109 年 國立成功大學電信管理研究所乙組《線性代數》

本題要求使用 Cramer's rule 解線性方程組。Cramer's rule 是一種利用行列式來解線性方程組的方法，適用於係數矩陣為方陣且行列式不為零的情況。

首先，我們將方程組寫成矩陣形式 $Ax = b$，其中
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$， $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$， $b = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$。

Cramer's rule 的解法為 $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$，其中 $A_i$ 是將矩陣 $A$ 的第 $i$ 行替換為向量 $b$ 所得到的矩陣。

第一步：計算係數矩陣 $A$ 的行列式 $\det(A)$。

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$= 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 2(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1(2 \cdot 2 - 2 \cdot 1)$$ $$= 1(6 - 2) - 2(6 - 1) + 1(4 - 2)$$ $$= 1(4) - 2(5) + 1(2)$$ $$= 4 - 10 + 2 = -4$$

由於 $\det(A) = -4 \neq 0$，因此方程組有唯一解。

第二步：計算 $x_1$。令 $A_1$ 為將 $A$ 的第一行替換為 $b$ 的矩陣。

$$A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\det(A_1) = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$= 5 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 9 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 2 \end{vmatrix}$$

本題要求計算從基底 $E$ 到基底 $F$ 的轉移矩陣 (transition matrix)，並利用此轉移矩陣求向量 $x$ 和 $y$ 在基底 $F$ 下的座標。

首先，我們需要定義基底 $E$ 和 $F$ 的向量。
基底 $E$: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
基底 $F$: $u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $u_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

我們需要找到從 $E$ 到 $F$ 的轉移矩陣 $P_{F \leftarrow E}$。這個矩陣的每一欄是由基底 $E$ 中的向量在基底 $F$ 下的座標所組成。也就是說，我們需要將 $v_1, v_2, v_3$ 表示成 $u_1, u_2, u_3$ 的線性組合。

令 $P_E$ 為基底 $E$ 的向量在標準基底下的矩陣，即 $P_E = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。
令 $P_F$ 為基底 $F$ 的向量在標準基底下的矩陣，即 $P_F = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。

轉移矩陣 $P_{F \leftarrow E}$ 可以透過以下關係得到：$P_E = P_F P_{F \leftarrow E}$。
因此，$P_{F \leftarrow E} = P_F^{-1} P_E$。

首先，計算 $P_F^{-1}$。

$$\det(P_F) = 1(0-1) - 1(1-0) + 0 = -1 - 1 = -2$$ $$adj(P_F) = \begin{pmatrix} 0-1 & -(1-0) & 1-0 \\ -(1-0) & 1-0 & -(1-0) \\ 1-0 & -(1-0) & 0-1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$P_F^{-1} = \frac{1}{\det(P_F)} adj(P_F) = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$

現在計算 $P_{F \leftarrow E} = P_F^{-1} P_E$。

$$P_{F \leftarrow E} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1/2+1/2-1/2 & 1/2+1-1 & 1/2+1-2 \\ 1/2-1/2+1/2 & 1/2-1+1 & 1/2-1+2 \\ -1/2+1/2+1/2 & -1/2+1+1 & -1/2+1+2 \end{pmatrix}$$

本題要求找出矩陣 $A$ 的列空間 (row space) 的基底，以及零空間 (null space) $N(A)$ 的基底。

首先，我們將矩陣 $A$ 進行列運算 (row reduction) 以簡化計算。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

進行列運算：
$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$
$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$

$R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R_2 \leftarrow -R_2$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R_1 \leftarrow R_1 + R_2$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

這是矩陣 $A$ 的列梯形 (row echelon form)。

1. 求列空間 (Row Space) 的基底

列空間由矩陣的列向量張成。對矩陣進行列運算時，列空間保持不變。因此，矩陣 $A$ 的列空間的基底等於其列梯形形式中非零列向量的基底。
然而，更常見且直接的方式是取原始矩陣 $A$ 中對應於列梯形中 pivot 位置的列向量作為基底。在列梯形 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 中，pivot 位於第一欄和第三欄。對應回原始矩陣 $A$ 的列向量，基底為 $A$ 的第一列和第三列。
$A$ 的列向量為 $c_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $c_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $c_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $c_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$。
在列梯形中，第一欄和第三欄有 pivot。因此，原始矩陣 $A$ 的列空間的基底為 $c_1$ 和 $c_3$。
列空間的基底為：$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$。

核心觀念

本題考查「馬可夫鏈（Markov chain）」與「轉移矩陣（transition matrix）」的基本應用。

將人口表示為欄向量：

$$\mathbf{x}_0= \begin{bmatrix} 400000\\ 200000\\ 100000 \end{bmatrix},$$

其中三個分量依序代表城市 A、B、C 的人口。

若以「原本所在城市」作為欄、「一年後所在城市」作為列，則轉移矩陣 $P$ 的元素 $p_{ij}$ 表示：

原本位於第 $j$ 個城市的人口，一年後移動到第 $i$ 個城市的比例。

因此一年後的人口向量為：

$$\mathbf{x}_1=P\mathbf{x}_0.$$

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解題方法

由題意：

• A 的人口有 $70\%$ 留在 A、$20\%$ 到 B、$10\%$ 到 C；
• B 的人口有 $25\%$ 到 A、$65\%$ 留在 B、$10\%$ 到 C；
• C 的人口有 $5\%$ 到 A、$5\%$ 到 B、$90\%$ 留在 C。

故轉移矩陣為：

$$P= \begin{bmatrix} 0.70 & 0.25 & 0.05\\ 0.20 & 0.65 & 0.05\\ 0.10 & 0.10 & 0.90 \end{bmatrix}.$$

初始人口向量為：

$$\mathbf{x}_0= \begin{bmatrix} 400000\\ 200000\\ 100000 \end{bmatrix}.$$

計算：

$$\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 0.70 & 0.25 & 0.05\\ 0.20 & 0.65 & 0.05\\ 0.10 & 0.10 & 0.90 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 400000\\ 200000\\ 100000 \end{bmatrix}.$$

逐項計算：

城市 A

本題要求我們找出微分算子 $D$ 在兩個不同基底下的表示矩陣。微分算子 $D$ 的作用是將一個多項式對其變數求微分。$P_2$ 是所有次數小於等於 2 的多項式所形成的向量空間。

1. 求基底 $\mathcal{B} = [1, x, x^2]$ 下的表示矩陣 $B$

基底 $\mathcal{B}$ 是標準基底。我們需要將 $D$ 作用在 $\mathcal{B}$ 中的每一個基底向量上，然後將結果表示成 $\mathcal{B}$ 的線性組合。
$D(1) = 0$
$D(x) = 1$
$D(x^2) = 2x$

現在，將這些結果寫成基底 $\mathcal{B}$ 的座標向量：
$D(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \implies [D(1)]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$D(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \implies [D(x)]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$D(x^2) = 2x = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^2 \implies [D(x^2)]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

將這些座標向量作為矩陣 $B$ 的欄，得到：

$$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

2. 求基底 $\mathcal{C} = [1, 2x, 4x^2-2]$ 下的表示矩陣 $A$

基底 $\mathcal{C}$ 的向量是 $c_1 = 1$, $c_2 = 2x$, $c_3 = 4x^2-2$。
我們需要將 $D$ 作用在 $\mathcal{C}$ 中的每一個基底向量上，然後將結果表示成 $\mathcal{C}$ 的線性組合。

$D(c_1) = D(1) = 0$
$D(c_2) = D(2x) = 2$
$D(c_3) = D(4x^2-2) = 8x$

現在，我們需要將這些結果表示成基底 $\mathcal{C}$ 的線性組合。
令 $p(x) = a \cdot 1 + b \cdot (2x) + c \cdot (4x^2-2)$。

對於 $D(c_1) = 0$:
$0 = a \cdot 1 + b \cdot (2x) + c \cdot (4x^2-2)$
為了使這個等式成立，係數必須為零：$a=0, b=0, c=0$。
所以 $[D(c_1)]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

對於 $D(c_2) = 2$:
$2 = a \cdot 1 + b \cdot (2x) + c \cdot (4x^2-2)$
$2 = a + 2bx + 4cx^2 - 2c$
$2 = (a-2c) + (2b)x + (4c)x^2$
比較係數：
$4c = 0 \implies c = 0$
$2b = 0 \implies b = 0$
$a-2c = 2 \implies a - 0 = 2 \implies a = 2$
所以 $2 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (2x) + 0 \cdot (4x^2-2)$。
$[D(c_2)]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

對於 $D(c_3) = 8x$:
$8x = a \cdot 1 + b \cdot (2x) + c \cdot (4x^2-2)$
$8x = (a-2c) + (2b)x + (4c)x^2$
比較係數：
$4c = 0 \implies c = 0$
$2b = 8 \implies b = 4$
$a-2c = 0 \implies a - 0 = 0 \implies a = 0$
所以 $8x = 0 \cdot 1 + 4 \cdot (2x) + 0 \cdot (4x^2-2)$。
$[D(c_3)]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$。

將這些座標向量作為矩陣 $A$ 的欄，得到：

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

另一種方法：計算轉移矩陣

我們可以先計算從基底 $\mathcal{C}$ 到基底 $\mathcal{B}$ 的轉移矩陣 $P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}$。