113 年 國立成功大學體育健康與休閒研究所甲組《運動科學概論》

本題為名詞解釋題，核心觀念為運動生理學中重要名詞的定義與意義。

Glycogen Depletion 指的是在長時間或高強度運動過程中，肌肉和肝臟中儲存的肝醣（glycogen）被大量分解以提供能量，導致肝醣儲量下降的現象。肝醣是碳水化合物的儲存形式，是運動時主要的能量來源之一。

本題為名詞解釋題，核心觀念為運動生理學中重要名詞的定義與意義。

Metabolic Syndrome（代謝症候群）並非單一疾病，而是一組代謝異常的危險因子聚集的狀態，這些危險因子會顯著增加罹患心血管疾病（如心臟病、中風）和第二型糖尿病的風險。其診斷標準通常包含以下幾項中的至少三項：

1. 腹部肥胖（腰圍過粗）
2. 高血壓（血壓偏高）
3. 高血糖（空腹血糖偏高）
4. 高三酸甘油酯（血中三酸甘油酯濃度偏高）

本題為名詞解釋題，核心觀念為運動生理學中重要名詞的定義與意義。

Metabolic Equivalents（代謝當量），簡稱 METs，是一種衡量運動強度或身體活動能量消耗的單位。一個 MET 代表在安靜坐姿狀態下，身體所消耗的能量（氧氣消耗量），大約是每公斤體重每分鐘消耗 3.5 毫升的氧氣（3.5 ml/kg/min）。

METs 的值越高，表示該活動的能量消耗越大，強度也越高。例如：

• 坐著看電視：約 1 MET
• 走路（約 3 mph）：約 3.5 METs

本題為名詞解釋題，核心觀念為運動生理學中重要名詞的定義與意義。

One-Repetition Maximum（單次最大重複），簡稱 1RM，是指在特定阻力訓練動作中，一個人能夠以正確的運動形式，一次完整重複所能舉起的最大重量。1RM 是衡量肌力（muscular strength）的重要指標。

本題為名詞解釋題，核心觀念為運動生理學中重要名詞的定義與意義。

Dose-Response Relationship（劑量反應關係）是指在醫學、藥理學、毒理學或運動科學等領域中，當暴露於某種「劑量」（dose）或刺激（如藥物、運動、毒物、營養素）時，所觀察到的「反應」（response）之間的關聯性。簡單來說，就是「給多少，得到多少反應」。

在這個關係中，劑量可以是運動的強度、持續時間、頻率，或是藥物的劑量、暴露時間等。反應則可以是生理上的改變（如心率、血壓、肌力、血脂變化），或病理上的結果（如藥物療效、毒性反應）。

本題考驗對「體適能」（Physical Fitness）概念的理解，特別是區分與闡述「健康相關體適能」與「技能相關體適能」的內涵、組成要素及其在生活中的應用。

一、Physical Fitness 的定義
Physical Fitness（體適能）是指一個人執行日常活動的能力，同時仍有足夠的精力應付突發狀況，並能享受休閒活動。它包含了多方面的身體能力，使其能夠有效率地進行身體活動，並維持健康。

二、Health-Related Physical Fitness (健康相關體適能) 與 Skill-Related Physical Fitness (技能相關體適能) 的概念

1. Health-Related Physical Fitness (健康相關體適能)
   • 概念：指的是與個人健康狀況、疾病預防及改善有關的身體能力。這些能力較能預測個人在長期健康上的風險，並且透過規律的身體活動來提升。
   • 組成成分與功能特點：
     • 心肺耐力 (Cardiorespiratory Endurance)：指心臟、肺臟和血管系統持續提供氧氣給肌肉進行運動的能力。
       • 功能特點：能長時間進行中高強度的身體活動，不易疲勞，有助於降低心血管疾病的風險。
       • 日常生活應用：爬樓梯、長時間行走、參與有氧運動（如快走、慢跑、游泳、騎自行車）。
     • 肌肉力量 (Muscular Strength)：指單一肌肉或肌肉群能夠產生最大力量的能力。
       • 功能特點：能克服較大的阻力，執行需要爆發力的動作。
       • 日常生活應用：搬運重物、推動家具、從椅子上站起來。
     • 肌肉耐力 (Muscular Endurance)：指肌肉能夠重複收縮或持續收縮一段時間的能力。
       • 功能特點：能長時間執行重複性的動作，不易疲勞。
       • 日常生活應用：長時間提購物袋、長時間做家務、長時間騎自行車。
     • 柔軟度 (Flexibility)：指關節在最大活動範圍內活動的能力，以及肌肉的伸展性。
       • 功能特點：能讓身體關節活動自如，減少運動傷害的風險，改善姿勢。
       • 日常生活應用：彎腰撿拾東西、整理高處物品、進行伸展運動。
     • 身體組成 (Body Composition)：指身體內脂肪、瘦肉組織（肌肉、骨骼、器官）的比例。
       • 功能特點：較低的體脂肪比例通常與較低的健康風險相關（如心血管疾病、糖尿病）。
       • 日常生活應用：維持健康的體重，使身體活動更為靈活，減少對關節的負擔。

本題考驗對「最大攝氧量」（VO2 max）概念的理解，以及影響其表現的關鍵因素。

一、最大攝氧量 (Maximal Oxygen Uptake, VO2 max) 的定義
最大攝氧量（VO2 max）是指在最大運動強度下，人體能夠攝取、運輸和利用氧氣的能力。它被廣泛認為是衡量心肺耐力（cardiorespiratory endurance）或有氧運動能力（aerobic capacity）的黃金標準。VO2 max 的單位通常是毫升氧氣每公斤體重每分鐘（ml/kg/min）。

簡單來說，VO2 max 反映了身體在極限運動時，心臟將血液打到肺部，肺部交換氧氣，血液將氧氣運送到肌肉，以及肌肉利用氧氣產生能量的總體效率。VO2 max 越高，代表心肺系統能為身體提供更多氧氣，支持更長時間或更高強度的有氧運動。

二、影響最大攝氧量表現的因素
最大攝氧量是一個受多重因素影響的複雜生理指標，主要可分為以下幾類：

1. 遺傳因素 (Genetic Factors)：

   • 研究表明，遺傳在決定個體的 VO2 max 潛力方面扮演重要角色，約佔 25% 至 50% 的變異。這解釋了為何有些人天生體能較好，即使訓練水平相似，其 VO2 max 也可能較高。

2. 運動訓練 (Exercise Training)：

   • 心肺耐力訓練：這是提升 VO2 max 最有效的方法。規律的有氧運動（如跑步、游泳、騎自行車）能顯著提高 VO2 max。訓練的效果取決於運動的強度、持續時間和頻率。
   • 訓練反應：不同個體對訓練的反應不同，有些人進步快速，有些人則較慢。

3. 心血管系統功能 (Cardiovascular System Function)：

   • 心臟輸出量 (Cardiac Output)：這是 VO2 max 的主要限制因素之一。心臟輸出量等於心跳速率（heart rate）乘以每搏輸出量（stroke volume）。
     • 每搏輸出量 (Stroke Volume)：指每次心跳時心臟泵出的血液量。

本題考驗對運動訓練基本原則的理解，需要列出原則並詳述其核心概念與重要性。

運動訓練是一項系統性的過程，旨在提升運動員的生理、心理和技術能力，以達到最佳運動表現。以下是運動訓練中幾個核心的原則：

一、運動訓練原則

1. 超負荷原則 (Principle of Overload)

   • 核心概念：為了使身體產生適應性改變（進步），訓練的負荷必須超過身體目前已適應的水平。意即，需要不斷給予身體比它習慣的更高或更具挑戰性的刺激。
   • 重要性：如果訓練負荷沒有達到超負荷的程度，身體就不會受到足夠的刺激來進行進一步的適應，表現將停滯不前。例如，若持續只做 10 下的伏地挺身，當身體已經能輕鬆完成時，就不會再進步。
   • 實務應用：增加訓練重量、次數、組數、縮短休息時間、提高訓練強度（速度、坡度）、增加訓練頻率或時間。

2. 漸進性原則 (Principle of Progression)

   • 核心概念：隨著身體對訓練負荷的適應，必須逐漸增加訓練的負荷，以持續刺激身體產生進步。這是一個循序漸進的過程，避免負荷突然過大，導致受傷或過度疲勞。
   • 重要性：確保身體能夠安全有效地適應訓練，並持續進步。過早或過快的負荷增加可能導致運動傷害或倦怠。
   • 實務應用：在超負荷原則的基礎上，依據運動員的恢復情況和進步速度，逐步調整訓練計劃中的負荷參數。

3. 特殊性原則 (Principle of Specificity)

   • 核心概念：身體的適應性改變是針對所接受的特定訓練刺激而產生的。換句話說，你訓練什麼，就會在該方面有所提升。
   • 重要性：為了達成特定的運動目標，訓練內容必須與該運動項目或目標技能的要求相匹配。例如，要提升跑步速度，就必須進行速度訓練；要增強跳躍能力，就需進行跳躍或爆發力訓練。
   • 實務應用：訓練內容（動作、強度、能量系統）應模仿運動競賽的實際需求。長跑選手的訓練與短跑選手的訓練內容截然不同。

本題考驗對「身體質量指數」（BMI）的理解，包括其定義、計算方法，以及其作為健康與肥胖標準的適用性與限制。

一、Body Mass Index (BMI) 的定義與計算

• 定義：身體質量指數（Body Mass Index, BMI）是一種簡單的指標，用來評估一個人的體重是否相對於其身高處於健康的範圍。它是一種粗略的篩檢工具，用於區分體重過輕、健康體重、體重過重和肥胖。
• 計算公式：
  BMI 的計算公式為：
  $\text{BMI} = \frac{\text{體重 (公斤)}}{\text{(身高 (公尺))}^2}$
  或者，若使用公制單位：
  $\text{BMI} = \frac{\text{體重 (kg)}}{\text{身高 (m)} \times \text{身高 (m)}}$
  例如，一個體重 70 公斤，身高 1.75 公尺的人，其 BMI 計算如下：
  $\text{BMI} = \frac{70}{(1.75)^2} = \frac{70}{3.0625} \approx 22.86$

二、BMI 分類標準 (世界衛生組織 WHO 建議)

世界衛生組織（WHO）建議的 BMI 分類標準如下（此標準可能因地區或特定人群而略有調整）：

• 體重過輕 (Underweight)：BMI < 18.5
• 健康體重 (Normal weight)：18.5 ≤ BMI < 24
• 體重過重 (Overweight)：24 ≤ BMI < 27
• 肥胖 (Obese)：BMI ≥ 27
  • 第一級肥胖：27 ≤ BMI < 30
  • 第二級肥胖：30 ≤ BMI < 35
  • 第三級肥胖：BMI ≥ 35

備註：許多亞洲國家（包括台灣）的衛生單位，會將「體重過重」的標準下修至 BMI 24，而將「肥胖」的標準下修至 BMI 24。例如，台灣衛福部國民健康署的標準為：健康體位 18.5 ≤ BMI < 24；過重 24 ≤ BMI < 27；肥胖 BMI ≥ 27。

三、BMI 作為衡量肥胖或健康標準的適用性與限制

BMI 作為一個簡單易行的篩檢工具，在評估人群體重狀況方面具有一定的價值，但它也有顯著的限制，並非衡量個人肥胖或健康的絕對標準。

適用性 (優點)：

1. 簡單易行：計算方法簡單，不需要複雜的儀器，易於推廣和應用於大規模的健康調查。
2. 與健康風險相關：在群體層面上，BMI 與許多健康問題（如心血管疾病、第二型糖尿病、某些癌症、睡眠呼吸中止症）的風險呈正相關。過高或過低的 BMI 都會增加健康風險。

本題為填充題，為後續計算題提供向量、微分、積分等

本題考查物理力學名詞定義的正確性，核心觀念為純量與向量的區別以及動量的定義。

題目分析：
題目要求找出關於物理力學名詞定義的「錯誤」敘述。

• 選項 A：描述了位置向量的定義。位置向量是從參考點指向物體位置的向量，這是正確的。
• 選項 B：討論了位能（Potential Energy）的性質。位能是能量的一種形式，能量是純量，不具方向性。因此，位能是純量，而非向量。

本題考查牛頓三大運動定律的內容，要求辨識出不屬於牛頓三大定律的選項。

題目分析：
牛頓運動三大定律是古典力學的基礎，分別是：

• 第一定律（慣性定律）：任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態，直到有外力迫使它改變這種狀態為止。 (選項 A)
• 第二定律（加速度定律）：物體動量的變化率與其所受的外力成正比，並在同一直線上。數學式為 $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m\vec{a}$。 (選項 B)

本題考查向量的內積計算，需要應用向量內積的定義。

題目分析：
已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的分量表示：
$\vec{a} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{b} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$

本題考查向量的外積計算，需要應用向量外積的定義。

題目分析：
已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的分量表示：
$\vec{a} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{b} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$

向量的外積（叉積） $\vec{a} \times \vec{b}$ 的定義為：
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\hat{i} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\hat{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\hat{k}$

將已知數值代入公式：

本題考查質心在運動中的應用，特別是跳高運動。核心觀念是運動員可以調整身體形狀，使質心通過預設的路徑，而身體各部分則可以通過竿子。

題目分析：
在跳高運動中，運動員的目標是讓身體的質心（Center of Mass, CM）能夠越過橫竿。然而，運動員的身體並非一個質點，而是由許多部分組成。通過彎曲身體，運動員可以改變身體的整體形狀，從而使得質心可能通過一個相對較低的軌跡（例如，可能低於橫竿），而身體的其他部分（如腿、軀幹、手臂）則可以依次越過橫竿。

本題考查微分的鏈式法則（Chain Rule）應用，給定了角度 $\theta$ 與時間 $t$ 的關係，要求計算 $\theta$ 對 $t$ 的微分。

題目分析：
題目給定角度 $\theta$ 是時間 $t$ 的函數，且表示為 $\theta = t^2 \ln(t)$。
要求計算 $\theta$ 對時間 $t$ 的微分，即 $\frac{d\theta}{dt}$。

這是一個標準的求導問題，需要使用乘積法則（Product Rule）。
乘積法則：若 $f(t) = u(t)v(t)$，則 $f'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)$。

在此問題中，令 $u(t) = t^2$， $v(t) = \ln(t)$。
我們需要計算 $u'(t)$ 和 $v'(t)$：

• $u'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t$

核心觀念

本題考查鏈鎖律。若承上題已知物體在 $x$ 方向的位置為

其中 $\theta$ 隨時間 $t$ 改變，則 $x$ 是 $\theta$ 的函數，而 $\theta$ 又是 $t$ 的函數。因此，$x$ 對時間的速度分量必須使用鏈鎖律：

又因為

所以

解題方法

由位置關係

直接對時間 $t$ 微分：

由鏈鎖律：

因此，物體在 $x$ 方向的速度量值為

選項分析

• A. $\cos\theta\dfrac{d\theta}{dt}$：錯誤。
  這是將 $\cos\theta$ 微分時誤寫成自身，且遺漏負號；正確微分結果應為 $-\sin\theta$。

本題考查轉動慣量（Moment of Inertia）的計算，特別是質點繞軸轉動的轉動慣量。

題目分析：
問題描述了一個質點（質量為 $m$）通過一根質量可忽略的繩子（長度為 $d$）連接到一個轉軸，並繞著這個軸轉動。繩子的長度 $d$ 就是質點到轉軸的垂直距離。

本題要求證明常數函數 $f(t) = 1$ 的拉普拉斯轉換（Laplace Transform）是 $\frac{1}{s}$。

證明步驟：
根據拉普拉斯轉換的定義：
$L\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$

在本題中， $f(t) = 1$。將此代入定義中：
$L\{1\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} (1) dt$
$L\{1\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt$

現在我們需要計算這個積分。為了使積分收斂，我們要求 $s > 0$。
$\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty}$

接下來，我們評估積分的上下限：
當 $t \to \infty$ 時：
由於 $s > 0$， $-st \to -\infty$。因此，$e^{-st} \to 0$。

核心觀念

本題考查拉普拉斯轉換中「函數導數的轉換公式」。

拉普拉斯轉換定義為

需證明：

關鍵工具是分部積分公式：

假設 $f(t)$ 與 $f'(t)$ 滿足拉普拉斯轉換存在的基本條件，例如在有限區間內分段連續，且為指數階函數。

解題方法與推導

由拉普拉斯轉換定義，

採用分部積分，取

則

代入分部積分公式：

由於 $f(t)$ 為指數階函數，在拉普拉斯轉換收斂的 $s$ 範圍內，

核心觀念

向量可依固定座標系的單位基底分解。圖中的上視圖顯示，$\hat{\mathbf a}_1$ 向下、$\hat{\mathbf a}_2$ 向右，而 $\hat{\mathbf b}_2$ 與 $\hat{\mathbf a}_2$ 的夾角為 $\theta$。因此，$\hat{\mathbf b}_2$ 在 $\hat{\mathbf a}_1$ 方向的分量為 $\sin\theta$，在 $\hat{\mathbf a}_2$ 方向的分量為 $\cos\theta$。

解題方法

依圖中方向分解單位向量：

核心觀念

本題考查旋轉座標系中的向量分解，以及在固定參考系 $A$ 中對向量逐分量微分。由圖中俯視方向可得：

• $\hat{\mathbf a}_1$ 向下；
• $\hat{\mathbf a}_2$ 向右；
• $\hat{\mathbf b}_2$ 相對 $\hat{\mathbf a}_2$ 順時針轉過角度 $\theta$。

因此，$\hat{\mathbf b}_2$ 在 $A$ frame 中表示為

解題方法

題目給定

將 $\hat{\mathbf b}_2$ 的 $A$ frame 表示式代入：

本題要求計算向量 $\vec{r}$ 對時間 $t$ 的微分 $\frac{d\vec{r}}{dt}$。已知 $\vec{r}$ 在 A 座標系中的表示，且 $\theta$ 是 $t$ 的函數。這是一個鏈式法則的應用。

核心概念： 向量微分，鏈式法則。

題目分析：

1. 我們已經在問題 2.2 中推導出向量 $\vec{r}$ 在 A 座標系中的表示：
   $\vec{r} = -(\lambda+1)\cos(\theta) \hat{a}_1 + \sin(\theta) \hat{a}_2 + (h\cos(\theta) - \lambda\sin(\theta)) \hat{a}_3$
   其中 $\hat{a}_1, \hat{a}_2, \hat{a}_3$ 是常向量（固定在 A 座標系）。
2. 題目給定 $\theta$ 是時間 $t$ 的函數：$\theta(t) = \sin(t)$。
3. 要求計算 $\frac{d\vec{r}}{dt}$。

計算步驟：
根據鏈式法則，對向量 $\vec{r}$ 進行時間微分：
$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ -(\lambda+1)\cos(\theta) \hat{a}_1 + \sin(\theta) \hat{a}_2 + (h\cos(\theta) - \lambda\sin(\theta)) \hat{a}_3 \right]$
由於 $\hat{a}_1, \hat{a}_2, \hat{a}_3$ 是常向量，我們只需要對包含 $\theta$ 的係數進行微分，並乘以 $\frac{d\theta}{dt}$。

首先，計算 $\frac{d\theta}{dt}$：
$\theta(t) = \sin(t)$
$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t)) = \cos(t)$

現在，對 $\vec{r}$ 的每個分量進行微分：

• $\hat{a}_1$ 分量：
  $\frac{d}{dt} [-(\lambda+1)\cos(\theta)] = -(\lambda+1) \frac{d}{dt}[\cos(\theta)]$
  $= -(\lambda+1) (-\sin(\theta)) \frac{d\theta}{dt}$

本題要求計算一個薄圓環的中心轉動慣量 $I_{33}$。題目已經給出了轉動慣量的定義和積分範圍。

核心概念： 轉動慣量（Moment of Inertia），積分計算。

題目分析：

1. 對象：一個均勻的薄圓環，質量為 $m$，半徑為 $R$。
2. 轉動慣量定義：中心轉動慣量 $I_{33}$ 定義為 $I_{33} = \int r^2 dm$。這裡的 $r$ 是質量微元 $dm$ 到轉軸的垂直距離。對於圓環，所有質量微元到圓心（轉軸）的距離都是 $R$。
3. 質量微元 $dm$：題目給出 $dm = \lambda R d\theta$，其中 $\lambda$ 是線密度。
4. 積分範圍：從 $\theta = 0$ 到 $\theta = 2\pi$。

計算步驟：
將給定的定義和質量微元代入積分公式：
$I_{33} = \int_{0}^{2\pi} R^2 dm$

將 $dm = \lambda R d\theta$ 代入：
$I_{33} = \int_{0}^{2\pi} R^2 (\lambda R d\theta)$
$I_{33} = \int_{0}^{2\pi} \lambda R^3 d\theta$

由於 $\lambda$ 和 $R$ 是常數，它們可以提到積分符號外面：
$I_{33} = \lambda R^3 \int_{0}^{2\pi} d\theta$

本題要求計算一個薄圓盤的中心轉動慣量 $I_{33}$。題目給出了圓盤的質量、半徑、面積密度，以及轉動慣量的定義和積分範圍。

核心概念： 轉動慣量（Moment of Inertia），雙重積分計算。

題目分析：

1. 對象：一個均勻的薄圓盤，質量為 $m$，半徑為 $R$。
2. 面積密度： $\sigma = \frac{m}{\pi R^2}$。
3. 質量微元 $dm$：題目給出 $dm = \sigma r dr d\theta$。這是一個極座標下的面積微元。
4. 轉動慣量定義：中心轉動慣量 $I_{33}$ 定義為 $I_{33} = \int r^2 dm$。這裡的 $r$ 是質量微元 $dm$ 到轉軸（圓心）的距離。
5. 積分範圍： $\theta$ 從 0 到 $2\pi$， $r$ 從 0 到 $R$。

計算步驟：
將給定的定義和質量微元代入雙重積分公式：
$I_{33} = \iint r^2 dm$
$I_{33} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 (\sigma r dr d\theta)$
$I_{33} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \sigma r^3 dr d\theta$

由於 $\sigma$ 是常數，可以提到積分外面：
$I_{33} = \sigma \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{R} r^3 dr \right) d\theta$

首先計算內層關於 $r$ 的積分：
$\int_{0}^{R} r^3 dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{R^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{R^4}{4}$