113 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班在職生《統計學》

本題主要在探討統計學的基礎概念：平均數的定義與中央極限定理。

(1) 平均數（Mean）的意義：
平均數是統計學中最基本且常用的集中趨勢測量指標。它代表了一組數據的「算術平均值」，是將所有數據的總和除以數據的個數。平均數能夠提供一個數據集的中心位置的代表值，但它對極端值（離群值）較為敏感。
在數學上，對於一組數據 $x_1, x_2, \dots, x_n$，其樣本平均數 $\bar{x}$ 定義為：
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
對於母體平均數 $\mu$，若已知母體所有數據，則其定義為：
$\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$
其中 $N$ 為母體大小。

(2) 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：
中央極限定理是機率論與統計學中的一個核心定理。

本題考驗對變異數分析（ANOVA）中 F 檢定的理解，特別是 MSTR 和 MSE 的意義以及它們如何用於比較母體。

核心概念：
在單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中，我們將總變異分解為「組間變異」（Treatment Variation）和「組內變異」（Error Variation）。

• MSTR (Mean Square Treatment) 代表組間變異的平均值，衡量不同處理（或組別）之間的差異。
• MSE (Mean Square Error) 代表組內變異的平均值，衡量同一組內的隨機變異或誤差。

在檢定兩個（或多個）母體平均數是否相等時，我們實際上是在檢定不同處理組的平均數之間是否存在顯著差異。

• 如果母體平均數相等（即母體一致），那麼觀察到的組間差異應該主要來自於隨機抽樣誤差。此時，MSTR 的值應該與 MSE 的值差不多。
• 如果母體平均數不相等（即母體不一致），那麼組間差異會顯著大於組內隨機誤差，此時 MSTR 的值會遠大於 MSE 的值。

檢定統計量 F 值的定義：
$F = \frac{MSTR}{MSE}$
這個 F 值就是 F 統計量，它用於檢定所有組別的母體平均數是否相等。

為什麼 MSTR/MSE 可以作為檢定統計量？

1. 檢定組間變異相對於組內變異的大小：F 統計量直接比較了由處理（組別）引起的變異（MSTR）與隨機誤差引起的變異（MSE）的大小比例。

核心觀念

本題檢定每日高溫是否來自常態分配，適用皮爾遜卡方適合度檢定。

• 虛無假設：$H_0$：高溫資料來自某一常態分配。
• 對立假設：$H_1$：高溫資料不來自常態分配。
• 顯著水準：$\alpha=0.01$。
• 由樣本估計常態分配的平均數與變異數，因此自由度為

$$df=k-1-2=k-3$$

其中 $k$ 為區間數，扣除的 $2$ 個參數為 $\mu$ 與 $\sigma$。

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解題方法

1. 計算樣本平均數與標準差

樣本數為

$$n=25$$

資料總和為

$$\sum x_i=541.6$$

因此樣本平均數為

$$\bar{x}=\frac{541.6}{25}=21.664$$

又

$$\sum x_i^2=13872.18$$

樣本變異數為

$$s^2 =\frac{\sum x_i^2-n\bar{x}^2}{n-1} =\frac{13872.18-25(21.664)^2}{24} =89.123$$

所以

$$s=\sqrt{89.123}=9.440$$

以樣本估計的常態分配為

$$X\sim N(21.664,\,9.440^2)$$

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2. 分割為五個區間

將常態分配切成五個機率相等的區間。標準常態的五等分點為

$$z=-0.8416,\;-0.2533,\;0.2533,\;0.8416$$

轉換回原尺度：

$$x=\bar{x}+zs$$

因此四個分割點約為

$$\begin{aligned} c_1&=21.664-0.8416(9.440)=13.72,\\ c_2&=21.664-0.2533(9.440)=19.27,\\ c_3&=21.664+0.2533(9.440)=24.06,\\ c_4&=21.664+0.8416(9.440)=29.61. \end{aligned}$$

五個區間為

$$(-\infty,13.72],\quad (13.72,19.27],\quad (19.27,24.06],\quad (24.06,29.61],\quad (29.61,\infty)$$

每個區間在假設的常態分配下皆有機率 $0.2$，故期望次數為

$$E_i=25(0.2)=5.$$

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本題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用，用於檢定不同年份（處理組）的 GPS 測量高程平均值是否存在顯著差異，並在顯著差異存在時，使用 Fisher's LSD (Least Significant Difference) 程序進行事後比較。

核心概念：

• 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)：用於比較兩個或多個獨立樣本的平均數。這裡的「因子」是「測量年份」，有三個水平（1998, 1999, 2002）。
• 顯著水準 $\alpha$：在假設檢定中，用來決定拒絕虛無假設的標準。
• F 檢定：ANOVA 的核心檢定統計量，用於比較組間變異與組內變異。
• Fisher's LSD：一種事後比較 (post-hoc test) 方法，用於在 ANOVA 檢定結果顯著後，找出具體哪些組別的平均數之間存在顯著差異。

步驟 1：定義虛無假設與對立假設 (Part 1)

• $H_0$: 這三個年份（1998, 1999, 2002）的 GPS 測量高程平均數相等。
  ($\mu_{1998} = \mu_{1999} = \mu_{2002}$)
• $H_1$: 至少有一個年份的 GPS 測量高程平均數與其他年份不同。

步驟 2：計算樣本統計量
首先，計算每個年份的樣本平均數、樣本數以及總體統計量。

年份	觀測值 (公尺)	$n_i$	平均數 $\bar{x}_i$
1998	60, 43, 57, 48, 52	5	$(60+43+57+48+52)/5 = 260/5 = 52$
1999	65, 75, 88, 79, 84	5	$(65+75+88+79+84)/5 = 391/5 = 78.2$
2002	70, 55, 48, 51, 57	5	$(70+55+48+51+57)/5 = 281/5 = 56.2$

總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 5 + 5 + 5 = 15$。

計算總平均數 $\bar{x}_{grand}$：
$\bar{x}_{grand} = \frac{\sum n_i \bar{x}_i}{N} = \frac{5 \times 52 + 5 \times 78.2 + 5 \times 56.2}{15} = \frac{260 + 391 + 281}{15} = \frac{932}{15} \approx 62.133$

步驟 3：計算變異數分析表 (ANOVA Table)
我們需要計算組間平方和 (SSB, Sum of Squares Between) 和組內平方和 (SSW, Sum of Squares Within)，以及自由度，以得到均方 (MSB, Mean Square Between) 和 MSW (Mean Square Within)。

• 組間平方和 (SSB)：
  $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{grand})^2$
  $SSB = 5(52 - 62.133)^2 + 5(78.2 - 62.133)^2 + 5(56.2 - 62.133)^2$
  $SSB = 5(-10.133)^2 + 5(16.067)^2 + 5(-5.933)^2$
  $SSB = 5(102.678) + 5(258.150) + 5(35.199)$
  $SSB = 513.39 + 1290.75 + 175.995 \approx 1980.135$

• 組內平方和 (SSW)：
  $SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2$
  首先計算各組的組內平方和：
  1998年: $(60-52)^2 + (43-52)^2 + (57-52)^2 + (48-52)^2 + (52-52)^2 = 8^2 + (-9)^2 + 5^2 + (-4)^2 + 0^2 = 64 + 81 + 25 + 16 + 0 = 186$
  1999年: $(65-78.2)^2 + (75-78.2)^2 + (88-78.2)^2 + (79-78.2)^2 + (84-78.2)^2 = (-13.2)^2 + (-3.2)^2 + (9.8)^2 + (0.8)^2 + (5.8)^2 = 174.24 + 10.24 + 96.04 + 0.64 + 33.64 = 314.8$
  2002年: $(70-56.2)^2 + (55-56.2)^2 + (48-56.2)^2 + (51-56.2)^2 + (57-56.2)^2 = (13.8)^2 + (-1.2)^2 + (-8.2)^2 + (-5.2)^2 + (0.8)^2 = 190.44 + 1.44 + 67.24 + 27.04 + 0.64 = 286.8$
  $SSW = 186 + 314.8 + 286.8 = 787.6$

• 自由度 (Degrees of Freedom, df)：
  組間自由度 $df_B = k - 1 = 3 - 1 = 2$ (k為組數)
  組內自由度 $df_W = N - k = 15 - 3 = 12$
  總自由度 $df_{Total} = N - 1 = 15 - 1 = 14$

• 均方 (Mean Squares)：
  組間均方 (MSTR, Mean Square Treatment) =

本題考驗簡單線性迴歸的應用，包括估計值的標準誤計算以及迴歸模型的顯著性檢定。

核心概念：

• 簡單線性迴歸：模型形式為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $Y$ 是應變數， $X$ 是自變數，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon$ 是誤差項。
• 估計值的標準誤 (Standard Error of the Estimate, $s_e$)：衡量迴歸線對數據點的平均擬合程度，反映了預測值與實際觀測值之間的平均差異。
• 迴歸模型的顯著性檢定：用於判斷自變數 $X$ 與應變數 $Y$ 之間是否存在顯著的線性關係。通常使用 F 檢定或 t 檢定。

數據整理：
自變數 X (年)：2, 5, 9, 12, 20
應變數 Y (坐標 mm)：7, 15, 9, 25, 22
樣本數 $n=5$。

步驟 1：計算迴歸係數
首先，需要計算迴歸線的截距 $\hat{\beta}_0$ 和斜率 $\hat{\beta}_1$。
計算所需的總和：
$\sum X = 2+5+9+12+20 = 48$
$\sum Y = 7+15+9+25+22 = 78$
$\sum X^2 = 2^2+5^2+9^2+12^2+20^2 = 4+25+81+144+400 = 654$
$\sum Y^2 = 7^2+15^2+9^2+25^2+22^2 = 49+225+81+625+484 = 1464$
$\sum XY = (2)(7)+(5)(15)+(9)(9)+(12)(25)+(20)(22) = 14+75+81+300+440 = 910$

計算斜率 $\hat{\beta}_1$：
$\hat{\beta}_1 = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}$
$\hat{\beta}_1 = \frac{5(910) - (48)(78)}{5(654) - (48)^2} = \frac{4550 - 3744}{3270 - 2304} = \frac{806}{966} \approx 0.8344$

計算截距 $\hat{\beta}_0$：
首先計算平均值 $\bar{X} = \sum X / n = 48 / 5 = 9.6$
$\bar{Y} = \sum Y / n = 78 / 5 = 15.6$
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$
$\hat{\beta}_0 = 15.6 - (0.8344)(9.6) = 15.6 - 8.01024 \approx 7.58976$

迴歸方程為：$\hat{Y} = 7.58976 + 0.8344 X$

Part (1): 計算估計值的標準誤 ($s_e$)
估計值的標準誤 $s_e$ 的計算公式為：
$s_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$
其中 SSE (Sum of Squared Errors) 是殘差平方和。
SSE 可以通過以下公式計算：
$SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum Y_i^2 - \hat{\beta}_0 \sum Y_i - \hat{\beta}_1 \sum X_i Y_i$
或者，更常用的是：
$SSE = \sum Y_i^2 - \hat{\beta}_0 (\sum Y_i) - \hat{\beta}_1 (\sum X_i Y_i)$
或者：
$SSE = \sum Y_i^2 - \hat{\beta}_0 \sum Y_i - \hat{\beta}_1 \sum X_i Y_i$
另一個計算 SSE 的公式是：
$SSE = SST - SSR$
其中 SST (Total Sum of Squares) = $\sum (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum Y_i^2 - n \bar{Y}^2 = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n}$