115 年 國立成功大學交通管理科學系碩士班乙組《經濟學》

核心觀念

本題的核心在於測驗微觀經濟學中的**需求價格彈性（Price Elasticity of Demand）**之計算與決定因素：

1. 需求價格彈性定義：衡量當商品價格變動 $1\%$ 時，需求量變動的百分比。依經濟學慣例，通常取絕對值表示需求量對價格變動的敏感程度。
2. 中點法（Midpoint Method / 弧彈性 Arc Elasticity）：
   計算兩點間的彈性時，傳統百分比計算會因起始點不同而產生計算結果不對稱的問題。中點法以兩點的「平均值（中點）」作為分母計算變動百分比，公式如下：
   $E_d = \left| \frac{\% \Delta Q}{\% \Delta P} \right| = \left| \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_1 + Q_2)/2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_1 + P_2)/2}} \right| = \left| \frac{\Delta Q}{\Delta P} \times \frac{P_1 + P_2}{Q_1 + Q_2} \right|$
3. 需求彈性的決定因素（Determinants of Elasticity）：
   消費者對價格的敏感度取決於：替代品的多寡、物品性質（必需品 vs. 奢侈品）、時間緊迫性與彈性、預算佔比及費用支付者（自費 vs. 公費報銷）。

---

解題方法與計算步驟

小題 a. 計算票價由 $200 上漲至 $250 之需求價格彈性

已知價格條件：

• 原始價格 $P_1 = 200$，新價格 $P_2 = 250$
• 價格變動量：$\Delta P = 250 - 200 = 50$
• 價格平均值（中點）：$\bar{P} = \frac{200 + 250}{2} = 225$
• 價格變動百分比：
  $\% \Delta P = \frac{\Delta P}{\bar{P}} = \frac{50}{225} = \frac{2}{9}$

---

(i) 商務旅客（Business Travelers）之需求價格彈性

1. 需求量數據：

   • 原始需求量 $Q_1 = 2{,}000$，新需求量 $Q_2 = 1{,}900$
   • 需求變動量：$\Delta Q = 1{,}900 - 2{,}000 = -100$
   • 需求量平均值（中點）：$\bar{Q} = \frac{2{,}000 + 1{,}900}{2} = 1{,}950$
   • 需求量變動百分比：
     $\% \Delta Q = \frac{-100}{1{,}950} = -\frac{2}{39}$

2. 代入中點法彈性公式：
   $E_d^{\text{business}} = \left| \frac{\% \Delta Q}{\% \Delta P} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{39}}{\frac{2}{9}} \right| = \frac{2}{39} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{39} = \frac{3}{13} \approx 0.231$

---

(ii) 度假旅客（Vacationers）之需求價格彈性

1. 需求量數據：
   • 原始需求量 $Q_1 = 800$，新需求量 $Q_2 = 600$
   • 需求變動量：$\Delta Q = 600 - 800 = -200$
   • 需求量平均值（中點）：$\bar{Q} = \frac{800 + 600}{2} = 700$
   • 需求量變動百分比：

本題主要考驗對市場均衡、消費者剩餘、生產者剩餘、稅收影響以及無謂損失（Deadweight Loss, DWL）等基本市場模型概念的理解與應用。

核心觀念： 在完全競爭市場中，供需曲線的交點決定了市場均衡價格與數量。消費者剩餘（CS）是消費者願意支付的最高價格與實際支付價格之間的差額，生產者剩餘（PS）是生產者實際獲得的價格與其最低願意接受的價格之間的差額。稅收會扭曲市場結果，導致交易量減少，產生無謂損失。

解題步驟：

a. 市場均衡、剩餘與無謂損失

(1) 市場均衡圖示：

繪製一個標準的供需圖。

• 橫軸 (X軸) 代表數量 (Quantity, Q)。
• 縱軸 (Y軸) 代表價格 (Price, P)。
• 畫一條向下傾斜的需求曲線 (Demand Curve, D)。
• 畫一條向上傾斜的供給曲線 (Supply Curve, S)。
• 兩曲線的交點即為市場均衡點 (Equilibrium, E)。
• 從交點向橫軸畫垂線，得到均衡數量 $Q^*$。
• 從交點向縱軸畫垂線，得到均衡價格 $P^*$。

(2) 標示剩餘：

• 消費者剩餘 (Consumer Surplus, CS)： 需求曲線下方、實際支付價格 ($P^*$) 上方、從數量 0 到 $Q^*$ 之間的三角形區域。這代表消費者從購買 $Q^*$ 單位的商品中獲得的總利益，減去他們為此支付的總金額。
• 生產者剩餘 (Producer Surplus, PS)： 供給曲線上方、實際獲得價格 ($P^*$) 下方、從數量 0 到 $Q^*$ 之間的三角形區域。這代表生產者從銷售 $Q^*$ 單位的商品中獲得的總收益，減去他們生產這些商品所需的總成本。

(3) 無謂損失 (Deadweight Loss, DWL)：

• 解釋： 在沒有市場扭曲（如稅收、價格管制）的完全競爭市場中，均衡價格和數量是社會總剩餘（CS + PS）最大的點。因此，在沒有外部性或政府干預的情況下，競爭性市場均衡本身不存在無謂損失。無謂損失是指由於市場未能達到最佳資源配置而造成的總剩餘的損失。
• 圖示說明： 在此情況下，圖上沒有 DWL 的區域。DWL 通常發生在市場價格或數量被扭曲（例如，低於或高於均衡價格，或交易量低於均衡數量）時。

【答案】
競爭性市場均衡圖示中，需求曲線與供給曲線的交點決定了均衡價格 $P^*$ 和均衡數量 $Q^*$。消費者剩餘是需求曲線下方、價格 $P^*$ 上方的三角形區域。生產者剩餘是價格 $P^*$ 下方、供給曲線上方的三角形區域。在競爭性市場均衡下，沒有無謂損失，因為市場達到了社會總剩餘最大的效率點。

b. $1 稅收對披薩市場的影響

政府對每售出的披薩徵收 $1 的稅，這會影響供給曲線。

(1) 稅收的影響：

• 每售出一單位商品，政府要收取 $1 的稅，這相當於增加了生產者的成本。
• 對於任何給定的數量，生產者現在需要比以前高 $1 的價格才能願意供給。
• 因此，原來的供給曲線 (S) 會向上移動 $1 的垂直距離，形成新的供給曲線 (S+tax)。
• 新的均衡點將出現在需求曲線 (D) 與新的供給曲線 (S+tax) 的交點。

(2) 圖示說明：

• 在原來的供需圖上，畫出新的供給曲線 S+tax。
• 標示出新的均衡點 E'，它位於 D 和 S+tax 的交點。
• 從 E' 向橫軸畫垂線，得到新的均衡數量 $Q^{**}

核心觀念

本題考核總體經濟學中**消費者物價指數（Consumer Price Index, CPI）**的編製方法、通貨膨脹率的計算，以及 CPI 的衡量偏誤（Measurement Biases）：

1. 個別商品價格變動率：計算各項商品在兩期之間的價格百分比變動。
2. CPI 編製（固定籃子法，Laspeyres Price Index）：以基準期的消費籃（Base-year Basket）數量固定為權數，計算各期購買該籃子所需支出的費用，進而求得物價指數與整體物價水準變動率（通貨膨脹率）。
3. 未衡量的品質變動（Unmeasured Quality Change）：若商品品質或容量提升而名目價格上升，部分漲價反映品質提升而非單純物價上漲。若未調整，CPI 將高估生活成本的上升。
4. 新產品／新品項的引進（Introduction of New Goods）：新口味或新種類的引進擴大了消費者的選擇集合，提升了貨幣的實質購買力（滿足感提高）。固定籃子若未及時反映，將使 CPI 高估生活成本。

---

解題步驟與詳細推導

(a) 計算三種商品的個別價格變動百分比

個別商品之價格變動百分比公式為：
$\text{價格變動率} = \frac{P_{2024} - P_{2023}}{P_{2023}} \times 100\%$

• 網球（Tennis balls）：
  $\frac{2 - 2}{2} \times 100\% = 0\%$

• 高爾夫球（Golf balls）：
  $\frac{6 - 4}{4} \times 100\% = \frac{2}{4} \times 100\% = 50\%$

• 佳得樂運動飲料（Bottle of Gatorade）：
  $\frac{2 - 1}{1} \times 100\% = \frac{1}{1} \times 100\% = 100\%$

---

(b) 利用類似 CPI 的方法計算整體物價水準變動率

CPI 的編製採固定商品籃（本題中 2023 年與 2024 年數量相同，皆為基準期固定組合）：

• 固定商品籃內容：$Q_{\text{Tennis}} = 100$、$Q_{\text{Golf}} = 100$、$Q_{\text{Gatorade}} = 200$。

步驟 1：計算 2023 年（基準期）購買該固定籃子的總支出
$\text{Cost}_{2023} = (P^{\text{Tennis}}_{2023} \times 100) + (P^{\text{Golf}}_{2023} \times 100) + (P^{\text{Gatorade}}_{2023} \times 200)$
$\text{Cost}_{2023} = (\$2 \times 100) + (\$4 \times 100) + (\$1 \times 200) = \$200 + \$400 + \$200 = \$800$

步驟 2：計算 2024 年（當期）購買相同固定籃子的總支出
$\text{Cost}_{2024} = (P^{\text{Tennis}}_{2024} \times 100) + (P^{\text{Golf}}_{2024} \times 100) + (P^{\text{Gatorade}}_{2024} \times 200)$
$\text{Cost}_{2024} = (\$2 \times 100) + (\$6 \times 100) + (\$2 \times 200) = \$200 + \$600 + \$400 = \$1200$

步驟 3：計算各年 CPI 與整體物價水準變動率（通貨膨脹率 $\pi$）
設 2023 年為基準期（$\text{CPI}_{2023} = 100$）：

本題主要考驗對風險態度（風險規避、風險中立、風險愛好）、期望值（Expected Value, EV）和期望效用（Expected Utility, EU）的計算與判斷。

核心觀念：

• 風險態度：
  • 風險規避 (Risk Averse)： 邊際效用遞減。對於相同的期望值，會選擇確定性結果而非風險性賭局。其效用函數是凹向原點的（Concave）。
  • 風險中立 (Risk Neutral)： 邊際效用恆定。對期望值相同的確定性結果和風險性賭局無差異。其效用函數是線性的（Linear）。
  • 風險愛好 (Risk Loving)： 邊際效用遞增。對於期望值相同的確定性結果，會偏好風險性賭局。其效用函數是凸向原點的（Convex）。
• 期望值 (EV)： 所有可能結果的概率加權平均值。
• 期望效用 (EU)： 所有可能結果的效用值的概率加權平均值。
• 決策準則： 在效用最大化原則下，個人會選擇期望效用最高的選項。

解題步驟：

a. 繪製效用函數圖形與判斷風險態度

Jamal 的效用函數為 $U(W) = W^{1/2}$，其中 $W$ 是以百萬美元為單位的財富。

(1) 繪製效用函數圖形：

• 這是一個平方根函數，其圖形是從原點 (0,0) 開始，向上彎曲（凹向原點）。
• 橫軸 (X軸) 代表財富 $W$ (百萬美元)。
• 縱軸 (Y軸) 代表效用 $U$。
• 繪製曲線，例如：
  • 當 $W=0$, $U=0$
  • 當 $W=1$, $U=1^{1/2}=1$
  • 當 $W=4$, $U=4^{1/2}=2$
  • 當 $W=9$, $U=9^{1/2}=3$
  • 當 $W=16$, $U=16^{1/2}=4$
    曲線會逐漸變得平緩。

(2) 判斷風險態度：

• 方法一：觀察效用函數的二階導數。
  • 一階導數（邊際效用）：$U'(W) = \frac{1}{2}W^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{W}}$。邊際效用隨財富增加而遞減（例如，從 $100萬增加到$200萬得到的效用增量，小於從 $0萬增加到$100萬的效用增量）。
  • 二階導數：$U''(W) = \frac{d}{dW}(\frac{1}{2}W^{-1/2}) = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) W^{-3/2} = -\frac{1}{4}W^{-3/2} = -\frac{1}{4W\sqrt{W}}$。
  • 由於 $W$ 為正數（財富），$U''(W)$ 始終為負值。
• 方法二：觀察圖形。 效用函數的圖形是凹向原點的（Concave）。

結論： 由於 Jamal 的效用函數是凹向原點的，且邊際效用遞減，他是一個風險規避者 (risk-averse)。

【答案】
效用函數 $U = W^{1/2}$ 的圖形是一條從原點出發、向上彎曲（凹向原點）的曲線。這表示 Jamal 的邊際效用是遞減的。因此，Jamal 是風險規避者。

b. A 或 B 提供更高的預期獎金 (Expected Prize)

預期獎金是指所有可能結果的財富值乘以其對應概率的總和。