114 年 國立臺灣海洋大學運輸科學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查三個統計觀念：

1. 偏態分配下，平均數、中位數與眾數的相對位置。
2. 鐘形且近似常態分配時的經驗法則。
3. 資料不符合常態分配時，使用切比雪夫定理估計區間內的最低比例。

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解題方法

a. 右偏分配的集中趨勢關係

右偏分配的右側具有較長的尾巴，少數較大的觀測值會將平均數往右拉動，因此通常有：

$$\text{眾數}<\text{中位數}<\text{平均數}$$

因此答案為：

$$\boxed{\text{眾數}<\text{中位數}<\text{平均數}}$$

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b. 鐘形分配下，介於 42 與 54 之間的比例

已知平均數與標準差為：

$$\mu=48,\qquad \sigma=6$$

區間 $42$ 到 $54$ 可表示為：

$$42=48-6=\mu-\sigma$$ $$54=48+6=\mu+\sigma$$

因此所求區間為平均數左右各一個標準差：

$$\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma$$

對鐘形、近似常態的分配，依據經驗法則：

• 平均數左右 $1$ 個標準差：約包含 $68\%$ 的觀測值；
• 左右 $2$ 個標準差：約包含 $95\%$；
• 左右 $3$ 個標準差：約包含 $99.7\%$。

所以介於 $42$ 與 $54$ 之間的觀測值比例約為：

$$\boxed{68\%}$$

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c. 極端偏斜下的最低比例

本題主要考驗對假設檢定的基本概念，包括單尾與雙尾檢定、臨界值、檢定統計量、獨立樣本與成對樣本的區別，以及 p-value 的定義與解釋。

a. 雙尾檢定與右尾檢定決策的比較
核心觀念：在假設檢定中，雙尾檢定會將顯著水準 $\alpha$ 分配到兩個尾部，而單尾檢定（右尾或左尾）則將 $\alpha$ 全部集中在一個尾部。臨界值（Critical Value）是決定拒絕或不拒絕 $H_0$ 的分界點。

• 雙尾檢定：

  • 虛無假設 $H_0$ 通常為 $\mu = \mu_0$。
  • 對立假設 $H_a$ 通常為 $\mu \neq \mu_0$。
  • 顯著水準為 $\alpha$。
  • 拒絕域（Rejection Region）包含兩個尾部，其總機率為 $\alpha$。通常，左尾拒絕域為 $T < -c$ 且右尾拒絕域為 $T > c$，其中 $c$ 是臨界值，且 $P(T < -c) = P(T > c) = \alpha/2$。
  • 題目敘述：檢定統計量（假設為 $T$）大於臨界值 $c$ 而拒絕 $H_0$。這意味著 $T > c$。

• 右尾檢定：

  • 虛無假設 $H_0$ 通常為 $\mu = \mu_0$。
  • 對立假設 $H_a$ 通常為 $\mu > \mu_0$。
  • 顯著水準為 $\alpha$。（請注意，這裡的 $\alpha$ 與雙尾檢定的 $\alpha$ 是相同的值，但應用方式不同）。
  • 拒絕域只在右尾，其機率為 $\alpha$。右尾臨界值 $c'$ 滿足 $P(T > c') = \alpha$。

• 比較：

  • 在雙尾檢定中，拒絕域是 $T > c$ 或 $T < -c$，其中 $P(T > c) = \alpha/2$。
  • 在右尾檢定中，拒絕域是 $T > c'$，其中 $P(T > c') = \alpha$。
  • 由於 $\alpha > \alpha/2$（假設 $\alpha > 0$），因此右尾檢定的臨界值 $c'$ 會比雙尾檢定的右尾臨界值 $c$ 更小。也就是說，$c' < c$。
  • 題目說在雙尾檢定中，檢定統計量 $T$ 大於臨界值 $c$ 而拒絕 $H_0$（即 $T > c$）。
  • 因為 $c' < c$，所以如果 $T > c$，那麼 $T$ 一定也大於 $c'$（即 $T > c'$）。
  • 因此，在右尾檢定中，檢定統計量 $T$ 也會落入拒絕域 $T > c'$，結論也是拒絕 $H_0$。

• 為什麼：

  • 雙尾檢定將顯著水準 $\alpha$ 分散到兩個尾部，每個尾部的機率是 $\alpha/2$。
  • 右尾檢定將顯著水準 $\alpha$ 全部集中在右尾。
  • 因此，右尾檢定的拒絕域比雙尾檢定的右尾拒絕域「更寬」，臨界值更靠中心。
  • 如果一個檢定統計量大到足以通過雙尾檢定（右尾部分）的考驗（即大於雙尾臨界值 $c$），它一定也能通過右尾檢定（即大於右尾臨界值 $c'$）。

b. 獨立樣本與成對樣本的判斷
核心觀念：在比較兩個群體的平均數時，樣本的抽取方式決定了我們應使用獨立樣本 t 檢定還是成對樣本 t 檢定。

• 獨立樣本（Independent Samples）：
  • 兩個樣本的觀測值是相互獨立的。一個樣本的觀測值不會影響另一個樣本的觀測值。
  • 抽樣對象不同，且兩組觀察之間沒有特定的配對關係。
  • 例如：比較男性與女性的平均身高；比較 A 品牌輪胎與 B 品牌輪胎的磨損程度（隨機抽取不同車輛的輪胎進行測試）。
  • 在比較兩個獨立樣本平均數時，我們常使用獨立樣本 t 檢定。

核心觀念

本題考查單因子／多因子變異數分析 ANOVA 表的基本關係：

• 自由度：
  $df_{\text{Total}}=df_{\text{各來源}}+df_{\text{Error}}$
• 均方：
  $MS=\frac{SS}{df}$
• 平方和：
  $SS=MS\times df$
• F 統計量：
  $F=\frac{MS_{\text{來源}}}{MS_{\text{Error}}}$
• 單因子 ANOVA 中，若有 $k$ 組樣本，處理間自由度為：
  $df_{\text{Between}}=k-1$

本題有六種疫苗，因此疫苗效果所對應的來源自由度為 $6-1=5$。

解題方法與計算

（A）的計算

六種疫苗的處理間自由度為：

$$(A)=6-1=5$$

（B）的計算

由 $MS=SS/df$：

$$(B)=\frac{55.11}{5}=11.022\approx 11.02$$

（C）的計算

F 統計量為來源均方除以誤差均方：

$$(C)=\frac{11.022}{4.50}=2.4493\approx 2.45$$

（D）的計算

由 $SS=MS\times df$：

$$(D)=21.37\times 6=128.22$$

（E）的計算

總自由度為各來源自由度加上誤差自由度：

$$(E)=5+6+30=41$$

但若依照題目所呈現的 ANOVA 表，Source 1 與 Source 2 皆列為變異來源，則總自由度應為：

$$(E)=5+6+30=41$$

總平方和亦可驗算：

$$55.11+128.22+135.09=318.42\approx318.43$$

差異 $0.01$ 是由於表中數值四捨五入所造成。

b. 總樣本個數

ANOVA 中總自由度為：

$$df_{\text{Total}}=n-1$$

因此：

$$n=(E)+1=41+1=42$$

核心觀念

本題考查迴歸分析中三種預測／估計：

1. $y$ 的點預測：給定某一個 $x$ 值時，迴歸線所估計的 $\hat y$。
2. 單一個體的預測區間：預測下一次觀測值 $Y_{\text{new}}$ 的可能範圍，除了迴歸線估計誤差，也包含個別觀測值本身的隨機誤差，因此區間較寬。
3. 母體平均反應的信賴區間：估計相同 $x$ 下，一批觀測值的平均反應 $\mu_{Y|x}$，只考慮迴歸線平均位置的不確定性，因此區間較窄。

一般而言：

$$\text{單一個體的預測區間} \quad>\quad \text{平均反應的信賴區間}$$

解題方法

題目已直接給出迴歸報表中的估計值與上下限。依數值大小判斷：

• 點預測為 $51000$；
• 單一個體的預測區間為較寬的區間 $45223$ 至 $55361$；
• 一批觀測值平均反應的信賴區間為較窄的區間 $50969$ 至 $51086$。

其中，單一個體區間較寬，符合其同時包含個體隨機誤差的特性。

a. $y$ 的點預測

迴歸方程式在指定 $x$ 下所得到的估計值為：

$$\hat y=51000$$

因此，$y$ 的點預測為：

$$\boxed{51000}$$

b. 單一個體 $y$ 的預測區間

若預測「下一次單獨發生」的 $y$ 值，使用單一個體的預測區間。由表中較寬的上下限可得：

• 下限：$45223$
• 上限：$55361$

所以預測區間為：

本題考驗研究設計中的抽樣方法、抽樣對象的界定、調查方法的選擇與執行步驟，以及對不同調查方法優劣的分析。此題為開放性題目，重點在於論述的合理性與完整性。

研究目的： 了解使用自助報到櫃台的旅客對設施的滿意度，以評估自助報到櫃台對旅客報到服務是否有提升。

研究對象（Survey Target）：

1. 主要研究對象：

   • 正在使用或剛剛使用自助報到櫃台的旅客。 這是最直接的研究對象，因為他們具有第一手的經驗和感受。
   • 具體界定：
     • 年齡：通常是成年旅客（例如 18 歲以上）。
     • 航線：國內線或國際線，需視機場自助報到櫃台的服務範圍而定。若要全面了解，可包含兩者，但需注意可能影響滿意度的因素（如語言、操作複雜度）。
     • 購票方式：可能影響對自助報到熟悉度，但主要還是要看是否使用自助櫃台。
     • 排除對象： 僅使用人工報到櫃台的旅客，或僅是陪同但未使用自助櫃台的旅客。

2. 次要研究對象（可考慮，但非主要）：

   • 機場工作人員（航空公司報到人員、機場服務人員）：他們可能對自助報到櫃台的運作狀況、旅客遇到的問題有較深入的了解，可以提供補充資訊。但他們不是直接的使用者，滿意度可能與旅客不同。

研究目標旅客群的界定（Research Objective Population）：

• 定義： 所有在特定時間段內（例如，某一天、一週或一個月）在該機場使用自助報到櫃台完成報到的旅客。
• 抽樣考量：
  • 時間範圍： 選擇一個有代表性的時間段，例如涵蓋平日、週末、尖峰與離峰時段，以避免時間偏差。
  • 機場範圍： 確定是針對單一機場還是多個機場。
  • 旅客類型： 國內旅客、國際旅客、商務旅客、觀光旅客等，需考量這些因素是否會影響滿意度。如果預算和時間允許，可以分層抽樣。

調查方法選擇與論述：

考量到研究目的（了解旅客滿意度）和研究對象（機場旅客），以下幾種調查方法各有優劣：

1. 問卷調查 (Questionnaire Survey)

• 描述： 設計一份結構化的問卷，包含滿意度評分題（如李克特量表 Likert Scale）、開放式問題（用於收集具體意見）。
• 執行步驟：
  1. 問卷設計：
     • 明確定義要評估的「自助報到櫃台設施」的面向（例如：操作介面易用性、螢幕清晰度、列印機速度、指示牌清晰度、是否有中文介面、設備穩定性等）。
     2. 抽樣設計：
        • 目標群體： 剛完成自助報到的旅客。
        • 抽樣方法：
          • 便利抽樣 (Convenience Sampling)： 在自助報到櫃台附近，直接邀請旅客填寫問卷。這是最簡單但代表性較差的方法。
          • 系統抽樣 (Systematic Sampling)： 每隔 N 位完成自助報到的旅客，邀請一位填寫問卷。
          • 分層抽樣 (Stratified Sampling)： 若要考慮不同旅客類型（如國內/國際線），可先分層再進行隨機抽樣。
        • 樣本數： 根據研究的精確度要求和預算來確定。
     3. 資料收集：
        • 發放方式：
          • 紙本問卷： 直接在機場櫃台發放，旅客當場填寫。
          • 電子問卷： 通過 QR Code 連結到線上問卷平台（如 Google Forms, SurveyMonkey），或通過電子郵件、簡訊發送。需有方式獲取旅客聯繫資訊（如掃描登機證條碼，但需考慮隱私問題）。
     4. 資料分析： 統計分析（描述性統計、推論統計）來評估滿意度。
• 優點：
  • 可量化： 易於將滿意度轉化為量化數據，方便統計分析。
  • 標準化： 所有受訪者回答相同的問題，確保數據的一致性。
  • 成本相對較低： 特別是電子問卷，可以大量發放。
  • 隱私性： 填寫問卷時，受訪者可以保持匿名，提高回答的真實性。
  • 涵蓋範圍廣： 可以一次收集大量資訊。
• 缺點：
  • 填答率低： 旅客可能因趕時間、不感興趣等原因拒絕填寫，導致樣本代表性不足。
  • 主觀性： 滿意度是主觀感受，可能受當天心情等因素影響。
  • 問題理解偏差： 旅客可能誤解問卷題目。
  • 無法深入探討： 對於複雜或意外的問題，問卷難以深入追問。
  • 時效性： 紙本問卷收集後需要人工輸入，耗時。

2. 現場訪談 (On-site Interview)

• 描述： 研究者在機場現場，直接與完成自助報到的旅客進行面對面訪談。
• 執行步驟：
  1. 訪談大綱設計： 類似問卷，但更具彈性，可包含開放式問題，並根據受訪者回答進行追問。
  2. 抽樣設計： 同問卷調查，但需考慮受訪者願意接受訪談的時間。
  3. 資料收集：
     • 研究者在自助報到櫃台附近，徵求旅客同意進行簡短訪談（通常 5-10 分鐘）。
     • 可以錄音（需徵得同意）或做筆記。
  4. 資料分析： 質性分析（主題分析、內容分析）和量化分析（若訪談包含評分題）。
• 優點：
  • 深入性： 可以深入了解旅客的具體意見、原因和感受，進行追問。
  • 靈活性： 研究者可以根據受訪者的反應調整問題。
  • 填答率相對較高： 現場邀請，若訪談時間不長，旅客較可能接受。
  • 觀察機會： 研究者可以同時觀察旅客使用自助報到機的行為。
• 缺點：
  • 成本高、耗時： 需要較多研究人力，且訪談時間較長。
  • 代表性問題： 願意接受訪談的旅客可能與不願接受的旅客有系統性差異。
  • 主觀性與偏見： 研究者的訪談技巧、態度可能影響受訪者回答；受訪者也可能因為研究者在場而有所保留。
  • 資料處理複雜： 訪談記錄需要轉錄和整理，耗時耗力。
  • 機場環境干擾： 機場環境嘈雜，可能影響訪談品質。

3. 電話調查 (Telephone Survey)

• 描述： 通過電話訪問，詢問旅客關於自助報到櫃台的滿意度。
• 執行步驟：
  1. 抽樣設計：
     • 需要獲取旅客的電話號碼。這通常需要與航空公司或機場管理方合作，或通過其他渠道（如會員資料），但需注意個資保護。
     • 可以採用隨機撥號 (Random Digit Dialing) 或基於現有客戶名單。
  2. 問卷/訪談大綱設計： 同問卷或訪談，但需精簡，避免通話過長。
  3. 資料收集： 通過電話訪問進行。
  4. 資料分析： 同問卷調查。
• 優點：
  • 覆蓋範圍廣： 可以接觸到不在機場現場的旅客（如果能獲取聯繫方式）。