109 年 國立中央警察大學防災研究所《統計學》

本題主要考驗對常態分配的理解與應用，包含利用百分位數求解常態分配的參數，以及計算常態分配的機率。

核心觀念：

1. 常態分配的特性：對稱性、參數 $\mu$ (平均數) 和 $\sigma^2$ (變異數)。
2. 標準常態分配：將任意常態分配轉換為標準常態分配 ($Z$ 分數) 的公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
3. 標準常態分配表 (Z-table)：查詢特定 $Z$ 值對應的機率。

(一) 求解平均數 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$

已知學期成績服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。
題目給定兩個條件：

1. 15.87% 的學生取得 85 分以上，即 $P(X \ge 85) = 0.1587$。
2. 2.28% 的學生取得 70 分以下，即 $P(X \le 70) = 0.0228$。

我們將這兩個條件轉換為標準常態分配的 $Z$ 分數：

1. $P(X \ge 85) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \ge \frac{85 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z \ge \frac{85 - \mu}{\sigma}\right) = 0.1587$。
   從標準常態分配的參考數值得知，$Z_{0.1587} = 1.00$。由於 $P(Z \ge z) = 0.1587$ 表示 $z$ 是右尾機率為 0.1587 的 $Z$ 值，因此 $\frac{85 - \mu}{\sigma} = 1.00$。
   整理得：$85 - \mu = \sigma$ (式 1)

2. $P(X \le 70) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{70 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z \le \frac{70 - \mu}{\sigma}\right) = 0.0228$。
   從標準常態分配的參考數值得知，$Z_{0.0228} = 2.00$。

本題考驗對假設檢定中兩類統計錯誤的理解，以及如何將實際情境與統計錯誤連結。

核心觀念：

1. 虛無假設 ($H_0$)：通常是主張「無差異」、「無效果」或「現況」。
2. 對立假設 ($H_1$)：與虛無假設相反，是研究者希望證明或支持的論點。
3. 型 I 誤差 (Type I Error)：在虛無假設為真時，錯誤地拒絕虛無假設。其機率記為 $\alpha$。
4. 型 II 誤差 (Type II Error)：在虛無假設為偽時，錯誤地未能拒絕虛無假設。其機率記為 $\beta$。
5. 決策與真實情況的組合：
   • $H_0$ 為真，未拒絕 $H_0$：正確決策 (True Negative)。
   • $H_0$ 為真，拒絕 $H_0$：型 I 誤差 (False Positive)。
   • $H_0$ 為偽，未拒絕 $H_0$：型 II 誤差 (False Negative)。
   • $H_0$ 為偽，拒絕 $H_0$：正確決策 (True Positive)。

題目設定的假設檢定如下：
$H_0$: 尚未核可的藥物是不安全的。
$H_1$: 尚未核可的藥物是安全的。

(一) 解釋型 I 誤差與型 II 誤差

• 型 I 誤差 ($\alpha$ 風險)：
  型 I 誤差發生於當虛無假設 ($H_0$) 為真時，我們卻錯誤地拒絕了它。
  在此情境下，$H_0$ 為真代表「尚未核可的藥物是不安全的」。

本題主要考驗對比例的假設檢定以及樣本大小的計算。

核心觀念：

1. 比例的假設檢定：當母體是二分類變數（如支持/不支持）時，我們常對母體比例進行假設檢定。
2. 大樣本近似：當樣本數夠大時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配近似於常態分配。
3. 檢定統計量：對於比例的檢定，常用 $Z$ 檢定統計量。
4. 樣本大小的決定：根據期望的抽樣誤差和信賴水準來決定所需的樣本大小。

已知資訊：

• 總抽樣人數 $n = 1600$。
• 支持者人數 $x = 864$。
• 樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{864}{1600}$。

首先計算樣本比例：
$\hat{p} = \frac{864}{1600} = 0.54$。

(一) 檢定全體民意支持率是否超過一半

我們要檢定的問題是「全體民意支持率是否超過一半」，這表示我們想知道母體比例 $p$ 是否大於 0.5。
因此，假設檢定設定如下：

• 虛無假設 $H_0: p \le 0.5$ (民意支持率不高於一半)
• 對立假設 $H_1: p > 0.5$ (民意支持率超過一半)

顯著水準 $\alpha = 0.05$。

由於樣本數 $n=1600$ 很大，我們可以進行 $Z$ 檢定。
在 $H_0$ 為真時，我們假設 $p = 0.5$（這是最保守的假設，因為我們想證明 $p > 0.5$）。
根據中央極限定理，當 $n$ 夠大時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分配近似為常態分配，其平均數為 $p$，標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。
當 $n\hat{p} \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 10$ 時，可以使用 $Z$ 檢定。
在此，$n\hat{p} = 1600 \times 0.54 = 864 \ge 10$；$n(1-\hat{p}) = 1600 \times (1-0.54) = 1600 \times 0.46 = 736 \ge 10$。
因此，可以使用 $Z$ 檢定。

檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $p_0$ 是 $H_0$ 下的母體比例，在此為 $0.5$。

計算檢定統計量：
$Z = \frac{0.54 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{1600}}} = \frac{0.04}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{1600}}} = \frac{0.04}{\sqrt{\frac{0.25}{1600}}} = \frac{0.04}{\sqrt{0.00015625}} = \frac{0.04}{0.0125}$
$Z = 3.2$

這是右尾檢定，因為 $H_1: p > 0.5$。
我們需要找到 $\alpha = 0.05$ 的臨界值。對於右尾檢定，臨界值是 $Z_{\alpha}$。
查 Z-table 或參考數值， $Z_{0.05} = 1.645$。

檢定結果：
將計算出的檢定統計量 $Z = 3.2$ 與臨界值 $1.645$ 比較。
因為 $3.2 > 1.645$，所以我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：
在 $\alpha=0.05$ 的顯著水準下，有足夠的統計證據支持全體民意支持率超過一半。

【答案】
假設檢定過程：

1. 設定假設：$H_0: p \le 0.5$；$H_1: p > 0.5$。
2. 選擇顯著水準：$\alpha = 0.05$。
3. 計算樣本比例：$\hat{p} = \frac{864}{1600} = 0.54$。
4. 計算檢定統計量：$Z = \frac{0.54 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{1600}}} = 3.2$。
5. 決定檢定區域：臨界值為 $Z_{0.05} = 1.645$。
6. 做出決策：因為 $3.2 > 1.645$，拒絕 $H_0$。

檢定結果：在 $\alpha=0.05$ 的顯著水準下，有足夠的證據認定全體民意支持率超過一半。

(二) 決定所需樣本大小 $n$

這個部分是關於樣本大小的決定，目的是控制抽樣誤差 $e$ 在特定顯著水準 $\alpha$ 下。
題目給定：

• 顯著水準 $\alpha = 0.02$。
• 抽樣誤差 $e = 0.01$。

抽樣誤差 $e$ 通常是指樣本比例 $\hat{p}$ 與母體比例 $p$ 之間的差異，即 $|\hat{p} - p| \le e$。
對於比例的樣本大小估計，我們通常是根據信賴區間的寬度來決定的。
對於一個比例 $p$，其 $(1-\alpha)$ 信賴區間的標準誤差 (Standard Error, SE) 為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。
信賴區間的半寬度 (Margin of Error, MOE) 為 $Z_{\alpha/2} \times SE$。

本題主要考驗對常態分配及其抽樣分配的理解，以及如何計算樣本平均數的信賴區間。

核心觀念：

1. 常態分配圖形：了解常態分配的鐘形曲線、對稱性、以及 $\mu$ 和 $\sigma$ 如何影響曲線的位置和形狀。
2. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)：當從任何分佈中抽取足夠大的樣本時，樣本平均數的抽樣分配將近似於常態分配，其平均數等於母體平均數，標準差（標準誤）等於母體標準差除以樣本大小的平方根。
3. 抽樣分配：樣本統計量（如樣本平均數 $\bar{X}$）的機率分佈。
4. 信賴區間 (Confidence Interval, CI)：對母體參數（如母體平均數 $\mu$）的估計範圍，表示在重複抽樣下，包含真實母體參數的比例。

已知資訊：

• 母體分配：常態分配，$X \sim N(\mu, \sigma^2)$。
• 母體平均數 $\mu = 10$。
• 母體標準差 $\sigma = 2$。
• 樣本大小 $n = 16$。

繪製母體分配圖形

母體分配為常態分配 $N(10, 2^2)$。
圖形特徵：

• 形狀：鐘形曲線，左右對稱。
• 中心：對稱軸位於平均數 $\mu = 10$ 處。
• 寬度/分散度：由標準差 $\sigma = 2$ 決定。較小的 $\sigma$ 會使曲線較高且窄，較大的 $\sigma$ 會使曲線較矮且寬。
  • 約 68% 的資料落在 $\mu \pm 1\sigma$ 範圍內，即 $10 \pm 2$，即 $[8, 12]$。
  • 約 95% 的資料落在 $\mu \pm 2\sigma$ 範圍內，即 $10 \pm 4$，即 $[6, 14]$。
  • 約 99.7% 的資料落在 $\mu \pm 3\sigma$ 範圍內，即 $10 \pm 6$，即 $[4, 16]$。

繪製時，標示出平均數 10，並大致畫出鐘形曲線，顯示其在 $\mu=10$ 處最高且對稱。

樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配圖形

根據中央極限定理：

1. 由於母體本身服從常態分配，無論樣本大小 $n$ 為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配必定服從常態分配。
2. 抽樣分配的平均數 $\mu_{\bar{X}}$ 等於母體平均數 $\mu$。
   $\mu_{\bar{X}} = \mu = 10$。
3. 抽樣分配的標準差，稱為標準誤 (Standard Error, SE)，等於母體標準差 $\sigma$ 除以樣本大小 $n$ 的平方根。
   $SE = \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

計算標準誤：
$SE = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$。

因此，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配為常態分配：$\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}, SE^2)$，即 $\bar{X} \sim N(10, 0.5^2)$。

抽樣分配圖形特徵：

• 形狀：鐘形曲線，左右對稱。
• 中心：對稱軸位於平均數 $\mu_{\bar{X}} = 10$ 處。
• 寬度/分散度：由標準誤 $SE = 0.5$ 決定。由於 $SE < \sigma$，此曲線會比母體分配的曲線更高且窄，表示樣本平均數比單一觀測值更集中在母體平均數附近。