113 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班在職生《線性代數》

本題考查特徵向量的求解。已知一個特徵值，我們需要找到對應的特徵向量所構成的子空間（特徵空間）的一個基底。

核心概念：若 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的一個特徵值，則對應的特徵向量 $v$ 滿足 $Av = \lambda v$。這可以改寫為 $(A - \lambda I)v = 0$。因此，特徵向量是齊次方程組 $(A - \lambda I)v = 0$ 的非零解，這些解的集合（加上零向量）構成一個向量空間，稱為對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵空間。

解題步驟：

1. 計算矩陣 $A - \lambda I$。
2. 求解齊次方程組 $(A - \lambda I)v = 0$。
3. 找到該方程組的解空間的一個基底，即為特徵空間的基底。

已知矩陣 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$，且其中一個特徵值為 $\lambda = 3$。

1. 計算 $A - \lambda I$:

   $$A - 3I = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & 9 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & 2 & 3 \\ -1 & 1-3 & -3 \\ 2 & 4 & 9-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$

2. 求解齊次方程組 $(A - 3I)v = 0$，其中 $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$。

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

核心觀念

本題考查實數矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。
若矩陣 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，則其奇異值分解形式為：

$$A = U \Sigma V^T$$

其中各矩陣滿足：

1. $V = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 為正交矩陣（Orthogonal matrix），其各行向量 $v_i$ 為 $A^TA$ 的單純正交特徵向量（Right singular vectors）。
2. $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 為主對角線上依序由大到小排列非負奇異值 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ 的矩形對角矩陣（$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge 0$）。
3. $U = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 為正交矩陣，其前 $r$ 個行向量（Left singular vectors）由下列公式確定：

$$u_i = \frac{1}{\sigma_i} A v_i \quad (i = 1, \dots, r)$$

其餘行向量 $\{u_{r+1}, \dots, u_m\}$ 則取為滿足與前 $r$ 個向量彼此正交且長度為 1 之單位向量（即形成 $\mathbb{R}^m$ 的一組標準正交基底，屬於 $\operatorname{Null}(A^T)$ 的正交規範基底）。

---

解題方法

給定矩陣：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$$

其奇異值分解大小為：$U \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$、$\Sigma \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$、$V \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$。

步驟一：求 $A^T A$ 及其特徵值與特徵向量

計算對稱矩陣 $A^T A$：

$$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+4 & -2-2-4 \\ -2-2-4 & 4+1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -8 \\ -8 & 9 \end{pmatrix}$$

解其特徵方程式 $\det(A^TA - \lambda I) = 0$：

$$\det\begin{pmatrix} 9-\lambda & -8 \\ -8 & 9-\lambda \end{pmatrix} = (9-\lambda)^2 - 64 = 0$$ $$(9-\lambda-8)(9-\lambda+8) = (1-\lambda)(17-\lambda) = 0$$

求得特徵值：

$$\lambda_1 = 17, \quad \lambda_2 = 1$$

步驟二：求奇異值及矩陣 $\Sigma$

取特徵值的正平方根得奇異值：

$$\sigma_1 = \sqrt{17}, \quad \sigma_2 = \sqrt{1} = 1$$

構造 $3 \times 2$ 矩陣 $\Sigma$：

$$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

步驟三：求正交矩陣 $V$（右奇異向量）

1. 對應 $\lambda_1 = 17$：

$$(A^TA - 17I)v_1 = \begin{pmatrix} -8 & -8 \\ -8 & -8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x_1 + x_2 = 0$$

取單位化特徵向量：

$$v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

2. 對應 $\lambda_2 = 1$：

$$(A^TA - I)v_2 = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ -8 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x_1 - x_2 = 0$$

取單位化特徵向量：

$$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

故正交矩陣 $V$ 為：

$$V = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

其轉置矩陣為：

$$V^T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

步驟四：求正交矩陣 $U$（左奇異向量）

利用 $u_i = \frac{1}{\sigma_i}Av_i$ 計算前兩個行向量：

1. 計算 $u_1$：

$$A v_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$ $$u_1 = \frac{1}{\sigma_1} A v_1 = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{34}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$

本題考查線性轉換與矩陣表示，以及核空間 (Null Space) 和行空間 (Column Space) 的概念。

核心概念：

1. 線性轉換 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的標準矩陣 $A$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，其第 $j$ 個行向量是 $T(e_j)$，其中 $e_j$ 是標準基底向量。
2. 對於任意向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $T(x) = Ax$。
3. 核空間 (Null Space) $Nul(A)$ 是方程組 $Ax=0$ 的解空間。其維度稱為零度 (nullity)。
4. 行空間 (Column Space) $Col(A)$ 是矩陣 $A$ 的列向量所生成的空間。其維度稱為秩 (rank)。
5. 秩-零度定理 (Rank-Nullity Theorem)：對於一個 $m \times n$ 矩陣 $A$，$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$。

給定線性轉換 $T$ 在三個向量上的取值：
$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}$, $T(v_1) = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$
$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $T(v_2) = \begin{pmatrix} 13 \\ 14 \\ 15 \end{pmatrix}$
$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $T(v_3) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

(a) 尋找標準轉換矩陣 $A$。
標準轉換矩陣 $A$ 的列向量是 $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$。我們需要找到 $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$。
由於 $T$ 是線性轉換，我們可以利用給定的信息來表示標準基底向量 $e_1, e_2, e_3$ 作為 $v_1, v_2, v_3$ 的線性組合。
然而，這裡給定的 $v_1, v_2, v_3$ 並不一定是標準基底。所以，我們不能直接假設 $T(v_1) = Av_1$。
我們需要先找到 $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$。
首先，檢查 $v_1, v_2, v_3$ 是否線性獨立。
構成矩陣 $V = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{pmatrix}$。
計算行列式：$\det(V) = 2((-2)(0) - 0(3)) - 1(0(0) - 0(9)) + 1(0(3) - (-2)(9)) = 2(0) - 0 + 1(0 + 18) = 18 \neq 0$。
因此，$v_1, v_2, v_3$ 是線性獨立的，它們構成 $\mathbb{R}^3$ 的一個基底。

我們可以用 $v_1, v_2, v_3$ 作為基底來表示任意向量 $x \in \mathbb{R}^3$。
令 $x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$。
則 $T(x) = T(c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3) = c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + c_3 T(v_3)$。

我們需要找到 $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$。
先找到 $e_1, e_2, e_3$ 在基底 $\{v_1, v_2, v_3\}$ 下的坐標。
即解方程組 $c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = e_j$ ($j=1,2,3$)。
這相當於解 $V \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = e_j$。
或者，我們可以先求出 $V^{-1}$。

$$V = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$

使用伴隨矩陣法求逆矩陣：
代數餘子式矩陣：
$C_{11} = (-2)(0) - 0(3) = 0$
$C_{12} = -(0(0) - 0(9)) = 0$
$C_{13} = (-2)(3) - 0(9) = -6$
$C_{21} = -(1(0) - 1(3)) = 3$
$C_{22} = 2(0) - 1(9) = -9$
$C_{23} = -(2(3) - 1(9)) = -(6-9) = 3$
$C_{31} = (-2)(0) - (-2)(1) = 2$
$C_{32} = -(2(0) - 0(1)) = 0$
$C_{33} = 2(-2) - 1(0) = -4$
伴隨矩陣 $\text{adj}(V) = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ 0 & -9 & 0 \\ -6 & 3 & -4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -6 \\ 3 & -9 & 3 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}$。
$\det(V) = 18$。

$$V^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -6 \\ 3 & -9 & 3 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/3 \\ 1/6 & -1/2 & 1/6 \\ 1/9 & 0 & -2/9 \end{pmatrix}$$

現在我們可以找到 $e_1, e_2, e_3$ 在 $v_1, v_2, v_3$ 基底下的坐標。
$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$:
$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = V^{-1} e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/6 \\ 1/9 \end{pmatrix}$。
所以 $e_1 = \frac{1}{6} v_2 + \frac{1}{9} v_3$。（注意：這裡的 $c_1, c_2, c_3$ 是 $v_1, v_2, v_3$ 的係數）
$T(e_1) = T(\frac{1}{6} v_2 + \frac{1}{9} v_3) = \frac{1}{6} T(v_2) + \frac{1}{9} T(v_3)$
$T(e_1) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 13 \\ 14 \\ 15 \end{pmatrix} + \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13/6 \\ 14/6 \\ 15/6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/9 \\ 2/9 \\ 3/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26/18 \\ 28/18 \\ 30/18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2/18 \\ 4/18 \\ 6/18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28/18 \\ 32/18 \\ 36/18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14/9 \\ 16/9 \\ 2 \end{pmatrix}$。

$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$:
$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = V^{-1} e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$。
所以 $e_2 = -\frac{1}{2} v_2$。
$T(e_2) = T(-\frac{1}{2} v_2) = -\frac{1}{2} T(v_2) = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 13 \\ 14 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -7 \\ -15/2 \end{pmatrix}$。

$e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$:
$\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = V^{-1} e_3 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 1/6 \\ -2/9 \end{pmatrix}$。

核心觀念

二維向量 $\mathbf{x}=(x,y)^T$ 的齊次座標寫成

$$\widetilde{\mathbf{x}}= \begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}.$$

二維線性變換 $A\mathbf{x}$ 的齊次座標矩陣為

$$H_A= \begin{pmatrix} a&b&0\\ c&d&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

其中 $A$ 的兩個欄向量分別是 $A(1,0)^T$ 與 $A(0,1)^T$ 的結果。平移則須將平移量放在第三欄。

---

(a)(i) 水平剪切變換

設二維線性變換矩陣為 $A$。題目給出

$$A \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \qquad A \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}.$$

由線性性，

$$\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix},$$

因此

$$A \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}.$$

所以 $A$ 的兩個欄向量為

$$A= \begin{pmatrix} 1&3\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

加入齊次座標後，

$$\boxed{ H_{(i)}= \begin{pmatrix} 1&3&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} }.$$

驗算：

$$H_{(i)} \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\1\\1 \end{pmatrix}, \qquad H_{(i)} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}.$$

---

(a)(ii) 平移變換

題目給出

$$T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+ \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}.$$

令 $\mathbf{x}=(x,y)^T$，則

$$T(x,y)= \begin{pmatrix} x+2\\y+1 \end{pmatrix}.$$

其齊次座標表示為

本題考查最小平方法 (Least Squares) 的概念及其幾何意義，以及不同求解方法在處理病態 (ill-conditioned) 系統時的差異。

核心概念：

1. 最小平方法：對於方程組 $Ax=b$ 無精確解時，我們尋找一個向量 $\hat{x}$ 使得 $\|Ax - b\|^2$ 最小。這個 $\hat{x}$ 稱為最小平方法解。
2. 正規方程 (Normal Equations)：最小平方法解 $\hat{x}$ 滿足正規方程 $A^T A \hat{x} = A^T b$。
3. 幾何意義：最小平方法解 $\hat{x}$ 使得 $A\hat{x}$ 是向量 $b$ 在矩陣 $A$ 的列空間 $Col(A)$ 上的正交投影。即 $A\hat{x} = \text{proj}_{Col(A)} b$。
4. 求解方法：
   • 正規方程法：$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$。
   • QR 分解法：將 $A = QR$，則 $R\hat{x} = Q^T b$。
   • 奇異值分解 (SVD) 法：$A = U\Sigma V^T$，則 $\hat{x} = V \Sigma^+ U^T b$，其中 $\Sigma^+$ 是 $\Sigma$ 的偽逆。
5. 病態矩陣 (Ill-conditioned Matrix)：矩陣的條件數 (condition number) 很大，對輸入數據的微小變化非常敏感，導致數值計算不穩定。

(a) $Ax=b$ 的最小平方法解 $\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$ 的幾何意義。

幾何意義：
方程組 $Ax=b$ 的最小平方法解 $\hat{x}$ 是指，向量 $A\hat{x}$ 是向量 $b$ 在矩陣 $A$ 的列空間 $Col(A)$ 上的正交投影。
換句話說，$\hat{x}$ 是使得 $A\hat{x}$ 最接近 $b$ 的向量。這個「最接近」是指 $\|A\hat{x} - b\|$ 最小。
向量 $A\hat{x}$ 是 $Col(A)$ 中的一個向量，而 $b - A\hat{x}$ 是垂直於 $Col(A)$ 的。
因此，$A\hat{x}$ 是 $b$ 在 $Col(A)$ 上的正交投影。

數學推導：
我們尋找 $\hat{x}$ 使得 $\|Ax - b\|^2$ 最小。
令 $f(\hat{x}) = \|Ax - b\|^2 = (Ax - b)^T (Ax - b) = x^T A^T A x - 2x^T A^T b + b^T b$。
對 $\hat{x}$ 求導並令其為零：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 A^T A x - 2 A^T b = 0$
$A^T A x = A^T b$
如果 $A^T A$ 可逆，則 $x = (A^T A)^{-1} A^T b$。
此時 $A\hat{x}$ 是 $b$ 在 $Col(A)$ 上的投影。
證明 $b - A\hat{x}$ 垂直於 $Col(A)$：
$A^T (b - A\hat{x}) = A^T b - A^T A \hat{x}$。
由於 $A^T A \hat{x} = A^T b$，所以 $A^T (b - A\hat{x}) = 0$。
這意味著向量 $b - A\hat{x}$ 與 $A$ 的每一列都正交。因此，它與 $Col(A)$ 中的任何向量都正交。

總結：$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$ 的幾何意義是，它是一個向量，當乘以矩陣 $A$ 時，得到向量 $b$ 在 $Col(A)$ 上的正交投影 $A\hat{x}$。

(b) 對於病態的最小平方法系統，QR 分解、SVD 和 $(A^T A)^{-1} A^T b$ 這三種求解方法的差異。

病態系統意味著 $A^T A$ 的條件數很大，這會導致數值計算的不穩定性。

1. 正規方程法 $(A^T A)^{-1} A^T b$:
   • 問題: 當 $A$ 是病態的，特別是當 $A$ 的列向量接近線性相關時，$A^T A$ 的條件數會顯著增大（約為 $A$ 的條件數的平方）。這使得 $(A^T A)^{-1}$ 的計算非常不穩定，容易引入嚴重的捨入誤差。
   • 優點: conceptually simple, directly solves the normal equations.
   • 缺點: Numerically unstable for ill-conditioned problems.

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 線性轉換的標準矩陣：矩陣的第 $j$ 欄為 $T(e_j)$，其中
   $e_1=(1,0,0)^T,\quad e_2=(0,1,0)^T,\quad e_3=(0,0,1)^T.$

2. $LU$ 分解：將矩陣 $A$ 寫成
   $A=LU,$
   其中 $L$ 為下三角矩陣，$U$ 為上三角矩陣。通常以高斯消去法取得 $U$，並將消去倍率記錄在 $L$ 中。

3. $LU$ 分解的用途：有效率地解線性方程組，尤其適合同一個係數矩陣搭配多個右側向量的情況。

解題方法

（a）求線性算子 $T$ 的標準矩陣

已知

$$T(x_1,x_2,x_3) = (x_1-x_3,\,-2x_1+3x_2-x_3,\,3x_1-3x_2).$$

分別計算標準基底的像：

$$T(e_1)=T(1,0,0)=(1,-2,3),$$ $$T(e_2)=T(0,1,0)=(0,3,-3),$$ $$T(e_3)=T(0,0,1)=(-1,-1,0).$$

因此標準矩陣的三個欄向量依序為 $T(e_1),T(e_2),T(e_3)$，故

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&-1\\ 3&-3&0 \end{pmatrix}.$$

也可直接由

$$\begin{pmatrix} x_1-x_3\\ -2x_1+3x_2-x_3\\ 3x_1-3x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&-1\\ 3&-3&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}$$

驗證。

（b）求 $LU$ 分解

從矩陣 $A$ 開始進行高斯消去：

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&-1\\ 3&-3&0 \end{pmatrix}.$$

第一欄的消去倍率為

$$m_{21}=\frac{-2}{1}=-2,\qquad m_{31}=\frac{3}{1}=3.$$

對第二列及第三列消去第一欄：

$$R_2\leftarrow R_2-(-2)R_1=R_2+2R_1,$$

得到

$$R_2=(0,3,-3).$$ $$R_3\leftarrow R_3-3R_1,$$

得到

$$R_3=(0,-3,3).$$

此時矩陣變為

$$\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&3&-3\\ 0&-3&3 \end{pmatrix}.$$

第二欄的消去倍率為

$$m_{32}=\frac{-3}{3}=-1.$$

因此

$$R_3\leftarrow R_3-(-1)R_2=R_3+R_2,$$