111 年 國立政治大學國際經營與貿易學系碩士班國際經貿法組《統計學》

本題在考驗變數間的線性關係與相關係數的意義。

題目給出兩個變數 $x$（攝氏溫度）與 $y$（華氏溫度）之間的關係式為 $y = 32 + 1.8x$。這是一個線性的方程式，其中 $1.8$ 是斜率，代表 $x$ 每增加一個單位，$y$ 就會增加 $1.8$ 個單位。$32$ 是截距。

相關係數（correlation coefficient）衡量兩個變數之間線性關聯的強度與方向，其值介於 $-1$ 與 $1$ 之間。

• 當相關係數為 $1$ 時，表示兩個變數之間存在完美的正向線性關係。
• 當相關係數為 $-1$ 時，表示兩個變數之間存在完美的負向線性關係。

本題考驗機率的基本概念，特別是獨立事件的機率計算以及互斥事件的機率加法規則。

設 $W$ 為獲勝的事件，$L$ 為失敗的事件。
已知獲勝的機率 $P(W) = 0.2$。
由於只有兩種結果（贏或輸），因此失敗的機率 $P(L) = 1 - P(W) = 1 - 0.2 = 0.8$。
遊戲是獨立的，意味著前一次的結果不影響後一次的結果。
我們要求的是「在第一次或第二次嘗試就獲勝」的機率。這包含兩種情況：

1. 在第一次嘗試就獲勝。
2. 在第二次嘗試獲勝（表示第一次嘗試失敗，第二次嘗試獲勝）。

這兩種情況是互斥的（不可能同時發生），因此我們可以將它們的機率相加。

情況 1：第一次就獲勝。
機率為 $P(\text{Win on 1st try}) = P(W) = 0.2$。

情況 2：第二次嘗試獲勝。
這表示第一次嘗試失敗，且第二次嘗試獲勝。
機率為 $P(\text{Lose on 1st try and Win on 2nd try}) = P(L) \times P(W)$ (因為

本題考驗機率的基本運算，特別是補集與聯集的關係。

設事件 $M$ 為「孩子與母親同住（且母親是唯一家長）」，則 $P(M) = 0.258$。
設事件 $F$ 為「孩子與父親同住（且父親是唯一家長）」，則 $P(F) = 0.037$。

題目問的是「孩子與母親同住（且母親是唯一家長）」或「孩子與父親同住（且父親是唯一家長）」的機率。
然而，題目敘述「sole parent」意味著母親是唯一家長，父親是唯一家長，這兩件事是互斥的，即一個孩子不可能同時只有母親作為唯一家長，又只有父親作為唯一家長。
所以，$P(M \cap F) = 0$。

題目問的「either lives with both or with neither parent」是指以下兩種情況的機率：

1. 孩子與「父母雙方」同住。
2. 孩子與「父母雙方均不住」同住（即與祖父母、外祖父母、叔伯姨舅等親戚同住，或是寄養家庭等）。

原題目的敘述「probability that a child lives with his or her mother as the sole parent is 0.258」和「probability that a child lives with his or her father as sole parent is 0.037」指的是孩子只有一位家長的情況。
我們通常將孩子可能的居住情況分為幾類：

• 與母親獨居 (Mother only)
• 與父親獨居 (Father only)
• 與父母雙方同住 (Both parents)
• 與其他親戚或非親戚同住 (Neither parent, e.g., grandparents, foster care)

本題考驗數據描述統計量（全距、平均數、樣本標準差、樣本變異數）的計算與理解。

給定的數據集為 $\{1, 2, 3\}$。

首先，我們計算這些基本統計量：

1. 平均數 (Sample Average)：
   $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$。

2. 全距 (Range)：
   全距是最大值減最小值。
   Range $= 3 - 1 = 2$。

3. 樣本變異數 (Sample Variance)：
   樣本變異數的公式為 $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$。
   $\sum_{i=1}^{3}(x_i - \bar{x})^2 = (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2$
   $= (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2$
   $= 1 + 0 + 1 = 2$。
   $s^2 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$。

本題考驗線性迴歸模型中變異數的性質，特別是條件變異數的計算。

給定的線性模型是：
$Y = 5 + 2X_1 + 3X_2 + \epsilon$

其中 $\epsilon$ 是誤差項，且 $\epsilon \sim N(0, 81)$。這表示誤差項 $\epsilon$ 的平均值為 0，變異數為 81。

我們需要計算條件變異數 Var$[Y | X_1 = 0, X_2 = 4]$。
在線性迴歸模型中，變數 $X_1, X_2$ 通常被假設為固定的（或至少是與誤差項 $\epsilon$ 無關的）。
因此，給定 $X_1$ 和 $X_2$ 的值，模型中的常數項 $5$、係數 $2$ 和 $3$ 以及變數 $X_1, X_2$ 本身對 $Y$ 的變異數沒有貢獻。
$Y$ 的變異數完全來自於誤差項 $\epsilon$ 的變異數。

Var$[Y | X_1, X_2] = \text{Var}[5 + 2X_1 + 3X_2 + \epsilon | X_1, X_2]$

本題考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）在診斷檢驗中的應用，特別是偽陽性（False Positive）機率的計算。

首先，定義相關事件：

• $I$: Population is infected with COVID-19.
• $NI$: Population is not infected with COVID-19.
• $P$: The test result is positive.
• $N$: The test result is negative.

根據題目給定的資訊：

• Prevalence (事前機率)：$P(I) = 0.01$ (1% of the population is infected)。

• Since $I$ and $NI$ are complementary events, $P(NI) = 1 - P(I) = 1 - 0.01 = 0.99$。

• Sensitivity (真實陽性率)：The ability of a test to correctly identify patients with an infection.
  $P(P | I) = 0.80$ (If infected, the probability of testing positive is 80%).

本題是上一題的延續，考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）在診斷檢驗中的應用，特別是計算後驗機率（Posterior Probability），也就是陽性預測值（Positive Predictive Value, PPV）。

延續上一題的定義：

• $I$: Population is infected.
• $NI$: Population is not infected.
• $P$: Test result is positive.
• $N$: Test result is negative.

已知資訊：

• $P(I) = 0.01$ (Prevalence)
• $P(NI) = 0.99$
• $P(P | I) = 0.80$ (Sensitivity)
• $P(N | NI) = 0.90$ (Specificity)
• $P(P | NI) = 0.10$ (False Positive Rate, calculated in Q6)

本題考驗對比例（Proportion）的信賴區間（Confidence Interval）計算公式的掌握。

給定資訊：

• 樣本數 $n = 1000$。
• 樣本比例 $\hat{p} = 0.75$ (75% 的學生偏好珍珠奶茶)。
• 信賴水準為 90%。

比例的信賴區間公式為：
$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

其中：

• $\hat{p}$ 是樣本比例。
• $1-\hat{p}$ 是樣本中不符合比例的比例，我們通常用 $\hat{q}$ 表示，所以 $\hat{q} = 1 - 0.75 = 0.25$。
• $n$ 是樣本數。
• $Z_{\alpha/2}$ 是對應於所需信賴水準的標準常態分配的臨界值。

對於 90% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$。
因此，$\alpha/2 = 0.05$。
我們需要在標準常態分配中找到使得右尾機率為 0.05 的 $Z$ 值，即 $P(Z > Z_{0.05}) = 0.05$。
這個值是 $Z_{0.05} = 1.645$。

現在，我們將這些值代入信賴區間公式：
信賴區間 $= \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

核心觀念

本題評量假說檢定（Hypothesis Testing）之研究假說與虛無／對立假說的建立。

1. 研究假說（Research Hypothesis）與對立假說（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）：
   • 統計研究中，研究者意圖尋找證據加以支持、證實或驗證的主張，通常設定為對立假說 $H_1$。
   • 若研究問題具有明確的方向性（例如：增加、減少、大於、小於、較不易發生等），應設定為**單尾檢定（One-tailed test）**之對立假說。
2. 虛無假說（Null Hypothesis, $H_0$）：
   • 通常代表現狀、無效應、無差異或無關聯性（No effect / Status quo），並且在數學形式上必須包含等號（如 $=$, $\ge$, $\le$）。

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解題方法

1. 識別研究問題（Research Question）：
   題目敘述：「A statistical study considers the question of whether highly educated people are less likely to develop dementia than others.」（統計研究探討高教育程度者是否較不容易罹患失智症）。
2. 轉換為統計假說：
   • 定義母體參數：令 $p_1$ 為高教育程度者罹患失智症的比例，$p_2$ 為一般人（其他教育程度者）罹患失智症的比例。
   • 研究者欲驗證高教育程度者罹患比例是否低於其他人，即 $p_1 < p_2$（或是 $p_1 - p_2 < 0$）。
   • 依據假說檢定原則，研究者的懷疑或欲證明的方向性主張應放於對立假說： $$H_1: p_1 < p_2 \quad (\text{高教育程度者較不易罹患失智症})$$
   • 相對應的虛無假說則為：

本題考驗對 p-value 的理解以及假設檢定中第一類錯誤 (Type 1 Error) 和第二類錯誤 (Type 2 Error) 的判斷。

研究目的：比較男性和女性大學生的脈搏率是否存在差異。
檢定結果：p-value = 0.22。
虛無假設 ($H_0$)：男性和女性大學生的脈搏率沒有差異。
對立假設 ($H_1$)：男性和女性大學生的脈搏率有差異。

p-value 的定義是：在虛無假設為真的前提下，觀察到目前樣本結果或比目前樣本結果更極端的結果的機率。
通常，我們會設定一個顯著水準 $\alpha$ (例如 0.05)。

• 如果 p-value $\leq \alpha$，我們就拒絕虛無假設 ($H_0$)。
• 如果 p-value $> \alpha$，我們就未能拒絕虛無假設 ($H_0$)。

在這個題目中，p-value = 0.22。
即使我們使用一個常見的顯著水準 $\alpha = 0.05$，我們發現 $0.22 > 0.05$。
因此，我們「未能拒絕」虛無假設。這意味著我們沒有足夠的統計證據來支持「男性和女性大學生的脈搏率有差異」這個對立假設。

現在我們逐一分析選項：

核心觀念

隨機發還且每人取得不同結果，等同於從 $30$ 個人的排列中等機率選出一個隨機排列。令

$$I_i= \begin{cases} 1, & \text{第 }i\text{ 個人拿到自己的檢驗結果},\\ 0, & \text{否則}. \end{cases}$$

則題目所求的人數為

$$X=I_1+I_2+\cdots+I_{30}.$$

每個指示變數皆服從 Bernoulli 分配，且

$$P(I_i=1)=\frac{1}{30}.$$

本題的關鍵是：各人的結果雖然各自以機率 $1/30$ 對中，但由於「每個結果只能發給一人」，這些事件並非相互獨立，因此 $X$ 不能直接視為二項分配。

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A. $X$ 的期望值

由期望值的線性性，即使各個 $I_i$ 不獨立，仍有

$$E(X)=E\left(\sum_{i=1}^{30}I_i\right) =\sum_{i=1}^{30}E(I_i).$$

因為 $I_i$ 是指示變數，

$$E(I_i)=P(I_i=1)=\frac{1}{30}.$$

因此

$$E(X) =30\cdot\frac{1}{30} =1.$$

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B. $X$ 的變異數

由

$$X=\sum_{i=1}^{30}I_i,$$

可得

$$\operatorname{Var}(X) =\sum_{i=1}^{30}\operatorname{Var}(I_i) +2\sum_{1\leq i<j\leq 30}\operatorname{Cov}(I_i,I_j).$$

第一部分：單一指示變數的變異數

由 Bernoulli 變數的變異數公式，

$$\operatorname{Var}(I_i) =p(1-p) =\frac{1}{30}\left(1-\frac{1}{30}\right) =\frac{29}{900}.$$

所以

$$\sum_{i=1}^{30}\operatorname{Var}(I_i) =30\cdot\frac{29}{900} =\frac{29}{30}.$$

第二部分：兩人同時拿到自己結果的機率

考慮兩位不同的人 $i$ 與 $j$。

第 $i$ 人拿到自己的結果後，剩下 $29$ 個結果，其中第 $j$ 人拿到自己結果的機率為 $1/29$。因此

本題考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）在問題診斷中的應用。我們需要根據觀察到的結果（微晶片是缺陷的）來推斷發生該結果的可能原因（哪個供應商提供的）。

首先，定義相關事件：

• $S$: 微晶片來自 Samsung。
• $M$: 微晶片來自 MediaTek。
• $T$: 微晶片來自 TSMC。
• $D$: 微晶片是缺陷的 (Defective)。

根據題目給定的資訊：

• 供應商的比例（事前機率）：
  $P(S) = 0.30$
  $P(M) = 0.20$
  $P(T) = 0.50$
  (檢查：$0.30 + 0.20 + 0.50 = 1.00$，總機率為 1)

• 各供應商的缺陷率（條件機率）：
  $P(D | S) = 0.05$ (Samsung 供應的晶片有 5% 是缺陷的)
  $P(D | M) = 0.04$ (MediaTek 供應的晶片有 4% 是缺陷的)
  $P(D | T) = 0.025$ (TSMC 供應的晶片有 2.5% 是缺陷的)

我們觀察到微晶片是缺陷的 ($D$)，現在要找出哪個供應商是「最可能」的罪魁禍首。這意味著我們需要計算後驗機率，即在晶片有缺陷的情況下，它來自哪個供應商的機率最大：$P(S | D)$, $P(M | D)$, $P(T | D)$。

根據貝氏定理，對於每個供應商 $i \in \{S, M, T\}$：
$P(i | D) = \frac{P(D | i) P(i)}{P(D)}$

我們需要先計算 $P(D)$，即觀察到缺陷晶片的總機率（通過全機率公式）：
$P(D) = P(D | S) P(S) + P(D | M) P(M) + P(D | T) P(T)$

本題考驗卡方檢定（Chi-Squared Test），特別是適合度檢定（Goodness-of-Fit Test），用於檢驗觀察到的頻率分佈是否與理論上期望的分佈一致。

1. 建立假設：
製造商聲稱所有五種型號的電動車維修頻率相同。這意味著每種型號的維修佔總維修數的比例應該是相等的。

• 虛無假設 ($H_0$)：這五種型號的電動車維修頻率相同。即，每種型號的維修比例均為 $1/5 = 0.2$。
• 對立假設 ($H_1$)：這五種型號的電動車維修頻率不全相同。

2. 計算期望頻率：
總維修次數 $N = 300$。
如果虛無假設為真，則每種型號的期望維修次數應為：
$E_i = N \times P_i = 300 \times (1/5) = 60$。
所以，對於模型 A, B, C, D, E，期望頻率都是 60。

3. 計算觀察頻率：
觀察到的頻率（Observed Frequencies, $O_i$）如下：
$O_A = 42$
$O_B = 65$
$O_C = 63$
$O_D = 54$
$O_E = 76$

4. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量的公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
其中 $k$ 是類別的數量（在這裡是 5 種模型）。

$\chi^2 = \frac{(42 - 60)^2}{60} + \frac{(65 - 60)^2}{60} + \frac{(63 - 60)^2}{60} + \frac{(54 - 60)^2}{60} + \frac{(76 - 60)^2}{60}$
$\chi^2 = \frac{(-18)^2}{60} + \frac{(5)^2}{60} + \frac{(3)^2}{60} + \frac{(-6)^2}{60} + \frac{(16)^2}{60}$