108 年 國立政治大學國際經營與貿易學系碩士班國際經貿法組《統計學》

核心觀念

本題考查：

• 全機率公式
• 貝氏定理
• 條件機率
• 互斥事件的加總

令：

• $L_i$：該人經過地點 $L_i$
• $T$：該人收到超速罰單

已知：

$$P(L_1)=0.2,\quad P(L_2)=0.1,\quad P(L_3)=0.5,\quad P(L_4)=0.2$$

各雷達執行的時間比例為：

$$P(T\mid L_1)=0.4,\quad P(T\mid L_2)=0.3,\quad P(T\mid L_3)=0.2,\quad P(T\mid L_4)=0.3$$

這裡假設雷達是否運作與該人選擇經過哪個地點相互獨立。

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解題方法

該人前往上班時，只會經過四個地點中的一個，因此 $L_1,L_2,L_3,L_4$ 為互斥且完備事件。

收到罰單的事件 $T$ 可依照經過的地點分解：

$$T=(T\cap L_1)\cup(T\cap L_2)\cup(T\cap L_3)\cup(T\cap L_4)$$

依全機率公式：

$$P(T)=\sum_{i=1}^{4}P(T\mid L_i)P(L_i)$$

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（1）收到超速罰單的機率

代入各項資料：

$$\begin{aligned} P(T) &=P(T\mid L_1)P(L_1) +P(T\mid L_2)P(L_2)\\ &\quad +P(T\mid L_3)P(L_3) +P(T\mid L_4)P(L_4) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} P(T) &=(0.4)(0.2)+(0.3)(0.1)+(0.2)(0.5)+(0.3)(0.2)\\ &=0.08+0.03+0.10+0.06\\ &=0.27 \end{aligned}$$

因此，收到超速罰單的機率為：

$$\boxed{0.27}$$

亦即：

$$\boxed{27\%}$$

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（2）已收到罰單，經過 $L_2$ 的機率

要求的是條件機率：

$$P(L_2\mid T)$$

依貝氏定理：

核心觀念

本題評量二項分配之常態近似（Normal Approximation to Binomial Distribution）與單一母體比例之假設檢定（Hypothesis Testing for a Population Proportion）：

1. 二項分配之常態近似：
   設隨機變數 $X \sim B(n, p)$，當樣本數 $n$ 夠大（滿足 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$）時，由中央極限定理（CLT），$X$ 可近似為常態分配： $$X \stackrel{a}{\sim} N\Big(\mu = np, \, \sigma^2 = np(1-p)\Big)$$ 或以樣本比例表示： $$\hat{p} = \frac{X}{n} \stackrel{a}{\sim} N\left(p, \, \frac{p(1-p)}{n}\right)$$ 若採離散變數連續化修正（Continuity Correction），求 $P(X > x)$ 時應轉為 $P(X \ge x+1) \approx P(X_c \ge x + 0.5)$。但在大型樣本（如 $n=500$）的大多數經管所考試規範中，直接使用標準化（或同時呈現修正前後結果）皆屬標準答題方式。
2. 單一母體比例的單尾假設檢定：
   欲檢定母體比例是否超過門檻值 $p_0$（右尾檢定）： $$H_0: p \le p_0 \quad \text{vs.} \quad H_1: p > p_0$$ 檢定統計量為： $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ 在顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 下，若 $Z > z_{0.05} = 1.645$，則拒絕虛無假設 $H_0$。

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解題方法

第 (1) 小題：計算 $P(X > 160)$

1. 參數設定：

   • 母體比例 $p = 0.30$
   • 樣本數 $n = 500$
   • 檢查條件：$np = 500 \times 0.3 = 150 > 5$，$n(1-p) = 500 \times 0.7 = 350 > 5$，符合常態近似條件。
   • 平均數 $\mu_X = np = 150$
   • 標準差 $\sigma_X = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0.3 \times 0.7} = \sqrt{105} \approx 10.2470$
   • 樣本比例視角：$\mu_{\hat{p}} = 0.30$，$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.3 \times 0.7}{500}} = \sqrt{0.00042} \approx 0.020494$

2. 方法一：未加連續性修正（Standard Normal Approximation）
   欲求 $P(X > 160)$，即 $P\left(\hat{p} > \frac{160}{500} = 0.32\right)$：

   $$Z = \frac{160 - 150}{\sqrt{105}} = \frac{10}{10.2470} \approx 0.9759 \approx 0.98$$

   查標準常態分配表：

   $$P(X > 160) = P(Z > 0.98) = 1 - \Phi(0.98) = 1 - 0.8365 = 0.1635 \text{（或 } 0.1645 \text{ 取 } Z=0.976\text{）}$$

3. 方法二：加入連續性修正（Continuity Correction）
   因 $X$ 為離散整數，$X > 160$ 等價於 $X \ge 161$，修正後取 $X_c \ge 160.5$：

這題考驗卡方檢定（Chi-square test）在兩個類別變數之間是否存在關聯性。

我們有兩種類別變數：

1. Shirt Style (風格)：Button-down, Polo, Small print (3類別)
2. Shirt Size (尺寸)：Small, Medium, Large (3類別)

我們希望檢定這兩個變數之間是否存在顯著關聯性，使用 0.05 的顯著水準。

步驟 1：建立虛無假設與對立假設

• $H_0$: 襯衫風格與尺寸之間沒有關聯性 (兩變數獨立)。
• $H_1$: 襯衫風格與尺寸之間有關聯性 (兩變數不獨立)。

步驟 2：計算總計與預期次數
首先，計算各類別的總計及總樣本數。

Size	Button-down	Polo	Small print	Row Total
Small	18	27	36	81
Medium	65	82	28	175
Large	103	65	22	190
Col Total	186	174	86	446

總樣本數 $N = 446$。

接著，計算在虛無假設（獨立性）下，每個儲存格的預期次數 ($E_{ij}$)。
預期次數的公式為：$E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{N}$

• $E_{\text{Small, Button-down}} = \frac{81 \times 186}{446} \approx 33.63$
• $E_{\text{Small, Polo}} = \frac{81 \times 174}{446} \approx 31.50$
• $E_{\text{Small, Small print}} = \frac{81 \times 86}{446} \approx 15.57$
• $E_{\text{Medium, Button-down}} = \frac{175 \times 186}{446} \approx 72.83$
• $E_{\text{Medium, Polo}} = \frac{175 \times 174}{446} \approx 68.12$
• $E_{\text{Medium, Small print}} = \frac{175 \times 86}{446} \approx 33.85$
• $E_{\text{Large, Button-down}} = \frac{190 \times 186}{446} \approx 79.00$
• $E_{\text{Large, Polo}} = \frac{190 \times 174}{446} \approx 73.88$
• $E_{\text{Large, Small print}} = \frac{190 \times 86}{446} \approx 36.58$

步驟 3：計算卡方檢定統計量
卡方檢定統計量 ($\chi^2$) 的公式為：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數。

Size	Button-down (O, E)	Polo (O, E)	Small print (O, E)

這題考驗配對樣本 t 檢定（Paired t-test）與其對應的信賴區間。我們比較兩家公司（AA 和 BB）對同一批房屋進行估價的平均值是否有差異。由於是同一批房屋，兩組數據是配對的。

首先，我們計算兩家公司估價的差異（d）：$d_i = \text{AA}_i - \text{BB}_i$。

Home	AA	BB	$d_i = \text{AA}_i - \text{BB}_i$	$d_i^2$
1	13.5	12.8	0.7	0.49
2	11.0	10.5	0.5	0.25
3	13.1	11.9	1.2	1.44
4	14.2	14.0	0.2	0.04
5	10.5	9.8	0.7	0.49
6	12.0	12.3	-0.3	0.09
7	13.1	12.7	0.4	0.16
8	11.0	11.5	-0.5	0.25
9	12.5	12.2	0.3	0.09
10	14.9	14.5	0.4	0.16
Sum			3.6	3.49

樣本數 $n = 10$。
差異的樣本平均值 $\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{3.6}{10} = 0.36$。
差異的樣本標準差 $s_d$：
首先計算差異的平方和：$\sum d_i^2 = 3.49$。
樣本變異數 $s_d^2 = \frac{\sum d_i^2 - \frac{(\sum d_i)^2}{n}}{n-1} = \frac{3.49 - \frac{(3.6)^2}{10}}{10-1} = \frac{3.49 - \frac{12.96}{10}}{9} = \frac{3.49 - 1.296}{9} = \frac{2.194}{9} \approx 0.24378$
樣本標準差 $s_d = \sqrt{0.24378} \approx 0.49374$。

核心觀念

本題考查多元線性迴歸中的：

1. 虛擬變數（dummy variable）或指示變數（indicator variable）。
2. 個別迴歸係數的 $t$ 檢定，用來判斷變數是否可以刪除。
3. 迴歸分析變異數分析表（ANOVA table）。
4. 迴歸標準誤（standard error of regression）。

迴歸模型可寫為

$$Price_i=\beta_0+\beta_1CPU_i+\beta_2RAM_i+\beta_3HardDrive_i+\beta_4Monitor_i+\varepsilon_i$$

其中樣本數 $n=36$，解釋變數個數 $k=4$。

因此：

• 迴歸自由度：$df_R=k=4$
• 誤差自由度：$df_E=n-k-1=36-4-1=31$
• 總自由度：$df_T=n-1=35$

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（1）Monitor 的變數類型與係數解釋

變數類型

Monitor 只有兩種取值：

• $Monitor=1$：有包含螢幕
• $Monitor=0$：未包含螢幕

因此 Monitor 是虛擬變數，也稱為二元指示變數。

係數解釋

Monitor 的估計係數為 $19.00$，因此在 CPU 速度、RAM、硬碟容量相同的條件下：

$$\widehat{\beta}_{Monitor}=19.00$$

表示「包含螢幕的個人電腦」預測零售價格平均比「未包含螢幕的個人電腦」高 $19$ 個價格單位。

這是控制其他變數後的條件平均差異，而不是單純比較兩組電腦的平均價格差異。

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（2）檢驗哪些變數可以刪除

檢定方法

對每一個斜率係數進行個別 $t$ 檢定：

$$H_0:\beta_j=0$$ $$H_1:\beta_j\neq 0$$

若無法拒絕 $H_0$，表示在控制其他變數後，該變數對價格的線性影響不顯著，可考慮從模型中刪除。

誤差自由度為 $31$，顯著水準 $\alpha=0.05$，雙尾檢定的臨界值為

$$t_{0.025,31}\approx 2.0395$$

判斷規則為：

$$|t|>2.0395 \Rightarrow 拒絕 H_0$$ $$|t|\leq 2.0395 \Rightarrow 不拒絕 H_0$$

各變數檢定

CPU speed

$$t=\frac{0.22}{2.62}\approx 0.084$$

因為

$$|0.084|<2.0395$$

所以不拒絕 $H_0$。CPU speed 的係數在 $5\%$ 顯著水準下不顯著，可考慮刪除。

RAM

$$t=\frac{4.52}{2.99}\approx 1.512$$

因為

$$|1.512|<2.0395$$

所以不拒絕 $H_0$。RAM 的係數在 $5\%$ 顯著水準下不顯著，可考慮刪除。

Hard drive capacity

$$t=\frac{173.57}{45.18}\approx 3.842$$

因為

$$|3.842|>2.0395$$

所以拒絕 $H_0$。硬碟容量的係數顯著不為零，不宜刪除。

Monitor

$$t=\frac{19.00}{237.84}\approx 0.080$$

因為

$$|0.080|<2.0395$$

所以不拒絕 $H_0$。Monitor 的係數在 $5\%$ 顯著水準下不顯著，可考慮刪除。

判斷

個別檢定結果如下：

變數	$t$ 值	判斷
CPU speed	$0.084$	可考慮刪除
RAM	$1.512$	可考慮刪除
Hard drive capacity	$3.842$	不宜刪除
Monitor	$0.080$	可考慮刪除

因此，依個別 $t$ 檢定結果，CPU speed、RAM 與 Monitor 可考慮刪除；Hard drive capacity 應保留。

需注意：個別 $t$ 檢定只能判斷單一變數的邊際顯著性。若要同時檢定刪除三個變數，應另做聯合 $F$ 檢定：

$$H_0:\beta_{CPU}=\beta_{RAM}=\beta_{Monitor}=0$$

題目未提供刪除後限制模型的殘差平方和，因此無法計算此聯合 $F$ 檢定。

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（3）填寫 ANOVA 表

ANOVA 基本公式