114 年 國立成功大學體育健康與休閒研究所甲組《運動科學概論》

Hyperventilation 指的是過度換氣，即呼吸速率或深度超過身體代謝所需，導致每分鐘通氣量過度增加。這會造成二氧化碳排出過多，血液中的二氧化碳分壓降低，進而引發呼吸性鹼中毒。

Isokinetic contraction 是指肌肉在運動過程中，其收縮速度維持恆定，而阻力則會隨之改變以匹配肌肉輸出的力量。

Lean Body Mass (LBM) 指的是身體中除脂肪以外的所有組成部分，包括骨骼、肌肉、器官、水分、結締組織等。

Motor Unit 是神經肌肉系統的基本功能單位，由一個運動神經元（Motor neuron）及其所支配的所有肌肉纖維組成。當運動神經元受到刺激並發出神經衝動時，它會導致其支配的所有肌肉纖維同時收縮。

Cardiovascular drift 是指在長時間持續運動過程中，心血管系統發生的一種變化趨勢。

Excess Post-exercise Oxygen Consumption (EPOC)，又稱為後運動耗氧量或氧債，是指運動結束後，身體持續消耗比安靜狀態下更高水平的氧氣。其主要原因包括：

1. ATP和磷酸肌酸（PCr）的恢復：運動過程中ATP和PCr被大量消耗，運動後需要時間將它們補充回來。
2. 氧氣儲存的補充：運動過程中，肌紅蛋白和血紅蛋白儲存的氧氣被耗盡，需要重新補充。
3. 乳酸的清除和轉化：運動產生的乳酸需要被清除，部分可以被轉化為葡萄糖（肝糖生成）或直接氧化供能。
4. 體溫升高：運動導致體溫升高，身體需要消耗更多能量來散熱和恢復體溫。

Lactate Threshold (LT)，或稱乳酸閾值，是指在運動強度逐漸增加時，血液中乳酸濃度開始顯著上升的那個臨界點。在低強度運動時，身體產生的乳酸量能被有效清除，血液乳酸濃度維持在較低水平。當運動強度超過 LT 後，乳酸的產生速率大於清除速率，導致血液乳酸濃度迅速累積。

生理意義：

1. 無氧代謝能力指標：LT 是衡量身體無氧代謝能力的重要指標。閾值越高，表示身體在高強度運動時，能更有效地利用無氧代謝產生能量，同時延緩乳酸累積的時間。
2. 運動耐力指標：LT 與運動耐力密切相關。一個較高的 LT 表示運動員可以在更高的運動強度下維持較長時間，不易感到疲勞，因此是衡量運動耐力的關鍵指標。

對運動訓練規劃的可能角色：

1. 訓練強度設定：LT 可以作為設定有氧和無氧訓練強度的重要參考點。
   • 有氧訓練（耐力訓練）：訓練強度可以設定在 LT 以下或略高於 LT，以提高身體清除乳酸的能力，增強粒線體功能，改善脂肪氧化效率，進而提升 LT 本身。

Delayed-Onset Muscle Soreness (DOMS)，即延遲性肌肉痠痛，通常在劇烈運動後 24-72 小時出現，是一種肌肉纖維微損傷引起的延遲性疼痛和僵硬感。

生理機制：
DOMS 的主要生理機制與肌肉纖維的微損傷（microtrauma）有關，特別是離心收縮（eccentric contraction），即肌肉在伸長過程中對抗阻力的收縮。

1. 肌肉纖維微損傷：當進行不習慣或高強度的離心收縮時，肌肉纖維的肌節（sarcomeres）和肌原纖維（myofibrils）會發生微小的撕裂和損傷。
2. 發炎反應：肌肉損傷會引發局部組織的發炎反應。損傷部位的細胞釋放發炎介質（如前列腺素、細胞因子），吸引免疫細胞（如嗜中性白血球、巨噬細胞）聚集，清除受損組織並啟動修復過程。
3. 結構性改變：發炎反應和組織修復過程中，會引起細胞腫脹和滲出液積聚，增加肌肉的壓力，刺激痛覺感受器（nociceptors）。
4. 離子通道改變：肌肉損傷可能影響細胞膜的離子通道功能，導致鈣離子（Ca²⁺）內流增加，進一步損傷肌肉結構並觸發肌肉收縮，加劇疼痛。
5. 本體感受器敏感性增加：除了痛覺感受器，肌肉內的本體感受器（如肌肉紡錘體）也可能因發炎和水腫而變得更敏感。

減少 DOMS 的訓練與恢復策略：

1. 循序漸進的訓練：
   • 逐漸增加運動強度和量：避免突然進行高強度或不習慣的離心收縮運動。

實驗名稱：高強度間歇訓練（HIIT）對有氧與無氧代謝適應的影響研究

研究假設 (Hypothesis)：
HIIT 訓練能顯著提升受試者的有氧代謝能力（如最大攝氧量 VO2max）和無氧代謝能力（如乳酸閾值 LT、無氧功率）相較於對照組。

研究方法 (Methods)：

1. 受試者：招募一群健康、平時有運動習慣但未接受過系統性 HIIT 訓練的成年人（例如 20-30 名）。將受試者隨機分為兩組：
   • 實驗組：接受 HIIT 訓練計畫。
   • 對照組：維持原有的運動習慣，不接受額外訓練。
2. 基線測試 (Baseline Testing)：在實驗開始前，對兩組受試者進行一系列生理指標測試，包括：
   • 最大攝氧量 (VO2max)：透過最大運動負荷測試（如跑步機或自行車測力計）來測量。
   • 乳酸閾值 (LT)：透過分階段運動測試，同時監測血液乳酸濃度。
   • 無氧功率 (Anaerobic Power)：例如 Wingate 無氧功率測試（30 秒最大功率輸出）。
   • 身體組成：例如體脂肪百分比、瘦體重。
3. 訓練計畫 (Intervention Program)：
   • 實驗組：執行為期 8-12 週的 HIIT 訓練計畫。訓練內容可以包含：
     • 每週 3 次訓練。
     • 每次訓練約 20-30 分鐘（包含熱身和緩和）。

此題為力學部分的基本知識介紹，涵蓋了純量與向量的定義、向量的表示法、向量的量值計算、向量的內積與外積的定義及其計算方式，以及微分與積分的基本概念。這些是後續解題的基礎。

向量的定義：純量是只有大小沒有方向的物理量（如溫度、質量），向量是既有大小又有方向的物理量（如位移、速度）。
向量表示：在卡氏座標系下，任意向量 $\vec{a}$ 可表示為 $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$，其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 為單位向量。
向量量值：向量 $\vec{a}$ 的量值 $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$。
向量內積（Dot Product）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$，結果為純量。

牛頓第一運動定律，又稱為慣性定律，指出：任何物體都會保持其靜止狀態或等速直線運動狀態，直到有外力作用迫使它改變這種狀態為止。
題目中提到「所受外力合力=0」，這正是慣性定律成立的條件。
(A) 停止運動：如果物體原本就在運動，合力為零時不會停止。

此題考驗的是運動學中自由落體運動的應用，可利用能量守恆或運動學公式求解。

方法一：能量守恆
初始狀態（在高台）：
重力位能 $PE_i = mgh$
動能 $KE_i = \frac{1}{2}mv_i^2 = 0$ (因為初速為 0)
總能量 $E_i = PE_i + KE_i = mgh$

落水前瞬間（低點）：
重力位能 $PE_f = 0$ (將落水點設為位能零點)
動能 $KE_f = \frac{1}{2}mv_f^2$
總能量 $E_f = PE_f + KE_f = \frac{1}{2}mv_f^2$

根據能量守恆定律，$E_i = E_f$：
$mgh = \frac{1}{2}mv_f^2$
$gh = \frac{1}{2}v_f^2$
$v_f^2 = 2gh$
$v_f = \sqrt{2gh}$

代入數值：
$h = 10 \, \text{m}$
$g = 9.8 \, \text{m/s}^2$

此題考驗的是圓周運動中向心力的計算。

向心力 ($F_c$) 是維持物體做圓周運動所需的力，其大小由以下公式給出：
$F_c = \frac{mv^2}{r}$
其中：
$m$ 是物體的質量
$v$ 是物體的切線速率
$r$ 是圓周運動的半徑

題目給定的數值：
$m = 3 \, \text{kg}$
$r = 1 \, \text{m}$
$v = 4 \, \text{m/s}$

此題考驗的是在鉛直圓周運動中，物體維持圓周運動所需的最低速度。

在鉛直圓周運動中，物體在最高點時，其受力包括重力（向下）和繩子的張力（向下，如果有的話）。為了維持圓周運動，合力必須提供向心力。

在最高點，最低速度的條件是繩子的張力為零，此時物體僅受重力作用，而重力剛好提供所需的向心力。
即：$mg = \frac{mv^2}{r}$

我們可以從這個方程式中解出最低切線速率 $v$：
$g = \frac{v^2}{r}$
$v^2 = gr$
$v = \sqrt{gr}$

此題考驗的是在斜面上物體的運動，屬於牛頓第二運動定律的應用。

首先，我們需要分析物體在斜面上受到的力。物體受到重力 $mg$ 和斜面的支持力 $N$。由於假設無摩擦力，只有重力沿斜面方向的分量會引起物體的加速度。

將重力 $mg$ 分解為兩個垂直的分量：

1. 垂直於斜面的分量：$mg \cos\theta$ （此分量與支持力 $N$ 平衡，因為物體不離開斜面）
2. 平行於斜面向下的分量：$mg \sin\theta$ （此分量是產生加速度的原因）

根據牛頓第二運動定律，$F_{net} = ma$，其中 $F_{net}$ 是物體所受的淨力。
在這個情況下，沿斜面方向的淨力就是平行於斜面向下的重力分量：

此題考驗的是最大靜摩擦力與斜坡角度的關係，以及靜摩擦係數的定義。

當物體在斜面上靜止時，它受到重力 $mg$、斜面的支持力 $N$ 和靜摩擦力 $f_s$。
將重力分解為平行於斜面和垂直於斜面的分量：
平行於斜面（向下）：$mg \sin\theta$
垂直於斜面（向上）：$mg \cos\theta$

由於物體靜止，垂直於斜面的合力為零，所以支持力 $N = mg \cos\theta$。
沿斜面方向，物體處於平衡狀態，靜摩擦力 $f_s$ 向上，與 $mg \sin\theta$ 方向相反。
因此，$f_s = mg \sin\theta$。

題目提到「稍微將斜度加大一點點則物體便開始滑動」，這表示此時的斜面角度 $\theta$ 恰好是物體開始滑動的角度，也就是靜摩擦力達到其最大值

此題考驗的是衝量（Impulse）的概念，衝量等於動量的變化量。

衝量 $J$ 的定義為：$J = F \Delta t$，其中 $F$ 是作用力，$\Delta t$ 是作用時間。
衝量-動量定理指出，衝量等於物體動量的變化量：$J = \Delta p = p_f - p_i$。
動量 $p$ 的定義為：$p = mv$，其中 $m$ 是質量，$v$ 是速度。

在本題中，球的運動方向發生了改變，所以我們需要考慮速度的方向。通常，我們定義一個方向為正。
假設球飛來的方向為負方向，擊出的方向為正方向。

給定的數值：
球的質量 $m = 0.2 \, \text{kg}$
球飛來的速度 $v_i = -40 \, \text{m/s}$ （飛來方向設為負）
球離開的速度 $v_f = 30 \, \text{m/s}$ （擊出方向設為正）

計算初動量 $p_i$：

核心觀念

人體團身空翻時，總動能由兩部分組成：

1. 質心平移動能
   $K_{\text{平移}}=\frac{1}{2}mv^2$

2. 繞質心旋轉動能
   $K_{\text{旋轉}}=\frac{1}{2}I\omega^2$

因此：

$K_{\text{總}}=K_{\text{平移}}+K_{\text{旋轉}}$

其中旋轉角速度必須使用弧度每秒表示。

解題方法

已知：

• 質量：$m=60\ \text{kg}$
• 質心線速率：$v=3\ \text{m/s}$
• 空翻轉速：每秒 $2$ 周
• 等效轉動慣量：$I=10\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$

先計算質心的平移動能：

空翻轉速為每秒 $2$ 周，換算為角速度：

旋轉動能為：

所以總動能：

此題要求計算兩個向量的內積。

向量 $\vec{a}$ 的分量為 $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 5$。
向量 $\vec{b}$ 的分量為 $b_1 = 3, b_2 = 1, b_3 = 6$。

此題要求計算兩個向量的外積。

向量 $\vec{a}$ 的分量為 $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 5$。
向量 $\vec{b}$ 的分量為 $b_1 = 3, b_2 = 1, b_3 = 6$。

兩向量的外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ 可以通過行列式計算：
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix}$

計算行列式：

此題要求根據微分的定義，證明 $d(x^3)/dx = 3x^2$。

根據微分的定義：
$\frac{df(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
在這裡，$f(x) = x^3$。

將 $f(x) = x^3$ 代入定義式：
$\frac{d(x^3)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$

展開 $(x+h)^3$：
$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

將展開式代回極限式：
$\frac{d(x^3)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x^3}{h}$

此題要求根據微分的定義，證明 $\frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

根據微分的定義：
$\frac{df(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
在這裡，$f(x) = \sqrt{x}$。

將 $f(x) = \sqrt{x}$ 代入定義式：
$\frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

為了消除分子中的根號，我們採用乘以共軛複數的方法：
$\frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

核心觀念

本題的核心觀念為拉普拉斯變換（Laplace Transform）的瑕積分（Improper Integral）定義與指數函數積分收斂條件。拉普拉斯變換透過將時域（Time Domain）訊號 $f(t)$ 與衰減指數因子 $e^{-st}$ 相乘後在區間 $[0, \infty)$ 上進行定積分，將其轉換至複頻域（Complex Frequency Domain）的函數 $F(s)$。推導過程需運用指數律進行同類項合併，並明確標示收斂條件（收斂域，Region of Convergence）為 $s > a$，方能確保無窮遠處的極限項收斂至零。

解題過程

根據拉普拉斯變換的瑕積分定義：
$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$

將 $f(t) = e^{at}$ 代入定義式中：
$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} dt$

步驟一：指數律整理被積函數

根據指數律同底相乘指數相加的性質 $e^{A} \cdot e^{B} = e^{A+B}$：
$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} dt$
說明：提出負號將指數項寫成 $-(s-a)t$，能夠更直觀地分析當 $t \to \infty$ 時指數函數的極限收斂狀況。

步驟二：改寫為瑕積分極限並求反導函數

將無窮積分區間改寫為單邊極限形式，並對變數 $t$ 求反導函數：
$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-(s-a)t} dt$

本題的核心觀念為拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的分部積分法（Integration by Parts）推導。拉普拉斯轉換為線性時不變系統與動態運動學分析中極為重要的數學工具，能將時域（Time Domain）中的微分運算轉化為 $s$ 域（$s$-Domain）中的代數運算，從而簡化微分方程的求解過程。

解題過程

根據拉普拉斯轉換的標準定義，函數 $f(t)$ 的拉普拉斯轉換 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 定義為：
$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

欲求一階導函數 $f'(t) = \frac{df(t)}{dt}$ 的拉普拉斯轉換 $\mathcal{L}\{f'(t)\}$，依定義寫出積分式：
$\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t) \, dt$

步驟一：應用分部積分法（Integration by Parts）

分部積分法的公式為 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
為了簡化含微分項 $f'(t)$ 的積分，我們選擇將 $f'(t) \, dt$ 透過積分還原為 $f(t)$，並對指數項 $e^{-st}$ 進行微分：

• 令 $u = e^{-st} \implies du = -s e^{-st} \, dt$
• 令 $dv = f'(t) \, dt \implies v = f(t)$

關鍵步驟說明（為什麼這樣設定）：
將 $dv$ 設為 $f'(t) \, dt$ 可以消去導函數符號並還原出 $f(t)$；而將 $u$ 設為 $e^{-st}$，經微分後會提出常數 $-s$，使得新產生的積分項完全符合原本 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ 的定義式。

步驟二：代入積分式並計算定積分

將 $u, v, du, dv$ 代入分部積分公式中：

核心觀念

本題考查「繞固定軸旋轉後的單位向量表示法」，以及右手定則與平面旋轉矩陣。

初始時兩座標系重合，因此：

又因為 $\mathbf{b}_z$ 與 $\mathbf{a}_z$ 重合，座標系統 B 是繞著 A 系統的 $z$ 軸旋轉，故 $\mathbf{b}_y$ 始終位於由 $\mathbf{a}_x$、$\mathbf{a}_y$ 張成的 $xy$ 平面內。

解題方法

在初始狀態，$\mathbf{b}_y$ 指向 $\mathbf{a}_y$。繞著正方向的 $\mathbf{a}_z$ 軸旋轉角度 $\theta$ 時，依右手定則：

• $\mathbf{a}_y$ 方向在旋轉後於 $\mathbf{a}_x$ 方向產生負分量；
• $\mathbf{a}_y$ 方向本身的分量為 $\cos\theta$；
• $\mathbf{a}_x$ 方向的分量大小為 $\sin\theta$。

因此，旋轉後的 $\mathbf{b}_y$ 可表示為

亦可由繞 $\mathbf{a}_z$ 軸的旋轉矩陣表示。若以 A 座標系的分量表示，旋轉矩陣為

核心觀念

本題考查固定慣性座標系中，質點相對於原點的角動量及其時間微分：

其中：

• $\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}$
• $\mathbf{v}=\mathbf{v}_P$ 為球相對於固定座標系 $A$ 的速度
• $m$ 為球的質量

由於 $\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z$ 固定於地球座標系 $A$，其時間微分皆為零。

解題方法

題目已給定：

以及：

其中：

先計算位置向量與速度向量的外積。

利用右手座標系的外積關係：

同方向向量的外積為零，因此：

核心觀念

本題屬於**剛體運動學（Rigid Body Kinematics）與相對運動（Relative Motion）**在運動生物力學中的典型應用。核心在於利用「旋轉參考座標系之速度傳遞公式（Coriolis Velocity Transport Theorem）」推導質點在慣性坐標系中的絕對速度。

涉及的主要觀念與公式包括：

1. 旋轉坐標系下向量對時間的微分關係（Transport Theorem）：
   若某向量 $\mathbf{r}$ 在旋轉參考系 $B$ 中表示，而坐標系 $B$ 相對於慣性坐標系 $A$ 的角速度為 ${}^A\boldsymbol{\omega}^B$，則該向量相對於 $A$ 系的時間變化率滿足： $$\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_A = \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_B + {}^A\boldsymbol{\omega}^B \times \mathbf{r}$$
2. 多個剛體連桿的角速度合成（Addition of Angular Velocities）：
   線段 $PQ$（鏈條）相對於地面座標系 $A$ 的絕對角速度，為選手相對於地面的角速度加上鏈條相對於選手的相對角速度： $${}^A\boldsymbol{\omega}^{PQ} = {}^A\boldsymbol{\omega}^B + {}^B\boldsymbol{\omega}^{PQ}$$
3. 兩點間速度關係公式（剛體或固定長度連線之速度場）： $$\mathbf{v}_Q = \mathbf{v}_P + {}^A\boldsymbol{\omega}^{PQ} \times \mathbf{r}_{Q/P}$$

解題方法

1. 座標系設定與符號定義

• 座標系 $A$（慣性座標系）：原點固定於 $O$ 點，基底單位向量為 $\mathbf{a}_x, \mathbf{a}_y, \mathbf{a}_z$。
• 座標系 $B$（運動員人體座標系）：原點固定於 $O$ 點，基底單位向量為 $\mathbf{b}_x, \mathbf{b}_y, \mathbf{b}_z$。
  • 坐標系 $B$ 繞 $\mathbf{b}_z$（與 $\mathbf{a}_z$ 同方向）旋轉角度 $\theta$。
  • 設選手旋轉之角速度大小為 $\dot{\theta} = \omega_z$，則 $B$ 相對於 $A$ 之角速度向量為： $${}^A\boldsymbol{\omega}^B = \dot{\theta} \mathbf{b}_z$$
• 位置向量定義：
  • 設原點 $O$ 到手部 $P$ 點之位置向量為 $\mathbf{r}_P = \mathbf{r}_{P/O}$。在人體雙臂鎖定旋轉的常規模型下，手部 $P$ 點相對於人體座標系 $B$ 為固定位置（即無相對位移，$\left(\frac{d\mathbf{r}_P}{dt}\right)_B = \mathbf{0}$）。
  • 設 $P$ 點到鏈球球體 $Q$ 點之連線向量為 $\mathbf{r}_{Q/P}$。因為線段 $PQ$ 無形變，故其長度 $\|\mathbf{r}_{Q/P}\| = L_{PQ}$ 為定值。

2. 計算 $P$ 點相對於 $A$ 座標系統之速度 $\mathbf{v}_P$

由於 $O$ 點固定（$\mathbf{v}_O = \mathbf{0}$），且 $P$ 點在 $B$ 坐標系中固定：

若進一步依據鏈球力學模型，設手臂沿 $\mathbf{b}_x$ 方向伸展（長度為 $R$），即 $\mathbf{r}_P = R \mathbf{b}_x$，則：

3. 線段 $PQ$ 之絕對角速度 ${}^A\boldsymbol{\omega}^{PQ}$

題目給定線段 $PQ$ 相對於 $B$ 座標系統之相對角速度為 $\omega \mathbf{b}_y$（即 ${}^B\boldsymbol{\omega}^{PQ} = \omega \mathbf{b}_y$）。
因此，線段 $PQ$ 相對於慣性坐標系 $A$ 的總角速度向量為：