109 年 國立成功大學體育健康與休閒研究所乙組《運動生物力學》

本題主要在測試學生對於「距離」（distance）與「位移」（displacement）這兩個基本運動學概念的理解與計算能力。

核心觀念：

• 距離 (Distance)： 物體運動軌跡的總長度，是一個純量。
• 位移 (Displacement)： 物體位置變化的向量，由始位置指向末位置，是一個向量。

解題步驟：

1. 計算總距離 (Distance)：
   距離是將所有移動的路徑長度加總。
   總距離 = 向東走的距離 + 向北走的距離 + 向西走的距離 + 向南走的距離
   總距離 = $5$ 公尺 + $2$ 公尺 + $10$ 公尺 + $6$ 公尺
   總距離 = $23$ 公尺

2. 計算總位移 (Displacement)：
   位移是一個向量，需要考慮方向。我們可以將運動分解為東西向和南北向的分量來計算。

   • 東西向分量：
     向東為正，向西為負。
     東西向位移 = $5$ 公尺 (東) + ($-10$) 公尺 (西) = $-5$ 公尺
     這表示最終位置相較於起始位置，向西移動了 $5$ 公尺。

   • 南北向分量：
     向北為正，向南為負。
     南北向位移 = $2$ 公尺 (北) + ($-6$) 公尺 (南) = $-4$ 公尺
     這表示最終位置相較於起始位置，向南移動了 $4$ 公尺。

本題考驗學生對於質量中心（Center of Mass, CM）概念的應用，以及如何利用物理原理來測量物體的質量中心。

核心觀念：

• 質量中心 (Center of Mass, CM)： 物體上所有質量體的平均位置，是物體慣性運動的參考點。
• 力矩平衡 (Moment Equilibrium)： 當物體靜止或以恆定角速度轉動時，作用在其上的合力矩為零。

測量方法說明：

測量網球拍質量中心的方法有多種，以下介紹兩種常見且具備物理學原理的方法：

1. 懸掛法 (Suspension Method)：
   這是測量不規則物體質量中心最直觀的方法之一。
   • 原理： 當物體被懸掛時，其質量中心會位於通過懸掛點與質心的鉛垂線上。
   • 步驟：
     a. 將網球拍用細繩懸掛，使其能自由擺動。
     b. 在網球拍上，通過懸掛點畫一條鉛垂線（例如，用繩子懸掛一個重錘，然後讓重錘自然下垂，在拍子上沿著重錘線畫一條標記線）。
     c. 改變網球拍的懸掛點，重複步驟 (a) 和 (b)。例如，可以從拍柄處懸掛一次，再從拍頭附近懸掛另一個點。
     d. 兩條或多條鉛垂線的交點，即為網球拍的質量中心。
   • 說明： 由於網球拍不是均勻的物體（拍頭通常比拍柄重），其質量中心不會位於幾何中心。此方法利用了重力作用在質量中心上，並通過平衡力矩來定位。

本題考驗學生對撐竿跳運動過程中能量轉換的理解，特別是動能、重力位能以及彈性位能之間的轉換。

核心觀念：

• 動能 (Kinetic Energy, KE)： 物體因運動而具有的能量，公式為 $KE = \frac{1}{2}mv^2$。
• 重力位能 (Gravitational Potential Energy, GPE)： 物體因其在重力場中的位置而具有的能量，公式為 $GPE = mgh$。
• 彈性位能 (Elastic Potential Energy, EPE)： 物體因形變（如壓縮、拉伸）而儲存的能量，例如彈簧或撐竿。
• 能量守恆定律 (Law of Conservation of Energy)： 在一個孤立系統中，總能量保持不變，但可以從一種形式轉換為另一種形式。在撐竿跳中，由於有空氣阻力與撐竿的非彈性損耗，嚴格來說不是一個完全孤立系統，但我們可以主要觀察力學能的轉換。

撐竿跳過程中的能量轉換說明：

1. 助跑 (Approach Run)：

   • 主要能量形式： 動能 (Kinetic Energy)。
   • 說明： 運動員通過助跑加速，將化學能（來自運動員的身體代謝）轉化為動能。速度越快，動能越大，這為後續的過程提供了重要的初始能量。

2. 植竿 (Planting the Pole)：

   • 能量轉換： 動能 $\rightarrow$ 彈性位能。
   • 說明： 當運動員將撐竿插入地面（或固定點）時，助跑的動能開始被用於彎曲撐竿。撐竿的彎曲儲存了大量的彈性位能。此時，運動員的垂直速度也開始增加，部分動能也轉化為重力位能。

本題考驗學生對於不同跳高技術的生物力學分析能力，特別是 Fosbury Flop 相較於傳統跨越式跳法的優勢。

核心觀念：

• 質量中心 (Center of Mass, CM)： 物體運動時的關鍵參考點。
• 重力位能 (Gravitational Potential Energy, GPE)： CM 的高度決定了 GPE。
• 最大化 CM 高度 vs. 最小化 CM 高度： 為了越過橫竿，跳高運動員的目標是讓其 CM 達到足夠的高度。
• 運動學 (Kinematics)： 描述物體的運動，如速度、加速度、軌跡。
• 動力學 (Kinetics)： 描述導致運動的原因，如力、力矩。

Fosbury Flop 相較於傳統跨越式跳法的優勢分析：

Fosbury Flop（背向式跳法，也稱後翻式跳法）之所以成為主流，是因為它在生物力學上具有顯著的優勢，主要體現在如何更有效地利用運動員的 CM。

1. CM 高度優勢：
   • 傳統跨越式跳法 (Straddle/Western Roll)： 在這種跳法中，運動員身體大部分時間都保持在橫竿的同一側，且身體姿態相對是「弓」形。當運動員的 CM 越過橫竿時，CM 的高度通常會比橫竿高出許多，這意味著運動員需要將 CM 抬升到一個較高的絕對高度才能成功越過。
   • Fosbury Flop： 在 Fosbury Flop 中，運動員以背部朝向橫竿的方式騰空，並在空中做出反弓的姿勢。最關鍵的是，當運動員身體的每一部分（頭、肩、背、臀、腿）輪流越過橫竿時，運動員的 CM 實際上可以「通過」橫竿下方（或非常接近橫竿）。這意味著，運動員可以用較低的 CM 高度來成功越過同一高度的橫竿。
   • 生物力學解釋： 簡而言之，Fosbury Flop 允許運動員的 CM 軌跡與橫竿之間的相對位置更佳。在 Fosbury Flop 中，當運動員的腰部（通常是 CM 的近似位置）正好經過橫竿頂端時，他的頭部和腿部都還在橫竿下方，或者剛好越過。

本題考驗學生對於人體關節運動測量方法的理解，並能以具體例子（膝關節）進行說明。

核心觀念：

• 關節運動學 (Kinematics)： 描述關節運動的幾何特性，如角度、速度、加速度、運動軌跡。
• 自由度 (Degrees of Freedom, DOF)： 關節可進行運動的獨立變量的數量。
• 運動測量技術： 能夠量化關節運動的各種儀器和方法。

測量人體關節運動的方法：

測量人體關節運動的方法主要分為兩大類：光學式運動捕捉系統 (Optical Motion Capture Systems) 和 非光學式（或接觸式）測量系統 (Non-Optical/Contact-based Measurement Systems)。

1. 光學式運動捕捉系統 (Optical Motion Capture Systems)：

   • 原理： 在人體關節處或骨骼標記點上安裝反光標記點（markers），然後使用多個高速攝影機從不同角度捕捉這些標記點的運動軌跡。通過計算機軟體，可以重建出三維空間中標記點的運動，進而計算出關節的角度和運動模式。
   • 優點： 非侵入性、高精度、能捕捉複雜的多維度運動、可同時追蹤多個關節。
   • 缺點： 設備昂貴、需要專門的場地和設置、標記點的脫落或遮擋會影響數據。
   • 應用： 運動分析、生物力學研究、虛擬實境、電影動畫製作等。

2. 非光學式/接觸式測量系統：
   這類系統通常需要將感測器直接連接到人體或運動器材上。

   • a. 慣性測量單元 (Inertial Measurement Units, IMUs)：
     • 原理： IMUs 包含加速度計 (accelerometers) 和陀螺儀 (gyroscopes)，有時也包含磁力計 (magnetometers)。加速度計測量線性加速度，陀螺儀測量角速度。通過融合這些感測器的數據，可以計算出關節的相對角度、角速度和角加速度。
     • 優點： 體積小、無線傳輸、便於穿戴、可在複雜環境中使用（不受光線影響）。
     • 缺點： 數據會隨時間累積誤差（drift），特別是陀螺儀的積分誤差；需要定期校準。
     • 應用： 運動訓練監測、康復評估、人機互動。
   • b. 電子測角器 (Electrogoniometers)：
     • 原理： 是一種可彎曲的電位器，通過將其安裝在關節表面，感測關節角度的變化。當關節彎曲或伸展時，電位器的電阻值會改變，進而轉換為角度信號。
     • 優點： 結構簡單、相對便宜、直接測量角度。
     • 缺點： 精度受限、感測器可能限制關節的自然運動、長期佩戴可能引起皮膚不適。

本題考驗學生對運動技術的生物力學分析能力，特別是關於接力棒傳遞的策略性考量。

核心觀念：

• 慣性 (Inertia)： 物體保持其運動狀態（靜止或勻速直線運動）的性質。
• 動量 (Momentum)： 物體的質量與速度的乘積 ($p = mv$)。
• 動量守恆 (Conservation of Momentum)： 在沒有外力作用下，系統總動量保持不變。
• 角動量 (Angular Momentum)： 物體繞軸轉動的慣性，與質量、角速度和轉動慣量有關。
• 運動學 (Kinematics)： 描述物體的運動。

四百公尺接力不換手傳接法的力學解釋：

四百公尺接力（4x100m relay）的傳接棒技術是為了盡可能縮短傳接棒的時間，以提高總體成績。所謂「不換手傳接法」是指，假設第一棒選手是右手持棒，他將棒傳給第二棒選手時，第二棒選手用左手接。然後第二棒選手（左手持棒）傳給第三棒選手（右手接），第三棒選手（右手持棒）傳給第四棒選手（左手接），最後由第四棒選手（左手接）衝線。

這種傳接棒方式（通常是右手-左手-右手-左手）的力學原因主要與減少傳接棒過程中的減速和最大化接棒者的加速有關，這可以從慣性、動量和運動員的跑動方向來理解。

1. 維持運動員動能，減少減速：
   • 傳統換手傳接： 如果接棒者總是從同一側（例如，總是從右側）接棒，那麼持棒者需要將棒從身體一側傳到另一側，這會導致傳接棒過程中身體的運動軌跡和協調性受到影響，可能需要稍微減速來完成精確的傳接。
   • 不換手傳接（右手→左手→右手→左手）： 這種方式允許傳棒者在身體自然前傾、跑動的軌跡上，將棒從身體一側（例如右手）直接傳向接棒者身體的另一側（例如左手）。接棒者也從身體的另一側（左手）接棒，並立刻能以自然的跑姿向前加速。
   • 力學解釋： 運動員在跑動時具有很大的動量。傳接棒的目的是盡量在不顯著損失動量的情況下完成。

本題考驗學生對於人體在空中進行旋轉運動的生物力學分析能力，特別是角動量守恆原理的應用。

核心觀念：

• 角動量 (Angular Momentum, L)： 物體繞軸轉動的慣性，是一個向量，其大小與轉動慣量 (I) 和角速度 ($\omega$) 的乘積成正比，即 $L = I\omega$。
• 角動量守恆定律 (Law of Conservation of Angular Momentum)： 在沒有外力矩作用於系統的情況下，系統的總角動量保持不變。
• 轉動慣量 (Moment of Inertia, I)： 物體抵抗繞軸轉動的慣性，它不僅取決於物體的總質量，還取決於質量分佈與轉動軸的距離。質量越集中於轉動軸，轉動慣量越小；質量越分散，轉動慣量越大。

高台跳水選手完成身體旋轉的動作與力學原理：

高台跳水選手在騰空過程中完成複雜的旋轉動作（如向前、向後、向側翻轉，以及組合動作），是為了達到裁判要求的動作難度和美觀度。這些動作的實現，完全依賴於角動量守恆定律。

1. 產生初始角動量：

   • 動作： 在起跳離台的瞬間，選手會通過一系列的預備動作（如擺臂、弓背、蹬腿）來產生一個初始的角動量。例如，為了完成向前翻轉，選手可能會在起跳時用力向後擺臂並同時向上蹬腿，這會產生一個繞著水平軸（通常是從選手肩部穿過的水平軸）的角動量。
   • 力學原理： 雖然離開跳台後，外部的淨力矩（主要來自重力，作用在 CM 上）對旋轉的改變很小（因為重力作用在 CM，且 CM 相對於自身轉動軸的力臂很小），但選手在起跳瞬間的蹬地、擺臂等動作，會通過地面反作用力或自身肌肉收縮產生一個短暫但有效的力矩，從而產生一個初始的角動量。

2. 改變轉動慣量以控制角速度：

   • 動作： 一旦產生了初始角動量，選手在空中會通過收縮或伸展身體來改變其質量分佈，進而改變轉動慣量。

核心觀念

本題考查投球的力學原理，重點包括：

1. 球的初速度與動量、動能。
2. 球受到重力與空氣動力後的飛行軌跡。
3. 球旋轉所產生的馬格努斯力（Magnus force）。
4. 投手動作相似性對打者判讀時間與揮棒時機的影響。

快速球與變速球可具有相近的出手姿勢、手臂動作與出手點，但變速球的出手速度較低，且旋轉特性通常不同，因此能在接近相同的投球動作下，產生不同的到達時間與飛行軌跡。

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解題方法

可從「速度差異」、「飛行軌跡差異」與「打者判斷困難」三個層面分析。

一、降低球速，破壞打者的時間預期

球離手後的飛行時間可近似表示為：

$$t \approx \frac{d}{v}$$

其中 $d$ 為投手到本壘的距離，$v$ 為球的平均水平速度。

變速球的初速度低於快速球，因此到達本壘所需時間較長。假設兩球的投球距離相同，快速球速度為 $v_f$，變速球速度為 $v_c$，且 $v_c<v_f$，則：

$$t_c=\frac{d}{v_c}>\frac{d}{v_f}=t_f$$

打者若依照投手相同的出手動作，預期球會以快速球速度抵達，就會提早啟動揮棒，造成：

• 揮棒時間過早；
• 球棒通過擊球點時球尚未到達；
• 擊球點偏後；
• 容易揮空或擊出軟弱的界外球、滾地球。

以 $90\ \mathrm{mph}$ 的快速球與 $80\ \mathrm{mph}$ 的變速球比較，速度比例為：

$$\frac{80}{90}\approx 0.889$$

若僅以速度估算，變速球的飛行時間約比快速球增加：

$$\frac{90}{80}-1=0.125$$

亦即約增加 $12.5\%$。在棒球投球距離下，這段時間差足以明顯影響打者的揮棒時機。

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二、降低動量，使球棒更容易改變球的運動狀態

球的線性動量為：

$$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$

其中 $m$ 為球質量，$\mathbf{v}$ 為球速。球速降低時，球的動量也隨之降低。

球棒與球碰撞時，衝量關係為：

$$\mathbf{J}=\Delta\mathbf{p}$$

在相同球質量下，變速球的入射動量小於快速球，因此碰撞後球的速度與飛行方向較容易被球棒改變。這會造成：

• 球較容易被打成高飛球或滾地球；
• 擊球不甜時，球速下降更明顯；
• 即使打者碰到球，也較難形成強勁擊球。

此外，球的平移動能為：

$$K=\frac{1}{2}mv^2$$

動能與速度平方成正比。速度降低不只使動量下降，也會使球本身可傳遞給球棒的平移動能顯著減少。因此，變速球即使被擊中，通常也比同樣擊球品質下的快速球更不容易形成高初速擊球。

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三、改變旋轉與空氣動力，造成下沉或位移

旋轉中的棒球會受到馬格努斯力，其大小可概念化表示為：

$$F_M \propto \rho v^2 A C_L$$

其中：

本題考驗學生對肌肉收縮型態的理解，以及在實際重量訓練情境下的應用。

核心觀念：

• 肌肉收縮 (Muscle Contraction)： 肌肉產生張力（力）的過程。
• 等張收縮 (Isotonic Contraction)： 肌肉長度發生改變，張力保持相對恆定。
  • 向心收縮 (Concentric Contraction)： 肌肉收縮時長度縮短，克服阻力。
  • 離心收縮 (Eccentric Contraction)： 肌肉在張力作用下長度被拉長，但仍能控制阻力。
• 等長收縮 (Isometric Contraction)： 肌肉張力增加，但長度不變，沒有引起關節運動。
• 阻力 (Resistance)： 肌肉需要克服的外力。

人體肌肉主動收縮用力的型態：

人體肌肉主動收縮主要有以下三種型態：

1. 等長收縮 (Isometric Contraction)：
   • 定義： 肌肉產生張力，但其長度不發生改變，關節也不發生運動。
   • 例子： 靜態地推牆壁，或在兩者之間夾緊一個物體，肌肉會產生張力，但身體或物體不會移動。
2. 等張收縮 (Isotonic Contraction)：
   • 定義： 肌肉產生張力，且其長度會發生改變，從而引起關節運動。等張收縮又可細分為：
     • 向心收縮 (Concentric Contraction)： 肌肉收縮時長度縮短，克服阻力。這是我們一般認為的「發力」或「用力」的階段。
     • 離心收縮 (Eccentric Contraction)： 肌肉在張力作用下長度被拉長，但它仍然在「控制」這個過程，而非被動地被拉長。這是肌肉對抗阻力、使運動緩慢進行的階段。
   • 例子： 彎舉啞鈴時，將啞鈴向上舉起是向心收縮；緩慢放下啞鈴時，是離心收縮。

本題考驗學生對運動生物力學研究方法論的理解，特別是數學模型模擬與人體實驗的比較，以及模型建立的注意事項。

核心觀念：

• 運動生物力學 (Biomechanics)： 研究生物體（包括人體）在力學原理作用下的運動。
• 數學模型 (Mathematical Model)： 用數學方程式、算法等來描述或預測一個系統（如人體運動）行為的模型。
• 模擬 (Simulation)： 在數學模型上進行計算，以觀察系統在不同條件下的響應。
• 人體實驗 (Human Experiment)： 在真實的實驗環境中，直接測量人體運動的數據。
• 科學方法論： 實驗設計、數據分析、模型驗證等。

數學模型模擬相較於人體實驗的優勢：

數學模型模擬（Computational Simulation）在運動生物力學研究中，與實際人體實驗相比，具有多方面的優勢：

1. 成本與時間效益 (Cost and Time Efficiency)：

   • 優勢： 進行大規模、複雜的人體實驗通常需要昂貴的設備（如運動捕捉系統、力板、生理監測儀器）、專業人員、受試者招募和數據收集時間。模型模擬可以在相對較短的時間內，利用計算機資源完成，成本也較低。
   • 說明： 例如，模擬不同訓練計畫對運動員表現的影響，比實際執行這些計畫並收集數據要快得多。

2. 安全性與倫理性 (Safety and Ethics)：

   • 優勢： 許多極端或危險的運動情境（如高強度衝擊、極限運動、運動傷害的發生過程）難以或不適合在人體上直接實驗。模型模擬可以安全地探索這些情況，而無需冒險。
   • 說明： 模擬人體在高速碰撞中的反應，或模擬不同技術下關節承受的極大負荷，是人體實驗難以實現的。

3. 參數可控性與精確性 (Parameter Controllability and Precision)：

   • 優勢： 在模型中，可以精確地控制和改變各種參數，例如單獨改變肌肉的強度、關節的剛度、外力的大小和方向，並觀察其對運動的影響。人體實驗中，這些參數往往難以單獨控制或精確測量。
   • 說明： 模擬可以幫助研究人員理解單一因素（如某塊肌肉力量的變化）對整體運動模式的影響，這在人體實驗中很難分離出來。

4. 觀察不可見或難以測量的內部變量 (Observation of Unseen/Difficult-to-Measure Internal Variables)：

   • 優勢： 模型可以模擬和預測人體內部的狀態，如肌肉內的應力分佈、關節內的力矩、能量的產生與消耗等，這些是人體實驗難以直接測量的。
   • 說明： 例如，可以模擬骨骼在特定運動下的應力集中區域，預測潛在的骨折風險。

5. 可重複性與標準化 (Reproducibility and Standardization)：

   • 優勢： 模型模擬的結果是可重複的，只要輸入參數相同，結果就相同。人體實驗的數據可能受到受試者差異、環境因素、操作者變異等影響，重複性較差。
   • 說明： 這有助於科學研究的驗證和比較。

6. 探索極端條件與預測 (Exploration of Extreme Conditions and Prediction)：