110 年 國立中正大學資訊工程學系碩士班乙組《數學》

核心觀念

若矩陣 $R$ 是 $A$ 的列簡化階梯形矩陣，則 $R$ 可由 $A$ 經初等列運算得到。初等列運算不改變齊次方程組的解，因此

求零空間的基底，就是求 $Rx=0$ 的通解，並將通解寫成自由變數的線性組合。

解題方法

令 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T$。由 $Rx=0$ 得

主元變數為 $x_1,x_4,x_5$；自由變數為 $x_2,x_3$。令 $x_2=s$、$x_3=t$，則 $x_1=-3s-t$，所以

核心觀念

矩陣的列空間是由矩陣各列向量張成的空間。對矩陣進行初等列運算，不會改變列空間，因此 $A$ 與其簡化列梯形形式 $R$ 的列空間相同：

簡化列梯形形式中所有非零列彼此線性獨立，因此這些非零列可直接作為列空間的一組基底。

解題方法

題目已提供 $A$ 的簡化列梯形形式

取 $R$ 的三個非零列向量：

核心觀念

矩陣 $A$ 的行空間與列空間在列運算下的關係不同：列運算會保留列空間的維度與樞紐位置，但一般會改變矩陣的列向量。因此，求 $A$ 的列空間基底時，先從簡化列梯形矩陣 $R$ 找出樞紐欄，再回到原矩陣 $A$ 取出相同欄號的列向量。

解題方法

由題目給出的 $R$ 可知，樞紐位置在第 $1$、$4$、$5$ 欄，因此 $A$ 的列空間基底應取自原矩陣的第 $1$、$4$、$5$ 欄：

核心觀念

矩陣的秩等於其列簡化階梯形矩陣中主元的個數，也等於非零列的列數。若矩陣有 $n$ 個欄，則由秩－零度定理：

解題方法

題目已給出 $A$ 的列簡化階梯形矩陣 $R$。其中有 $3$ 列非零列，主元位於第 $1$、$4$、$5$ 欄，因此

矩陣 $A$ 有 $5$ 個欄，故由秩－零度定理：

核心觀念

一組向量要成為 $V$ 的基底，必須同時滿足：

1. 線性獨立。
2. 張成 $V$。

題目已知四個向量張成 $V$，因此只要找出其中一組線性獨立的向量，且其數量等於 $\dim V$，就能作為 $V$ 的基底。

解題方法

先找出向量間的線性關係：

因此，四個向量都可以由 $\vec v_1$ 和 $\vec v_4$ 張成，故

再檢查 $\vec v_1$ 與 $\vec v_4$ 是否線性獨立。若存在 $a,b$ 使

則

核心觀念

若一組向量張成子空間，但彼此線性相依，就先從中挑出一組線性獨立且張成同一子空間的向量，作為該子空間的基底。要把這組基底擴充成 $\mathbb{R}^3$ 的基底，再加入一個不在原子空間中的向量，使三個向量線性獨立。

解題方法

先找出題目向量間的關係：

因此，四個向量都可由 $\vec v_1,\vec v_4$ 線性組合表示，且 $\vec v_1,\vec v_4$ 不互為倍數，所以它們線性獨立。故

是 $V$ 的一組基底。

接著加入標準基底向量 $\vec e_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$。將三個向量作為矩陣的欄向量：

核心觀念

平面 $P$ 由 $\vec v_1,\vec v_2$ 張成。要找 $P$ 的正交規一基底，需找出兩個互相垂直的單位向量，且仍張成 $P$。

兩向量正交的判斷方式是內積為 $0$；非零向量 $\vec v$ 的單位向量為 $\dfrac{\vec v}{\|\vec v\|}$。

解題方法

先計算兩個張成向量的內積：

因此 $\vec v_1$ 與 $\vec v_2$ 已經互相垂直，不需要再使用 Gram–Schmidt 正交化；只要分別將兩者規一化即可。

計算長度：

所以對應的單位向量為

核心觀念

距離點 $Q$ 最近的平面上點，是給定點 $(1,0,0)$ 在平面 $P$ 上的正交投影。投影點與給定點之差必須垂直於平面。

解題方法

先確認兩個張成向量互相垂直：

因此可直接使用正交基底的投影公式。令 $\vec x=(1,0,0)^T$，其在 $P$ 上的投影為

各項內積為

代入得

核心觀念

正交標準基底中的向量必須彼此垂直，且每個向量的長度都為 $1$。兩個互相垂直的單位向量 $\vec v_1,\vec v_2$ 在 $\mathbb R^3$ 中的叉積 $\vec v_1\times\vec v_2$，會同時垂直於兩者；若其長度也是 $1$，便可作為第三個基底向量。

解題方法

先確認題目給的兩個向量已互相垂直且都是單位向量：

因此取叉積作為第三個向量：

題目條件（依原卷）

本題接續第 4-(a) 題：$\vec v_3$ 是使 $\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ 成為 $\mathbb{R}^3$ 單位正交基底 $B$ 的向量。線性轉換 $T$ 交換 $\vec v_1$ 與 $\vec v_3$，並以 $\vec v_2$ 為特徵值 $-5$ 的特徵向量：

核心觀念

$[T]_B$ 的第 $j$ 欄，是 $T$ 作用在第 $j$ 個基底向量後、以基底 $B=(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ 表示的座標向量。

解題方法

（4-(a) 的結果：$\vec v_3=\pm\vec v_1\times\vec v_2=\pm\left(\tfrac{\sqrt2}{6},\ \tfrac{2\sqrt2}{3},\ -\tfrac{\sqrt2}{6}\right)^T$，不論取哪個正負號，下列 $[T]_B$ 都一樣。）

逐一求各基底向量的像在 $B$ 下的座標：

題目條件（依原卷）

$T$ 是 4-(b) 定義的線性轉換：交換 $\vec v_1$ 與 $\vec v_3$，且 $T(\vec v_2)=-5\vec v_2$；$B=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ 是 4-(a) 求出的 $\mathbb{R}^3$ 單位正交基底，其中

核心觀念

令 $P=[\,\vec v_1\ \vec v_2\ \vec v_3\,]$（基底 $B$ 到標準基底的換基矩陣）。標準矩陣與 $B$-矩陣的關係是

因為 $B$ 是單位正交基底，$P$ 是正交矩陣，$P^{-1}=P^T$。

解題方法

1. 確認 $B$ 單位正交：$\vec v_1\cdot\vec v_2=\tfrac23\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)+0+\left(-\tfrac23\right)\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\tfrac{\sqrt2}{3}+\tfrac{\sqrt2}{3}=0$；$\|\vec v_1\|^2=\tfrac49+\tfrac19+\tfrac49=1$，$\|\vec v_2\|^2=\tfrac12+\tfrac12=1$；$\vec v_3$ 由外積得到，與兩者都垂直且長度 $1$。

核心觀念

QR 分解是將矩陣 $A$ 分解為正交矩陣（或正交欄矩陣）$Q$ 與上三角矩陣 $R$ 的乘積：

它把 $A$ 的欄向量表示成一組互相正交的基底及其線性組合，常用於最小平方問題、線性方程組求解與特徵值計算。

解題方法與矩陣限制

設 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，且 $m\ge n$。薄型 QR 分解寫成：

其限制為：

• $Q$ 的欄向量互相正交且長度為 $1$，因此 $$Q^{T}Q=I_n.$$
• $R$ 是上三角矩陣，即 $r_{ij}=0$，當 $i>j$。
• 若 $A$ 欄滿秩，則 $R$ 的對角線元素皆非零；再規定 $r_{ii}>0$，QR 分解便唯一。

當 $A$ 欄滿秩（各欄線性獨立）時，可對 $A$ 的欄向量 $a_1,\ldots,a_n$ 使用 Gram–Schmidt 正交化（若欄相依，某一步會得到零向量而無法單位化，必須另外補選正交單位向量）。依序令

核心觀念

奇異值分解（SVD）將任意實矩陣表示成「左側正交變換、非負對角縮放、右側正交變換」的乘積。對任意 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，皆存在分解

其中 $U\in\mathbb{R}^{m\times m}$、$V\in\mathbb{R}^{n\times n}$，而 $\Sigma\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 為矩形對角矩陣。SVD 的奇異值來自 $A^{T}A$ 的特徵值：若 $\lambda_i$ 是 $A^{T}A$ 的特徵值，則對應奇異值為 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$。

解題方法與矩陣限制

令 $r=\operatorname{rank}(A)$。完整 SVD 的因子須符合下列條件：

• $U$ 的欄向量為 $A A^{T}$ 的正交規範特徵向量，因此

  $$U^{T}U=UU^{T}=I_m.$$

• $V$ 的欄向量為 $A^{T}A$ 的正交規範特徵向量，因此

  $$V^{T}V=VV^{T}=I_n.$$

• $\Sigma$ 的非零對角元素為奇異值，且依大小遞減排列：

核心觀念

全稱量詞 $\forall x$ 表示每個實數 $x$ 都必須符合條件；存在量詞 $\exists y$ 表示對該 $x$，至少能找到一個實數 $y$ 使等式成立。

解題方法

核心觀念

全稱量詞 $\forall x$ 表示「每一個實數 $x$ 都要成立」；存在量詞 $\exists y$ 表示「至少有一個實數 $y$ 能使等式成立」。因此，命題要求每個實數 $x$ 都能寫成某個實數 $y$ 的平方。

解題方法

實數平方必定非負：

核心觀念

全稱命題 $\forall x\,P(x)$ 表示「每一個實數 $x$ 都使 $P(x)$ 成立」。只要找到一個反例，就能判定全稱命題為假。

解題方法

題目主張所有實數 $x$ 都滿足 $x^2\ne x$。先找出方程 $x^2=x$ 的解：

核心觀念

全稱命題 $\forall x\,P(x)$ 表示「對論域中的每一個 $x$，$P(x)$ 都成立」。只要找到一個反例，就能判定全稱命題為假。

絕對值滿足 $|x|\geq 0$，且 $|x|=0$ 當且僅當 $x=0$。

解題方法

本題的論域是全體實數。取 $x=0$，則

核心觀念

存在量詞 $\exists x\exists y$ 表示「存在實數 $x,y$，使括號內的條件同時成立」。因此，兩個方程式必須由同一組 $x,y$ 同時滿足。

解題方法

題目要求同時滿足

將第一個方程式的兩邊乘以 $2$，得到

核心觀念

若 $72$ 在模 $233$ 下有乘法反元素，則必須滿足 $\gcd(72,233)=1$。可用擴展歐幾里得算法找出整數 $x,y$，使得

此時 $x$ 除以 $233$ 的餘數，就是 $72$ 模 $233$ 的反元素。

解題方法

先用歐幾里得算法求最大公因數：

因為最大公因數為 $1$，反元素存在。接著由最後一式反向代回：

由 $4=72-4\cdot17$，得

核心觀念

一次同餘式 $ax\equiv b\pmod m$ 若 $\gcd(a,m)=1$，則 $a$ 在模 $m$ 下有乘法反元素，可將同餘式兩邊乘上 $a^{-1}$，得到唯一的模 $m$ 解。

解題方法

先用歐幾里得算法求 $72$ 在模 $233$ 下的反元素：

回代得：

核心觀念

這題考「極端原理」：先找出在尚未達成目標時，最多能選幾個數，再多選一個，就能保證達成目標。

從 $1$ 到 $10$ 中，和為 $11$ 的數字配對為

這五對彼此不重疊。

解題方法

若要避免出現三對數字的和為 $11$，最多只能讓其中兩對都被選中。其餘三對各選一個數字，避免湊成完整的一對。

核心觀念

以 $a_n$ 表示長度為 $n$、不含兩個連續 $0$ 的二元字串數量。依字串最後幾個字元分類，將長度 $n$ 的字串數量化為較短長度的字串數量，建立遞迴關係。

解題方法

符合條件的字串若以 $1$ 結尾，前面長度 $n-1$ 的部分仍須符合條件，因此有 $a_{n-1}$ 種。

若以 $0$ 結尾，倒數第二個字元必須是 $1$，所以字串必以 $10$ 結尾。前面長度 $n-2$ 的部分有 $a_{n-2}$ 種。

兩種結尾互斥且涵蓋所有符合條件的字串，因此

題目條件（依原卷第 9 題）

$a_n$ 是長度為 $n$、不含兩個連續 0 的二進位字串個數；9-(a) 求得遞迴關係

（推導：最後一位是 1 時，前面 $n-1$ 位任意合法，有 $a_{n-1}$ 種；最後一位是 0 時，倒數第二位必須是 1，前面 $n-2$ 位任意合法，有 $a_{n-2}$ 種。）

核心觀念

二階遞迴關係需要兩個初始條件，才能唯一決定整個數列；初始條件要直接數小的情況，不能由遞迴式本身推得。

解題方法

直接列舉：

核心觀念

這題考的是避免相鄰元素的計數，可用遞迴關係計算。令 $a_n$ 表示長度為 $n$、不含連續兩個 $0$ 的二進位字串數量。

解題方法

依字串最後一個位元分類：

• 若最後一位是 $1$，前面長度為 $n-1$ 的字串只要符合條件即可，共有 $a_{n-1}$ 種。
• 若最後一位是 $0$，倒數第二位必須是 $1$。去掉最後的 $10$ 後，剩下長度為 $n-2$ 的合法字串，共有 $a_{n-2}$ 種。

因此，對 $n\ge 2$：

核心觀念

在有 $n$ 個頂點的簡單圖中，每一對不同頂點恰好在 $G$ 與其補圖 $\overline{G}$ 其中一者相鄰。因此，兩圖的邊數總和等於所有頂點對的數量：

解題方法

已知 $G$ 有 $20$ 條邊，$\overline{G}$ 有 $16$ 條邊，代入公式：

核心觀念

簡單圖的每一條邊都連接一對不同頂點，因此 $x$ 個頂點之間最多有

條邊。原圖 $G$ 與補圖 $\overline{G}$ 的頂點相同；每一對不同頂點若在 $G$ 中相鄰，就不在 $\overline{G}$ 中相鄰，反之亦然。

解題方法