108 年 國立成功大學電信管理研究所乙組《線性代數》

本題主要考查矩陣的列空間、零空間以及高斯消去法在求解線性方程組中的應用。

題目給出了線性方程組 $Ax=b$ 的一個參數化通解，並指出經過向前消去法（Forward elimination）後，方程組變為 $Rx=d$，其中 $R$ 是 3x3 的列簡約階梯矩陣（reduced row echelon matrix）。我們需要找出 $R$ 和 $d$。

從給定的通解形式 $x = x_p + x_h$ 可以看出，其中 $x_p = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是方程組 $Ax=b$ 的一個特解（particular solution），而 $x_h = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是對應齊次方程組 $Ax=0$ 的通解。

齊次方程組 $Ax=0$ 的通解空間是 $A$ 的零空間（null space）。由通解的形式可知，零空間的基底是向量 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。這表示 $A$ 的零空間維度是 2，即 $\text{nullity}(A) = 2$。

矩陣 $A$ 是 3x3 的，根據秩－零度定理（Rank-Nullity Theorem），$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$，其中 $n$ 是矩陣的列數。所以，$\text{rank}(A) + 2 = 3$，得到 $\text{rank}(A) = 1$。

向前消去法會將 $Ax=b$ 轉換為 $Rx=d$，其中 $R$ 是 $A$ 的行簡約階梯形式。$R$ 的秩等於 $A$ 的秩，所以 $\text{rank}(R) = 1$。同時，$R$ 的零空間維度也等於 $A$ 的零空間維度，即 $\text{nullity}(R) = 2$。

一個 3x3 的列簡約階梯矩陣 $R$ 如果秩為 1，意味著它只有一個非零列，且該列只有一個 1，其他元素皆為 0。同時，它也只有一個自由變數。

從通解 $x = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 可以寫成向量形式：

本題考查向量投影的矩陣表示。

要求一個矩陣 $P$，使得對於任意向量 $b \in \mathbb{R}^3$， $Pb$ 是 $b$ 在向量 $a = (2,1,3)$ 方向上的投影。

首先，我們回憶一下向量 $b$ 在向量 $a$ 上的投影公式。向量 $b$ 在向量 $a$ 上的投影向量記為 $\text{proj}_a b$，其公式為：

$$\text{proj}_a b = \frac{b \cdot a}{a \cdot a} a$$

其中 $b \cdot a$ 是 $b$ 和 $a$ 的內積，$a \cdot a$ 是 $a$ 的內積（即 $\|a\|^2$）。

我們可以將這個公式改寫成矩陣形式。令 $a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ 且 $b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$。
則 $b \cdot a = b^T a = a^T b$。
$a \cdot a = a^T a$。
所以，

$$\text{proj}_a b = \frac{a^T b}{a^T a} a$$

由於 $\frac{a^T b}{a^T a}$ 是一個純量，我們可以將其移到向量 $a$ 的前面：

$$\text{proj}_a b = a \left( \frac{a^T b}{a^T a} \right) = \left( \frac{a a^T}{a^T a} \right) b$$

這個形式 $Pb$ 中的矩陣 $P$ 就是我們所求的投影矩陣。

$$P = \frac{a a^T}{a^T a}$$

現在我們將題目給定的向量 $a = (2,1,3)$ 代入公式。
首先計算 $a^T a$：

核心觀念

本題考查：

• 矩陣的 $LU$ 分解：以列運算消去下三角元素，使
  $A=LU$
• 高斯消去法與增廣矩陣解法。
• 齊次方程組 $Ax=0$ 的解，即 $A$ 的零空間。
• 欠定系統的完整解：主變數以自由變數表示。

由於 $A$ 是 $3\times 4$ 矩陣，因此 $L$ 為 $3\times 3$ 下三角矩陣，$U$ 為 $3\times 4$ 上梯形矩陣。

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解題方法

原矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 2&4&1&4\\ 3&6&3&9 \end{bmatrix}.$$

（a）求 $L$ 與 $U$

以第一列為主元素進行消去。

第二列減去第一列的 $2$ 倍：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1$$

第三列減去第一列的 $3$ 倍：

$$R_3\leftarrow R_3-3R_1$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&2\\ 0&0&3&6 \end{bmatrix}.$$

再以第二列消去第三列：

$$R_3\leftarrow R_3-3R_2$$

因此

$$U= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

消去過程中的倍數為

$$m_{21}=2,\qquad m_{31}=3,\qquad m_{32}=3.$$

因此單位下三角矩陣為

$$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&3&1 \end{bmatrix}.$$

故

$$\boxed{ A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} }.$$

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（b）求 $Ax=b$ 的完整解

向量 $b$ 是 $A$ 的四個欄向量總和，因此

$$b=A \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

直接計算得

$$b= \begin{bmatrix} 1+2+0+1\\ 2+4+1+4\\ 3+6+3+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\11\\21 \end{bmatrix}.$$

因此必有一組特解為

$$x_p= \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

為求完整解，直接解 $Ax=b$：

核心觀念

本題考「有限記憶的天氣模型」如何轉換為馬可夫鏈。

原模型中，明天天氣的機率取決於「今天與昨天」的天氣。因此，將連續兩天的天氣組合定義為一個狀態後，下一天的狀態只由目前狀態決定，符合馬可夫性：

$$P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,X_{t-1},\ldots) = P(X_{t+1}=j\mid X_t=i)$$

各狀態定義如下：

• 狀態 $0$：昨天、今天均下雨，記為 $(R,R)$。
• 狀態 $1$：昨天未下雨、今天下雨，記為 $(N,R)$。
• 狀態 $2$：昨天下雨、今天未下雨，記為 $(R,N)$。
• 狀態 $3$：昨天、今天均未下雨，記為 $(N,N)$。

其中 $R$ 表示下雨，$N$ 表示未下雨。

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解題方法

採用「目前狀態搭配明天天氣」建立下一期狀態。

若今天狀態為 $(\text{昨天},\text{今天})$，則明天的新狀態為：

$$(\text{明天的新狀態})=(\text{今天},\text{明天})$$

因此，每一列的兩個非零機率，分別對應「明天下雨」與「明天不下雨」。

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(a) 轉移機率矩陣

由狀態 $0$ 出發

狀態 $0=(R,R)$，明天下雨的機率為 $0.7$：

• 明天下雨：新狀態仍為 $(R,R)$，即狀態 $0$。
• 明天不下雨：新狀態為 $(R,N)$，即狀態 $2$。

因此：

$$P_{0\to 0}=0.7,\qquad P_{0\to 2}=0.3$$

由狀態 $1$ 出發

狀態 $1=(N,R)$，明天下雨的機率為 $0.5$：

• 明天下雨：新狀態為 $(R,R)$，即狀態 $0$。
• 明天不下雨：新狀態為 $(R,N)$，即狀態 $2$。

因此：

$$P_{1\to 0}=0.5,\qquad P_{1\to 2}=0.5$$

由狀態 $2$ 出發

狀態 $2=(R,N)$，明天下雨的機率為 $0.4$：

• 明天下雨：新狀態為 $(N,R)$，即狀態 $1$。
• 明天不下雨：新狀態為 $(N,N)$，即狀態 $3$。

因此：

$$P_{2\to 1}=0.4,\qquad P_{2\to 3}=0.6$$

由狀態 $3$ 出發

狀態 $3=(N,N)$，明天下雨的機率為 $0.2$：

• 明天下雨：新狀態為 $(N,R)$，即狀態 $1$。
• 明天不下雨：新狀態仍為 $(N,N)$，即狀態 $3$。

因此：

$$P_{3\to 1}=0.2,\qquad P_{3\to 3}=0.8$$

依照狀態順序 $0,1,2,3$，轉移機率矩陣為：

本題考查機率論中關於隨機變數的兩個重要分佈：指數分佈（Exponential Distribution）和均勻分佈（Uniform Distribution），以及它們在計算條件機率和剩餘壽命機率方面的應用。

首先，我們來處理指數分佈的部分。

第一部分：指數分佈

設 $X$ 為機車的總壽命里程（以千公里為單位）。
$X$ 服從參數為 $\lambda = 1/20$ 的指數分佈。
指數分佈的機率密度函數（PDF）為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $x \ge 0$。
累積分佈函數（CDF）為 $F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$，其中 $x \ge 0$。
指數分佈的一個重要性質是「無記憶性」（memoryless property）。對於任意 $s, t \ge 0$，有 $P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$。

題目給定 Henry 的機車已經行駛了 10,000 公里，即 10 千公里。
Kevin 購買後，希望知道他能獲得至少 20,000 公里（即 20 千公里）額外里程的機率。
這相當於計算條件機率 $P(X > 10 + 20 | X > 10)$，即 $P(X > 30 | X > 10)$。

利用指數分佈的無記憶性：
$P(X > 30 | X > 10) = P(X > 20)$

現在我們計算 $P(X > 20)$。
$P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) = 1 - F(20)$
$P(X > 20) = 1 - (1 - e^{-\lambda \times 20})$
$P(X > 20) = e^{-\lambda \times 20}$

代入 $\lambda = 1/20$：
$P(X > 20) = e^{-(1/20) \times 20} = e^{-1}$

所以，在指數分佈的假設下，Kevin 至少能獲得 20,000 公里額外里程的機率是 $e^{-1}$。

第二部分：均勻分佈

現在假設機車的總壽命里程 $X$（以千公里為單位）服從 $(0, 40)$ 上的均勻分佈。
均勻分佈的 PDF 為 $f(x) = \frac{1}{b-a}$，其中 $a \le x \le b$。
在這裡，$a=0$, $b=40$。所以 $f(x) = \frac{1}{40}$，對於 $0 \le x \le 40$。