佈，其期望值為 $E(\bar{X}) = \mu$，變異數為 $Var(\bar{X}) = \sigma^2 / n$。
  所以，$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$。
  $X_1 - \bar{X}$ 的期望值為 $E(X_1 - \bar{X}) = E(X_1) - E(\bar{X}) = \mu - \mu = 0$。
  $X_1$ 和 $\bar{X}$ 之間是相關的，因為 $\bar{X}$ 包含了 $X_1$。
  因此，$(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 不是一個標準常態分佈。
  實際上，$(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 服從一個t分佈。
  更精確地說，我們知道 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
  而 $(X_1 - \bar{X})$ 的變異數計算較複雜，但我們可以知道 $\frac{X_1 - \bar{X}}{S/\sqrt{1 - 1/n}}$ 服從 $t$ 分佈，其中 $S$ 是樣本標準差。
  然而，題目給的是除以 $\sigma$，而不是樣本標準差 $S$。
  考慮統計量 $\frac{X_i - \bar{X}}{S}$。
  這裡我們需要考慮的是 $\frac{X_1 - \bar{X}}{\sigma}$ 的形式。
  根據統計學的性質，如果我們有 $n$ 個來自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的獨立樣本，則 $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$。
  而 $\frac{X_1 - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
  $\frac{X_1 - \bar{X}}{\sigma} = \frac{X_1 - \mu - (\bar{X} - \mu)}{\sigma} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} - \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$
  令 $Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$， $Z_{\bar{X}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
  則 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} = \frac{1}{\sqrt{n}} Z_{\bar{X}}$。
  所以 $\frac{X_1 - \bar{X}}{\sigma} = Z_1 - \frac{1}{\sqrt{n}} Z_{\bar{X}}$。
  這個量不是標準常態分佈。
  實際上，對於來自常態母體的樣本，統計量 $\frac{X_i - \bar{X}}{S}$ 的分佈是 $t_{n-1}$ 分佈。
  因此，$(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 實際上服從一個與 $t$ 分佈相關的變量，但不是標準 $t$ 分佈。
  更進一步，考慮統計量 $\frac{X_1 - \bar{X}}{S}$。
  我們知道 $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$, $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$。
  $X_1$ 和 $\bar{X}$ 是相關的。
  $(X_1 - \bar{X})$ 的期望值為 0。
  $Var(X_1 - \bar{X}) = Var(X_1) + Var(\bar{X}) - 2 Cov(X_1, \bar{X})$
  $Cov(X_1, \bar{X}) = Cov(X_1, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i) = \frac{1}{n} Cov(X_1, X_1 + X_2 + ... + X_n)$
  $= \frac{1}{n} (Cov(X_1, X_1) + Cov(X_1, X_2) + ... + Cov(X_1, X_n))$
  由於 $X_i$ 獨立， $Cov(X_1, X_i) = 0$ for $i \ne 1$。
  $Cov(X_1, X_1) = Var(X_1) = \sigma^2$。
  所以 $Cov(X_1, \bar{X}) = \frac{1}{n} \sigma^2$。
  $Var(X_1 - \bar{X}) = \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n} - 2 \frac{\sigma^2}{n} = \sigma^2 (1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n}) = \sigma^2 (1 - \frac{1}{n}) = \sigma^2 \frac{n-1}{n}$。
  所以，$\frac{X_1 - \bar{X}}{\sigma \sqrt{\frac{n-1}{n}}} \sim N(0, 1)$。
  因此，$(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 的分佈是 $N(0, \frac{n-1}{n})$。
  （注意：這裡的 $\sigma$ 是母體標準差，不是樣本標準差 $S$）。

【答案】

• $(X_1 - \mu) / \sigma$ 服從標準常態分佈 $N(0, 1)$。
• $(X_1 - \bar{X}) / \sigma$ 服從常態分佈 $N(0, \frac{n-1}{n})$。

(2) 試問 $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 / \sigma^2$ 和 $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 / \sigma^2$ 各具有何種分配?

核心觀念

直方圖將資料分組，以各組的次數呈現分布；組距會影響峰形的辨識。組距過大會合併不同的集中區，組距過小則容易呈現細碎起伏。

二維直方圖將平面分成矩形格子，以顏色深淺表示各格的資料筆數。判斷單峰或多峰，要觀察高密度區是否分成數個集中區，以及集中區之間是否有密度下降的區域。

解題方法

(1) 圖一左圖的組距與直方圖繪製流程

由圖一左圖可讀出，相鄰組界約為 $15、21、27、33$，因此

故組距約為 $6$ 英里／加侖。繪製流程如下：

1. 整理 $234$ 筆里程數，確認資料範圍為 $12$ 至 $44$。
2. 選定組距 $6$，設定涵蓋全部資料的組界。例如採用 $9、15、21、27、33、39、45$。
3. 計算各區間的資料筆數。為避免重複計數，可採左閉右開區間，最後一組包含右端點。
4. 橫軸標示里程數，縱軸標示次數；每組畫一個寬度為 $6$、高度為該組次數的長條，各長條相鄰排列。

各組次數相加必須等於 $234$。不能直接用最大值減最小值求組距，因為還需要知道分組數與組界位置。

(2) 高速公路里程數為雙峰分布

圖一右圖使用較小組距，可辨識出兩個主要集中區，峰值分別約在 $17$ 與 $26$ 英里／加侖，兩者之間的次數明顯降低，因此判定為雙峰分布。

左圖使用較大的組距 $6$，將細部結構合併，兩個集中區形成相鄰的高長條，掩蓋了中間的低谷。因此，判斷峰數必須比較不同組距下的圖形，不能只根據左圖最高的一根長條認定為單峰。

右图中的細小起伏不必各自視為一個峰；本題辨識的是兩個主要集中區。

(3) 圖二右圖的組距、繪製流程與峰數

本題為一個綜合性的迴歸分析題目，涵蓋了迴歸係數的估計方法、模型擬合優度指標、模型解釋、殘差分析以及假設檢定。

給定的回歸模型為：
金額 $= \alpha_0 + \alpha_1 \text{年齡} + \alpha_2 \text{族群指標} + \alpha_3 (\text{年齡} : \text{族群指標}) + \epsilon$
其中，族群指標：甲=0，乙=1。
樣本數 $n=925$。

回歸分析結果摘要：
Estimate: 估計的迴歸係數值。
Std. Error: 係數估計值的標準誤。
t value: t 統計量的值。
Pr(>|t]): t 檢定的 p 值。
Signif. codes: 顯著性標記。
Residual standard error: 殘差標準誤。
Multiple R-squared: 判定係數。
Adjusted R-squared: 調整後的判定係數。
F-statistic: F 統計量。

(1) 列出迴歸係數估計方法的公式。
對於線性迴歸模型 $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$，迴歸係數向量 $\boldsymbol{\beta}$ 的估計方法是最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS)。
其公式為：
$\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}$
其中：

• $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是迴歸係數向量的估計值。
• $\mathbf{y}$ 是因變數向量（在此例中是「金額」）。
• $\mathbf{X}$ 是自變數的設計矩陣，包含截距項和所有自變數。
• $\mathbf{X}^T$ 是 $\mathbf{X}$ 的轉置矩陣。
• $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}$ 是 $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})$ 的逆矩陣。

在我們的模型中，自變數有：1 (截距項), 年齡, 族群指標, 年齡:族群指標。
$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \text{金額}_1 \\ \vdots \\ \text{金額}_{925} \end{bmatrix}$
$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & \text{年齡}_1 & \text{族群指標}_1 & (\text{年齡} \times \text{族群指標})_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \text{年齡}_{925} & \text{族群指標}_{925} & (\text{年齡} \times \text{族群指標})_{925} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix}$

【答案】迴歸係數的估計方法是最小平方法 (OLS)，其公式為 $\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}$。

(2) 列出 R-square 和 Adjusted R-square 的公式。並說明本回歸模型配適資料的優劣。

• R-square (判定係數):
  $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
  其中：

  • $SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$ 是殘差平方和 (Sum of Squared Errors)。
  • $SST = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
    $R^2$ 表示因變數的總變異中，有多少比例可以被模型中的自變數解釋。

• Adjusted R-square (調整後的判定係數):
  $Adjusted R^2 = 1 - \frac{SSE / (n-p-1)}{SST / (n-1)}$
  其中：

  • $n$ 是樣本數。
  • $p$ 是模型中自變數的數量（不包括截距項）。在本例中，p=3 (年齡, 族群指標, 年齡:族群指標)。
  • $n-p-1$ 是殘差自由度。
    $Adjusted R^2$ 考慮了模型中自變數的數量，當加入一個新的自變數時，如果它不能顯著提高模型的解釋能力，Adjusted R-square 可能會下降。

• 說明本回歸模型配適資料的優劣:
  從提供的結果來看：

  • Multiple R-squared = 0.9601
  • Adjusted R-squared = 0.9599
  • F-statistic = 7379 on 3 and 921 DF

  優點:

  1. 高 R-square 和 Adjusted R-square: $R^2$ 和 Adjusted $R^2$ 都非常接近 1 (0.9601 和 0.9599)，這表示模型中包含的自變數（年齡、族群指標、年齡與族群指標的交互作用項）能夠解釋因變數（消費金額）約 96% 的變異。這是一個非常高的解釋比例，說明模型對資料的配適程度非常好。
  2. 顯著的 F 檢定: F 統計量非常大 (7379)，且 p 值極小 (<2e-16，由 Signif. codes 顯示的 *** 符號可知)，這表示整個模型是顯著的，即至少有一個自變數與因變數之間存在顯著的線性關係。
  3. 所有係數均顯著: 從 t value 和 Pr(>|t|) 來看，除了截距項外，所有自變數（年齡、族群指標、年齡:族群指標）的係數估計值都非常顯著（p 值均 <2e-16）。這表明這些變數對消費金額的影響是顯著的。

  潛在的注意事項 (雖然在此題中未提供足夠資訊判斷):

  • 殘差分析: 雖然題目在後續小題要求檢查殘差圖，但如果殘差圖顯示出模式（如非線性、異質變異數），則模型可能存在問題，儘管 R-square 很高。
  • 交互作用項的解釋: 交互作用項的存在表示年齡對消費金額的影響取決於族群。這在解釋上需要小心。

  總結: 根據提供的統計量，這個回歸模型對資料的配適程度非常好。

【答案】

• $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
• $Adjusted R^2 = 1 - \frac{SSE / (n-p-1)}{SST / (n-1)}$
• 本回歸模型配適資料的優劣：模型具有非常高的 $R^2$ (0.9601) 和 Adjusted $R^2$ (0.9599)，且所有自變數（包括截距項）的檢定結果都非常顯著，F 檢定也顯示模型整體顯著。這表明該模型對資料的配適程度極佳。

(3) 計算年齡為 40 歲時,本回歸模型估計族群甲和族群乙的顧客平均消費金額各為多少。
回歸模型為：
金額 $= \alpha_0 + \alpha_1 \text{年齡} + \alpha_2 \text{族群指標} + \alpha_3 (\text{年齡} : \text{族群指標}) + \epsilon$
根據回歸分析結果，我們得到係數估計值：
$\hat{\alpha}_0 = 1814.5445$
$\hat{\alpha}_1 = -20.3175$
$\hat{\alpha}_2 = -1821.2337$
$\hat{\alpha}_3 = 40.4461$

• 計算族群甲 (族群指標 = 0) 的平均消費金額:
  當族群指標 = 0，模型變為：
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 (0) + \hat{\alpha}_3 (\text{年齡} \times 0)$
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡}$
  將年齡 = 40 歲代入：
  平均消費金額 (族群甲, 年齡=40) $= 1814.5445 + (-20.3175) \times 40$
  $= 1814.5445 - 812.7$
  $= 1001.8445$

• 計算族群乙 (族群指標 = 1) 的平均消費金額:
  當族群指標 = 1，模型變為：
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 (1) + \hat{\alpha}_3 (\text{年齡} \times 1)$
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 + \hat{\alpha}_3 \text{年齡}$
  金額 $= (\hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_2) + (\hat{\alpha}_1 + \hat{\alpha}_3) \text{年齡}$
  將年齡 = 40 歲代入：

本題為一個綜合性的迴歸分析題目，涵蓋了迴歸係數的估計方法、模型擬合優度指標、模型解釋、殘差分析以及假設檢定。

給定的回歸模型為：
金額 $= \alpha_0 + \alpha_1 \text{年齡} + \alpha_2 \text{族群指標} + \alpha_3 (\text{年齡} : \text{族群指標}) + \epsilon$
其中，族群指標：甲=0，乙=1。
樣本數 $n=925$。

回歸分析結果摘要：
Estimate: 估計的迴歸係數值。
Std. Error: 係數估計值的標準誤。
t value: t 統計量的值。
Pr(>|t]): t 檢定的 p 值。
Signif. codes: 顯著性標記。
Residual standard error: 殘差標準誤。
Multiple R-squared: 判定係數。
Adjusted R-squared: 調整後的判定係數。
F-statistic: F 統計量。

(1) 列出迴歸係數估計方法的公式。
對於線性迴歸模型 $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$，迴歸係數向量 $\boldsymbol{\beta}$ 的估計方法是最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS)。
其公式為：
$\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}$
其中：

• $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是迴歸係數向量的估計值。
• $\mathbf{y}$ 是因變數向量（在此例中是「金額」）。
• $\mathbf{X}$ 是自變數的設計矩陣，包含截距項和所有自變數。
• $\mathbf{X}^T$ 是 $\mathbf{X}$ 的轉置矩陣。
• $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}$ 是 $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})$ 的逆矩陣。

在我們的模型中，自變數有：1 (截距項), 年齡, 族群指標, 年齡:族群指標。
$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \text{金額}_1 \\ \vdots \\ \text{金額}_{925} \end{bmatrix}$
$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & \text{年齡}_1 & \text{族群指標}_1 & (\text{年齡} \times \text{族群指標})_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \text{年齡}_{925} & \text{族群指標}_{925} & (\text{年齡} \times \text{族群指標})_{925} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix}$

【答案】迴歸係數的估計方法是最小平方法 (OLS)，其公式為 $\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}$。

(2) 列出 R-square 和 Adjusted R-square 的公式。並說明本回歸模型配適資料的優劣。

• R-square (判定係數):
  $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
  其中：

  • $SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$ 是殘差平方和 (Sum of Squared Errors)。
  • $SST = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
    $R^2$ 表示因變數的總變異中，有多少比例可以被模型中的自變數解釋。

• Adjusted R-square (調整後的判定係數):
  $Adjusted R^2 = 1 - \frac{SSE / (n-p-1)}{SST / (n-1)}$
  其中：

  • $n$ 是樣本數。
  • $p$ 是模型中自變數的數量（不包括截距項）。在本例中，p=3 (年齡, 族群指標, 年齡:族群指標)。
  • $n-p-1$ 是殘差自由度。
    $Adjusted R^2$ 考慮了模型中自變數的數量，當加入一個新的自變數時，如果它不能顯著提高模型的解釋能力，Adjusted R-square 可能會下降。

• 說明本回歸模型配適資料的優劣:
  從提供的結果來看：

  • Multiple R-squared = 0.9601
  • Adjusted R-squared = 0.9599
  • F-statistic = 7379 on 3 and 921 DF

  優點:

  1. 高 R-square 和 Adjusted R-square: $R^2$ 和 Adjusted $R^2$ 都非常接近 1 (0.9601 和 0.9599)，這表示模型中包含的自變數（年齡、族群指標、年齡與族群指標的交互作用項）能夠解釋因變數（消費金額）約 96% 的變異。這是一個非常高的解釋比例，說明模型對資料的配適程度非常好。
  2. 顯著的 F 檢定: F 統計量非常大 (7379)，且 p 值極小 (<2e-16，由 Signif. codes 顯示的 *** 符號可知)，這表示整個模型是顯著的，即至少有一個自變數與因變數之間存在顯著的線性關係。
  3. 所有係數均顯著: 從 t value 和 Pr(>|t|) 來看，除了截距項外，所有自變數（年齡、族群指標、年齡:族群指標）的係數估計值都非常顯著（p 值均 <2e-16）。這表明這些變數對消費金額的影響是顯著的。

  潛在的注意事項 (雖然在此題中未提供足夠資訊判斷):

  • 殘差分析: 雖然題目在後續小題要求檢查殘差圖，但如果殘差圖顯示出模式（如非線性、異質變異數），則模型可能存在問題，儘管 R-square 很高。
  • 交互作用項的解釋: 交互作用項的存在表示年齡對消費金額的影響取決於族群。這在解釋上需要小心。

  總結: 根據提供的統計量，這個回歸模型對資料的配適程度非常好。

【答案】

• $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
• $Adjusted R^2 = 1 - \frac{SSE / (n-p-1)}{SST / (n-1)}$
• 本回歸模型配適資料的優劣：模型具有非常高的 $R^2$ (0.9601) 和 Adjusted $R^2$ (0.9599)，且所有自變數（包括截距項）的檢定結果都非常顯著，F 檢定也顯示模型整體顯著。這表明該模型對資料的配適程度極佳。

(3) 計算年齡為 40 歲時,本回歸模型估計族群甲和族群乙的顧客平均消費金額各為多少。
回歸模型為：
金額 $= \alpha_0 + \alpha_1 \text{年齡} + \alpha_2 \text{族群指標} + \alpha_3 (\text{年齡} : \text{族群指標}) + \epsilon$
根據回歸分析結果，我們得到係數估計值：
$\hat{\alpha}_0 = 1814.5445$
$\hat{\alpha}_1 = -20.3175$
$\hat{\alpha}_2 = -1821.2337$
$\hat{\alpha}_3 = 40.4461$

• 計算族群甲 (族群指標 = 0) 的平均消費金額:
  當族群指標 = 0，模型變為：
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 (0) + \hat{\alpha}_3 (\text{年齡} \times 0)$
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡}$
  將年齡 = 40 歲代入：
  平均消費金額 (族群甲, 年齡=40) $= 1814.5445 + (-20.3175) \times 40$
  $= 1814.5445 - 812.7$
  $= 1001.8445$

• 計算族群乙 (族群指標 = 1) 的平均消費金額:
  當族群指標 = 1，模型變為：
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 (1) + \hat{\alpha}_3 (\text{年齡} \times 1)$
  金額 $= \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \text{年齡} + \hat{\alpha}_2 + \hat{\alpha}_3 \text{年齡}$
  金額 $= (\hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_2) + (\hat{\alpha}_1 + \hat{\alpha}_3) \text{年齡}$
  將年齡 = 40 歲代入：