112 年 國立成功大學數據科學研究所《統計學（含迴歸分析）》

本題主要在考驗對「隨機樣本」定義的理解。

(1) 隨機樣本的定義是指從母體中隨機抽取的一組觀察值，並且這些觀察值之間是相互獨立的。題目僅說明 $X_1, X_2, X_3, \dots, X_{10}$ 是一組隨機樣本，但未說明其抽取的過程或母體，因此無法判斷。然而，如果此敘述是基於「它們是從某母體隨機抽取的，且彼此獨立」的前提，那麼它們就構成一個隨機樣本。但若題目僅是列出十個數字，則不能直接斷定。
一般而言，在統計學的語境下，若題目直接稱其為「隨機樣本」，通常預設了其抽樣過程的隨機性和獨立性。因此，若題目提供此敘述，我們通常會接受它是一個隨機樣本。但若要嚴格論證，則需要更多關於抽樣過程的資訊。

(2) 將一組隨機樣本 $X_1, X_2, X_3, \dots, X_{20}$ 依大小排列後取前 10 名，這組新的數值不再是隨機樣本。原因如下：

本題主要考驗對累積分布函數 (CDF) 和經驗累積分布函數 (Empirical CDF) 的理解。

(1) 累積分布函數 (CDF) 的定義:
隨機變數 $Y$ 的累積分布函數 $F_Y(y)$ 定義為 $F_Y(y) = P(Y \le y)$。
在本題中，$Y$ 是從 $\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ 中隨機任取一數 (取完再放回)。由於是隨機任取，所以每取到一個值 $x_i$ 的機率是 $\frac{1}{4}$。
因此，$Y$ 的 CDF 可以表示為：
$F_Y(y) = P(Y \le y) = \sum_{i=1}^{4} P(Y \le y | Y = x_i) P(Y = x_i)$
由於 $Y$ 是從 $\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ 中任取，所以 $P(Y=x_i) = \frac{1}{4}$。
$F_Y(y) = \sum_{i=1}^{4} P(x_i \le y) \cdot \frac{1}{4}$
$P(x_i \le y)$ 這個項是 1 如果 $x_i \le y$，是 0 如果 $x_i > y$。
所以，$F_Y(y) = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} I(x_i \le y)$，其中 $I(\cdot)$ 是指示函數 (indicator function)，即當條件為真時為 1，否則為 0。

這個 CDF 的形式取決於 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的具體數值。它是一個階梯函數，在每個 $x_i$ 的位置上跳躍 $\frac{1}{4}$。

(2) 經驗累積分布函數 (Empirical CDF) 的定義:
給定一組觀察值 $x_1, x_2, \dots, x_n$，其經驗累積分布函數 $\hat{F}_n(x)$ 定義為：
$\hat{F}_n(x) = \frac{\text{小於或等於 } x \text{ 的觀察值個數}}{n}$
在本題中，觀察值為 $x_1=1.5, x_2=0, x_3=-0.5, x_4=1$，總數 $n=4$。
首先，我們將觀察值從小到大排序：$-0.5, 0, 1, 1.5$。

核心觀念

機率密度函數 $h(x)$ 必須滿足：

1. 對所有 $x$，$h(x)\ge 0$；
2. 全部面積為 $1$，即
   $\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\,dx=1.$

本題利用變數代換 $u=-x$，判斷 $g(x)$ 是否符合 pdf 定義，並計算其母體平均數。

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解題方法

(1) 判斷 $g(x)$ 是否為 pdf

已知 $f(x)$ 是 pdf，因此：

$f(x)\ge 0,\qquad f(-x)\ge 0.$

所以

$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\ge 0.$

再計算 $g(x)$ 的積分：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,dx\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx +\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(-x)\,dx. \end{aligned}$$

第一項為 $1$。對第二項令 $u=-x$，則 $dx=-du$，可得：

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(-x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,du =1.$$

因此：

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx =\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{2}(1)=1.$$

$g(x)$ 非負且積分為 $1$，所以 $g(x)$ 是一個 pdf。

此外，$g(x)$ 具有對稱性：

$$g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x).$$

因此 $g(x)$ 是關於 $0$ 對稱的機率密度函數。

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(2) 母體平均數

令由 $g(x)$ 所代表的隨機變數為 $X$。在母體平均數存在的通常假設下：

$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xg(x)\,dx.$$

本題考驗幾何分布的期望值計算。取得同意的定義是「一陰一陽」，這意味著兩個筊杯的結果一個是陽面，一個是陰面。

(1) 兩個筊杯陽面機率均為 $1/2$:
設兩個筊杯分別為筊杯 A 和筊杯 B。
$P(A \text{ 陽}) = P(B \text{ 陽}) = 1/2$
$P(A \text{ 陰}) = P(B \text{ 陰}) = 1/2$
取得同意的條件是「一陰一陽」，這表示以下兩種情況之一發生：

• A 陽且 B 陰：$P(A \text{ 陽} \cap B \text{ 陰}) = P(A \text{ 陽}) \times P(B \text{ 陰})$ (假設獨立) $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
• A 陰且 B 陽：$P(A \text{ 陰} \cap B \text{ 陽}) = P(A \text{ 陰}) \times P(B \text{ 陽})$ (假設獨立) $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

所以，一次擲茭取得同意的機率 $p$ 為：
$p = P(\text{一陰一陽}) = P(A \text{ 陽} \cap B \text{ 陰}) + P(A \text{ 陰} \cap B \text{ 陽}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。

取得同意的過程可以視為一個重複進行獨立伯努利試驗，直到第一次成功的試驗。這符合幾何分布的定義。
幾何分布的期望值是 $E[X] = \frac{1}{p}$，其中 $p$ 是成功的機率。
在這裡，$p = 1/2$，所以期望次數為：

本題考驗對獨立同分布 (i.i.d.) 隨機變數、柏努利分布、統計量的抽樣分布、期望值與變異數的計算。

首先，我們知道 $X_1, X_2, X_3$ 是獨立且同分布的柏努利隨機變數，其中 $p=0.5$。
對於單一的柏努利隨機變數 $X \sim \text{Bernoulli}(p)$：
$P(X=1) = p$
$P(X=0) = 1-p$
期望值 $E[X] = p$
變異數 $Var(X) = p(1-p)$

在本題中，$p=0.5$，所以：
$P(X_i=1) = 0.5$
$P(X_i=0) = 0.5$
$E[X_i] = 0.5$
$Var(X_i) = 0.5(1-0.5) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$

(1) 兩個統計量：平均數和眾數的抽樣分布

• 平均數 (Sample Mean):
  設樣本平均數為 $\bar{X} = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}$。
  由於 $X_1, X_2, X_3$ 是 i.i.d. Bernoulli(0.5)，則它們的和 $S = X_1+X_2+X_3$ 服從二項分布 $B(n, p)$，其中 $n=3$ (樣本數) 且 $p=0.5$ (成功機率)。
  $S \sim B(3, 0.5)$。
  $S$ 可能的取值為 0, 1, 2, 3。
  $P(S=0) = \binom{3}{0} (0.5)^0 (0.5)^3 = 1 \times 1 \times 0.125 = 0.125$ (即 $X_1=0, X_2=0, X_3=0$)
  $P(S=1) = \binom{3}{1} (0.5)^1 (0.5)^2 = 3 \times 0.5 \times 0.25 = 0.375$ (即一個 1, 兩個 0)
  $P(S=2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^1 = 3 \times 0.25 \times 0.5 = 0.375$ (即兩個 1, 一個 0)
  $P(S=3) = \binom{3}{3} (0.5)^3 (0.5)^0 = 1 \times 0.125 \times 1 = 0.125$ (即 $X_1=1, X_2=1, X_3=1$)

  樣本平均數 $\bar{X} = S/3$。所以 $\bar{X}$ 的可能取值為 $0/3=0$, $1/3$, $2/3$, $3/3=1$。
  $\bar{X}$ 的抽樣分布為：
  $P(\bar{X}=0) = P(S=0) = 0.125$
  $P(\bar{X}=1/3) = P(S=1) = 0.375$
  $P(\bar{X}=2/3) = P(S=2) = 0.375$
  $P(\bar{X}=1) = P(S=3) = 0.125$

• 眾數 (Sample Mode):
  眾數是指在樣本中出現頻率最高的數值。
  由於 $X_1, X_2, X_3$ 的取值是 0 或 1，所以樣本平均數 $\bar{X}$ 的可能取值是 0, 1/3, 2/3, 1。
  我們需要看哪一個值在樣本中出現的頻率最高。

  • 如果 $S=0$ (三個 0)，樣本為 {0, 0, 0}，此時眾數為 0。
  • 如果 $S=1$ (一個 1, 兩個 0)，樣本為 {0, 0, 1}，此時眾數為 0。
  • 如果 $S=2$ (兩個 1, 一個 0)，樣本為 {0, 1, 1}，此時眾數為 1。
  • 如果 $S=3$ (三個 1)，樣本為 {1, 1, 1}，此時眾數為 1。

  因此，眾數的可能取值是 0 或 1。
  眾數為 0 的情況發生在 $S=0$ 或 $S=1$ 時，總機率為 $P(S=0) + P(S=1) = 0.125 + 0.375 = 0.5$。
  眾數為 1 的情況發生在 $S=2$ 或 $S=3$ 時，總機率為 $P(S=2) + P(S=3) = 0.375 + 0.125 = 0.5$。
  眾數的抽樣分布為：
  $P(\text{Mode}=0) = 0.5$
  $P(\text{Mode}=1) = 0.5$
  這表示眾數是一個離散隨機變數，取值為 0 或 1，且機率各為 0.5。

(2) 期望值和變異數

• 平均數 $\bar{X}$:
  • 期望值 $E[\bar{X}]$:
    根據期望值的性質，$E[\bar{X}] = E[\frac{X_1+X_2+X_3}{3}] = \frac{1}{3} (E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])$。
    由於 $E[X_i] = p = 0.5$，

本題考驗對死亡率的計算、比較，以及在進行比較分析時應注意的潛在混淆變數 (confounding variable) 問題。

(1) 比較 A 醫院和 B 醫院的死亡率，以及建議就醫地點

死亡率的計算公式為：
$\text{死亡率} = \frac{\text{死亡人數}}{\text{總住院人數}} \times 100\%$

• A 醫院死亡率:
  $\text{死亡率}_A = \frac{120}{3000} \times 100\% = 0.04 \times 100\% = 4\%$

• B 醫院死亡率:
  $\text{死亡率}_B = \frac{20}{1000} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$

比較: B 醫院的死亡率 (2%) 低於 A 醫院的死亡率 (4%)。

建議:
如果僅從這份數據來看，會建議 Covid-19 病患到 B 醫院住院，因為 B 醫院的死亡率較低，顯示其治療效果可能較好，或者對病患的照顧較佳。

(2) 加入年齡考慮後的死亡率比較

現在我們需要分別計算不同年齡層在兩家醫院的死亡率。

• 年齡低於 60 歲:

  • A 醫院 (年齡 < 60):
    $\text{死亡率}_{A, <60} = \frac{10}{890} \times 100\% \approx 0.011236 \times 100\% \approx 1.12\%$
  • B 醫院 (年齡 < 60):
    $\text{死亡率}_{B, <60} = \frac{10}{890} \times 100\% \approx 0.011236 \times 100\% \approx 1.12\%$
    在年齡低於 60 歲的群體中，兩家醫院的死亡率非常接近，幾乎相同。

• 年齡高於 60 歲:

  • A 醫院 (年齡 > 60):
    $\text{死亡率}_{A, >60} = \frac{110}{2110} \times 100\% \approx 0.052133 \times 100\% \approx 5.21\%$
  • B 醫院 (年齡 > 60):
    $\text{死亡率}_{B, >60} = \frac{10}{110} \times 100\% \approx 0.090909 \times 100\% \approx 9.09\%$

本題考驗對多元迴歸模型的理解，包括模型的建立、係數的解釋、以及 R-squared 的概念。

實驗設計簡述:
實驗研究三種材料 (Material 1, 2, 3) 在三種溫度 (15, 70, 125 度) 下的 LED 壽命。

• 應變數 (Response Variable): LED 壽命 (單位 10 天)。
• 自變數 (Predictor Variables): 材料 (Material) 和溫度 (Temperature)。
• 實驗設計: 完全隨機化設計。

模型中自變數的編碼:
由於「材料」是一個類別變數 (categorical variable) 有三個水準 (Material 1, 2, 3)，在迴歸模型中需要進行編碼。常見的編碼方式是使用虛擬變數 (dummy variables)。
假設 Material 1 是參照組 (reference group)。那麼我們需要兩個虛擬變數：

• $M_2$: 如果材料是 Material 2，則 $M_2=1$，否則 $M_2=0$。
• $M_3$: 如果材料是 Material 3，則 $M_3=1$，否則 $M_3=0$。
  如果材料是 Material 1，則 $M_2=0$ 且 $M_3=0$。

「溫度」是一個連續變數 (continuous variable)。

(1) 迴歸分析的數學模型

一個典型的多元迴歸模型形式為：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon$

在此實驗中，應變數是 LED 壽命，自變數是材料和溫度。
設 $Y$ 為 LED 壽命 (單位 10 天)。
設 $M_2$ 和 $M_3$ 為材料的虛擬變數，如上定義。
設 $T$ 為溫度 (單位 度)。

模型可以寫成：
$Y = \beta_0 + \beta_1 M_2 + \beta_2 M_3 + \beta_3 T + \epsilon$

其中：

• $Y$: LED 壽命 (應變數)。
• $M_2$: 材料 2 的指示變數。
• $M_3$: 材料 3 的指示變數。
• $T$: 溫度 (自變數)。
• $\beta_0$: 截距項。
• $\beta_1$: 材料 2 相對於 Material 1 的預測壽命差異。
• $\beta_2$: 材料 3 相對於 Material 1 的預測壽命差異。
• $\beta_3$: 溫度對 LED 壽命的影響係數。
• $\epsilon$: 誤差項。

根據迴歸輸出的係數，我們可以寫出預測模型：
$\hat{Y} = 134.5000 + 25.1667 M_2 + 41.9167 M_3 - 0.7333 T$

(2) Material2 的估計方法與 25.1667 的意義

• 估計方法:
  迴歸係數的估計通常是使用最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 來求得。OLS 的目標是最小化實際觀測值與模型預測值之間的殘差平方和。

• 估計量 25.1667 的意義:
  這個係數 $\hat{\beta}_1 = 25.1667$ 是虛擬變數 $M_2$ 的估計值。
  它表示，在控制了溫度 (T) 的影響後，與參照組 (Material 1) 相比，使用 Material 2 的 LED 壽命預期會增加 25.1667 個單位 (即 $25.1667 \times 10$ 天)。
  換句話說，當溫度固定時，Material 2 的 LED 壽命比 Material 1 的 LED 壽命平均高出 25.1667 (單位 10 天)。

(3) Temperature 的估計量 -0.7333 的意義

本題考驗對雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 的理解，包括模型、交互作用的解釋、以及與迴歸分析的比較，還有 ANOVA 的基本假設。

實驗設計簡述:

• 應變數 (Response Variable): LED 壽命 (單位 10 天)。
• 因子 (Factors): 材料 (Material) 有 3 個水準 (Material 1, 2, 3)。溫度 (Temperature) 有 3 個水準 (15, 70, 125 度)。
• 實驗設計: 完全隨機化設計。

ANOVA 表格提供了 Sum of Squares (SS), Degrees of Freedom (Df), Mean Square (MS), F-statistic, 和 p-value (Pr(>F))。

(1) 變異數分析的數學模型

一個雙因子變異數分析模型，考慮主效應和交互作用，可以寫成：
$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}$

其中：

• $Y_{ijk}$: 因子 A (Material) 在第 $i$ 水準，因子 B (Temperature) 在第 $j$ 水準下的第 $k$ 個觀測值。
• $\mu$: 整體平均值 (overall mean)。
• $\alpha_i$: 因子 A (Material) 的主效應，表示 Material $i$ 相對於整體平均值的平均差異。
• $\beta_j$: 因子 B (Temperature) 的主效應，表示 Temperature $j$ 相對於整體平均值的平均差異。
• $(\alpha\beta)_{ij}$: 因子 A 和因子 B 的交互作用效應，表示 Material $i$ 和 Temperature $j$ 同時存在時對平均值的額外影響。
• $\epsilon_{ijk}$: 隨機誤差項，假設 $\epsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$ 且相互獨立。

根據 ANOVA 表格的 Df，我們知道：

• Material 的 Df = 2，對應 3 個水準 (3-1=2)。
• Temperature 的 Df = 2，對應 3 個水準 (3-1=2)。
• Material:Temperature 的 Df = 4，對應 $(3-1) \times (3-1) = 2 \times 2 = 4$。
• Residuals 的 Df = 27。總樣本數 $n = (\text{Sum of Df}) + 1 = (2+2+4+27) + 1 = 35+1 = 36$。

(2) Material:Temperature 這項 Pr(>F)=0.01861 所代表的意義

Pr(>F) 是 p-value，用於檢定對應效應的顯著性。
Material:Temperature 的 Pr(>F) = 0.01861。
這個 p-value 對應的檢定是：
$H_0: (\alpha\beta)_{ij} = 0$ 對所有 $i, j$ (即 Material 和 Temperature 之間沒有交互作用)。
$H_1: (\alpha\beta)_{ij} \ne 0$ 至少有一個 $i, j$ (即 Material 和 Temperature 之間存在交互作用)。

由於 p-value (0.01861) 小於常用的顯著水準 $\alpha = 0.05$ (也小於 $\alpha = 0.01$)，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
因此，我們得出結論：Material 和 Temperature 這兩個因子之間存在顯著的交互作用。
這意味著，溫度對 LED 壽命的影響，會因所使用的材料不同而有所差異，反之亦然。

(3) 迴歸分析與變異數分析中對 Temperature 的分析方式有何不同?

• 迴歸分析 (Regression Analysis):

  • 在多元迴歸模型中，Temperature 被視為一個連續的預測變數 (continuous predictor variable)。
  • 模型假設溫度對應變數的影響是線性的 (除非加入溫度的高次項或交互項)。
  • 迴歸輸出的係數 ($\hat{\beta}_3 = -0.7333$) 直接量化了溫度每增加一個單位，應變數預期改變多少。
  • 迴歸分析可以包含連續變數、類別變數 (透過虛擬變數編碼)，以及它們的交互作用。

• 變異數分析 (ANOVA):

  • 在 ANOVA 模型中，Temperature 被視為一個因子 (factor)，其具有幾個離散的水準 (discrete levels)。
  • ANOVA 主要用於比較不同水準下的平均值是否有顯著差異。
  • ANOVA 表格提供了關於因子主效應 (Temperature 的主效應) 和因子與其他因子之間交互作用效應的顯著性檢定 (透過 F 值和 p-value)。
  • ANOVA 模型不直接提供溫度每增加一個單位會如何影響壽命的量化係數，而是告訴我們不同溫度水準下的平均壽命是否有顯著差異。

主要區別:

• 變數性質的假設: 迴歸將其視為連續變數，ANOVA 視為離散因子。
• 分析的重點: 迴歸關注係數的估計和解釋，以及整體模型的擬合優度 ($R^2$)。ANOVA 關注各因子主效應和交互作用的顯著性檢定。
• 模型的表達: 迴歸模型通常以 $\hat{Y} = \dots$ 的形式呈現，係數直接解釋。ANOVA 模型更多是以效應 (main effects, interaction effects) 的形式來描述。

關聯性:
實際上，當因子是類別變數時，ANOVA 與迴歸分析是密切相關的。如果將 ANOVA 模型中的類別因子用虛擬變數編碼後代入迴歸模型，會得到非常相似的結果。