113 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班在職生《測量學》

本題主要考驗平面座標計算、誤差傳播、土地分割以及遺失點補測等基本測量學概念。

(a) 計算邊長及其標準差
邊長計算公式為兩點間的距離公式。設點 $P_1(E_1, N_1)$ 與 $P_2(E_2, N_2)$，則邊長 $S = \sqrt{(E_2-E_1)^2 + (N_2-N_1)^2}$。
對於邊長標準差的計算，由於 E 和 N 坐標皆為獨立不相關，其誤差傳播可利用下式：
$\sigma_S^2 = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)^2 \sigma_E^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)^2 \sigma_N^2$
其中，$\frac{\partial S}{\partial E} = \frac{E_2-E_1}{S}$，$\frac{\partial S}{\partial N} = \frac{N_2-N_1}{S}$。
因此，$\sigma_S^2 = \left(\frac{E_2-E_1}{S}\right)^2 \sigma_E^2 + \left(\frac{N_2-N_1}{S}\right)^2 \sigma_N^2$。
若 $\sigma_E = \sigma_N = \sigma$，則 $\sigma_S^2 = \frac{(E_2-E_1)^2 + (N_2-N_1)^2}{S^2} \sigma^2 = \sigma^2$。
題目給定 $\sigma_E = \sigma_N = \pm 0.01m$。

計算 AB 邊：
A(50.00m, 60.00m), B(30.00m, 80.00m)
$\Delta E_{AB} = 30.00 - 50.00 = -20.00$ m
$\Delta N_{AB} = 80.00 - 60.00 = 20.00$ m
$S_{AB} = \sqrt{(-20.00)^2 + (20.00)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} \approx 28.284$ m

$\sigma_{S_{AB}}^2 = \left(\frac{-20.00}{28.284}\right)^2 (0.01)^2 + \left(\frac{20.00}{28.284}\right)^2 (0.01)^2 = \frac{400}{800}(0.0001) + \frac{400}{800}(0.0001) = 0.5(0.0001) + 0.5(0.0001) = 0.0001$
$\sigma_{S_{AB}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$ m

計算 AD 邊：
A(50.00m, 60.00m), D(150.00m, 160.00m)
$\Delta E_{AD} = 150.00 - 50.00 = 100.00$ m
$\Delta N_{AD} = 160.00 - 60.00 = 100.00$ m
$S_{AD} = \sqrt{(100.00)^2 + (100.00)^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} \approx 141.421$ m

$\sigma_{S_{AD}}^2 = \left(\frac{100.00}{141.421}\right)^2 (0.01)^2 + \left(\frac{100.00}{141.421}\right)^2 (0.01)^2 = \frac{10000}{20000}(0.0001) + \frac{10000}{20000}(0.0001) = 0.5(0.0001) + 0.5(0.0001) = 0.0001$
$\sigma_{S_{AD}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$ m

【答案】AB 邊長約為 28.284 m，標準差為 0.01 m。AD 邊長約為 141.421 m，標準差為 0.01 m。

(b) 邊長相關性判斷
邊長 $S = \sqrt{(\Delta E)^2 + (\Delta N)^2}$。
若 $\Delta E$ 和 $\Delta N$ 之間存在相關，則由誤差傳播公式，邊長 $S$ 的標準差的計算會包含協方差項。
$\sigma_S^2 = \sigma_{\Delta E}^2 + \sigma_{\Delta N}^2 + 2 \text{cov}(\Delta E, \Delta N)$
在本題中，由於坐標 E 與 N 是獨立不相關的，因此 $\text{cov}(\Delta E, \Delta N) = 0$。
進一步來說，AB 邊的 $\Delta E_{AB} = -20.00$ m，$\Delta N_{AB} = 20.00$ m。AD 邊的 $\Delta E_{AD} = 100.00$ m，$\Delta N_{AD} = 100.00$ m。
雖然 AB 邊和 AD 邊的邊長計算都依賴於坐標，但它們的計算是基於不同的坐標差值。
AB 邊的邊長 $S_{AB}$ 與 $\Delta E_{AB}$ 和 $\Delta N_{AB}$ 有關。AD 邊的邊長 $S_{AD}$ 與 $\Delta E_{AD}$ 和 $\Delta N_{AD}$ 有關。
由於題目明確說明「點與點間、界址點E及N坐標間皆為獨立不相關」，這表示所有點的 E 坐標誤差之間是獨立的，所有點的 N 坐標誤差之間也是獨立的，且 E 坐標誤差與 N 坐標誤差之間也是獨立的。
因此，計算 AB 邊長時所使用的 $\Delta E_{AB}$ 和 $\Delta N_{AB}$ 的誤差是獨立的，計算 AD 邊長時所使用的 $\Delta E_{AD}$ 和 $\Delta N_{AD}$ 的誤差也是獨立的。
因此，AB 邊長與 AD 邊長的計算所依賴的誤差是獨立的，故兩邊長是獨立的，不相關。

【答案】不相關。因為組成 AB 邊長和 AD 邊長的坐標差值（$\Delta E$ 和 $\Delta N$）的誤差是獨立不相關的。

(c) 等分土地，計算新界址坐標
土地為長方形 ABCD。AB 邊和 CD 邊是長邊，BC 邊和 AD 邊是短邊。
AB 邊長約 28.284 m，AD 邊長約 141.421 m。
等分土地意味著將土地面積分成兩半。新增的界址點位於長邊上，假設是位於 AB 邊或 CD 邊。題目說「新增的界址點位於長邊上」，這句話比較模糊，通常土地分割會是切割較長的邊。我們假設是沿著較長的邊 BC 或 AD 進行分割。
如果新增的界址點位於 AB 邊上，那麼這條分割線會與 AD 邊平行。
如果新增的界址點位於 AD 邊上，那麼這條分割線會與 AB 邊平行。
然而，題目說「新增的界址點位於長邊上」，這表示分割線的端點之一落在長邊上。
若我們假設分割線是垂直於長邊 AD，則分割點在 AD 邊上。
若我們假設分割線是垂直於短邊 AB，則分割點在 AB 邊上。
從圖形來看，AB 邊和 CD 邊的長度約為 28.284 m，BC 邊和 AD 邊的長度約為 141.421 m。
因此，AB 和 CD 是短邊，BC 和 AD 是長邊。
題目說「新增的界址點位於長邊上」，這表示分割點在 BC 邊或 AD 邊上。
假設我們將土地沿著 AB 邊的方向進行分割，則分割點在 AD 邊上。
土地總面積 $Area = S_{AB} \times S_{AD} \approx 28.284 \times 141.421 \approx 4000$ m$^2$。
若等分土地，則每塊面積為 2000 m$^2$。
假設新增點 E 位於 AD 邊上，且 AE 的長度為 $S_{AE}$，則分割線 BE。
則 $S_{AB} \times S_{AE} = 2000$ m$^2$。
$28.284 \times S_{AE} = 2000 \implies S_{AE} = \frac{2000}{28.284} \approx 70.711$ m。
點 E 是 A(50.00, 60.00) 和 D(150.00, 160.00) 之間的一個點。
向量 $\vec{AD} = (100.00, 100.00)$。$S_{AD} = 141.421$ m。
點 E 的坐標可以表示為 $E = A + \frac{S_{AE}}{S_{AD}} \vec{AD}$。
$E = (50.00, 60.00) + \frac{70.711}{141.421} (100.00, 100.00)$
$E = (50.00, 60.00) + 0.5 (100.00, 100.00)$
$E = (50.00, 60.00) + (50.00, 50.00) = (100.00, 110.00)$ m。
此時，新增的界址點 E 位於 AD 邊上，分割線 BE 將土地分成兩塊。
另一種可能性是，新增的界址點 F 位於 AB 邊上，分割線 CF 將土地分成兩塊。
則 $S_{AF} \times S_{AD} = 2000$ m$^2$。
$S_{AF} \times 141.421 = 2000 \implies S_{AF} = \frac{2000}{141.421} \approx 14.142$ m。
點 F 是 A(50.00, 60.00) 和 B(30.00, 80.00) 之間的一個點。
向量 $\vec{AB} = (-20.00, 20.00)$。$S_{AB} = 28.284$ m。
點 F 的坐標可以表示為 $F = A + \frac{S_{AF}}{S_{AB}} \vec{AB}$。

核心觀念

本題考查：

1. 水準測量中誤差的種類與來源。
2. 多條水準路線觀測同一高程差時，以最小二乘法求未知高程。
3. 依路線長度倒數配置權：

$$p_i\propto \frac{1}{L_i}$$

其中 $L_i$ 為第 $i$ 條水準路線長度。

各路線皆量測水準點 $A$ 至 $B$ 的高程差，因此理論上應滿足：

$$\Delta H_{AB}=H_B-H_A$$

已知 $H_A=10\text{ m}$。

誤差分析

水準測量可能存在以下三類誤差：

1. 系統誤差

系統誤差具有固定或規律性的方向與大小，常見來源包括：

• 水準儀視準軸未水平所造成的視準軸誤差。
• 地球曲率誤差。
• 大氣折光誤差。
• 水準尺刻劃或尺長誤差。
• 水準尺零點誤差。
• 儀器或尺墊沉陷造成的規律性影響。

在實務上，通常藉由前、後視距離相等、儀器校正及改正數予以消除或降低。

2. 偶然誤差

偶然誤差由讀數估讀、氣象微小變化、視線擺動、儀器整平不完全等因素造成，正負方向及大小不固定。其特性可藉由增加觀測次數及平差予以削弱。

本題各路線所得高程差不完全相同，主要可視為偶然誤差所造成的觀測差異。

3. 粗差

粗差通常由人為疏失或作業錯誤造成，例如：

• 讀錯水準尺刻度。
• 記錄錯誤。
• 將後視、前視讀數抄反。
• 水準尺未垂直。
• 點位或路線辨識錯誤。

本題中路線 $c$ 的高程差為 $72.893\text{ m}$，與其他三條路線約 $71.8\text{ m}$ 的結果相差約 $1\text{ m}$，明顯偏大，具有粗差或嚴重觀測錯誤的可疑特徵。若無其他資料可供剔除，依題意仍將四筆觀測一併納入最小二乘平差。

最小二乘法計算

設未知高程差為：

$$x=\Delta H_{AB}=H_B-H_A$$

各觀測值為：

$$l_a=71.791,\quad l_b=71.770,\quad l_c=72.893,\quad l_d=71.803$$

因為每一條路線都直接觀測同一個高程差，所以觀測方程式為：

$$l_i=x+v_i$$

其中 $v_i$ 為觀測殘差。

1. 配置權

依距離倒數配置權：

$$p_a=\frac{1}{1.0}=1$$ $$p_b=\frac{1}{1.5}=0.666667$$ $$p_c=\frac{1}{2.5}=0.4$$ $$p_d=\frac{1}{2.0}=0.5$$

因此：

$$\sum p_i =1+0.666667+0.4+0.5 =2.566667$$

2. 加權平均高程差

最小二乘估計值為加權平均：

$$\hat{x} = \frac{\sum p_i l_i}{\sum p_i}$$

代入數值：

$$\hat{x} = \frac{ 1(71.791) +0.666667(71.770) +0.4(72.893) +0.5(71.803) }{2.566667}$$

核心觀念

本題是以已知控制點 $A、B$ 及已知方位角，透過導線 $A-P-B$ 求定未知點 $P$。主要應用：

1. 導線角度閉合條件。
2. 方位角傳遞：
   $\alpha_{\text{下一邊}}=\alpha_{\text{前一邊}}\pm\text{觀測角}$
3. 導線座標增量：
   $\Delta E=S\sin\alpha,\qquad \Delta N=S\cos\alpha$
4. 導線座標閉合差，以羅盤法（Bowditch rule）按邊長比例分配。

圖中角度定義為：

• $\gamma=\angle CAP$
• $\theta=\angle APB$
• $\delta=\angle PBD$

其中 $\theta=\angle BPA$。

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(a) 多餘觀測數與未知數

未知點 $P$ 的坐標為：

$E_P,\quad N_P$

因此未知數共有 $2$ 個。

本題觀測量包括：

• 三個角度：$\gamma,\theta,\delta$
• 兩個距離：$S_{AP},S_{BP}$

共 $5$ 個觀測量，因此多餘觀測數為：

$r=n-u=5-2=3$

其中：

• $1$ 個為角度閉合的多餘觀測；
• $2$ 個為坐標閉合的多餘觀測。

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(b) 角度改正

已知：

$\phi_{CA}=132^\circ50'20"$

因為 $A\to C$ 與 $C\to A$ 方向相反：

$\alpha_{AC}=312^\circ50'20"$

由圖形方向，$A\to P$ 的方位角為：

$\alpha_{AP}=\alpha_{AC}+\gamma$

而 $P\to B$ 與 $A\to P$ 之間的方向關係為：

$\alpha_{PB}=\alpha_{AP}+180^\circ-\theta$

因此閉合條件為：

$$\delta-\gamma+\theta =\phi_{CA}-\phi_{BD}+180^\circ$$

右側為：

$$\begin{aligned} \phi_{CA}-\phi_{BD}+180^\circ &=132^\circ50'20"-224^\circ36'40"+180^\circ\\ &=88^\circ13'40" \end{aligned}$$

觀測角計算得：

$$\begin{aligned} \delta-\gamma+\theta &=118^\circ28'40"-86^\circ42'30"+56^\circ27'42"\\ &=88^\circ13'52" \end{aligned}$$

故角度閉合差為：

$f_\beta=+12"$

三個角度同精度，採平均分配：

$v=-\frac{12"}{3}=-4"$

依角度在閉合式中的正負號，改正數為：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{角度}&\text{改正數}&\text{改正後角度}\\ \hline \gamma&+4"&86^\circ42'34"\\ \theta&-4"&56^\circ27'38"\\ \delta&-4"&118^\circ28'36" \end{array}$$

因此：

$$\boxed{\gamma'=86^\circ42'34"}$$ $$\boxed{\theta'=56^\circ27'38"}$$ $$\boxed{\delta'=118^\circ28'36"}$$

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(c) 計算 $P$ 點坐標

1. 計算導線方位角

$$\begin{aligned} \alpha_{AP} &=312^\circ50'20"+86^\circ42'34"\\ &=39^\circ32'54" \end{aligned}$$

因為：

$\alpha_{PB}=\alpha_{AP}+180^\circ-\theta'$

所以：

$$\begin{aligned} \alpha_{PB} &=39^\circ32'54"+180^\circ-56^\circ27'38"\\ &=163^\circ05'16" \end{aligned}$$

本題主要考驗數值地形模型 (DTM) 的基本概念、TIN 結構、Delaunay 三角形網的性質，以及基於 TIN 的內插計算。

一、數值地形模型的種類 (8%)

數值地形模型 (DTM, Digital Terrain Model) 是用數值方式來表達地表起伏的數學模型。常見的 DTM 有兩大類：

1. 斷續不規則網格 (TIN, Triangulated Irregular Network)

   • 定義： TIN 是一種基於點的數據結構，它將地表離散的測量點（稱為節點）連接起來，形成一個由連續的三角形平面組成的網絡。這些三角形平鋪整個區域，沒有重疊，也沒有空隙。每個三角形的頂點是已知的地表高程點。
   • 特點：
     • 能夠準確地表示地表數據的變化，尤其是在數據點分佈不均勻的區域。
     • 能夠直接包含斷崖、河流等不連續的地形特徵。
     • 適合於表示稀疏或不規則分佈的數據。
     • 計算效率相對較低，尤其是在數據量大時。
   • 應用： 地形分析、坡度坡向計算、視覺化、水文模擬等。

2. 規則格網 (Regular Grid / Raster DEM)

   • 定義： 規則格網 DTM 是一種將地表劃分為規則的矩形（通常是正方形）單元格（像素）的數據結構。每個單元格都具有一個對應的地表高程值，這個值通常代表該單元格的中心點、平均值或最小值/最大值。
   • 特點：
     • 數據結構簡單，易於儲存和處理，尤其適合於 raster 數據處理。
     • 適合於表示連續變化的地表。
     • 在數據點稀疏的區域，會通過插值方法（如雙線性插值、最近鄰插值）來填充格網單元格，可能無法精確表示局部細節。
     • 計算效率高。
   • 應用： 影像疊置分析、坡度坡向計算（基於鄰近格網點）、地理資訊系統 (GIS) 中的廣泛應用。

二、Delaunay 三角形網與最佳三角形 (2%)

Delaunay 三角形網 (Delaunay Triangulation) 是一種特殊的三角形分割，它滿足「空圓準則」(Empty Circumcircle Criterion)：對於網中任意一個三角形，其外接圓內部不包含任何其他的數據點。
Delaunay 三角形網的優點是：

• 最大化最小角：它傾向於避免產生狹長的三角形，使得所有三角形的最小角都盡可能大，從而提高插值的數值穩定性。
• 唯一性：對於一組不共線的點，Delaunay 三角形網是唯一的（除非有四個點共圓）。

題目給出四個地形取樣點坐標 (E, N, H)：
A(100, 50, 58)
B(100, 90, 90)
C(120, 90, 80)
D(120, 75, 100)

我們需要組成「最佳三角形」。在 Delaunay 三角形網的意義下，「最佳」通常指滿足空圓準則的三角形。
有四個點，可以組成的三角形有：ABC, ABD, ACD, BCD。
我們需要判斷哪些組合能形成 Delaunay 三角形網。
在只有四個點的情況下，通常會有兩個三角形組成一個四邊形（如果四點不共線）。
我們需要檢查哪種組合能滿足 Delaunay 的空圓準則。

檢查組合：

1. 四邊形 ABCD 的可能對角線： AC 或 BD。

   • 如果我們連接 AC，形成三角形 ABC 和 ADC。
   • 如果我們連接 BD，形成三角形 ABD 和 CBD。

2. 判斷 Delaunay：

   • 組合 1：連接 AC。

     • 三角形 ABC: 頂點 A(100,50), B(100,90), C(120,90)。
     • 三角形 ADC: 頂點 A(100,50), D(120,75), C(120,90)。
     • 檢查四邊形 ABCD 的對角線 AC。
     • 檢查四邊形 ABDC 的對角線 BD。

   • 組合 2：連接 BD。

     • 三角形 ABD: 頂點 A(100,50), B(100,90), D(120,75)。
     • 三角形 BCD: 頂點 B(100,90), C(120,90), D(120,75)。
     • 檢查四邊形 ABDC 的對角線 BD。
     • 檢查四邊形 ACBD 的對角線 AC。

   判斷方法：
   對於一個凸四邊形，如果對角線 AC 的兩個端點 A, C 在對角線 BD 的兩側，則 BD 是 Delaunay 的對角線，反之 AC 是 Delaunay 的對角線。
   或者，檢查四個點是否構成凸四邊形。
   A(100,50), B(100,90), C(120,90), D(120,75)。
   觀察 x, y 坐標：
   x 坐標：100, 100, 120, 120
   y 坐標：50, 90, 90, 75
   這四個點構成一個梯形（AB 垂直於 BC 和 AD 之間），或者一個稍微扭曲的四邊形。
   AB 垂直於 BC。
   CD 垂直於 BC (因為 C, D 的 x 相同)。
   點 A, B 在 x=100；點 C, D 在 x=120。
   點 B, C 在 y=90；點 A 在 y=50；點 D 在 y=75。
   這四個點形成一個凸四邊形。
   我們可以畫圖或計算。
   A(100,50), B(100,90), C(120,90), D(120,75)。
   AB 是垂直線段。BC 是水平線段。CD 垂直線段。
   這是一個直角梯形，AB 邊長 40，BC 邊長 20，CD 邊長 15。
   對角線 AC：起點(100,50)，終點(120,90)。
   對角線 BD：起點(100,90)，終點(120,75)。
   點 A, B 在 x=100；點 C, D 在 x=120。
   點 B, C 在 y=90；點 A 在 y=50；點 D 在 y=75。
   這是四點構成的凸四邊形。
   對角線 AC 的方程：$y-50 = \frac{90-50}{120-100}(x-100) = \frac{40}{20}(x-100) = 2(x-100) \implies y = 2x - 150$。
   對角線 BD 的方程：$y-90 = \frac{75-90}{120-100}(x-100) = \frac{-15}{20}(x-100) = -0.75(x-100) \implies y = -0.75x + 75 + 90 = -0.75x + 165$。
   計算兩條對角線的交點：
   $2x - 150 = -0.75x + 165$
   $2.75x = 315$
   $x = 315 / 2.75 \approx 114.55$
   $y = 2(114.55) - 150 \approx 229.1 - 150 = 79.1$
   交點約為 (114.55, 79.1)。

   現在檢查點 D(120, 75) 和點 B(100, 90) 相對於對角線 AC。
   將 D 的坐標代入 AC 方程 $y - 2x + 150 = 0$。
   $75 - 2(120) + 150 = 75 - 240 + 150 = -15$。
   將 B 的坐標代入 AC 方程 $y - 2x + 150 = 0$。
   $90 - 2(100) + 150 = 90 - 200 + 150 = 40$。
   由於代入 D 和 B 的結果符號相反，說明 D 和 B 在 AC 的兩側。所以 AC 是 Delaunay 的對角線。
   因此，最佳三角形是 ABC 和 ADC。

   另一種判斷方法：
   檢查哪個對角線的兩個端點與另外兩個點構成的夾角和較大。
   對於對角線 AC，我們看 $\angle ABC$ 和 $\angle ADC$。
   對於對角線 BD，我們看 $\angle BAD$ 和 $\angle BCD$。

   驗證：
   組合 1 (AC 為對角線):
   三角形 ABC: A(100,50), B(100,90), C(120,90)。
   $\vec{BA} = (0, -40)$, $\vec{BC} = (20, 0)$。$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$。$\angle ABC = 90^\circ$。
   三角形 ADC: A(100,50), D(120,75), C(120,90)。
   $\vec{DA} = (-20, -25)$, $\vec{DC} = (0, 15)$。$\vec{DA} \cdot \vec{DC} = (-20)(0) + (-25)(15) = -375$。
   $|\vec{DA}| = \sqrt{(-20)^2 + (-25)^2} = \sqrt{400+625} = \sqrt{1025} \approx 32.016$
   $|\vec{DC}| = 15$
   $\cos(\angle ADC) = \frac{-375}{32.016 \times 15} \approx \frac{-375}{480.24} \approx -0.7808$
   $\angle ADC \approx 141.34^\circ$。

   組合 2 (BD 為對角線):
   三角形 ABD: A(100,50), B(100,90), D(120,75)。
   $\vec{BA} = (0, -40)$, $\vec{BD} = (20, -15)$。$\vec{BA} \cdot \vec{BD} = (0)(20) + (-40)(-15) = 600$。
   $|\vec{BA}| = 40$
   $|\vec{BD}| = \sqrt{20^2 + (-15)^2} = \sqrt{400+225} = \sqrt{625} = 25$
   $\cos(\angle ABD) = \frac{600}{40 \times 25} = \frac{600}{1000} = 0.6$
   $\angle ABD = 53.13^\circ$。
   三角形 BCD: B(100,90), C(120,90), D(120,75)。
   $\vec{CB} = (-20, 0)$, $\vec{CD} = (0, -15)$。$\vec{CB} \cdot \vec{CD} = 0$。$\angle BCD = 90^\circ$。

   Delaunay 準則： 對於凸四邊形，如果對角線 AC 的兩個端點 A, C 在對角線 BD 的兩側，則 AC 是 Delaunay 的對角線。
   我們已經證明 D 和 B 在 AC 的兩側。所以 AC 是 Delaunay 的對角線。
   因此，最佳三角形是 ABC 和 ADC。

三、TIN 內插 P 點高程 (6%)

P 點坐標為 (110, 80)。
我們需要確定 P 點在哪個三角形內部。
點 A(100,50), C(120,90), D(120,75)。
三角形 ADC 的頂點坐標：A(100,50), D(120,75), C(120,90)。
我們需要判斷 P(110,80) 是否在三角形 ADC 內部。
判斷方法：使用重心座標法或向量叉乘法。

重心座標法：
設 P = uA + vD + wC，其中 u+v+w = 1 且 u,v,w > 0 表示 P 在三角形內部。
或者，我們可以檢查 P 點是否在 AD, DC, CA 三條線段的同一側。

本題考驗曲線測量中關於圓曲線的參數計算，包括中心角、弦長、切線長、外距、內距，以及曲線測設時的里程計算和樁號設置。

一、中心角 I 的計算

題目中提到「彎曲鐵路隧道長為 1.5 km」，這通常是指曲線段的弧長 $L$。
曲線的曲率半徑 $R = 2000$ m。
弧長 $L = 1.5$ km $= 1500$ m。

圓曲線的弧長公式為：
$L = R \times I$
其中 $L$ 是弧長，$R$ 是曲率半徑，$I$ 是中心角（以弧度為單位）。

我們需要計算中心角 $I$。
$I = \frac{L}{R}$
$I = \frac{1500 \text{ m}}{2000 \text{ m}} = 0.75$ 弧度。

為了將中心角轉換為度數：
$I (\text{degrees}) = I (\text{radians}) \times \frac{180^\circ}{\pi}$
$I (\text{degrees}) = 0.75 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 0.75 \times 57.2958^\circ \approx 42.97185^\circ$

題目中提到「中心角 I (即兩直線之交角)」。在曲線測量中，通常指曲線切線的交角，也稱為偏角 (Deflection Angle)。
對於一個圓曲線，其切線的交角（或稱總偏角）等於其中心角。
所以，中心角 $I \approx 42.97185^\circ$。

計算步驟：

1. 確認題目給定的「隧道長」是指弧長 $L$。
2. 確認題目給定的「曲率半徑」為 $R$。
3. 使用公式 $I = L/R$ 計算中心角 $I$（弧度）。
4. 將弧度轉換為度數（如果需要）。

中心角 I 的值：
$I = 0.75$ 弧度，或約 $42.97^\circ$。

二、副樁數量計算

題目要求「以每 20m 訂一副樁」。這意味著我們要計算弧長為 20m 的小段曲線需要多少個樁。
總弧長 $L = 1500$ m。
每段弧長 $\Delta L = 20$ m。
樁的數量 $N_{total} = \frac{L}{\Delta L} = \frac{1500}{20} = 75$ 段。

如果我們從起點開始，每隔 20m 設置一個樁，那麼總共會有 75 個間隔。
樁的總數 = 75 + 1 (起點樁) = 76 根。
但是，題目問的是「共需若干根副樁」。
副樁是指除了起點和終點之外的樁。
總樁數 = 起點樁 + 副樁 + 終點樁。
如果起點和終點是固定的，那麼總共的樁數是 76 根。
其中，起點樁是第 0 根。終點樁是第 75 段的結束，即第 75 根（如果從 0 開始編號）。
總共有 76 個樁號（從 0 到 75）。
副樁的數量 = 總樁數 - 2 (起點和終點) = 76 - 2 = 74 根。

說明：
通常，在曲線測設中，起點稱為 "Point of Curve" (PC)，終點稱為 "Point of Tangent" (PT)。
里程 (Stationing) 是按照直線段的里程來計算的。
起點里程為 24k+120。

本題主要考驗對測量儀器的基本認識，包括儀器的種類、結構、用途以及系統誤差的消除方法。

一、儀器種類與用途 (4%)

• 圖 A：

  • 儀器名稱： 全站儀 (Total Station)
  • 用途： 全站儀是一種結合了電子測距儀 (EDM) 和電子測角儀 (Electronic Theodolite) 的光學-電子測量儀器。它能夠同時測量水平角、垂直角和斜距離，並能自動計算出目標點的三維坐標 (E, N, Z)。其主要用途包括：
    • 地形測量：採集地表點位的坐標數據，繪製地形圖。
    • 工程測量：放樣、監測、施工控制等。
    • 控制測量：建立高精度控制網。
    • 導線測量、導線網平差。
    • 三維掃描，獲取點雲數據。

• 圖 B：

  • 儀器名稱： 經緯儀 (Theodolite)
  • 用途： 經緯儀是一種用於精確測量水平角和垂直角的光學儀器。其主要用途包括：
    • 角度測量：測量任意兩目標之間的水平角和垂直角。
    • 導線測量：測量導線的轉折角。
    • 天文測量：確定地理方位和時間。
    • 地形測量：作為測角部分，配合測距儀或尺進行坐標計算。
    • 工程測量中的角度控制。

二、儀器基本架構與主軸關係 (4%)

• 儀器基本架構：

  • 經緯儀 (Theodolite)：
    • 豎軸 (Vertical Axis / Trunnion Axis)： 儀器繞其旋轉以測量水平角。通常連接望遠鏡的橫軸。
    • 橫軸 (Trunnion Axis / Horizontal Axis)： 儀器繞其旋轉以測量垂直角。望遠鏡安裝在其上。
    • 視準軸 (Line of Sight)： 通過望遠鏡物鏡中心、十字絲中心到目標的直線。
    • 基座 (Base)： 儀器的底部，包含調平螺絲和連接三爪台的接口。
    • 水準氣泡： 用於將豎軸調至鉛垂或將橫軸調至水平。
    • 度盤： 刻有角度刻度的圓盤，用於讀取角度值。
  • 全站儀 (Total Station)：
    • 全站儀在經緯儀的基礎上增加了電子測距儀 (EDM) 和微處理器。
    • 主軸系統： 與經緯儀類似，包括豎軸、橫軸。
    • 望遠鏡： 包含測角系統和 EDM 的發射/接收單元。
    • 電子顯示屏和鍵盤： 用於輸入數據、設置程序和顯示結果。
    • 數據記錄器： 儲存測量數據。
    • 電源： 電池。

• 主軸間的相互關係：

  • 理想關係：
    1. 豎軸 (Vertical Axis) 應嚴格鉛垂。
    2. 橫軸 (Trunnion Axis) 應嚴格水平。
    3. 視準軸 (Line of Sight) 應嚴格垂直於橫軸。
    4. 豎軸應嚴格垂直於橫軸。
  • 實際情況與誤差： 在實際儀器中，這些關係可能不是完美的，這會引入系統誤差。
    • 豎軸不鉛垂 (o)：當豎軸與鉛垂線存在夾角時。
    • 橫軸不水平 (c)：當橫軸與水平面存在夾角時。
    • 視準軸與橫軸不垂直 (i)：當視準軸與橫軸的夾角不是 90 度時。

三、系統誤差及其消除步驟 (12%)

• 經緯儀 (Theodolite) 的系統誤差及其消除：
  1. 豎軸不鉛垂誤差 (o)：
     • 影響： 測量水平角時，如果豎軸不鉛垂，會引入水平角誤差。測量垂直角時，會影響垂直角讀數。
     • 消除步驟：
       • 儀器調平： 使用儀器自帶的水準氣泡（圓氣泡和管狀氣泡）仔細調平儀器，使豎軸盡可能鉛垂。
       • 盤左盤右觀測法 (Face Left / Face Right)： 這是最主要的消除方法。在測量一個水平角時，先將儀器放置成盤左 (FL) 位置，測量一次；然後將儀器（包括望遠鏡）180 度翻轉，放置成盤右 (FR) 位置，再測量一次。兩個讀數的平均值可以消除豎軸不鉛垂和橫軸不水平的誤差。
  2. 橫軸不水平誤差 (c)：
     • 影響： 測量水平角時，會引入誤差。
     • 消除步驟： 同上，採用盤左盤右觀測法可以消除。
  3. 視準軸與橫軸不垂直誤差 (i)：
     • 影響： 測量水平角和垂直角時都會引入誤差。
     • 消除步驟：