113 年 國立臺灣海洋大學運輸科學系碩士班《統計學》

本題主要在考察統計學中衡量兩個變數之間線性關係的三個重要指標：共變異數、相關係數與判定係數。理解它們的定義、計算方式以及彼此之間的關聯性是掌握資料分析基礎的關鍵。

核心觀念：

• 共變異數 (Covariance)：衡量兩個隨機變數一起變動的程度。
• 相關係數 (Coefficient of Correlation)：標準化後的共變異數，不受變數單位影響，取值範圍為 [-1, 1]。
• 判定係數 (Coefficient of Determination)：相關係數的平方，表示一個變數能被另一個變數解釋的比例。

詳解：

1. 共變異數 (Covariance)

• 定義：共變異數是衡量兩個隨機變數 $X$ 和 $Y$ 之間線性關係的指標。它表示當一個變數增加時，另一個變數平均而言是增加還是減少。

  • 對於離散隨機變數：$\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = \sum_{i} \sum_{j} (x_i - \mu_X)(y_j - \mu_Y)P(X=x_i, Y=y_j)$
  • 對於連續隨機變數：$\text{Cov}(X, Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])(y - E[Y])f(x, y) dx dy$
  • 樣本共變異數：$\text{cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

• 解釋：

  • 如果 $\text{Cov}(X, Y) > 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 傾向於同向變動（一個增加，另一個也傾向於增加）。
  • 如果 $\text{Cov}(X, Y) < 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 傾向於反向變動（一個增加，另一個傾向於減少）。
  • 如果 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，表示 $X$ 和 $Y$ 之間沒有線性關係（但仍可能存在非線性關係）。

• 限制：共變異數的值會受到 $X$ 和 $Y$ 的尺度（單位）影響，因此難以直接比較不同變數對之間的線性關係強度。

2. 相關係數 (Coefficient of Correlation)

• 定義：相關係數（通常指皮爾森積矩相關係數, Pearson's product-moment correlation coefficient, $r$ 或 $\rho$）是將共變異數標準化後的結果，使其不受變數的尺度影響。
  • $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

本題主要考察離散型隨機變數卜瓦松分配 (Poisson distribution) 和連續型隨機變數指數分配 (Exponential distribution) 的基本性質與應用。

核心觀念：

• 卜瓦松分配：常用來模擬在固定時間或空間間隔內，發生某事件的次數。其參數 $\lambda$ 代表平均發生率。
• 指數分配：常用來模擬兩個連續事件發生之間的時間間隔，或第一次事件發生的時間。其參數 $\lambda$ 代表平均發生率（與卜瓦松分配的 $\lambda$ 意義相同，但應用在時間上）。

詳解：

題目給定「每5分鐘來店人數為10人」。這表示在一個 5 分鐘的區間內，平均有 10 人來店。

a. 設 X 為卜瓦松分配隨機變數, 以每5分鐘為單位, 請問平均數為何?

• 觀念：卜瓦松分配的參數 $\lambda$ 代表在指定的時間或空間單位內，事件發生的平均次數。
• 應用：題目直接告訴我們，在「每5分鐘」這個時間單位內，平均來店人數是 10 人。因此，對於以 5 分鐘為單位的卜瓦松分配 $X$，其平均數（期望值）就是 10。
• 數學表示：如果 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$，則 $E[X] = \lambda$。
• 結論：本題設定的隨機變數 $X$ 是以「每5分鐘」為單位，且平均人數為 10，所以 $\lambda = 10$。
• 【答案】平均數為 10。

b. P(X>=2) 代表含義為何?

• 觀念：$P(X \ge 2)$ 是計算隨機變數 $X$ 的值大於或等於 2 的機率。
• 應用：在「每5分鐘」這個時間單位內，來店人數 $X$ 大於或等於 2 的機率。
• 含義解釋：這代表在任一連續的 5 分鐘時間區間內，來店的人數至少有 2 人（即 2 人、3 人、4 人...）的機率。
• 計算提示：雖然題目未要求計算，但若要計算，通常會用補集的概念：$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$。其中 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$。

本題主要考察統計檢定的基本概念，包括型一誤差、型二誤差、單尾檢定與雙尾檢定的關係，以及 P-value 的判讀。

核心觀念：

• 統計檢定：一種用於根據樣本數據來判斷關於母體參數的假設是否成立的方法。
• 虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)：統計檢定總是有兩個互斥的假設。
• 型一誤差 (Type I Error)：當虛無假設 $H_0$ 為真時，卻拒絕了 $H_0$。
• 型二誤差 (Type II Error)：當虛無假設 $H_0$ 為偽時（即對立假設 $H_1$ 為真時），卻未能拒絕 $H_0$。
• P-value：在虛無假設 $H_0$ 為真的前提下，觀察到樣本結果或比樣本結果更極端的機率。
• 顯著水準 ($\alpha$)：在統計檢定中，預先設定的型一誤差的最大可容忍機率。通常 $\alpha$ 會與 P-value 比較來做決策。
• 單尾檢定與雙尾檢定：根據對立假設 $H_1$ 的方向性來區分。

詳解：

a. 某路口檢定闖紅燈之機率P如下,請問何種情況下會發生型I誤差
$H_0: P=0.1$
$H_1: P>0.1$

• 定義回顧：型一誤差發生在當虛無假設 ($H_0$) 為真時，但我們卻基於樣本證據拒絕了它。
• 應用：
  • 在此題中，虛無假設 $H_0$ 是「該路口的闖紅燈機率為 0.1」。
  • 對立假設 $H_1$ 是「該路口的闖紅燈機率大於 0.1」。
  • 我們在進行統計檢定時，是根據抽樣來的數據來判斷是否拒絕 $H_0$。
  • 因此，型一誤差發生在「實際上該路口的闖紅燈機率確實是 0.1 (即 $H_0$ 為真)」，但根據抽樣數據計算出來的檢定結果，我們卻「錯誤地」認為機率大於 0.1，而拒絕了 $H_0$。
• 【答案】當實際上該路口的闖紅燈機率為 0.1 (即 $H_0$ 為真) 時，但根據樣本數據的檢定結果，我們錯誤地拒絕了 $H_0$，認為機率大於 0.1。

b. 倘若一檢定問題在雙尾檢定時,結論是拒絕Ho,則在單尾檢定時(其他條件不變),結論是否亦是拒絕Ho?為什麼?

• 核心概念：雙尾檢定與單尾檢定的臨界值（或 P-value 的判讀範圍）不同。在相同的顯著水準 $\alpha$ 下，雙尾檢定的拒絕域會被分成兩邊，而單尾檢定則將整個顯著水準 $\alpha$ 集中在某一邊。
• 分析：
  1. 雙尾檢定：假設檢定為 $H_0: \mu = \mu_0$ 對 $H_1: \mu \ne \mu_0$。拒絕域通常是 $|T| > c$（其中 $T$ 是檢定統計量，$c$ 是臨界值）。如果結論是拒絕 $H_0$，表示觀察到的檢定統計量 $T_{obs}$ 落在拒絕域，即 $|T_{obs}| > c$。這意味著 $T_{obs} > c$ 或 $T_{obs} < -c$。
  2. 單尾檢定：
     • 情況一：如果原來的雙尾檢定中的 $H_1$ 是單邊方向的（例如 $H_1: \mu > \mu_0$）：
       • 在這種情況下，單尾檢定的拒絕域是 $T > c'$。
       • 我們知道雙尾檢定的臨界值 $c$ 是基於 $P(|T| > c) = \alpha$ 確定的。
       • 而單尾檢定 $H_1: \mu > \mu_0$ 的臨界值 $c'$ 是基於 $P(T > c') = \alpha$ 確定的。
       • 由於 $|T| > c$ 包含 $T > c$ 和 $T < -c$，而 $T > c'$ 僅包含 $T > c'$。
       • 如果 $|T_{obs}| > c$ 成立，則 $T_{obs} > c$ 或 $T_{obs} < -c$。
       • 如果 $T_{obs} > c$，那麼由於 $c'$ 通常會比 $c$ 小（因為 $\alpha$ 分攤了），所以 $T_{obs} > c'$ 也很可能成立。
       • 更嚴謹的說法：在相同的 $\alpha$ 下，對於右單尾檢定 $H_1: \mu > \mu_0$，其臨界值 $c'$ 會小於雙尾檢定 $H_1: \mu \ne \mu_0$ 的右側臨界值 $c$。因此，如果 $T_{obs} > c$，那麼 $T_{obs}$ 也一定大於 $c'$。
       • 結論：如果雙尾檢定拒絕 $H_0$ 且檢定統計量落入右尾（$T_{obs} > c$），則在右單尾檢定中也一定會拒絕 $H_0$。
     • 情況二：如果原來的雙尾檢定中的 $H_1$ 是另一個單邊方向的（例如 $H_1: \mu < \mu_0$）：
       • 單尾檢定的拒絕域是 $T < c''$。

本題要求針對「區間測速前後駕駛人開車行為改變」此一主題，提出不同的抽樣調查方法，並分析其優劣、潛在錯誤及未顯露資訊。這是一個結合統計學方法論與實際應用情境的問題。

核心觀念：

• 研究設計：如何規劃實驗或調查以回答特定研究問題。
• 抽樣方法：從母體中選取樣本的各種技術。
• 前後測設計 (Before-and-After Study)：一種常見的研究設計，用於評估某項介入措施的效果。
• 偏差 (Bias)：系統性地偏離真實值的誤差。
• 效度 (Validity)：測量結果的準確性。

詳解：

針對「交通部針對區間測速使用前後對行車安全提升進行調查，若想了解駕駛人開車行為是否有改變」，我們可以提出以下幾種抽樣調查方法：

方法一：前後測對照設計 (Before-and-After Study with Control Group)

• 說明：這是最嚴謹、最能建立因果關係的方法。

  1. 選取對照組與實驗組：
     • 實驗組 (Intervention Group)：選取在某特定區域（例如某條公路）實施區間測速的駕駛人樣本。
     • 對照組 (Control Group)：選取在另一個類似條件但未實施區間測速的區域（或在實施區間測速前）的駕駛人樣本。
  2. 收集數據：
     • 在實施區間測速之前，分別對實驗組和對照組的駕駛人收集開車行為數據（例如平均車速、車距、急煞車次數、變換車道頻率等）。
     • 在實施區間測速之後一段時間，再次對兩組駕駛人收集相同的開車行為數據。
  3. 比較分析：比較實驗組「實施後」與「實施前」的行為改變，並與對照組的行為改變進行比較。若實驗組的行為改變（朝向更安全的方向）顯著大於對照組，則可推論區間測速有正面效果。

• 優點：

  • 建立因果關係：透過對照組，可以排除其他可能影響駕駛行為的因素（如季節變化、油價變動、交通流量增加等），更確信觀察到的改變是由區間測速引起的。
  • 控制潛在偏差：能更好地控制時間趨勢偏差 (time-trend bias)。

• 缺點：

  • 執行困難：尋找完全對比且條件相似的「未實施區間測速」的對照區域可能很困難。
  • 成本較高：需要收集兩組在兩個時間點的數據。
  • 樣本選擇偏差：如果實驗組和對照組的駕駛人特質（如年齡、經驗、風險偏好）有系統性差異，仍會產生偏差。

• 調查時可能犯的錯誤或未顯露資訊：

  • 錯誤：
    • 樣本選擇偏差 (Selection Bias)：實驗組和對照組的駕駛人本身就存在差異。
    • 測量偏差 (Measurement Bias)：前後測的數據收集方法不一致。
    • 歷史事件偏差 (History Bias)：在前後測期間，除了區間測速外，還發生了其他重大事件（如事故頻傳導致民眾自發性減速），影響了結果。
    • 成熟偏差 (Maturation Bias)：駕駛人隨著時間自然而然地改變駕駛行為，不一定與區間測速有關。
  • 未顯露資訊：
    • 駕駛人對區間測速的認知與態度：他們是真的認為安全而減速，還是僅為了避免罰單？這種動機差異可能影響行為的持久性。
    • 「僥倖心理」的駕駛人：對於那些利用其他方法（如提前告知、規避）來應對區間測速的駕駛人，其行為模式可能未被真實反映。
    • 長期行為改變：初期數據可能受「新措施」效應影響，長期行為是否能維持仍是未知。

方法二：趨勢分析 (Trend Analysis / Interrupted Time Series Analysis)

• 說明：此方法不依賴對照組，而是透過分析單一地點（實施區間測速的區域）在實施措施前後的長時間數據趨勢來評估效果。

  1. 數據收集：在實施區間測速之前，收集該區域長時間（例如數月至數年）的駕駛行為數據（平均車速、事故率、違規率等）。
  2. 實施介入：開始實施區間測速。
  3. 持續收集數據：在實施區間測速之後，繼續收集相同類型的駕駛行為數據，同樣涵蓋一段足夠長的時間。
  4. 分析趨勢：使用統計模型（如時間序列分析，特別是中斷時間序列分析 ARIMA, regression with time series errors）來比較實施措施前後數據趨勢的「截斷點」（interruption point）和「斜率」變化。

• 優點：

  • 無需對照組：適用於難以找到合適對照組的情況。
  • 捕捉長期效應：可以觀察到行為改變是否隨時間穩定。
  • 排除時間趨勢：可以較好地控制隨著時間自然發生的變化。

• 缺點：

  • 易受同時發生事件影響：如果在實施區間測速前後，還發生了其他可能影響駕駛行為的事件，則難以區分是哪個事件造成了改變。