114 年 國立臺灣海洋大學運輸科學系碩士班《微積分》

本題要求計算由兩函數圖形所圍成的區域面積。首先，我們需要找出兩函數圖形的交點，這些交點將決定積分的上下限。接著，判斷在交點之間哪個函數的值較大，以便正確設定被積函數。最後，透過定積分計算出所圍區域的面積。

步驟 1：找出兩函數的交點。
令 $f(x) = g(x)$，則 $x^3 - 3x + 3 = x + 3$。
移項可得 $x^3 - 4x = 0$。
因式分解得 $x(x^2 - 4) = 0$。
所以，$x(x-2)(x+2) = 0$。
交點的 x 座標為 $x = -2, 0, 2$。

步驟 2：判斷在交點區間內哪個函數較大。
我們需要計算在區間 $[-2, 0]$ 和 $[0, 2]$ 上，哪個函數的值較大。
令 $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 4x$。
在區間 $(-2, 0)$ 內，取測試點 $x = -1$：
$h(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$。
這表示在區間 $(-2, 0)$ 上，$f(x) > g(x)$。
在區間 $(0, 2)$ 內，取測試點 $x = 1$：
$h(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$。
這表示在區間 $(0, 2)$ 上，$g(x) > f(x)$。

步驟 3：計算區域面積。
總面積 $A$ 為兩個積分的絕對值之和，或者直接根據哪個函數較大來設定被積函數。

本題要求計算一個瑕積分（improper integral）。瑕積分的積分上限或下限為無限大，或是被積函數在積分區間內有不連續點。此題的積分下限為 2，上限為 $\infty$，且被積函數 $xe^{-x}$ 在此區間內連續。

步驟 1：將瑕積分改寫為定積分的極限形式。
$\int_{2}^{\infty} xe^{-x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} xe^{-x} dx$

步驟 2：使用分部積分法計算定積分 $\int xe^{-x} dx$。
令 $u = x$ 且 $dv = e^{-x} dx$。
則 $du = dx$ 且 $v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$。
根據分部積分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我們有：
$\int xe^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx$
$= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx$
$= -xe^{-x} - e^{-x} + C$
$= -(x+1)e^{-x} + C$

步驟 3：計算定積分 $\int_{2}^{b} xe^{-x} dx$。
$\int_{2}^{b} xe^{-x} dx = \left[ -(x+1)e^{-x} \right]_{2}^{b}$

核心觀念

本題評量多元微積分中**多變數函數的偏導數（Partial Derivatives）及二階偏導數（Second-Order Partial Derivatives）**的計算能力。所涉及的核心觀念與微分法則包括：

1. 偏導數的定義與計算原則：
   • 對 $x$ 求偏導時，將 $y$ 視為常數。
   • 對 $y$ 求偏導時，將 $x$ 視為常數。
2. 微積分基本運算法則：
   • 連鎖律（Chain Rule）：$\frac{d}{du}[e^u] = e^u \cdot \frac{du}{dx}$。
   • 乘法律（Product Rule）：$\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv'$。
3. 二階偏導數的四個分量：
   • 純偏導：$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ 與 $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$。
   • 混合偏導：$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 與 $f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$。
4. 克萊羅定理（Clairaut's Theorem）：
   • 若 $f(x, y)$ 及其一階、二階偏導數在包含點 $(x, y)$ 的開區域內皆為連續函數，則混合偏導數相等，即： $$f_{xy} = f_{yx}$$

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解題方法

給定函數為：

$$f(x, y) = e^{x^2 y^2}$$

步驟一：求一階偏導數 $f_x$ 與 $f_y$

1. 對 $x$ 求一階偏導（視 $y$ 為常數）：
   利用連鎖律，令指數部分為 $u = x^2 y^2$，則 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x y^2$：

   $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^2 y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^2) = 2xy^2 e^{x^2 y^2}$$

2. 對 $y$ 求一階偏導（視 $x$ 為常數）：
   同理，令 $u = x^2 y^2$，則 $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2 y$：

   $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^2 y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y^2) = 2x^2 y e^{x^2 y^2}$$

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步驟二：求二階純偏導數 $f_{xx}$ 與 $f_{yy}$

1. 求 $f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_x)$：
   將 $f_x = 2xy^2 e^{x^2 y^2}$ 對 $x$ 微分（視 $y$ 為常數），利用乘法律：

   $$\begin{aligned} f_{xx} &= \frac{\partial}{\partial x}\left( 2xy^2 \cdot e^{x^2 y^2} \right) \\ &= \left[ \frac{\partial}{\partial x}(2xy^2) \right] e^{x^2 y^2} + (2xy^2) \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( e^{x^2 y^2} \right) \right] \\ &= \left( 2y^2 \right) e^{x^2 y^2} + (2xy^2) \left( 2xy^2 e^{x^2 y^2} \right) \\ &= 2y^2 e^{x^2 y^2} + 4x^2 y^4 e^{x^2 y^2} \\ &= 2y^2 \left( 1 + 2x^2 y^2 \right) e^{x^2 y^2} \end{aligned}$$

2. 求 $f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_y)$：
   將 $f_y = 2x^2 y e^{x^2 y^2}$ 對 $y$ 微分（視 $x$ 為常數），利用乘法律：

本題要求在給定一個約束條件下，求一個二元函數的最小值。這是一個典型的條件極值問題，通常可以使用拉格朗日乘數法（Lagrange Multiplier Method）或將約束條件代入原函數來簡化問題。在此，由於約束條件 $x+y=20$ 比較簡單，我們可以將其代入目標函數，將一個二元函數問題轉化為一個單變數函數問題來求解。

方法一：代入法

步驟 1：利用約束條件表達其中一個變數。
由約束條件 $x + y = 20$，我們可以得到 $y = 20 - x$。

步驟 2：將約束條件代入目標函數。
將 $y = 20 - x$ 代入 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$：
$f(x) = x^2 + x(20 - x) + (20 - x)^2$
$f(x) = x^2 + 20x - x^2 + (400 - 40x + x^2)$
$f(x) = 20x + 400 - 40x + x^2$
$f(x) = x^2 - 20x + 400$

步驟 3：求解單變數函數的最小值。
我們需要找到函數 $f(x) = x^2 - 20x + 400$ 的最小值。這是一個開口向上的拋物線，最小值發生在頂點。
對 $f(x)$ 求導並令其為零：
$f'(x) = 2x - 20$
令 $f'(x) = 0$：
$2x - 20 = 0$
$2x = 20$
$x = 10$

步驟 4：計算對應的 y 值和最小值。
當 $x = 10$ 時，由約束條件 $y = 20 - x$，我們得到 $y = 20 - 10 = 10$。
此時的函數值為：
$f(10, 10) = 10^2 + (10)(10) + 10^2 = 100 + 100 + 100 = 300$。
或者，使用單變數函數 $f(x) = x^2 - 20x + 400$：
$f(10) = 10^2 - 20(10) + 400 = 100 - 200 + 400 = 300$。

本題要求計算一個二元函數在給定矩形區域上的平均值。函數的平均值定義為該函數在區域上的積分值除以該區域的面積。

步驟 1：計算區域的面積。
給定的區域是一個矩形，由 $2 \le x \le 5$ 和 $1 \le y \le 4$ 定義。
區域的寬度為 $5 - 2 = 3$。
區域的高度為 $4 - 1 = 3$。
區域的面積 $A = \text{寬度} \times \text{高度} = 3 \times 3 = 9$。

步驟 2：計算函數在該區域上的積分。
我們需要計算二重積分 $\iint_R f(x, y) dA$，其中 $R$ 是給定的矩形區域。
$\iint_R 3x^2y dA = \int_{2}^{5} \int_{1}^{4} 3x^2y dy dx$

先計算內層積分（對 y 積分）：
$\int_{1}^{4} 3x^2y dy = 3x^2 \int_{1}^{4} y dy$
$= 3x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{4}$
$= 3x^2 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$
$= 3x^2 \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right)$
$= 3x^2 \left( \frac{15}{2} \right)$

本題是關於極限的 $\epsilon-\delta$ 定義證明。首先，我們需要計算給定函數在點 $c$ 的極限值 $L$。然後，根據極限的 $\epsilon-\delta$ 定義，找到一個 $\delta > 0$，使得當 $x$ 離 $c$ 的距離在 $\delta$ 範圍內（但不等於 0）時，函數值 $f(x)$ 離極限值 $L$ 的距離小於 $\epsilon$。

給定函數 $f(x) = \sqrt{19 - x}$，點 $c = 10$，以及 $\varepsilon = 1$。

步驟 1：計算極限值 $L$。
$L = \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to 10} \sqrt{19 - x}$
由於 $\sqrt{19 - x}$ 在 $x=10$ 處是連續的，我們可以將 $x=10$ 代入：
$L = \sqrt{19 - 10} = \sqrt{9} = 3$。

步驟 2：根據 $\epsilon-\delta$ 定義，建立不等式 $|f(x) - L| < \varepsilon$。
我們需要找到 $\delta > 0$ 使得當 $0 < |x - 10| < \delta$ 時， $| \sqrt{19 - x} - 3 | < 1$。

步驟 3：化簡 $|f(x) - L|$ 並與 $\epsilon$ 建立聯繫。
$| \sqrt{19 - x} - 3 | < 1$
為了處理根號，我們可以使用共軛表達式：
$| \sqrt{19 - x} - 3 | = \left| \frac{(\sqrt{19 - x} - 3)(\sqrt{19 - x} + 3)}{\sqrt{19 - x} + 3} \right|$
$= \left| \frac{(19 - x) - 9}{\sqrt{19 - x} + 3} \right|$
$= \left| \frac{10 - x}{\sqrt{19 - x} + 3} \right|$
$= \frac{|10 - x|}{|\sqrt{19 - x} + 3|}$
由於 $x$ 接近 10，且函數定義域要求 $19-x \ge 0 \implies x \le 19$，所以 $\sqrt{19-x}$ 是實數且非負。分母 $\sqrt{19 - x} + 3$ 恆為正。
所以，$\frac{|10 - x|}{\sqrt{19 - x} + 3} = \frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3}$。

我們需要 $\frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3} < 1$。

步驟 4：尋找 $\delta$ 的上界。
為了讓 $\frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3} < 1$ 成立，我們需要對分母 $\sqrt{19 - x} + 3$ 進行估計。
由於我們要求 $|x - 10| < \delta$，我們可以先假設 $\delta$ 是一個較小的正數，例如 $\delta \le 1$。
如果 $\delta \le 1$，則 $|x - 10| < 1$，這意味著 $9 < x < 11$。
在此區間內，$19 - x$ 的範圍是 $19 - 11 < 19 - x < 19 - 9$，即 $8 < 19 - x < 10$。
因此，$\sqrt{8} < \sqrt{19 - x} < \sqrt{10}$。
那麼，分母 $\sqrt{19 - x} + 3$ 的範圍是 $\sqrt{8} + 3 < \sqrt{19 - x} + 3 < \sqrt{10} + 3$。
$\sqrt{8} \approx 2.828$，$\sqrt{10} \approx 3.162$。
所以，$5.828 < \sqrt{19 - x} + 3 < 6.162$。

現在我們有 $\frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3} < \frac{|x - 10|}{5.828}$。
我們希望這個式子小於 1。
所以，我們需要 $\frac{|x - 10|}{5.828} < 1$，即 $|x - 10| < 5.828$。
這與我們假設的 $|x - 10| < \delta \le 1$ 是相容的。

步驟 5：選擇一個合適的 $\delta$。
我們需要找到一個 $\delta$ 使得當 $|x - 10| < \delta$ 時， $\frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3} < 1$。
我們可以選擇一個 $\delta$ 使得分母 $\sqrt{19 - x} + 3$ 至少有一個最小值。
如果我們限制 $\delta$ 使得 $x$ 離 10 足夠近，例如 $|x-10| < \delta \le 1$ (即 $9 < x < 11$)。
在此範圍內， $19-x$ 的範圍是 $(8, 10)$。
則 $\sqrt{19-x}$ 的範圍是 $(\sqrt{8}, \sqrt{10})$。
分母 $\sqrt{19-x} + 3$ 的範圍是 $(\sqrt{8}+3, \sqrt{10}+3)$。
因此，$\sqrt{19-x} + 3 > \sqrt{8} + 3 = 2\sqrt{2} + 3 \approx 5.828$。
所以，$\frac{|x - 10|}{\sqrt{19 - x} + 3} < \frac{|x - 10|}{\sqrt{8} + 3}$。
我們要讓 $\frac{|x - 10|}{\sqrt{8} + 3} < 1$。
這需要 $|x - 10| < \sqrt{8} + 3$。
我們選擇 $\delta$ 為 $\min\left(1, \sqrt{8}+3\right)$。
由於 $\sqrt{8}+3 \approx 5.828 > 1$，所以我們可以取 $\delta = 1$。
讓我們仔細檢查。如果我們選擇 $\delta = \sqrt{8}+3$，那麼當 $|x-10| < \delta$ 時，

本題要求找出直線 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 上距離原點 $(0,0)$ 最近的點。這是一個條件極值問題。我們可以透過幾種方法求解：

1. 幾何方法：利用點到直線的距離公式，或者理解為求原點到直線的垂線的垂足。
2. 代數方法：將距離的平方函數最小化，並利用約束條件。
3. 拉格朗日乘數法。

我們採用代數方法，將距離的平方最小化。

步驟 1：寫出距離的平方函數。
點 $(x, y)$ 到原點 $(0, 0)$ 的距離平方為 $D^2 = x^2 + y^2$。
我們需要最小化 $f(x, y) = x^2 + y^2$。

步驟 2：利用約束條件將函數化為單變數函數。
約束條件是直線方程式 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$。
我們可以將 $y$ 用 $x$ 表示（假設 $b \neq 0$）：
$\frac{y}{b} = 1 - \frac{x}{a}$
$y = b \left( 1 - \frac{x}{a} \right) = b - \frac{b}{a}x$。

將 $y$ 代入 $f(x, y)$：
$f(x) = x^2 + \left( b - \frac{b}{a}x \right)^2$
$f(x) = x^2 + b^2 - 2b \left( \frac{b}{a}x \right) + \left( \frac{b}{a}x \right)^2$
$f(x) = x^2 + b^2 - \frac{2b^2}{a}x + \frac{b^2}{a^2}x^2$
$f(x) = \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} \right) x^2 - \frac{2b^2}{a}x + b^2$

步驟 3：求解單變數函數的最小值。
為了找到最小值，我們對 $f(x)$ 求導並令其為零。
$f'(x) = 2 \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} \right) x - \frac{2b^2}{a}$
令 $f'(x) = 0$：
$2 \left( 1 + \frac{b^2}{a^2} \right) x = \frac{2b^2}{a}$
$\left( \frac{a^2 + b^2}{a^2} \right) x = \frac{b^2}{a}$
$x = \frac{b^2}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 + b^2}$
$x = \frac{ab^2}{a^2 + b^2}$

步驟 4：計算對應的 y 值。
將 $x$ 的值代入 $y = b - \frac{b}{a}x$：
$y = b - \frac{b}{a} \left( \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \right)$
$y = b - \frac{b^3}{a^2 + b^2}$

本題要求使用偏導數的定義來計算函數在點 $(0,0)$ 的偏導數值。函數在 $(0,0)$ 點的值是特別定義的，這暗示我們可能需要仔細處理極限。

偏導數的定義：
$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$
$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0, y_0+k) - f(x_0, y_0)}{k}$

我們需要在點 $(x_0, y_0) = (0, 0)$ 計算。

步驟 1：計算 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$。
根據定義：
$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h, 0) - f(0, 0)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

由於 $(h, 0) \neq (0, 0)$ (當 $h \to 0$ 但 $h \neq 0$ 時)，我們使用函數的定義式：
$f(h, 0) = \frac{\sin(h^3 + 0^4)}{h^2 + 0^2} = \frac{\sin(h^3)}{h^2}$。
且 $f(0, 0) = 0$。

所以，
$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(h^3)}{h^2} - 0}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^3)}{h^3}$

我們知道 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$。
令 $\theta = h^3$。當 $h \to 0$ 時， $\theta = h^3 \to 0$。
因此，
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^3)}{h^3} = 1$。

核心觀念

本題考查：

• 根式與絕對值的化簡。
• 函數定義域對極限的影響。
• 無窮極限的判定。
• 等價無窮小：當 $x\to 0$ 時，$\sin x\sim x$。
• 對數運算與無窮量級比較。

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解題方法

(a)

考慮

$$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x(x-1)}}{|x-1|}.$$

由於根號內必須非負：

$$2x(x-1)\ge 0.$$

在 $x=1$ 附近，$x>0$，因此必須有 $x-1\ge 0$，也就是函數在 $1$ 的右側才有定義。當 $x>1$ 時，

$$|x-1|=x-1,$$

故

$$\frac{\sqrt{2x(x-1)}}{|x-1|} = \frac{\sqrt{2x(x-1)}}{x-1}.$$

將根式拆開：

$$\sqrt{2x(x-1)}=\sqrt{2x}\sqrt{x-1},$$

因此

$$\frac{\sqrt{2x(x-1)}}{x-1} = \frac{\sqrt{2x}\sqrt{x-1}}{x-1} = \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x-1}}.$$

當 $x\to 1^+$ 時，

$$\sqrt{2x}\to \sqrt{2}, \qquad \sqrt{x-1}\to 0^+.$$

所以

$$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x-1}}\to +\infty.$$

由於原函數在 $1$ 左側沒有鄰近定義點，此處的極限實際上由右側趨近決定，故

$$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x(x-1)}}{|x-1|}=+\infty}.$$

此結果表示無窮極限；若題目要求有限實數極限，則可說有限極限不存在。

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(b)

考慮

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)^2}{\ln(\sin x)}.$$

因為當 $x\to 0^+$ 時，

$$\sin x\sim x,$$

所以

$$\frac{\sin x}{x}\to 1.$$

利用對數性質：

$$\ln(\sin x) = \ln x+\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right).$$

而

$$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\to \ln 1=0.$$

因此

$$\ln(\sin x)=\ln x+o(1).$$

原式可寫成