113 年 國立臺灣海洋大學運輸科學系碩士班《微積分》

本題要求使用導數的定義來計算函數 $f(x) = 2x^2 - 5x$ 的導數。

導數的定義為：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

首先，我們計算 $f(x+h)$：
$f(x+h) = 2(x+h)^2 - 5(x+h) = 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5x - 5h = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 5x - 5h$

接著，計算 $f(x+h) - f(x)$：
$f(x+h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 - 5x - 5h) - (2x^2 - 5x)$

本題要求找出函數 $f(x) = \frac{x^3-2}{|x|^3+1}$ 的水平漸近線。水平漸近線是當 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 時，函數值的極限。

我們需要分別考慮 $x \to \infty$ 和 $x \to -\infty$ 的情況。

情況一：當 $x \to \infty$
此時 $x > 0$，所以 $|x| = x$。
$f(x) = \frac{x^3-2}{x^3+1}$
計算極限：
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-2}{x^3+1}$
為了計算此極限，我們將分子和分母同時除以 $x^3$（最高次項）：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{2}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}$
當 $x \to \infty$ 時，$\frac{2}{x^3} \to 0$ 且 $\frac{1}{x^3} \to 0$。
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{1-0}{1+0} = 1$

本題要求計算複合函數 $y = \tan^2(\sin^3 t)$ 對 $t$ 的導數 $dy/dt$。我們需要使用連鎖律 (Chain Rule)。

令 $u = \sin^3 t$，$v = \tan u$。則 $y = v^2$。
根據連鎖律，$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dt}$。

我們逐項計算各個導數：

1. 計算 $\frac{dy}{dv}$：
   $y = v^2$
   $\frac{dy}{dv} = 2v$

2. 計算 $\frac{dv}{du}$：
   $v = \tan u$
   $\frac{dv}{du} = \sec^2 u$

3. 計算 $\frac{du}{dt}$：
   $u = \sin^3 t = (\sin t)^3$
   使用連鎖律，令 $w = \sin t$，則 $u = w^3$。
   $\frac{du}{dw} = 3w^2$
   $\frac{dw}{dt} = \cos t$

本題要求計算多元函數 $f(x, y) = x \cos y + y e^x$ 的所有二階偏導數。

首先，我們需要計算一階偏導數。

1. 對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}$：
   將 $y$ 視為常數。
   $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x \cos y) + \frac{\partial}{\partial x}(y e^x) = \cos y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) + y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^x)$
   $\frac{\partial f}{\partial x} = \cos y \cdot 1 + y \cdot e^x = \cos y + y e^x$

2. 對 $y$ 的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial y}$：
   將 $x$ 視為常數。
   $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x \cos y) + \frac{\partial}{\partial y}(y e^x) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\cos y) + e^x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y)$
   $\frac{\partial f}{\partial y} = x (-\sin y) + e^x \cdot 1 = -x \sin y + e^x$

接下來，我們計算二階偏導數。根據克萊若定理 (Clairaut's Theorem)，如果二階偏導數在某區域連續，則混合偏導數相等，即 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$。

3. 計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$：
   這是對 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 再對 $x$ 求偏導數。
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(\cos y + y e^x)$
   將 $y$ 視為常數。
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\cos y) + y \frac{\partial}{\partial x}(e^x) = 0 + y e^x = y e^x$

4. 計算 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$：
   這是對 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 對 $y$ 求偏導數。

本題要求計算瑕積分 $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}$.
此積分是瑕積分，因為積分區間 $[0, 2]$ 包含一個奇點，即當 $x=1$ 時，分母 $\sqrt{|x-1|}$ 的值為 0。
因此，我們需要將積分拆分成兩部分，並使用極限來處理奇點：
$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}} + \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}$

對於第一個積分 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{|x-1|}}$：
在區間 $[0, 1)$ 上，$x-1 < 0$，所以 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$。
$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \lim_{b \to 1^-} \int_0^b \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$
令 $u = 1-x$，則 $du = -dx$。當 $x=0$ 時，$u=1$；當 $x=b$ 時，$u=1-b$。
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \int \frac{-du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-1/2} du = -2u^{1/2} = -2\sqrt{1-x}$
所以，

本題要求計算定積分 $\int_0^{\pi/4} \sqrt{1+\cos 4x} \, dx$.

我們需要使用三角恆等式來簡化被積函數。
回憶半角公式：$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$。
令 $2\theta = 4x$，則 $\theta = 2x$。
所以，$1+\cos 4x = 2\cos^2(2x)$。

因此，被積函數 $\sqrt{1+\cos 4x}$ 可以寫成：
$\sqrt{1+\cos 4x} = \sqrt{2\cos^2(2x)} = \sqrt{2} |\cos(2x)|$

現在我們需要考慮積分區間 $[0, \pi/4]$。
在區間 $[0, \pi/4]$ 上，$2x$ 的範圍是 $[0, \pi/2]$。
在 $[0, \pi/2]$ 這個範圍內，餘弦函數 $\cos(2x)$ 是非負的。
所以，$|\cos(2x)| = \cos(2x)$。

本題要求計算不定積分 $\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+9}} \, dx$.
這是一個包含 $\sqrt{x^2+a^2}$ 型式的積分，我們可以使用三角代換來解決。
令 $x = 3 \tan \theta$。
則 $dx = 3 \sec^2 \theta \, d\theta$。
$\sqrt{x^2+9} = \sqrt{(3 \tan \theta)^2+9} = \sqrt{9 \tan^2 \theta+9} = \sqrt{9(\tan^2 \theta+1)} = \sqrt{9 \sec^2 \theta} = 3 |\sec \theta|$。
假設 $\theta$ 在區間 $(-\pi/2, \pi/2)$，則 $\sec \theta > 0$，所以 $\sqrt{x^2+9} = 3 \sec \theta$。

將代換代入積分式：
$\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+9}} \, dx = \int \frac{1}{(3 \tan \theta)^2 (3 \sec \theta)} (3 \sec^2 \theta \, d\theta)$
$= \int \frac{3 \sec^2 \theta}{9 \tan^2 \theta \cdot 3 \sec \theta} \, d\theta = \int \frac{3 \sec^2 \theta}{27 \tan^2 \theta \sec \theta} \, d\theta$
$= \frac{1}{9} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \, d\theta$

現在我們將 $\sec \theta$ 和 $\tan \theta$ 用 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 表示：
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

本題要求計算在給定矩形區域 $R$ 上的二重積分 $\iint_R e^{x+2y} \, dA$。
區域 $R$ 由 $0 \leq x \leq \ln 3$ 和 $1 \leq y \leq \ln 2$ 定義，這是一個矩形區域。
對於這種矩形區域上的積分，我們可以將二重積分拆解為兩個單獨的定積分的乘積。

$\iint_R e^{x+2y} \, dA = \int_0^{\ln 3} \int_1^{\ln 2} e^{x+2y} \, dy \, dx$

首先，我們計算內層積分 $\int_1^{\ln 2} e^{x+2y} \, dy$。在這裡，我們將 $x$ 視為常數。
$\int_1^{\ln 2} e^{x+2y} \, dy = e^x \int_1^{\ln 2} e^{2y} \, dy$
$= e^x \left[ \frac{1}{2} e^{2y} \right]_1^{\ln 2}$
$= e^x \left( \frac{1}{2} e^{2\ln 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1} \right)$
$= e^x \left( \frac{1}{2} e^{\ln(2^2)} - \frac{1}{2} e^2 \right)$
$= e^x \left( \frac{1}{2} e^{\ln 4} - \frac{1}{2} e^2 \right)$
$= e^x \left( \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} e^2 \right)$
$= e^x \left( 2 - \frac{1}{2} e^2 \right)$

本題要求繪製函數 $f(x) = 2x - 3x^{2/3}$ 的圖形，並依據指定的步驟進行分析。

核心觀念： 繪製函數圖形通常需要分析函數的定義域、漸近線、一階導數（增減性、極值）、二階導數（凹凸性、反曲點）等資訊。

(a) 識別定義域和漸近線

• 定義域 (Domain):
  函數 $f(x) = 2x - 3x^{2/3}$ 中的 $2x$ 部分定義域為所有實數。$x^{2/3} = (x^2)^{1/3} = \sqrt[3]{x^2}$，其定義域也是所有實數。因此，函數 $f(x)$ 的定義域為所有實數，即 $(-\infty, \infty)$。

• 漸近線 (Asymptotes):

  • 垂直漸近線： 由於定義域是 $(-\infty, \infty)$，不存在垂直漸近線。
  • 水平漸近線： 我們需要計算 $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$。
    $\lim_{x \to \infty} (2x - 3x^{2/3})$
    當 $x \to \infty$ 時，$2x$ 的增長速度快於 $3x^{2/3}$（因為 $1 > 2/3$）。因此，
    $\lim_{x \to \infty} (2x - 3x^{2/3}) = \lim_{x \to \infty} x(2 - 3x^{-1/3}) = \infty(2 - 0) = \infty$
    $\lim_{x \to -\infty} (2x - 3x^{2/3})$
    當 $x \to -\infty$ 時，$2x \to -\infty$，$x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2 \to \infty$（因為 $x$ 是負數，但 $x^2$ 是正數）。
    $\lim_{x \to -\infty} (2x - 3x^{2/3}) = \lim_{x \to -\infty} x(2 - 3x^{-1/3}) = -\infty(2 - 0) = -\infty$
    由於極限值為 $\pm \infty$，不存在水平漸近線。
  • 斜漸近線： 我們檢查斜漸近線 $y = mx+b$。
    $m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 3x^{2/3}}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} (2 - 3x^{-1/3})$
    當 $x \to \pm \infty$ 時，$x^{-1/3} \to 0$。所以 $m = 2 - 0 = 2$。
    $b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm \infty} (2x - 3x^{2/3} - 2x) = \lim_{x \to \pm \infty} (-3x^{2/3})$
    當 $x \to \infty$ 時，$b = -\infty$。當 $x \to -\infty$ 時，$b = -\infty$。
    因此，不存在斜漸近線。

(b) 尋找臨界點和反曲點

• 臨界點 (Critical Points):
  臨界點發生在 $f'(x) = 0$ 或 $f'(x)$ 不存在的地方。
  首先計算一階導數 $f'(x)$：
  $f(x) = 2x - 3x^{2/3}$
  $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3x^{2/3})$
  $f'(x) = 2 - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{(2/3 - 1)} = 2 - 2x^{-1/3} = 2 - \frac{2}{x^{1/3}}$

  令 $f'(x) = 0$：
  $2 - \frac{2}{x^{1/3}} = 0 \implies 2 = \frac{2}{x^{1/3}} \implies x^{1/3} = 1 \implies x = 1^3 = 1$。
  所以，一個臨界點是 $x=1$。
  $f(1) = 2(1) - 3(1)^{2/3} = 2 - 3 = -1$。
  臨界點為 $(1, -1)$。

  檢查 $f'(x)$ 不存在的地方：
  $f'(x) = 2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 在 $x=0$ 時導數不存在（分母為零）。
  因此，$x=0$ 也是一個臨界點。
  $f(0) = 2(0) - 3(0)^{2/3} = 0$。
  臨界點為 $(0, 0)$。

• 反曲點 (Inflection Points):
  反曲點發生在 $f''(x) = 0$ 或 $f''(x)$ 不存在，且凹凸性改變的地方。
  首先計算二階導數 $f''(x)$：
  $f'(x) = 2 - 2x^{-1/3}$
  $f''(x) = \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}(2x^{-1/3})$
  $f''(x) = 0 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) x^{(-1/3 - 1)} = \frac{2}{3} x^{-4/3} = \frac{2}{3x^{4/3}}$

  令 $f''(x) = 0$：
  $\frac{2}{3x^{4/3}} = 0$。這個方程沒有解，因為分子不為零。