109 年 國立中央警察大學消防科學研究所《微積分》

此題主要考驗對無窮級數的收斂性判別方法的掌握，包含比較審斂法、極限比較審斂法、比值審斂法等。

(a) 對於級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 2}$，我們可以考慮與 $p$-級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 進行比較。
當 $n$ 很大時，級數的項 $\frac{1}{n^3 + 2}$ 近似於 $\frac{1}{n^3}$。
我們可以使用極限比較審斂法 (Limit Comparison Test)。令 $a_n = \frac{1}{n^3 + 2}$ 且 $b_n = \frac{1}{n^3}$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^3 + 2}}{\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n^3}} = 1$。

此題考驗數學歸納法在級數求和公式證明上的應用。

我們使用數學歸納法來證明。

1. 基本情況 (Base Case):
   當 $n=1$ 時，級數的左邊是 $\sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1$。
   級數的右邊是 $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$。
   左邊等於右邊，故基本情況成立。

2. 歸納假設 (Inductive Hypothesis):
   假設對於某個正整數 $k \ge 1$，公式成立，即 $\sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$。

3. 歸納步驟 (Inductive Step):
   我們需要證明當 $n=k+1$ 時，公式也成立，即 $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$。

   考慮級數的左邊：
   $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} i^2 \right) + (k+1)^2$

此題考驗使用極座標進行面積積分的能力。

圓的面積可以用極座標下的面積積分公式來計算。一個區域的面積 $A$ 在極座標 $(R, \theta)$ 下由以下公式給出：
$A = \iint_D R \, dR \, d\theta$

考慮一個半徑為 $r$ 的圓，其圓心在原點。在極座標下，這個圓的描述是：
$0 \le R \le r$ (半徑從 0 到 $r$)
$0 \le \theta \le 2\pi$ (角度從 0 到 $2\pi$)

將此積分範圍代入面積公式：
$A = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} R \, dR \, d\theta$

首先，計算內層積分關於 $R$ 的部分：

此題考驗利用積分方法，特別是旋轉體體積或薄片積分法來推導圓球體積公式。這裡我們採用薄片積分法 (Method of Slicing)。

考慮一個半徑為 $r$ 的圓球，其圓心在原點。我們可以在球體中切出許多薄片來計算其體積。
想像將圓球沿著 $x$ 軸切開，得到一系列垂直於 $x$ 軸的圓盤。
一個圓盤的圓心在點 $(x, 0, 0)$，其半徑 $R$ 隨 $x$ 的變化而變化。
根據圓球的方程 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，對於一個給定的 $x$ 值，球體截面形成的圓盤的半徑 $R$ 可以透過 $R^2 + x^2 = r^2$ 來確定，因此 $R^2 = r^2 - x^2$。
這個圓盤的面積是 $A(x) = \pi R^2 = \pi (r^2 - x^2)$。

我們將圓球視為一系列厚度為 $dx$ 的圓盤，從 $x = -r$ 到 $x = r$ 進行積分。
每個圓盤的體積 $dV$ 近似為其面積乘以厚度：$dV = A(x) \, dx = \pi (r^2 - x^2) \, dx$。

圓球的總體積 $V$ 是所有這些薄圓盤體積的總和，即從 $x=-r$ 到 $x=r$ 的積分：

此題考驗分部積分法的應用，且需要重複進行多次。

我們使用分部積分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。

令 $u = x^4$ 且 $dv = \cos x \, dx$。
則 $du = 4x^3 \, dx$ 且 $v = \int \cos x \, dx = \sin x$。

第一次分部積分：
$\int x^4 \cos x \, dx = x^4 \sin x - \int (\sin x)(4x^3) \, dx$
$= x^4 \sin x - 4 \int x^3 \sin x \, dx$

現在我們需要計算 $\int x^3 \sin x \, dx$。再次使用分部積分。
令 $u = x^3$ 且 $dv = \sin x \, dx$。
則 $du = 3x^2 \, dx$ 且 $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$。

第二次分部積分：
$\int x^3 \sin x \, dx = x^3 (-\cos x) - \int (-\cos x)(3x^2) \, dx$
$= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \, dx$

將此結果代回第一次分部積分的式子：
$\int x^4 \cos x \, dx = x^4 \sin x - 4 (-x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \, dx)$
$= x^4 \sin x + 4x^3 \cos x - 12 \int x^2 \cos x \, dx$

接下來計算 $\int x^2 \cos x \, dx$。再次使用分部積分。
令 $u = x^2$ 且 $dv = \cos x \, dx$。
則 $du = 2x \, dx$ 且 $v = \sin x$。

此題考驗極限的計算，特別是涉及指數函數和根式函數的組合。

我們需要計算 $\lim_{x \to \infty} \left( e^{\frac{1}{2x}} \sqrt[3]{\frac{1}{2x}} \right)$。

當 $x \to \infty$ 時，$\frac{1}{2x} \to 0$。

我們將 $y = \frac{1}{2x}$ 進行代換。當 $x \to \infty$ 時，$y \to 0^+$。
原式變為：
$\lim_{y \to 0^+} \left( e^y \sqrt[3]{y} \right)$

核心觀念

本題考查兩曲線交點的求法，以及兩曲線所圍面積的定積分公式：

$$A=\int_a^b \left|f(x)-g(x)\right|\,dx$$

其中 $a,b$ 為相鄰兩個交點的 $x$ 座標。由於正弦與餘弦具有週期性，兩曲線會重複形成面積相等的封閉區域。

解題方法

兩曲線交點滿足

$$\sin x=\cos x$$

因為交點處 $\cos x\neq 0$，可兩邊同除以 $\cos x$：

$$\tan x=1$$

因此交點的 $x$ 座標為

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z$$

取相鄰兩個交點：

$$a=\frac{\pi}{4},\qquad b=\frac{5\pi}{4}$$

在區間 $\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$ 中，取 $x=\frac{\pi}{2}$ 檢查：

$$\sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}=1>0$$

所以此區間內 $\sin x$ 位於 $\cos x$ 上方，單一封閉區域面積為

$$A=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx$$

計算得

此題考驗計算函數圖形的弧長，需要利用弧長公式進行積分。

函數為 $y = 50\left(e^{x/100} + e^{-x/100}\right)$，區間為 $[-50, 50]$。
弧長公式為 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$。

首先，我們需要計算 $\frac{dy}{dx}$。
令 $u = \frac{x}{100}$，則 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{100}$。
$\frac{dy}{dx} = 50 \frac{d}{dx} \left( e^{x/100} + e^{-x/100} \right)$
$= 50 \left( \frac{d}{dx} e^{x/100} + \frac{d}{dx} e^{-x/100} \right)$
$= 50 \left( e^{x/100} \cdot \frac{1}{100} + e^{-x/100} \cdot (-\frac{1}{100}) \right)$
$= 50 \cdot \frac{1}{100} \left( e^{x/100} - e^{-x/100} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( e^{x/100} - e^{-x/100} \right)$

接下來，我們計算 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( e^{x/100} - e^{-x/100} \right) \right)^2$
$= \frac{1}{4} \left( e^{x/100} - e^{-x/100} \right)^2$
$= \frac{1}{4} \left( (e^{x/100})^2 - 2 e^{x/100} e^{-x/100} + (e^{-x/100})^2 \right)$
$= \frac{1}{4} \left( e^{2x/100} - 2 e^0 + e^{-2x/100} \right)$
$= \frac{1}{4} \left( e^{x/50} - 2 + e^{-x/50} \right)$

現在，我們計算 $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} \left( e^{x/50} - 2 + e^{-x/50} \right)$
$= \frac{4}{4} + \frac{1}{4} e^{x/50} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4} e^{-x/50}$
$= \frac{1}{4} e^{x/50} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} e^{-x/50}$
$= \frac{1}{4} \left( e^{x/50} + 2 + e^{-x/50} \right)$

觀察到括號內的表達式是一個完全平方：$(e^{x/100} + e^{-x/100})^2 = (e^{x/100})^2 + 2 e^{x/100} e^{-x/100} + (e^{-x/100})^2 = e^{x/50} + 2 + e^{-x/50}$。
所以，
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1}{4} \left( e^{x/100} + e^{-x/100} \right)^2$

接下來，我們取平方根：
$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} \left( e^{x/100} + e^{-x/100} \right)^2}$
$= \frac{1}{2} \left| e^{x/100} + e^{-x/100} \right|$
因為 $e^{x/100} > 0$ 且 $e^{-x/100} > 0$ 對於所有實數 $x$ 都成立，所以和也是正數，絕對值可以去掉。