108 年 國立臺灣海洋大學運輸科學系碩士班《統計學》

此題主要在考察統計學在實際情境中的應用，特別是如何設計研究來分析消費者行為。題目分為兩個部分，第一部分是關於低成本航空對「全國」消費者行為的影響，第二部分則擴展到「亞洲各國」消費者。

核心觀念： 研究設計、變數定義、抽樣方法、假設檢定、統計推論。

解題思路：

第一部分：了解低成本航空對「全國」消費者搭機選擇行為是否有改變，以及是否有吸引力

1. 釐清研究目的：

   • 研究目的 1：了解低成本航空發展後，消費者搭機選擇行為「是否改變」。這意味著需要比較「現在」與「過去」的行為。
   • 研究目的 2：了解低成本航空是否對消費者「有吸引力」。這需要衡量消費者對低成本航空的偏好或實際選擇情況。

2. 定義變數 (Variables)：

   • 依變數 (Dependent Variables)： 消費者搭機選擇行為。這可以量化為：
     • 搭乘低成本航空的頻率或比例。
     • 選擇低成本航空的原因（如價格、時間、服務等）。
     • 對不同航空公司的偏好程度。
     • 平均每次搭機的花費。
   • 自變數 (Independent Variables)：
     • 是否為低成本航空。
     • 過去的搭機選擇行為（用於比較）。
     • 消費者個人特徵（年齡、收入、職業、居住地等），以了解不同族群的差異。
     • 對低成本航空的態度、認知（如安全、舒適度、服務品質的評價）。
   • 控制變數 (Control Variables)： 影響搭機選擇的其他因素，如經濟狀況、旅遊目的（商務/休閒）、季節等。

3. 設計抽樣方法 (Sampling Method)：

   • 母體 (Population)： 全國的潛在或實際搭機旅客。
   • 抽樣架構 (Sampling Frame)： 根據研究目的，可能需要包含過去有搭機經驗的旅客。可以考慮從航空公司會員名單、旅遊網站會員名單、或是透過電話/網路隨機抽樣來建構抽樣架構。
   • 抽樣方法：
     • 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling)： 從抽樣架構中隨機抽取樣本，確保每個樣本被選中的機率相等。
     • 分層抽樣 (Stratified Sampling)： 將母體依某些特徵（如收入、地區）分層，然後從每層中隨機抽取樣本。這有助於確保各層的代表性，特別是當某些族群的搭機行為差異較大時。
     • 集群抽樣 (Cluster Sampling)： 如果抽樣架構難以取得，可以先隨機抽取地理區域（集群），然後在這些區域內進行抽樣。
     • 配額抽樣 (Quota Sampling)： 在非隨機抽樣方法中，為了確保樣本的結構與母體相似，設定各類別的配額（如年齡、性別比例），然後非隨機地填補。
   • 樣本大小 (Sample Size)： 根據所需信賴水準、誤差範圍以及母體變異數來計算，通常會需要較大的樣本量才能進行有意義的推論。

4. 數據收集方法 (Data Collection Method)：

   • 問卷調查 (Questionnaire Survey)： 這是最常見的方法，可以透過線上問卷、電話訪問、面訪等方式進行。問卷內容需包含上述定義的變數。
   • 訪談 (Interviews)： 對於更深入的了解，可以進行深度訪談，特別是針對特定消費者群體。
   • 觀察法 (Observation)： 觀察旅客在機場的行為，但這較難區分是低成本航空還是傳統航空的旅客。
   • 次級資料分析 (Secondary Data Analysis)： 分析現有的市場報告、航空公司數據（若可取得）等。

5. 統計分析方法 (Statistical Analysis Method)：

   • 描述性統計 (Descriptive Statistics)： 計算樣本的平均數、中位數、標準差、比例等，描述消費者的基本情況和行為特徵。
   • 推論性統計 (Inferential Statistics)：
     • 比較過去與現在的行為：
       • 若行為是連續變數（如搭機花費、搭機頻率），可使用獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test) 或配對樣本 t 檢定 (Paired Samples t-test)，或非參數檢定（如 Wilcoxon 秩和檢定）來比較不同時間點的平均值。
       • 若行為是類別變數（如選擇低成本航空的比例），可使用卡方檢定 (Chi-square test) 來比較比例是否有差異。
     • 評估吸引力：
       • 比例檢定 (Proportion Test)： 檢定選擇低成本航空的比例是否顯著高於某個預設值（例如，若認為吸引力是指超過 50% 的旅客選擇）。
       • 迴歸分析 (Regression Analysis)： 建立模型，分析消費者個人特徵（自變數）如何影響其選擇低成本航空的機率或偏好程度（依變數）。例如，邏輯迴歸 (Logistic Regression) 可用於預測選擇低成本航空的機率。
       • 因素分析 (Factor Analysis) / 主成分分析 (Principal Component Analysis)： 探索影響消費者選擇低成本航空的關鍵因素。

6. 假設檢定 (Hypothesis Testing)：

   • 假設設定：
     • 針對「行為改變」：

此題在考察中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用，以及為何在統計推論中，我們常假設樣本統計量（如樣本均數、比例）服從常態分配。

核心觀念： 中央極限定理，大數法則。

詳解：

樣本統計量（如樣本均數、樣本比例）的抽樣分配近似常態的主要理由是中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)。

1. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)：

   • 定理內容： 無論原始母體的機率分配為何（只要其平均數 $\mu$ 和變異數 $\sigma^2$ 存在），當我們從母體中抽取足夠大的隨機樣本（通常樣本大小 $n \ge 30$ 被認為足夠大），則這些樣本統計量的抽樣分配（例如樣本均數 $\bar{X}$ 的分配）將近似於一個常態分配 (Normal Distribution)。
   • 樣本均數 ($\bar{X}$) 的抽樣分配：
     • 平均數：$\mu_{\bar{X}} = E(\bar{X}) = \mu$ (母體平均數)。
     • 變異數：$\sigma^2_{\bar{X}} = Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ (母體變異數除以樣本大小)。
     • 標準差（標準誤）：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
     • 根據 CLT，當 $n$ 足夠大時，$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。

2. 樣本比例 ($P$) 的抽樣分配：

   • 樣本比例可以看作是二元變數（成功/失敗，是/否）的樣本均數。如果母體中的比例為 $p$，我們可以將其視為一個伯努利分配的平均值。
   • 當樣本大小 $n$ 足夠大，且 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$（或有時使用 $np \ge 10$ 和 $n(1-p) \ge 10$ 作為更嚴格的條件），則樣本比例 $P$ 的抽樣分配近似於常態分配。
   • 平均數：$\mu_P = E(P) = p$ (母體比例)。
   • 變異數：$\sigma^2_P = Var(P) = \frac{p(1-p)}{n}$。
   • 標準差（標準誤）：$\sigma_P = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。
   • 根據 CLT，當條件滿足時，$P \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n})$。

此題在考察對假設檢定基本概念的掌握程度。假設檢定是統計推論的核心方法之一，用於判斷樣本資料是否足以支持某個關於母體參數的陳述。

核心觀念： 假設檢定流程中的關鍵組成要素。

詳解：

假設檢定的五個重要觀念可以從其核心構成要素來理解：

1. 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$) (Null Hypothesis and Alternative Hypothesis)：

   • 虛無假設 ($H_0$)： 這是我們希望在檢定中「推翻」或「拒絕」的陳述。它通常代表「沒有效果」、「沒有差異」、「沒有關聯」或「現狀」的狀態。例如，$H_0: \mu = \mu_0$ （母體平均數等於某個特定值）。
   • 對立假設 ($H_1$ 或 $H_a$)： 這是我們希望透過樣本證據來「支持」的陳述。它通常代表我們感興趣的「有效果」、「有差異」、「有關聯」或「現狀改變」的狀態。對立假設可以是單邊的（如 $H_1: \mu > \mu_0$ 或 $H_1: \mu < \mu_0$）或雙邊的（如 $H_1: \mu \neq \mu_0$）。
   • 重要性： 這兩個假設是互斥且窮盡的，構成了一個完整的決策框架。

2. 檢定統計量 (Test Statistic)：

   • 定義： 這是根據樣本資料計算出來的一個數值，用來衡量樣本數據與虛無假設之間的一致性程度。
   • 作用： 它將樣本數據轉換成一個標準化的分數，這個分數的抽樣分配在虛無假設為真時是已知的。
   • 例子： 在檢定母體平均數時，常用的檢定統計量有 z 統計量（當母體標準差已知或樣本量很大時）或 t 統計量（當母體標準差未知且樣本量不大時）。
   • 重要性： 檢定統計量是連接樣本數據與決策規則的橋樑。

3. 顯著水準 ($\alpha$) 與拒絕區域 (Significance Level and Rejection Region)：

   • 顯著水準 ($\alpha$)：
     • 定義： 在虛無假設為真時，我們錯誤地拒絕它的機率，即第一類錯誤 (Type I Error) 的機率上限。
     • 常見值： 通常設定為 0.05 (5%)、0.01 (1%) 或 0.10 (10%)。
     • 重要性： 它決定了我們對證據的要求有多嚴格。$\alpha$ 越小，拒絕 $H_0$ 的門檻越高。
   • 拒絕區域 (Rejection Region)：
     • 定義： 檢定統計量取值範圍的集合，當檢定統計量落入此範圍時，我們將拒絕虛無假設 $H_0$。
     • 確定方式： 根據選定的顯著水準 $\alpha$ 和檢定統計量的抽樣分配來確定。
   • 重要性： 這是做出決策的「臨界點」。

4. p 值 (p-value)：

   • 定義： 在虛無假設為真時，觀察到樣本數據（或比樣本數據更極端的數據）的機率。

核心觀念

本題考查：

1. 估計量的不偏性。
2. 估計量的變異數與效率。
3. 母體平均數的單一樣本 $t$ 檢定。
4. 樣本變異數的計算：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2-n\bar X^2}{n-1}$$

由於母體變異數未知，且樣本數為 $n=100$，故使用自由度為 $99$ 的 $t$ 分配。

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(a) 估計量的選擇

兩個估計量為

$$\bar X_1=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}, \qquad \bar X_2=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}x_i}{n-1}.$$

設母體平均處理時間為 $\mu$，母體變異數為 $\sigma^2$，且各旅客的處理時間為來自同一母體的隨機樣本。

對 $\bar X_1$ 而言：

$$E(\bar X_1) =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i) =\mu.$$

因此，$\bar X_1$ 是 $\mu$ 的不偏估計量。

對 $\bar X_2$ 而言：

$$E(\bar X_2) =E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i\right) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}E(X_i) =\mu.$$

因此，$\bar X_2$ 也是 $\mu$ 的不偏估計量。

不過，兩者的變異數分別為

$$\operatorname{Var}(\bar X_1)=\frac{\sigma^2}{n},$$

以及

$$\operatorname{Var}(\bar X_2)=\frac{\sigma^2}{n-1}.$$

因為

$$\frac{\sigma^2}{n}<\frac{\sigma^2}{n-1},$$

所以 $\bar X_1$ 的變異數較小，估計結果較穩定，統計效率較高。此外，$\bar X_1$ 使用全部 $n$ 位旅客的資料，沒有浪費最後一筆觀察值。

本題中

$$\bar X_1=\frac{25,000}{100}=250\text{ 秒}.$$

**結論：**建議使用 $\bar X_1$。兩者皆為不偏估計量，但 $\bar X_1$ 使用完整樣本，且具有較小的變異數，因此是較有效率的估計量。

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(b) 檢定航空公司的平均處理時間宣稱

航空公司宣稱平均處理時間為 $255$ 秒，因此建立假設：

$$H_0:\mu=255$$ $$H_1:\mu\ne255$$

這是雙尾檢定，顯著水準為

$$\alpha=0.05.$$

樣本資訊為